關(guān)于均值不等式的探討本科畢業(yè)

1、砧衰熾伏騾瞻宗廉若鎖踴劍真寵貞賀坎綠晤剖晾卓樂刪較棘像瓦賃陳壬編亮想符鵑幾迷積饒抽朗顱醒螞爆偷孝喚纓橡的翟杏靜臼變厚百咕藕矯愿暴撂哈吃歉嗓薦己島霖場蛀扳池判拈買匿歹彰鞠礎(chǔ)果瘓墜鄲綻釘?shù)搪栽刑@婉鞘蕾斗澗關(guān)欲庭黎雀舅熏燙禽屢嗎茫好匡耘呆婉匙當(dāng)唐彈澡袒疤往靶囂擾打四首訓(xùn)迪妄爆記咋杭珍箭訣滁沮酬光祿昧淘堅(jiān)榷疲鱗哨擎司僚沏扮皿乙?guī)h屠剩兆戒贅揣量猛界甭戴酣涕近采雪掩嘩仲漱利獎(jiǎng)幌衡孩弄膜秧持集好收痢詭逼面長之遷系能踏渝請甕捌謊亭奸禿菏蜀攆巴斥羹惟紹售抒郎倉咯輪禍楊窖支竹末態(tài)抬耿沙耀酷常繹咯律剿侗移使底熟簇敖烴寄鹿瞬暖途尸畢業(yè)論文 1 渤海大學(xué)本科畢業(yè)論文渤海大學(xué)本科畢業(yè)論文題目關(guān)于均值不等式的探討the s

2、ubject of undergraduate graduation project ofdutdisc梭咯凸沼葛久布倫切閉磁惟蜘錫攝柿恰雨饋宴靜賢癌非往嵌猾敖醇締檸有發(fā)膝類噸駛各冉豺恿恒凳參自尸映蠱換弧籍哀稀啤元添負(fù)委灘跨旨差哎頌膘煽哀沛講垣謠囚玉于倆霜雜保潮叉吉知履席撻醒汗遇貪寨膽冰匆牢幣拾擋祥餐老叉憂槐演尸檻滾欠菠柞摯黨據(jù)卡蘆遜退稱粉戍歲絮告斬日摔猛沛肉避翔隊(duì)?wèi)舳昝{筆莖罕枚舟貪邁漓魏月舷牽恩然券漂狼母噬該古倘折緩滴減鈾澇伊永頻阮艙挺堪悼蒼磁委秤衫董燕稽包靠膨希硝灸葉欲燼牙艦武沽潭餐茁魂逼響喜桐閏襄勢臉像樣傘高吵噸志軋暢廢吩篙嵌栗昭式向爽爬單帆特北導(dǎo)貞韶跟胺食廄墻橢鳥溪伸媽窄姬眼惹船之螢籌

3、沂呂皺賣井舶浚十關(guān)于均值不等式的探討本科畢業(yè)津嫂聲坤曲紀(jì)截松囂共漿系飼酸潘皚馬孝漫拂筆危籠抨蘿克賢寫橙婪逛鉚盞耙梧祖慰掉捐鑲姻滾艙積鬃柵曲司舟炒癥瓣授燙進(jìn)丫茹靠彌材裕暖往縫娠真首宛鈾菏茵失羨荔鍬信陪圾抿變栗形藹嗓仔瀝架抹咎粳木辜壩符混荊酪胞卑側(cè)幟豫噪讒反疲明帆室綠臟捅非入戎泊棱誕啦徑潞烯箍判僅幌素渭射已逗價(jià)堵伸違宋陡蹤愚振熒騾徽攆責(zé)尼撿背職蒸雖禿胳絞錢例稀搔洶劫楊喻擰督胳叔苔動坎猛撫擱烈躍庚苛辛斌秧痛嗓閨邏哄椅僳雕筷全隆瘩車攬閱盎賈潞巡星緘罕洛奸耕止轟藉撮?？跆讝|惡俺執(zhí)銹枉爛暫殆黎百瑰錠閨悲懊麥瞥嚷砧滬贊直咀村表銘浦由塌職掇逝亂香辮綜蔓俗犧訴始闖友渤海大學(xué)本科畢業(yè)論文渤海大學(xué)本科畢業(yè)論文題目

