小學奧數(shù)第4講直接思路(含解題思路)

1、4、直接思路“直接思路”是解題中的常規(guī)思路。它一般是通過分析、綜合、歸納等方法，直接找到解題的途徑?！卷樝蚓C合思路】從已知條件出發(fā)，根據(jù)數(shù)量關系先選擇兩個已知數(shù)量，提出可以解決的問題；然后把所求出的數(shù)量作為新的已知條件，與其他的已知條件搭配，再提出可以解決的問題；這樣逐步推導，直到求出所要求的解為止。這就是順向綜合思路，運用這種思路解題的方法叫“綜合法”。例1 兄弟倆騎車出外郊游，弟弟先出發(fā)，速度為每分鐘200米，弟弟出發(fā)5分鐘后，哥哥帶一條狗出發(fā)，以每分鐘250米的速度追趕弟弟，而狗以每分鐘300米的速度向弟弟追去，追上弟弟后，立即返回，見到哥哥后又立即向弟弟追去，直到哥哥追上弟弟，這時狗跑

2、了多少千米？分析（按順向綜合思路探索）：（1）根據(jù)弟弟速度為每分鐘200米，出發(fā)5分鐘的條件，可以求什么？可以求出弟弟走了多少米，也就是哥哥追趕弟弟的距離。（2）根據(jù)弟弟速度為每分鐘200米，哥哥速度為每分鐘250米，可以求什么？可以求出哥哥每分鐘能追上弟弟多少米。（3）通過計算后可以知道哥哥追趕弟弟的距離為1000米，每分鐘可追上的距離為50米，根據(jù)這兩個條件，可以求什么？可以求出哥哥趕上弟弟所需的時間。（4）狗在哥哥與弟弟之間來回不斷奔跑，看起來很復雜，仔細想一想，狗跑的時間與誰用的時間是一樣的？狗跑的時間與哥哥追上弟弟所用的時間是相同的。（5）已知狗以每分鐘300米的速度，在哥哥與弟弟之

3、間來回奔跑，直到哥哥追上弟弟為止，和哥哥追上弟弟所需的時間，可以求什么？可以求出這時狗總共跑了多少距離？這個分析思路可以用下圖（圖2.1）表示。例2 下面圖形（圖2.2）中有多少條線段？分析（仍可用綜合思路考慮）：我們知道，直線上兩點間的一段叫做線段，如果我們把上面任意相鄰兩點間的線段叫做基本線段，那么就可以這樣來計數(shù)。（1）左端點是A的線段有哪些？有 AB AC AD AE AF AG共 6條。（2）左端點是B的線段有哪些？有 BC、BD、BE、BF、BG共5條。（3）左端點是C的線段有哪些？有CD、CE、CF、CG共4條。（4）左端點是D的線段有哪些？有DE、DF、DG共3條。（5）左端點

4、是E的線段有哪些？有EF、EG共2條。（6）左端點是F的線段有哪些？有FG共1條。然后把這些線段加起來就是所要求的線段?！灸嫦蚍治鏊悸贰繌念}目的問題入手，根據(jù)數(shù)量關系，找出解這個問題所需要的兩個條件，然后把其中的一個（或兩個）未知的條件作為要解決的問題，再找出解這一個（或兩個）問題所需的條件；這樣逐步逆推，直到所找的條件在題里都是已知的為止，這就是逆向分析思路，運用這種思路解題的方法叫分析法。例1 兩只船分別從上游的A地和下游的B地同時相向而行，水的流速為每分鐘30米，兩船在靜水中的速度都是每分鐘600米，有一天，兩船又分別從A、B兩地同時相向而行，但這次水流速度為平時的2倍，所以兩船相遇的地

5、點比平時相遇點相差60米，求A、B兩地間的距離。分析（用分析思路考慮）：（1）要求A、B兩地間的距離，根據(jù)題意需要什么條件？需要知道兩船的速度和與兩船相遇的時間。（2）要求兩船的速度和，必要什么條件？兩船分別的速度各是多少。題中已告之在靜水中兩船都是每分鐘600米，那么不論其水速是否改變，其速度和均為（600+600）米，這是因為順水船速為：船速+水速，逆水船速為：船速-水速，故順水船速與逆水船速的和為：船速+水速+船速-水速=2個船速（實為船在靜水中的速度）（3）要求相遇的時間，根據(jù)題意要什么條件？兩次相遇的時間因為距離相同，速度和相同，所以應該是相等的，這就是說，盡管水流的速度第二次比第一

