湘教版九年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)知識(shí)點(diǎn)歸納總結(jié)

1、九年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)第一章 反比例函數(shù)（一）反比例函數(shù) 1（）可以寫(xiě)成（）的形式，注意自變量x的指數(shù)為，在解決有關(guān)自變 量指數(shù)問(wèn)題時(shí)應(yīng)特別注意系數(shù)這一限制條件； 2（）也可以寫(xiě)成xy=k的形式，用它可以迅速地求出反比例函數(shù)解析式中的k，從而 得到反比例函數(shù)的解析式；（二）反比例函數(shù)的圖象與性質(zhì)1函數(shù)解析式：（）2自變量的取值范圍：3圖象：反比例函數(shù)的圖象：在用描點(diǎn)法畫(huà)反比例函數(shù)的圖象時(shí)，應(yīng)注意自變量x的取值不能為0， 且x應(yīng)對(duì)稱(chēng)取點(diǎn)（關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)）（1）圖象的形狀：雙曲線(xiàn)越大，圖象的彎曲度越小，曲線(xiàn)越平直越小，圖象的彎曲度越大（2）圖象的位置和性質(zhì)：自變量，函數(shù)圖象與x軸、y軸無(wú)交點(diǎn)，兩條坐標(biāo)軸是雙

2、曲線(xiàn)的漸近線(xiàn) 當(dāng)時(shí)，圖象的兩支分別位于一、三象限；在每個(gè)象限內(nèi)，y隨x的增大而減??； 當(dāng)時(shí)，圖象的兩支分別位于二、四象限；在每個(gè)象限內(nèi)，y隨x的增大而增大（3）對(duì)稱(chēng)性：圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，若（a，b）在雙曲線(xiàn)的一支上，（，）在雙曲線(xiàn)的另一支上 圖象關(guān)于直線(xiàn)對(duì)稱(chēng)，即若（a，b）在雙曲線(xiàn)的一支上，則（，）和（，）在 雙曲線(xiàn)的另一支上4k的幾何意義: 如圖1，設(shè)點(diǎn)P（a，b）是雙曲線(xiàn)上任意一點(diǎn)，作PAx軸于A(yíng)點(diǎn)，PBy軸于B點(diǎn)，則矩形PBOA的面積是（三角形PAO和三角形PBO的面積都是）如圖2，由雙曲線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)性可知，P關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)Q也在雙曲線(xiàn)上，作QCPA的延長(zhǎng)線(xiàn)于C，則有三角形PQC的面積為

3、圖1 圖2 5說(shuō)明：（1）雙曲線(xiàn)的兩個(gè)分支是斷開(kāi)的，研究反比例函數(shù)的增減性時(shí)，要將兩個(gè)分支分別討論，不能一概而論（2）直線(xiàn)與雙曲線(xiàn)的關(guān)系：當(dāng)時(shí)，兩圖象沒(méi)有交點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，兩圖象必有兩個(gè)交點(diǎn)，且這兩個(gè)交點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)成中心對(duì)稱(chēng)（三）反比例函數(shù)的應(yīng)用1、求函數(shù)解析式的方法：（1）待定系數(shù)法；（2）根據(jù)實(shí)際意義列函數(shù)解析式2、反比例函數(shù)與一次函數(shù)的聯(lián)系 3、充分利用數(shù)形結(jié)合的思想解決問(wèn)題第二章 一元二次方程 （一）一元二次方程 1、只含有一個(gè)未知數(shù)的整式方程（分母不含未知數(shù)），且都可以化為（a、b、c為常 數(shù)， a0）的形式，這樣的方程叫一元二次方程。 2、把（a、b、c為常數(shù)，a0）稱(chēng)為一元二次方程的一般