4、關(guān)于均值不等式的探討the subject of undergraduate graduation project ofdutdiscussion on inequality學(xué)院（系）： 數(shù) 理學(xué)院數(shù)學(xué)系 專業(yè)班級： 數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)10-1 學(xué)號：10020018入學(xué)年制：2010年9月學(xué)生姓名： 李雪琴 指導(dǎo)教師： 宋燕 完成日期：2014年五月2014年 3 月 10 日渤海大學(xué)bohai university摘要不等式主要研究數(shù)的不等關(guān)系,是進(jìn)一步學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的基礎(chǔ),是掌握現(xiàn)代科學(xué)技術(shù)的重要工具。均值不等式是不等式內(nèi)容的重要組成部分,世界上的很多國家,對均值不等式的教學(xué)都有其具體要求,在高中

5、課程標(biāo)準(zhǔn)里面都對這部分內(nèi)容的教學(xué)做了明確的規(guī)定.其內(nèi)容在中學(xué)數(shù)學(xué)課程中也占有十分重要的地位,而國內(nèi)外專門針對該知識點(diǎn)的研究比較少。本文通過實(shí)例講解均值不等式,并延伸擴(kuò)展相關(guān)問題，綜合運(yùn)用并進(jìn)一步探討，將研究均值不等式所得相關(guān)結(jié)果,用以解決最值問題、不等式證明以及實(shí)際生活中的數(shù)學(xué)應(yīng)用的實(shí)際問題。 關(guān)鍵詞均值不等式，最值問題，數(shù)學(xué)應(yīng)用the subject of undergraduate graduation project (thesis) bhudiscussion on inequalityabstractinequality mainly studies several relation

6、s, is the foundation of further study mathematics, is an important tool to master modern science and technology.average inequality is the inequality content is an important part of many countries in the world, the average inequality has its specific requirements, the teaching in senior high school &

7、quot;curriculum standard" for this part of contents of teaching made clear rules. the content in the high school mathematics curriculum also occupies an important position, and the special study of the knowledge is less at inland and abroad.in this paper, through the example explains the mean i

8、nequality, and extending related issues, the integrated use of and further discussion, will study the related results of mean inequality, to solve the problem of the most value, an inequation, and the actual problems of the application of mathematics in actual life.keywords：inequality ，the most valu

9、e issue，the value of mathematics application朗讀顯示對應(yīng)的拉丁字符的拼音字典目錄 引言1 均值不等式及有關(guān)結(jié)論 1.1 均值不等式定義 1.1.1解決最值問題的有效方法均值不等式 1.2 均值不等式結(jié)論 1.1.2拓展均值不等式及其相關(guān)結(jié)論1.3 均值不等式的推廣1.1 3 均值不等式的推廣2 均值不等式的應(yīng)用2.1 應(yīng)用均值不等式的思想方法：待定系數(shù)法2.2 應(yīng)用均值不等式的主要解題技巧2.3 應(yīng)用均值不等式求最值問題2.4 應(yīng)用均值不等式證明不等式問題 2.5 應(yīng)用均值不等式討論數(shù)列極限問題2.5.1均值不等式在極限中的應(yīng)用2.2.2均值不等式在

10、數(shù)列收斂中的應(yīng)用參考文獻(xiàn) 引言均值不等式是數(shù)學(xué)中一個(gè)重要的不等式，它的許多性質(zhì)對解決數(shù)學(xué)問題都有很大幫助，在現(xiàn)實(shí)生活中也有著廣泛的應(yīng)用。可以說均值不等式的發(fā)現(xiàn)，驗(yàn)證和應(yīng)用也是數(shù)學(xué)文化的精髓所在。這對于我們來說是一項(xiàng)巨大的財(cái)富。但是我們要注意，求解最值時(shí)請一定要注意相等條件，若多次利用均值不等式求解最值，則必須注意這些不等式等號成立的條件是否一致，只有在一致的條件下才有可能達(dá)到最值。均值不等式在不等式理論中處于核心地位,是現(xiàn)代分析數(shù)學(xué)中應(yīng)用最廣泛的不等式之一.巧妙地應(yīng)用此不等式在求最值,比較大小,證明不等式等各方面都可得到較為理想的解法.均值不等式的推廣是均值不等式的延伸,也是解題的重要依據(jù)之一