6、次每分鐘增加了30米，仍不會改變相遇時間，只是改變了相遇地點：偏離原相遇點60米，由此可知兩船相遇的時間為60÷30=2（小時）。此分析思路可以用下圖（圖2.3）表示：例2 五環(huán)圖由內(nèi)徑為4，外徑為5的五個圓環(huán)組成，其中兩兩相交的小曲邊四邊形（陰影部分）的面積都相等（如圖2.4），已知五個圓環(huán)蓋住的總面積是122.5，求每個小曲邊四邊形的面積（圓周率取3.14）分析（仍用逆向分析思路探索）：（1）要求每個小曲邊四邊形的面積，根據(jù)題意必須知道什么條件？曲邊四邊形的面積，沒有公式可求，但若知道8個小曲邊四邊形的總面積，則只要用8個曲邊四邊形總面積除以8，就可以得到每個小曲邊四邊形的面積了

7、。（2）要求8個小曲邊四邊形的總面積，根據(jù)題意需要什么條件？8個小曲邊四邊形恰好是圓環(huán)面積兩兩相交重疊一次的部分，因此只要把五個圓環(huán)的總面積減去五個圓環(huán)蓋住的總面積就可以了。（3）要求五個圓環(huán)的總面積，根據(jù)題意需要什么條件？求出一個圓環(huán)的面積，然后乘以5，就是五個圓環(huán)的總面積。（4）要求每個圓環(huán)的面積，需要什么條件？已知圓環(huán)的內(nèi)徑（4）和外徑（5），然后按圓環(huán)面積公式求就是了。圓環(huán)面積公式為：S圓環(huán)=（R2-r2）=（Rr）（Rr）其思路可用下圖（圖2.5）表示：【一步倒推思路】順向綜合思路和逆向分析思路是互相聯(lián)系，不可分割的。在解題時，兩種思路常常協(xié)同運用，一般根據(jù)問題先逆推第一步，再根據(jù)應

8、用題的條件順推，使雙方在中間接通，我們把這種思路叫“一步倒推思路”。這種思路簡明實用。例1 一只桶裝滿10千克水，另外有可裝3千克和7千克水的兩只空桶，利用這三只桶，怎樣才能把10千克水分為5千克的兩份？分析（用一步倒推思路考慮）：（1）逆推第一步：把10千克水平分為5千克的兩份，根據(jù)題意，關鍵是要找到什么條件？因為有一只可裝3千克水的桶，只要在另一只桶里剩2千克水，利用32=5，就可以把水分成5千克一桶，所以關鍵是要先倒出一個2千克水。（2）按條件順推。第一次：10千克水倒入7千克桶，10千克水桶剩3千克水，7千克水倒入3千克桶，7千克水桶剩4千克水，3千克水桶里有水3千克；第二次：3千克桶

9、的水倒入10千克水桶，這時10千克水桶里有水6千克，把7千克桶里的4千克水倒入3千克水桶里，這時7千克水桶里剩水1千克，3千克水桶里有水3千克；第三次：3千克桶里的水倒入10千克桶里，這時10千克桶里有水9千克，7千克桶里的1千克水倒入3千克桶里，這時7千克桶里無水，3千克桶里有水1千克；第四次：10千克桶里的9千克水倒入7千克桶里，10千克水桶里剩下 2千克水，7千克桶里的水倒入3千克桶里（原有1千克水），只倒出2千克水，7千克桶里剩水5千克，3千克桶里有水3千克，然后把3千克桶里的3千克水倒10千克桶里，因為原有2千克水，這時也正好是5千克水了。其思路可用下圖（圖2.6和圖2.7）表示：問

10、題：例2 今有長度分別為1、2、39厘米的線段各一條，可用多少種不同的方法，從中選用若干條線段組成正方形？分析（仍可用一步倒推思路來考慮）：（1）逆推第一步。要求能用多少種不同方法，從中選用若干條線段組成正方形必須的條件是什么？根據(jù)題意，必須知道兩個條件。一是確定正方形邊長的長度范圍，二是每一種邊長有幾種組成方法。（2）從條件順推。因為九條線段的長度各不相同，所以用這些線段組成的正方形至少要7條，最多用了9條，這樣就可以求出正方形邊長的長度范圍為（1+2+當邊長為7厘米時，各邊分別由1+6、2+5、3+4及7組成，只有一種組成方法。當邊長為8厘米時，各邊分別由1+7、2+6、3+5及8組成，也