4、式，a為二次項(xiàng)系數(shù)；b為一次項(xiàng)系數(shù)；c為常數(shù)項(xiàng)（包括符號(hào)）。 （二）一元二次方程的解法 1、直接開(kāi)平方法：如果方程化成的形式，那么可得； 如果方程能化成 (p0)的形式，那么進(jìn)而得出方程的根。 2、配方法：配方式 基本步驟：把方程化成一元二次方程的一般形式；將二次項(xiàng)系數(shù)化成1；把常數(shù)項(xiàng)移到方程 的右邊；兩邊加上一次項(xiàng)系數(shù)的一半的平方；把方程轉(zhuǎn)化成左邊為一個(gè)完全平方式， 右邊化為一個(gè)常數(shù)；兩邊開(kāi)方求其根。 3、公式法 （注意在找a、b、c時(shí)須先把方程化為一般形式） 4、分解因式法 把方程的一邊變成0，另一邊變成兩個(gè)一次因式的乘積來(lái)求解。（主要包括“提公因式” 和“十字相乘”）（3） 一

5、元二次方程根的判別式 判別式=b2-4ac與根的關(guān)系： 當(dāng)b2-4ac>0時(shí)，則方程有兩個(gè)不等的實(shí)數(shù)根； 當(dāng)b2-4ac=0時(shí)，則方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根； 當(dāng)b2-4ac0時(shí)，則方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根； 當(dāng)b2-4ac<0時(shí)，則方程無(wú)實(shí)數(shù)根（，上述結(jié)論反之也成立，但注意都同時(shí)要滿(mǎn)足二次項(xiàng)系數(shù)a0） （四）一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系：1、根與系數(shù)關(guān)系：如果一元二次方程的兩根分別為x1、x2， 則有： .（韋達(dá)定理）2、一元二次方程的兩根與系數(shù)的關(guān)系的作用： （1）已知方程的一根，求另一根； （2）不解方程，求二次方程的根x1、x2的對(duì)稱(chēng)代數(shù)式的值，特別注意以下公式： 其他能用或表達(dá)的代數(shù)式

6、。 （3）已知方程的兩根x1、x2，可以構(gòu)造一元二次方程：， （4）已知兩數(shù)x1、x2的和與積，求此兩數(shù)的問(wèn)題，可以轉(zhuǎn)化為求一元二次方程 的兩根。（五）一元二次方程的應(yīng)用1、配方法作用：一元二次方程配方可以解該方程：（a0）（兩邊同時(shí)除以a得） （一次項(xiàng)系數(shù)除以2并寫(xiě)成完全平方式得） （可作為公式記憶） 。2、二次代數(shù)式配方可以求最值（應(yīng)用題?？迹?二次代數(shù)式 提取二次項(xiàng)系數(shù)a得 （不能同時(shí)除以二次項(xiàng)系數(shù)a） 合并常數(shù)項(xiàng)得 （作為公式記憶，一步化到位）此時(shí)可知當(dāng)時(shí)，有最大值（）最大值為 當(dāng)時(shí)，有最小值（）最小值為 3、平均增長(zhǎng)率問(wèn)題:（設(shè)月增長(zhǎng)率為）一月產(chǎn)量為，二、三月平均增長(zhǎng)率為，三月產(chǎn)量

7、為，則有一月產(chǎn)量為，二、三月平均增長(zhǎng)率為，第一季度產(chǎn)量為，則有 4、翻幾番增長(zhǎng)率問(wèn)題：（設(shè)年增長(zhǎng)率為）兩年翻一番 ，則 ， 解得 （次數(shù)2是指兩年翻了兩次，翻一番指起初數(shù)量a變成2a）兩年翻兩番，則 ，解得 （次數(shù)2是指兩年翻了兩次，翻一番指起初數(shù)量a變成2a，再翻一番就變成了4a）5、互相握手、互相送禮問(wèn)題：互相握手： （是指人數(shù)）互相送禮： （是指人數(shù)）6、漲價(jià)總利潤(rùn)問(wèn)題：（設(shè)漲價(jià)元）總利潤(rùn)=（定價(jià)+上漲價(jià)格進(jìn)價(jià)）（原銷(xiāo)量）7、降價(jià)總利潤(rùn)問(wèn)題：（設(shè)降價(jià)元）總利潤(rùn)=（定價(jià)降價(jià)價(jià)格進(jìn)價(jià)）（原銷(xiāo)量+ ） 第三章 圖形的相似（一）比例線(xiàn)段 1、比例線(xiàn)段的相關(guān)概念如果選用同一長(zhǎng)度單位量得兩條線(xiàn)段a，