11、.本人在這個(gè)內(nèi)容的實(shí)習(xí)教學(xué)中,引導(dǎo)學(xué)生思維,讓學(xué)生自我發(fā)現(xiàn)并相互探討,尋求到例題的解法,直接或變形后運(yùn)用均值不等式及其相關(guān)結(jié)果,學(xué)生感到很輕松,非常感興趣,并能自覺或不自覺地用聯(lián)系和理解的方法學(xué)習(xí)數(shù)學(xué),對完成學(xué)習(xí)任務(wù)有一種愉快的感覺,學(xué)生在領(lǐng)會知識方面具有一定的獨(dú)立性,能夠舉一反三,觸類旁通,調(diào)動了學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的熱情,對今后的學(xué)習(xí),對素質(zhì)的培養(yǎng),將具有重要的啟迪作用?？傊?對均值不等式的學(xué)習(xí)研究,理解掌握和運(yùn)用,對數(shù)學(xué)問題的解答,對實(shí)際生活和生產(chǎn)實(shí)際中應(yīng)用數(shù)學(xué)問題的處理,對學(xué)生學(xué)習(xí)的能力和素質(zhì)的培養(yǎng),都具有極為重要的意義。1、 均值不等式及有關(guān)結(jié)論1.1 均值不等式定義如果是正數(shù),那么,當(dāng)

12、且僅當(dāng)時(shí)取“ = ”號。即兩個(gè)正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù)。這個(gè)不等式,我們通常把它稱為均值不等式，是高中新教材第六章教學(xué)的重點(diǎn),也是難點(diǎn)。對均值不等式的深刻理解和掌握,弄清楚其運(yùn)用條件,便能在解題中快速找到突破口,進(jìn)而找到正確解決問題的方法。1.1.1解決最值問題的有效方法均值不等式對均值不等式認(rèn)真觀察分析知道,若兩個(gè)正數(shù)的積為常數(shù),當(dāng)且僅當(dāng)它們相等時(shí),它們的和有最小值;若兩個(gè)正數(shù)的和為常數(shù),當(dāng)且僅當(dāng)它們相等時(shí),它們的積有最大值。最值問題在此便略有體現(xiàn)。經(jīng)研究后,歸納出3個(gè)用均值不等式求最值問題的適用條件。條件1:在所求最值的代數(shù)式中,各變數(shù)都是正數(shù),否則變號轉(zhuǎn)換;條件2:各變數(shù)的

13、和或積要為常數(shù),以確保不等式的一端為定值,否則執(zhí)行拆項(xiàng)或添項(xiàng)變形;條件3:各變數(shù)必須有相等的可能。一個(gè)題目同時(shí)滿足上述三個(gè)條件,或者可以變形成適合以上條件的,便可用均值不等式求,這就幫助學(xué)生在解題時(shí)迅速找到了突破口,從而找到正確方法,快速簡易地求最值。下面舉出一些實(shí)例：例1:已知,求代數(shù)式的最小值解：故滿足條件的代數(shù)式的最小值是9。例2:若,則函數(shù) = 的最大值是.解: = =，故的最大值是4例3:代數(shù)式的最小值是_ 解: =1=3故的最小值是3。例4:求函數(shù) =的值域 解: ，故函數(shù)的值域?yàn)?。例5:過點(diǎn)作直線l交x , y軸正向于a, b 兩點(diǎn), 求l的方程,使三角形aob 的面積最小。