11、只有一種組成方法。當邊長為9厘米時，各邊分別由1+8、2+7、3+6及9；18、27、4+5及9；27、36、4+5及9；18、36、45及9；18、2+7、36及45共5種組成方法。當邊長為10厘米時，各邊分別由1+9、28、37及46組成，也只有一種組成方法。當邊長為11厘米時，各邊分別由2+9、 38、47及5+6組成，也只有一種組成方法。將上述各種組成法相加，就是所求問題了。此題的思路圖如下（圖2.8）：問題：【還原思路】從敘述事情的最后結果出發(fā)利用已知條件，一步步倒著推理，直到解決問題，這種解題思路叫還原思路。解這類問題，從最后結果往回算，原來加的用減、原來減的用加，原來乘的用除，原

12、來除的用乘。運用還原思路解題的方法叫“還原法”。例1 一個數(shù)加上2，減去3，乘以4，除以5等于12，你猜這個數(shù)是多少？分析（用還原思路考慮）：從運算結果12逐步逆推，這個數(shù)沒除以5時應等于多少？沒乘以4時應等于多少？不減去3時應等于多少？不加上2時又是多少？這里分別利用了加與減，乘與除之間的逆運算關系，一步步倒推還原，直找到答案。其思路圖如下（圖2.9）：條件：例2 李白街上走，提壺去打酒；遇店加一倍，見花喝一斗，三遇店和花，喝光壺中酒。試問酒壺中，原有多少酒？分析（用還原思路探索）：李白打酒是我國民間自古以來廣為流傳的一道用打油詩敘述的著名算題。題意是：李白提壺上街買酒、喝酒，每次遇到酒店，

13、便將壺中的酒量增添1倍，而每次見到香花，便飲酒作詩，喝酒1斗。這樣他遇店、見花經(jīng)過3次，便把所有的酒全喝光了。問：李白的酒壺中原有酒多少？下面我們運用還原思路，從“三遇店和花，喝光壺中酒”開始推算。見花前有1斗酒。第三次：見花后壺中酒全喝光。第三次：遇店前壺中有酒半斗。第一次：見花前壺中有酒為第二次遇店前的再加1斗。遇店前壺中有酒為第一次見花前的一半。其思路圖如下【假設思路】在自然科學領域內(nèi)，一些重要的定理、法則、公式等，常常是在“首先提出假設、猜想，然后再進行檢驗、證實”的過程中建立起來的。數(shù)學解題中，也離不開假設思路，尤其是在解比較復雜的題目時，如能用“假設”的辦法去思考，往往比其他思路簡

14、捷、方便。我們把先提出假設、猜想，再進行檢驗、證實的解題思路，叫假設思路。例1 中山百貨商店，委托運輸隊包運1000只花瓶，議定每只花瓶運費0.4元，如果損壞一只，不但不給運費，而且還要賠償損失5.1元。結果運輸隊獲得運費382.5元。問：損壞了花瓶多少只？分析（用假設思路考慮）：（1）假設在運輸過程中沒有損壞一個花瓶，那么所得的運費應該是多少？0.4×1000=400（元）。（2）而實際只有383.5元，這當中的差額，說明損壞了花瓶，而損壞一只花瓶，不但不給運費，而且還要賠償損失5.1元，這就是說損壞一只花瓶比不損壞一只花瓶的差額應該是多少元？0.45.1=5.5（元）（3）總差額

15、中含有一個5.5元，就損壞了一只花瓶，含有幾個5.5元，就是損壞了幾只花瓶。由此便可求得本題的答案。例2 有100名學生在車站準備乘車去離車站600米的烈士紀念館搞活動，等最后一人到達紀念館45分鐘以后，再去離紀念館900米的公園搞活動?，F(xiàn)在有中巴和大巴各一輛，它們的速度分別是每分鐘300米和150米，而中巴和大巴分別可乘坐10人和25人，問最后一批學生到達公園最少需要多少時間？分析（用假設思路思索）；假設從車站直接經(jīng)烈士紀念館到公園，則路程為（600900）米。把在最后1人到達紀念館后停留45分鐘，假設為在公園停留45分鐘，則問題將大大簡化。（1）從車站經(jīng)烈士紀念館到達公園，中巴、大巴往返一

16、次各要多少時間？中巴：（600+900）÷300×2=10（分鐘）大巴：（600+900）÷150×2=20（分鐘）（2）中巴和大巴在20分鐘內(nèi)共可運多少人？中巴每次可坐10人，往返一次要10分鐘，故20分鐘可運20人。大巴每次可坐25人，往返一次要20分鐘，故20分鐘可運25人。所以在20分鐘內(nèi)中巴、大巴共運45人。（3）中巴和大巴 20分鐘可運 45人，那么 40分鐘就可運45×2=90（人），100人運走90人還剩下10人，還需中巴再花10分鐘運一次就夠了。（4）最后可求出最后一批學生到達公園的時間：把運90人所需的時間，運10人所需的時

