湖北省孝感市2013年高考數(shù)學(xué)備考資料 研究專題4（必修2）：關(guān)于課本習(xí)題解法的探究與推廣

1、關(guān)于課本習(xí)題解法的探究與推廣葉曉斌（湖北孝感一中）摘要：課本習(xí)題是以鞏固學(xué)生所學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)為目的而設(shè)計(jì)的，具有較強(qiáng)的代表性、典型性和實(shí)用性。深入探究課本習(xí)題，挖掘習(xí)題本質(zhì)，尋找解題一般規(guī)律，不僅有利于新課標(biāo)下學(xué)生自主探究、自主學(xué)習(xí)能力的培養(yǎng)，而且有利于學(xué)生拓展視野，發(fā)散思維，進(jìn)而形成解題策略。為此，本文從課本的兩道習(xí)題出發(fā)，探究了這兩道習(xí)題的新解法，并且分別將其推廣到更一般的情形，最終得出一般性的結(jié)論。關(guān)鍵詞：課本習(xí)題 三角函數(shù) 研究性學(xué)習(xí) 推廣一、不同的三角函數(shù)名比較大小題目1 （高中數(shù)學(xué)人教版必修4第69頁第11題第（2）小問）先比較大小，再用計(jì)算器求值：（2），。解：首先利用誘導(dǎo)公式把任意

2、角的三角函數(shù)轉(zhuǎn)化為銳角三角函數(shù)：，。其次，比較與的大?。呵艺液瘮?shù)在上是單調(diào)遞增的 即 .然后，比較與的大?。?又 由得： 因而有： 即1 / 4最后，比較與的大?。?， 即綜上所述，我們得到：。點(diǎn)評：關(guān)于本題的解答在配套的人教版教師教學(xué)用書以及各教輔資料上僅僅給出計(jì)算機(jī)算出來的答案，并沒有詳細(xì)的解答過程。以上解法是本人根據(jù)教學(xué)實(shí)際情況為學(xué)生講解本題的一種方法，與各位同行分享。由于三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式可以將任意角的三角函數(shù)轉(zhuǎn)化為銳角的三角函數(shù)，因而任意角的不同三角函數(shù)之間比較大小的問題可以歸結(jié)為：在區(qū)間上，比較，的大小。我們知道，在區(qū)間上，；在區(qū)間上，；在區(qū)間上，。因此，該問題的關(guān)鍵是在區(qū)間上比

3、較與的大小。事實(shí)上，構(gòu)造函數(shù)，其中，則：，即函數(shù)在內(nèi)為單調(diào)遞減的。又， 即 而 即. 這表明當(dāng)時(shí)，.故當(dāng)時(shí)，即；當(dāng)時(shí)，即.結(jié)論1：在區(qū)間 內(nèi)， 當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.二、充分挖掘題目隱含條件題目2 （高中數(shù)學(xué)人教版必修4第137頁第8題）在中，求的值。解：在中， 由 及得：又 或 若當(dāng)時(shí)，此時(shí)不滿足三角形的內(nèi)角和為，故應(yīng)舍去。 即 .點(diǎn)評：上述解法充分運(yùn)用了題目條件，適當(dāng)?shù)姆趴s不等式，進(jìn)而求出和的取值范圍，然后根據(jù)三角形內(nèi)角和為進(jìn)行驗(yàn)算并舍去多余的解。針對上述問題，什么時(shí)候僅有一解，什么時(shí)候有兩解呢？一般地，在中，若,且,，求的值。事實(shí)上，（1）當(dāng)即時(shí)， 為銳角且在中，應(yīng)用正弦定理得 且（2）當(dāng)即時(shí)，類似地，我們應(yīng)用正弦定理可以得到：.而在中，由知，存在兩個(gè)角、，其中、，使得，且，且，.這表明，在中，角、均滿足與角的和小于?；蚧?結(jié)論2：在中，若，且，求的值。(1) 當(dāng)即時(shí)，該題僅有一解，且；(2) 當(dāng)即時(shí)， 該題有兩解，且或.參考文獻(xiàn)1 普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書數(shù)學(xué)必修4M北京：人民教育出版社，2007.2 普通高