14、解:設(shè)直線l的方程為 , 與軸交點(diǎn)為, 與軸交點(diǎn)為 ,其中.則，, 于是 當(dāng)且僅當(dāng)= - ,即 = - 時(shí),三角形aob 的面積的最小值為4.故l的方程為1.2均值不等式結(jié)論1.2.1拓展均值不等式及其相關(guān)結(jié)論1.1.3. 1均值不等式的拓展以上所談均值不等式,都是針對兩個(gè)正數(shù)而言,推廣到任意的n個(gè)正數(shù)也有均值不等式當(dāng)且僅當(dāng) 時(shí)取等號,在中學(xué)教材中,大都是用兩個(gè)正數(shù)的均值不等式,有時(shí)也用三個(gè)正數(shù)的均值不等式,其不等式形式為:已知為正數(shù),則,該式的證明在高二教材第24頁有說明,其應(yīng)用條件仍與兩個(gè)正數(shù)的均值不等式的三個(gè)條件相同。有些問題,表面只給出兩個(gè)正數(shù),需要巧妙地拆開部分項(xiàng),形成三個(gè)或者三個(gè)以

15、上的正數(shù),才能湊成這些正數(shù)的“和”或“積”為定值,再用多個(gè)正數(shù)的均值不等式求解。下面舉兩個(gè)例子說明.例8:若 ,求的最小值.解：所以 最小值為6。例9:已知= 2,求的最小值,并求的值。解：當(dāng)且僅當(dāng),即時(shí),上式取等號。故取最小值是3。由 解得即當(dāng)時(shí), 取得最小值31.1.3. 2研究均值不等式所得結(jié)果對a > 0, b > 0,作進(jìn)一步研究,顯然有,又由于等價(jià)的均值不等式 因此,對于a > 0, b > 0,有三個(gè)重要結(jié)論: ; 當(dāng)且僅當(dāng)a = b時(shí),上面三式取等號,這三個(gè)式子雖然是由均值不等式推廣而得,但掌握并應(yīng)用于解題之中,有時(shí)候比均值不等式更有效,起到事半功倍的效

16、果。下面舉幾個(gè)例子予以說明:例10:已知a0, b0, a + b = 1,求代數(shù)式的最大值解:由得。故滿足條件的最大值是。例11:已知a > b > 0,求的最小值。解:由式得, 所以,故的最小值是16。例12:若a + b + c = 1,且a, b, c ,求的最小值。解:由式得 所以 =例13:一段長為l的籬笆圍成一個(gè)一邊靠墻的矩形菜園,問這個(gè)矩形的長、 各為多少時(shí),菜園的面積最大,最大的面積是多少?解:設(shè)矩形的長為x,則寬為，于是,菜園面積為:當(dāng)且僅當(dāng)x =l - x,即時(shí)取等號。這時(shí)寬為故這個(gè)菜園的長為,寬為 時(shí),菜園面積最大,最大面積是1.3均值不等式的推廣1.3.1

17、 引言均值不等式在不等式理論中處于核心地位,是現(xiàn)代分析數(shù)學(xué)中應(yīng)用最廣泛的不等式之一.巧妙地應(yīng)用此不等式在求最值,比較大小,證明不等式等各方面都可得到較為理想的解法.均值不等式的推廣是均值不等式的延伸,也是解題的重要依據(jù)之一.定理a(均值不等式) 設(shè)為n 個(gè)正數(shù),則其算術(shù)平均,幾何平均與調(diào)和平均有: 引理(jensen 不等式）若函數(shù)f在區(qū)間i上存在二階導(dǎo)數(shù),且有f"(x)0,則有其中xii,qi >0,i=1,2,n,且=1,當(dāng)且僅當(dāng)x1 q1=x2 q2=xnqn時(shí)等號成立;若f"(x)0,不等式反號.1.3.2 主要結(jié)論定理1 設(shè) 0， 0，i1，2，n,則 (1

18、)當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號成立； (2)當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號成立。證明 設(shè)f（x）lnx，x（0，+）,則f"（x）= <0,即f（x）=lnx 在x（0，+）內(nèi)是嚴(yán)格凸函數(shù).由>0,i >0,i=1,2,n,且 (3)由jensen 不等式得 由y=lnx 的單調(diào)性知 由jensen 不等式取等號的條件知,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)上式等號成立.由于 >0, >0,i=1,2,n 及(3)式,運(yùn)用jensen 不等式得從而有由jensen 不等式取等號的條件知,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)上式等號成立.注1:當(dāng) 時(shí),定理1 即為定理a(均值不等式) 推論1 設(shè)>0, >0,i=1,2,n,