17、間，和在紀念館停留的時間相加即可。【消去思路】對于要求兩個或兩個以上未知數(shù)的數(shù)學題，我們可以想辦法將其中一個未知數(shù)進行轉化，進而消去一個未知數(shù)，使數(shù)量關系化繁為簡，這種思路叫消去思路，運用消去思路解題的方法叫消去法。二元一次方程組的解法，就是沿著這條思路考慮的。例1 師徒兩人合做一批零件，徒弟做了6小時，師傅做了8小時，一共做了312個零件，徒弟5小時的工作量等于師傅2小時的工作量，師徒每小時各做多少個零件？分析（用消去思路考慮）：這里有師、徒每小時各做多少個零件兩個未知量。如果以徒弟每小時工作量為1份，把師傅的工作量用徒弟的工作量來代替，那么師傅8小時的工作量相當于這樣的幾份呢？很明顯，師傅

18、2小時的工作量相當于徒弟5小時的工作量，那么8小時里有幾個2小時就是幾個5小時工作量，這樣就把師傅的工作量換成了徒弟的工作量，題目里就消去了師傅工作量這個未知數(shù)；然后再看312個零件里包含了多少個徒弟單位時間里的工作量，就是徒弟應做多少個。求出了徒弟的工作量，根據(jù)題中師博工作量與徒弟工作量的倍數(shù)關系，也就能求出師傅的工作量了。例2 小明買2本練習本、2枝鉛筆、2塊橡皮，共用0.36元，小軍買4本練習本、3枝鉛筆、2塊橡皮，共用去0.60元，小慶買5本練習本、4枝鉛筆、2塊橡皮，共用去0.75元，問練習本、鉛筆、橡皮的單價各是多少錢？分析（用消去法思考）：這里有三個未知數(shù)，即練習本、鉛筆、橡皮的

19、單價各是多少錢？我們要同時求出三個未知數(shù)是有困難的。應該考慮從三個未知數(shù)中先去掉兩個未知數(shù)，只留下一個未知數(shù)就好了。如何消去一個未知數(shù)或兩個未知數(shù)？一般能直接消去的就直接消去，不能直接消去，就通過擴大或縮小若干倍，使它們之間有兩個相同的數(shù)量，再用加減法即可消去，本題把小明小軍、小慶所購買的物品排列如下：小明 2本 2枝 2塊 0.36元小軍 4本 3枝 2塊 0.60元小慶 5本 4枝 2塊 0.75元現(xiàn)在把小明的各數(shù)分別除以2，可得到1本練習本、1枝鉛筆、1塊橡皮共0.18元。接著用小慶的各數(shù)減去小軍的各數(shù)，得1本練習本、1枝鉛筆為0.15元。再把小明各數(shù)除以2所得的各數(shù)減去上數(shù)，就消去了練

20、習本、鉛筆兩個未知數(shù)，得到1塊橡皮0.03元，采用類似的方法可求出練習本和鉛筆的單價?！巨D化思路】解題時，如果用一般方法暫時解答不出來，就可以變換一種方式去思考，或改變思考的角度，或轉化為另外一種問題，這就是轉化思路。運用轉化思路解題就叫轉化法。各養(yǎng)兔多少只？分析（用轉化思路思索）：題中數(shù)量關系比較復雜，兩個分率的標準量不同，為了簡化數(shù)量關系，只呢？這時兩人養(yǎng)的總只數(shù)該是多少只呢？假設后的數(shù)量關系，兩人養(yǎng)的總只數(shù)應是：100-16×3=52（只）分析（用轉化思路分析）：本題求和，題中每個分數(shù)的分子都是1，分母是幾個連續(xù)自然數(shù)的和，好像不能把每個分數(shù)分成兩個分數(shù)相減，然后相加抵消一些數(shù)

21、。但是只要我們按等差數(shù)列求和公式，求出分母就會發(fā)現(xiàn)，可將上面各分數(shù)的分母轉化為兩個連續(xù)自然數(shù)積的形式。所以例題可以轉化為：然后再相加，抵消中間的各個分數(shù)即可?！绢惐人悸贰款惐染褪菑囊粋€問題想到了相似的另一個問題。例如從等差數(shù)列求和公式想到梯形面積公式，從矩形面積公式想到長方體體積公式等等；類比是一個重要的思想方法，也是解題的一種重要思路。例1 有一個掛鐘，每小時敲一次鐘，幾點鐘就敲幾下，鐘敲6下，5秒鐘敲完；鐘敲12下，幾秒敲完？分析（用類比思路探討）：有人會盲目地由倍數(shù)關系下結淪，誤認為10秒鐘敲完，那就完全錯了。其實此題只要運用類比思路，與植樹問題聯(lián)系起來想一想就通了：一條線路植樹分成幾段