8、b的長(zhǎng)度分別為m，n，那么就說(shuō)這兩條線(xiàn)段的比是，或?qū)懗蒩：b=m：n在兩條線(xiàn)段的比a：b中，a叫做比的前項(xiàng)，b叫做比的后項(xiàng)。 在四條線(xiàn)段中，如果其中兩條線(xiàn)段的比等于另外兩條線(xiàn)段的比，那么這四條線(xiàn)段叫做成比例線(xiàn) 段，簡(jiǎn)稱(chēng)比例線(xiàn)段若四條a，b，c，d滿(mǎn)足或a：b=c：d，那么a，b，c，d叫做組成比例的項(xiàng)，線(xiàn)段a，d叫做比例外項(xiàng)，線(xiàn)段b，c叫做比例內(nèi)項(xiàng)，線(xiàn)段的d叫做a，b，c的第四比例項(xiàng)。如果作為比例內(nèi)項(xiàng)的是兩條相同的線(xiàn)段，即或a：b=b：c，那么線(xiàn)段b叫做線(xiàn)段a，c 的比例中項(xiàng)。2、比例的性質(zhì) （1）基本性質(zhì)a：b=c：dad=bc a：b=b：c （2）更比性質(zhì)（交換比例的內(nèi)項(xiàng)或外項(xiàng)） （交換

9、內(nèi)項(xiàng)） （交換外項(xiàng)） （同時(shí)交換內(nèi)項(xiàng)和外項(xiàng)）（3）反比性質(zhì)（交換比的前項(xiàng)、后項(xiàng)）：（4）合比性質(zhì)：（5）等比性質(zhì)：3、黃金分割把線(xiàn)段AB分成兩條線(xiàn)段AC，BC（AC>BC），并且使AC是AB和BC的比例中項(xiàng)，叫做把線(xiàn)段AB黃金分割，點(diǎn)C叫做線(xiàn)段AB的黃金分割點(diǎn)值得關(guān)注的近似數(shù)：假設(shè) 則AC0.618 BC=AD0.382） A C B 定義： ()（二）平行線(xiàn)分線(xiàn)段成比例 三條平行線(xiàn)截兩條直線(xiàn)，所得的對(duì)應(yīng)線(xiàn)段成比例。如圖：如圖，因?yàn)锳DBECF， 所以AB：BC=DE：EF； AB：AC=DE：DF； BC：AC=EF：DF。 也可以說(shuō)AB：DE=BC：EF； AB：DE=AC：DF；

10、BC：EF=AC：DF推論：（1）平行于三角形一邊的直線(xiàn)截其他兩邊（或兩邊的延長(zhǎng)線(xiàn)），所得的對(duì)應(yīng)線(xiàn)段成比例。逆定理：如果一條直線(xiàn)截三角形的兩邊（或兩邊的延長(zhǎng)線(xiàn)）所得的對(duì)應(yīng)線(xiàn)段成比例，那么這條直線(xiàn)平行于三角形的第三邊。（2）平行于三角形一邊且和其他兩邊相交的直線(xiàn)截得的三角形的三邊與原三角形的三邊對(duì)應(yīng)成比例。（三）相似圖形 1、對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊的比相等的兩個(gè)圖形就叫相似圖形。 2、相似多邊形：（1）如果兩個(gè)邊數(shù)相同的多邊形的對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊成比例，那么這兩個(gè)多邊形叫 做相似多邊形。相似多邊形對(duì)應(yīng)邊的比叫做相似比（或相似系數(shù)） （2）相似多邊形的性質(zhì)：相似多邊形的對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊成比例 相似多

11、邊形周長(zhǎng)的比、對(duì)應(yīng)對(duì)角線(xiàn)的比都等于相似比 相似多邊形中的對(duì)應(yīng)三角形相似，相似比等于相似多邊形的相似比 相似多邊形面積的比等于相似比的平方（四）相似三角形的判定和性質(zhì)1、相似三角形的概念 對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊成比例的三角形叫做相似三角形。相似用符號(hào)“”來(lái)表示，相似三角形對(duì) 應(yīng)邊的比叫做相似比（或相似系數(shù)）。2、相似三角形的基本定理 （1）反身性：對(duì)于任一ABC，都有ABCABC； （2）對(duì)稱(chēng)性：若ABCABC，則ABCABC （3）傳遞性：若ABCABC，并且ABCABC，則ABCABC。3、三角形相似的判定（1）三角形相似的判定方法 定義法：對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊成比例的兩個(gè)三角形相似 平行法：平行