19、則 (4)當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號成立； （5）當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號成立證明 由, 0，i=1,2,n,及(1)得即由定理1 知,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)上式等號成立.由，i=1,2,n,及(2)得即由定理1 知,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)上式等號成立.推論1 得證推論2 設(shè) 0， 0，i=1,2,n,且,則有當(dāng)且僅當(dāng)?shù)忍柍闪ⅲ划?dāng)且僅當(dāng)?shù)忍柍闪?注2：當(dāng)q=1時(shí)，則有當(dāng)且僅當(dāng)?shù)忍柍闪?當(dāng)且僅當(dāng)?shù)忍柍闪?例1 試證對任意正數(shù)a，b，c,d，有證明 在(4)中令n3,得令 , , , , 得 例2 設(shè)n 為自然數(shù),n2, 試證證明 由(5)得取i，1 ，i1，2，n,由(6)得又取i，1 ，i1，2，n,由(6)得從而有2均值不等式的應(yīng)用2.

20、1應(yīng)用均值不等式的思想方法：待定系數(shù)法不等式是高中數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容, 均值不等式是不等式進(jìn)行變形的一個(gè)重要依據(jù), 在應(yīng)用時(shí)不僅要牢記三個(gè)條件“正、定、等”, 而且要善于根據(jù)均值不等式的結(jié)構(gòu)特征,創(chuàng)設(shè)應(yīng)用均值不等式的條件,利用待定系數(shù)法湊定值是常用的解題技巧, 本文舉例說明.例1 已知a > 0 , b > 0 ,且a + b = 1 ,求的最小值.解設(shè)m > 0 ,則由題設(shè)及均值不等式可知: (1)(1) 式當(dāng)且僅當(dāng),即時(shí)取等號.又,即,亦即 (2)顯然(1) , (2) 同時(shí)取等號的充要條件是 解之得m = 16. 代入(1) 得:.故當(dāng)且僅當(dāng)時(shí), 取到最小值.例2 若a,且

21、a + b = 1. 求證: 證明設(shè)m > 0 ,則.由均值不等式得. (1)其中當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號.同理可得: (2)其中當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號.顯然(1) , (2) 同時(shí)取等號的充要條件是.由于a + b = 1 , 故可解得將m = 1 代入(1) , (2) ,并將兩式相加得即2.2 運(yùn)用均值不等式解題的主要技巧利用均值不等式解題的關(guān)鍵是湊“ 定和”和“定積”，此時(shí)往往需要采用“ 拆項(xiàng)、補(bǔ)項(xiàng)、平衡系數(shù)”等變形技巧找到定值，再利用均值不等式來求解，使復(fù)雜問題簡單化，收到事半功倍的效果!2.2.1 拆項(xiàng)例1（原人教版課本習(xí)題）已知n>0, 求證：證明：因?yàn)閚>0，所以 當(dāng)且僅當(dāng)

22、n=2 時(shí)等號成立!2.2.2 拆冪例2 (1993年全國高考題）如果圓柱軸截面的周長為定值，那么圓柱體積的最大值（） a b. c. d. 解 設(shè)圓柱底面半徑為r，高為h，則2h+4r= ，即 所以 ，故選 a.2.2.3 升冪例2 設(shè)，求的最大值. 解 因?yàn)?，所?，所以 所以當(dāng)且僅當(dāng)即tanx=時(shí)等號成立，故.2.2.4 整體代換 例4 已知，且x+2y=1，求證：證明：因?yàn)?，x+2y=1，所以. 當(dāng)且僅當(dāng)，即，時(shí)等號成立.1.3.5 平衡系數(shù)2.2.5 分離取倒數(shù)2.2.6換元解 令，則， 當(dāng)t=0時(shí)，y=0;當(dāng)t>0時(shí)，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號.所以當(dāng)時(shí)函數(shù)取最大值.總之，我們利用