22、（株距），如果不包括兩個端點，共需植（n-1）棵樹，如果包括兩個端點，共需植樹（n1）棵，把鐘點指數(shù)看作是一棵棵的樹，把敲的時間看作棵距，此題就迎刃而解了。例2 從時針指向4點開始，再經(jīng)過多少分鐘，時針正好與分鐘重合。分析（用類比思路討論）：本題可以與行程問題進行類比。如圖2.11，如果用時針1小時所走的一格作為路程單位，那么本題可以重新敘述為：已知分針與時針相距4格，分如果分針與時針同時同向出發(fā)，問：分針過多少分鐘可追上時針？這樣就與行程問題中的追及問題相似了。4為距離差，速度差為，重合的時間，就是追上的時間?！痉诸愃悸贰堪岩粋€復雜的問題，依照某種規(guī)律，分解成若干個較簡單的問題，從而使問題得

23、到解決，這就是分類思路。這種思路在解決數(shù)圖形個數(shù)問題中經(jīng)常用到。例1 如圖2.12，共有多少個三角形？分析（用分類思路考慮）：這樣的圖直接去數(shù)有多少個三角形，要做到能不重復，又不遺漏，是比較困難的。怎么辦？可以把圖中所有三角形按大小分成幾類，然后分類去數(shù)，再相加就是總數(shù)了。本題根據(jù)條件，可以分為五類（如圖2.13）。例2 如圖2.14，象棋棋盤上一只小卒過河后沿著最短的路走到對方“將”處，這小卒有多少種不同的走法？分析（運用分類思路分析）：小卒過河后，首先到達A點，因此，題目實際上是問：從A點出發(fā)，沿最短路徑有多少種走法可以到達“將”處，所謂最短，是指不走回頭路。因為“將”直接相通的是P點和K

24、點，所以要求從A點到“將”處有多少種走法，就必須是求出從A到P和從A到K各有多少種走法。分類。一種走法：A到B、C、D、E、F、G都是各有一種走法。二種走法：從A到H有兩種走法。三種走法：從A到M及從A到I各有三種走法。其他各類的走法：因為從A到M、到I各有3種走法，所以從A到N就有336種走法了，因為從A到I有3種走法，從A到D有1種走法，所以從A到J就有31=4種走法了；P與N、J相鄰，而A到N有6種走法，A到J有4種走法，所以從A到P就有6+4=10種走法了；同理K與J、E相鄰，而A到J有4種走法，到E有1種走法，所以A到K就有4+1=5種走法。再求從A到“將”處共有多少種走法就非常容易

25、了。【等量代換思路】有些題的數(shù)量關系十分隱蔽，如果用一般的分析推理，難于找出數(shù)量之間的內(nèi)在聯(lián)系，求出要求的數(shù)量。那么我們就根據(jù)已知條件與未知條件相等的關系，使未知條件轉化為已知條件，使隱蔽的數(shù)量關系明朗化，促使問題迎刃而解。這種思路叫等量代換思路。例1 如圖2.15的正方形邊長是6厘米，甲三角形是正方形中的一部分，乙三角形的面積比甲三角形大6平方厘米，求CE長多少厘米？分析（用等量代換思路思考）：按一般思路，要求CE的長，必須知道乙三角形的面積和高，而這兩個條件都不知道，似乎無法入手。用等量代換思路，我們可以求出三角形ABE的面積，從而求出CE的長，怎樣求這個三角形的面積呢？設梯形為丙：已知 乙=甲+6丙+甲=6×6=36用甲+6代換乙，可得丙+乙=丙+甲+6=36+6=42即三角形ABE的面積等于42平方厘米，這樣，再來求CE的長就簡單了。例2 有三堆棋子，每堆棋子數(shù)一樣多，并且都只有黑白兩色棋子。第一這三堆棋子集中一起，問白子占全部棋子的幾分之幾？分析（用等量代換的思路來探討）：這道題數(shù)量關系比較復雜，如果我們把第一堆里的黑子和第二堆的白子對換一下，那么這個問題就簡單多了。出現(xiàn)了下面這個等式。第一堆（全部是白子）=第二堆（全部是黑子）=第三堆（白子+黑子） （這里指的棋子數(shù)）