12、于三角形一邊的直線(xiàn)和其他兩邊（或兩邊的延長(zhǎng)線(xiàn)）相交，所構(gòu)成的三角形與原三 角形相似 判定定理1：如果一個(gè)三角形的兩個(gè)角與另一個(gè)三角形的兩個(gè)角對(duì)應(yīng)相等，那么這兩個(gè)三角形相 似，可簡(jiǎn)述為兩角對(duì)應(yīng)相等，兩三角形相似。 判定定理2：如果一個(gè)三角形的兩條邊和另一個(gè)三角形的兩條邊對(duì)應(yīng)相等，并且?jiàn)A角相等，那么這 兩個(gè)三角形相似，可簡(jiǎn)述為兩邊對(duì)應(yīng)成比例且?jiàn)A角相等，兩三角形相似。 判定定理3：如果一個(gè)三角形的三條邊與另一個(gè)三角形的三條邊對(duì)應(yīng)成比例，那么這兩個(gè)三角形相 似，可簡(jiǎn)述為三邊對(duì)應(yīng)成比例，兩三角形相似（2）直角三角形相似的判定方法 以上各種判定方法均適用 定理：如果一個(gè)直角三角形的斜邊和一條直角邊與另一個(gè)

13、直角三角形的斜邊和一條直角邊對(duì)應(yīng)成 比例，那么這兩個(gè)直角三角形相似 垂直法：直角三角形被斜邊上的高分成的兩個(gè)直角三角形與原三角形相似。4、相似三角形的性質(zhì) （1）相似三角形的對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊、對(duì)應(yīng)高、對(duì)應(yīng)中線(xiàn)、對(duì)應(yīng)角平分線(xiàn)的比都等于相似比 （2）相似三角形周長(zhǎng)的比等于相似比 （3）相似三角形面積的比等于相似比的平方。（5） 相似三角形的應(yīng)用測(cè)量高度：如測(cè)量旗桿的高度：利用同一時(shí)刻下陽(yáng)光的影子 A物高：B物高=A影長(zhǎng)：B影長(zhǎng)（6） 位似圖形1、 位似圖形：如果兩個(gè)圖形不僅是相似圖形，而且每組對(duì)應(yīng)點(diǎn)所在直線(xiàn)都經(jīng)過(guò)同一個(gè)點(diǎn)，那么這樣的兩個(gè)圖形叫做位似圖形，這個(gè)點(diǎn)叫做位似中心，此時(shí)的相似比叫做位似比

14、。2、性質(zhì)：（1）位似圖形對(duì)應(yīng)線(xiàn)段的比等于位似比。 （2）位似圖形的對(duì)應(yīng)角都相等。 （3）位似圖形對(duì)應(yīng)點(diǎn)連線(xiàn)的交點(diǎn)是位似中心。 （4）位似圖形面積的比等于位似比的平方。 （5）位似圖形高、周長(zhǎng)的比都等于位似比。 （6）位似圖形對(duì)應(yīng)邊互相平行或在同一直線(xiàn)上第4章 銳角三角函數(shù)（1） 正弦、余弦、正切1、勾股定理：直角三角形兩直角邊、的平方和等于斜邊的平方。 2、如下圖，在RtABC中，C為直角，則A的銳角三角函數(shù)為(A可換成B)：定 義表達(dá)式取值范圍關(guān) 系正弦(A為銳角)余弦(A為銳角)正切(A為銳角) 對(duì)邊鄰邊斜邊ACB3、任意銳角的正弦值等于它的余角的余弦值；任意銳角的余弦值等于它的余角的正