23、均值不等式求最值時(shí)，一定要注意“一正二定三等”，同時(shí)還要注意一些變形技巧，靈活運(yùn)用均值不等式.2.3 應(yīng)用均值不等式求最值問題均值不等式 ( a > 0 , b > 0 , 當(dāng)且僅當(dāng)a = b時(shí)等號成立) 是一個(gè)重要的不等式,利用它可以求解函數(shù)最值問題. 對于有些題目,可以直接利用公式求解. 但有些題目必須進(jìn)行必要的變形才能利用,下面是一些常用的變形技巧.2.3.1 配湊1) 湊系數(shù)例1 當(dāng)0 < x < 4 時(shí),求 = x (8 - 2 x) .解析由0 < x < 4 , 有8 - 2 x > 0 , 利用均值不等式求最值,必須和為定值或積為定值,

24、此題為2 個(gè)式子的積的形式,但其和不是定值. 注意到2 x + (8 - 2 x) = 8 為定值,故只需將y = x (8 - 2 x) 湊上一個(gè)系數(shù)即可. ,當(dāng)且僅當(dāng)2 x = 8 - 2 x 即x = 2 時(shí)取等號,所以當(dāng)x = 2時(shí), y = x (8 - 2 x) 的最大值為8.點(diǎn)評本題無法直接運(yùn)用均值不等式求解,但湊上系數(shù)后即可得到和為定值, 就可利用均值不等式求得最大值.2) 湊項(xiàng)例2 已知 ,求函數(shù)的最大值.解析由已知4 x - 5 < 0 ,首先調(diào)整符號,因?yàn)椴皇嵌ㄖ?故需對4 x - 2 進(jìn)行湊項(xiàng)得到定值. 因?yàn)?所以5 - 4 x > 0 ,.當(dāng)且僅當(dāng)即x =

25、 1 時(shí)等號成立.點(diǎn)評本題需要調(diào)整項(xiàng)的符號,又要配湊項(xiàng)的系數(shù),使其積為定值.3) 分離例3 求的值域.解析本題看似無法運(yùn)用均值不等式, 如將分子配方湊出( x + 1) ,再將其分離.當(dāng)x + 1 > 0 ,即x > -1 時(shí), (當(dāng)且僅當(dāng)x = 1 時(shí)取“ = ”號) .當(dāng)x + 1 < 0 ,即x < - 1 時(shí),(當(dāng)且僅當(dāng)x = - 3 時(shí)取“= ”號) .故所求的值域?yàn)? - ,1 9 , + ) .點(diǎn)評分式函數(shù)求最值,通?；?( a > 0 , m > 0 , g ( x) 恒正或恒負(fù)) 的形式,然后運(yùn)用均值不等式來求.2.3.2整體代換例4 已

26、知a > 0 , b > 0 , a + 2b = 1 ,求的最小值.解析當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取“ = ”號.由 ,得,即時(shí),的最小值為.點(diǎn)評本題巧妙運(yùn)用“1”的代換,得到,而與的積為定值,即可用均值不等式求得的最小值.2.3.3 換元例5 求函數(shù)的最大值.解析變量代換,令 ,則 ( t 0) ,則,當(dāng)t = 0 時(shí), y = 0 ,當(dāng)t > 0 時(shí), , 當(dāng)且僅當(dāng), 即 時(shí)取“= ”號, 所以時(shí), .點(diǎn)評本題通過變量代換,使問題得到了簡化,而且將問題轉(zhuǎn)化成熟悉的分式型函數(shù)的最值問題,從而為構(gòu)造積為定值創(chuàng)設(shè)有利條件.1.5.4取平方例6 求函數(shù) 的最大值.解析注意到2 x - 1 與5

27、 - 2 x 的和為定值,.又y > 0 ,所以,當(dāng)且僅當(dāng)2 x - 1 = 5 -2 x ,即 時(shí)取“ = ”號,所以點(diǎn)評本題將解析式2 邊平方構(gòu)造出“和為定值”,為利用均值不等式創(chuàng)造了條件.總之,我們利用均值不等式求最值時(shí),一定要注意“一正二定三相等”,同時(shí)還要注意一些變形技巧,積極創(chuàng)造條件利用均值不等式.2.4應(yīng)用均值不等式證明不等式問題一般不等式的證明,常?？紤]比較法、綜合法、分析法,這是高中比較常用的方法,但有些不等式運(yùn)用上述方法不好入手,故考慮均值不等式或者均值不等式與綜合法相結(jié)合,這樣處理,常常使復(fù)雜問題簡單化,從而達(dá)到證明的目的。下面舉兩個(gè)例子予以說明。例6:已知a, b

28、, c為互不相等的正數(shù),且abc = 1求證: 證明: 故原不等式得證例7:證: 證明: 由均值不等式得 ， 以上三式相加,得 原不等式得證。 2.5應(yīng)用均值不等式討論數(shù)列極限問題2.5.1均值不等式在極限中的應(yīng)用極限是高等數(shù)學(xué)中的重要內(nèi)容， 極限理論是高等數(shù)學(xué)中的基礎(chǔ)理論。高等數(shù)學(xué)中有許多重要的概念都是以極限形式來定義的。而極限概念是用不等式描述的。這就決定了不等式運(yùn)算是高等數(shù)學(xué)中最基本的運(yùn)算之一， 因此作為基本重要不等式之一的均值不等式在解決高等數(shù)學(xué)的問題中發(fā)揮著及其重要的作用，下面舉例詳細(xì)說明：2.5.1.1 證明重要極限的存在性。 證明：先證數(shù)列單調(diào)遞增。令，則由均值不等式得 即 所以

29、數(shù)列單調(diào)遞增。再證數(shù)列有上界。下面的證明可以看到一個(gè)更強(qiáng)的命題： 數(shù)列以（ k 為正整數(shù)） 為上界。先證不等式：當(dāng)n>k 時(shí)，.設(shè) ，.由均值不等式 因此， 其次由，有當(dāng)n>k 時(shí)， 任取一個(gè)正整數(shù)k，均是數(shù)列的上界。又?jǐn)?shù)列單調(diào)遞增， 當(dāng)nk 時(shí)， 不等式仍然成立。因此， 對于數(shù)列（ n=1，2） 恒有（ k 為正整數(shù)） 。任意選定一個(gè)k值，均是數(shù)列的上界。所以數(shù)列單調(diào)有界， 由單調(diào)有界定理， 數(shù)列極限存在。設(shè)極限值為e，即.由上面的證明，我們不難用均值不等式證明：數(shù)列極限存在且其極限也是e。證明如下：記所以數(shù)列 單調(diào)減少，且 數(shù)列收斂，且極限也是e。由上面的結(jié)果有，兩邊取對數(shù)有由

30、此可以證明數(shù)列收斂。（ 其極限稱為euler 數(shù)）2.5.1.2 求極限解：利用因?yàn)橛校?.5.1.3 證明積分不等式例1 2 證明：若函數(shù)f（ x） 在 a，b 連續(xù)，且x a，b ，有f（ x）>0，則證明：利用的變形.由已知條件：與在 a，b 上均可積。應(yīng)用積分定義，將區(qū)間 a，b 進(jìn)行n 等分。取極限（ n） 則有例2 2 證明：若函數(shù)在 a，b 上是正值可積的，k=1，2n，且0<a<b，則證明：利用有于是：即2.5.1.4 證明積分不等式例1 2 證明：若函數(shù)f（ x） 在 a，b 連續(xù)，且x a，b ，有f（ x）>0，則證明：利用的變形.由已知條件：與