15、弦值。 4、0°、30°、45°、60°、90°特殊角的三角函數(shù)值(重要)三角函數(shù)0°30°45°60°90°011001- 5、正弦、余弦的增減性： 當(dāng)0°90°時(shí)，sin隨的增大而增大，cos隨的增大而減小。 6、正切的增減性： 當(dāng)0°<<90°時(shí)，tan隨的增大而增大（2） 解直角三角形： 1、定義：已知邊和角（兩個(gè)，其中必有一邊）所有未知的邊和角。2、依據(jù)：邊的關(guān)系：；角的關(guān)系：A+B=90°；邊角關(guān)系：三角函數(shù)的定義（3）

16、解直角三角形的應(yīng)用：1、仰角：視線(xiàn)在水平線(xiàn)上方的角；俯角：視線(xiàn)在水平線(xiàn)下方的角。 2、 坡面的鉛直高度和水平寬度的比叫做坡度(坡比)。用字母表示，即。坡度一般寫(xiě)成 的形式，如等。把坡面與水平面的夾角記作(叫做坡角)，那么。3、 從某點(diǎn)的指北方向按順時(shí)針轉(zhuǎn)到目標(biāo)方向的水平角，叫做方位角。如圖3，OA、OB、OC的方向 角分別是：45°、135°、225°4、指北或指南方向線(xiàn)與目標(biāo)方向線(xiàn)所成的小于90°的水平角，叫做方向角。如圖4,OA、OB、OC、 OD的方向角分別是：北偏東30°（東北方向） ， 南偏東45°（東南方向）， 南偏西60

17、°（西南方向）， 北偏西60°（西北方向）。 第五章 用樣本推斷總體 (一）平均數(shù)的計(jì)算方法（1） 定義法：一般地，如果有n個(gè)數(shù)數(shù)據(jù)比較分散，那么，叫做 這n個(gè)數(shù)的平均數(shù)，讀作“x拔”。（2） 加權(quán)平均數(shù)法：如果所給數(shù)據(jù)重復(fù)出現(xiàn)，即n個(gè)數(shù)中，出現(xiàn)次，出現(xiàn)次，出現(xiàn) 次（這里）那么，根據(jù)平均數(shù)的定義，這n個(gè)數(shù)的平均數(shù)可以表示為 ，這樣求得的平均數(shù)叫做加權(quán)平均數(shù)，其中叫做權(quán)。（3）新數(shù)據(jù)法：當(dāng)所給數(shù)據(jù)都在某一常數(shù)a的上下波動(dòng)時(shí)，一般選用簡(jiǎn)化公式：。 其中，常數(shù)a通常取接近這組數(shù)據(jù)平均數(shù)的較“整”的數(shù)，（， 。是新數(shù)據(jù)的平均數(shù)（通常把叫做原數(shù)據(jù)， 叫做新數(shù)據(jù)）。（二）、統(tǒng)計(jì)學(xué)中的幾

18、個(gè)基本概念 1、總體：所有考察對(duì)象的全體叫做總體。 2、個(gè)體：總體中每一個(gè)考察對(duì)象叫做個(gè)體。 3、樣本：從總體中所抽取的一部分個(gè)體叫做總體的一個(gè)樣本。 4、樣本容量：樣本中個(gè)體的數(shù)目叫做樣本容量。 5、樣本平均數(shù)：樣本中所有個(gè)體的平均數(shù)叫做樣本平均數(shù)。 6、眾數(shù)：在一組數(shù)據(jù)中，出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)據(jù)叫做這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)。 7、中位數(shù)：將一組數(shù)據(jù)按大小依次排列，把處在最中間位置的一個(gè)數(shù)據(jù)（或最中間兩個(gè)數(shù)據(jù)的平均數(shù)） 叫做這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)。 （三）總體平均數(shù)和方差的估計(jì)1、總體平均數(shù)：總體中所有個(gè)體的平均數(shù)叫做總體平均數(shù)； 統(tǒng)計(jì)中，通常用樣本平均數(shù)估計(jì)總體平均數(shù)。2、方差：在一組數(shù)據(jù)中，各數(shù)據(jù)與它們的平均數(shù)的差的平方的平均數(shù)，叫做這組數(shù)據(jù)的 方差。通常用“”表示，即（1