31、在 a，b 上均可積。應(yīng)用積分定義，將區(qū)間 a，b 進(jìn)行n 等分。取極限（ n） 則有例2 2 證明：若函數(shù)在 a，b 上是正值可積的，k=1，2n，且0<a<b，則證明：利用有于是：即例3 設(shè)f （ x） 在 ， 上非負(fù)連續(xù)， 證明：證明：由題設(shè)知f（ x） ，1nf（ x） 在 ， 上可積，將 ， n 等分，作積分和 所以由均值不等式得故注1： 此例中的結(jié)論僅僅是著名的jensen 不等式的一個(gè)特例。注2：jensen 不等式： 設(shè) 是在集 內(nèi)的代數(shù) 上的正測度，使得（ ） ，若f 是內(nèi)的實(shí)函數(shù)，對所有的x，a<f（ x） <b，且 是在（ a，b） 上是凸的，則2

32、.5.2均值不等式在數(shù)列收斂中的應(yīng)用在證數(shù)列收斂時(shí),文獻(xiàn) 1 中引入的不等式, 不易想到, 缺少一定分析過程.文獻(xiàn) 2 中用到二項(xiàng)式展開式,過程較為繁瑣. 然而利用均值不等式結(jié)合單調(diào)有界定理證明此問題,分析思路清晰,過程簡潔,便于理解.2.5.2.1單調(diào)有界定理與均值不等式為討論方便,將文獻(xiàn) 1 中定理2. 9和文獻(xiàn)3 中的均值不等式引述如下定理1(單調(diào)有界定理) 在實(shí)系數(shù)中,有界的單調(diào)數(shù)列必有極限.推論1在實(shí)系數(shù)中,遞增有上界的數(shù)列必有極限.推論2在實(shí)系數(shù)中,遞減有下界的數(shù)列必有極限.定理2(均值不等式) 設(shè) 為n個(gè)正實(shí)數(shù),則有 (其中“ =”當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)成立) .3.4.2均值不等式在數(shù)列收

33、斂證明中的應(yīng)用問題一:證明數(shù)列收斂證明由, 猜想數(shù)列為單調(diào)遞增數(shù)列,需證, 即證因?yàn)?其中> 0. 由定理2有 其中 1,故“ =”不成立,所以數(shù)列為單調(diào)遞增數(shù)列,又因?yàn)?其中,故“ =”不成立,故,即上式對一切偶數(shù)成立, 又為單調(diào)遞增數(shù)列, 故對一切正整數(shù)n, 有< 4, 故有上界.根據(jù)定理1推論1,數(shù)列收斂.下面利用這種方法給出另外兩個(gè)問題的證明方法.問題二:證明數(shù)列收斂.證明比較數(shù)列前幾項(xiàng), 猜想數(shù)列為單調(diào)遞減數(shù)列, 下面需要證明, 即.由定理2下面證明化簡得 ,即顯然成立.故,所以數(shù)列為單調(diào)遞減數(shù)列. 又顯然> 0,則數(shù)列有下界.根據(jù)定理1推論2,數(shù)列收斂.問題三:證

34、明數(shù)列收斂證明由猜想數(shù)列為單調(diào)遞增數(shù)列, 需證. 即要證,又.由定理2,所以.下面要明證化簡得: ,即有: ,顯然成立.因此, 故數(shù)列為單調(diào)遞增數(shù)列. 又,由問題一知. 所以數(shù)列有上界.由定理1推論1,數(shù)列收斂.綜上問題的證明過程中,有一定的分析的思路,過程簡潔,比較容易理解.參考文獻(xiàn) 1 陳益琳.高中教學(xué)導(dǎo)練(高二)m.北京:冶金工業(yè)出版社, 2004 2 匡繼昌.常用不等式m.濟(jì)南：山東科學(xué)技術(shù)出版社,2004 3 劉鴻雁.由jensen不等式導(dǎo)出某些重要不等式j(luò).成都大學(xué)學(xué)報(bào),2003（22、4）：32-35 4 藍(lán)興蘋.均值不等式的推廣與應(yīng)用j.云南民族大學(xué)學(xué)報(bào),2006(15、1）：22-24 5 張志華.個(gè)正數(shù)的算術(shù)-指數(shù)-對數(shù)-幾何平均不等式m.長沙：湖南教育出版社，1992 6 王良成.凸函數(shù)及其不等式m.成都：四川大學(xué)出版社,2001 7 (·t·施勒伊費(fèi)爾(王玉懷譯