平面向量的數(shù)量積(44)課件

1、2.4.1 平面向量的數(shù)量積平面向量的數(shù)量積向量的夾角：向量的夾角：已知兩個(gè)非零向量已知兩個(gè)非零向量 和和 ，作，作 ， ，abOAa OBb 則則AOB= AOB= (0(0180)180)叫做向量叫做向量 與與 的夾角的夾角. .ababOabAB當(dāng)當(dāng)= 0時(shí)，時(shí)， 與與 同向；同向；ab當(dāng)當(dāng)= 180時(shí)，時(shí)， 與與 反向；反向；ab當(dāng)當(dāng)= 90時(shí)，時(shí)， 與與 垂直，記作垂直，記作 。ababababab問題問題 一個(gè)物體在力一個(gè)物體在力F 的作用下產(chǎn)生的位移的作用下產(chǎn)生的位移s，那么力，那么力F 所做的功應(yīng)當(dāng)怎樣計(jì)算？所做的功應(yīng)當(dāng)怎樣計(jì)算？其中力其中力F 和位移和位移s 是向量，是向量，

2、 是是F 與與s 的夾角，而功是數(shù)量的夾角，而功是數(shù)量. | s|F|W cosFScosF平面向量的平面向量的數(shù)量積數(shù)量積： 已知非零向量已知非零向量 與與 ，我們把數(shù)量，我們把數(shù)量 叫作叫作 與與 的的數(shù)量積數(shù)量積（或內(nèi)積），記作（或內(nèi)積），記作 ，即規(guī)定，即規(guī)定 |cosa bababa b |cosa ba b 其中其中是是 與與 的夾角，的夾角， 叫做向量叫做向量 在在 方向上（方向上（ 在在 方向上）的方向上）的投影投影. .并且規(guī)定，零向量與任一向量并且規(guī)定，零向量與任一向量的數(shù)量積為零，即的數(shù)量積為零，即 。ab|cos (|cos )bababa00a BB1OAab1| |

3、cosOBb 數(shù)量積的幾何意義：數(shù)量積的幾何意義： 數(shù)量積數(shù)量積 等于等于 的長度的長度 與與 在在 的方向上的的方向上的投影投影 的乘積。的乘積。a b a|aba|cosbBB1OAab思考：向量的數(shù)量積是一個(gè)數(shù)量，那么它什么時(shí)候?yàn)檎伎迹合蛄康臄?shù)量積是一個(gè)數(shù)量，那么它什么時(shí)候?yàn)檎?什么時(shí)候?yàn)樨?fù)呢？什么時(shí)候?yàn)樨?fù)呢？由向量數(shù)量積的定義，試完成下面問題：由向量數(shù)量積的定義，試完成下面問題：_._.(3)| _ |.()aba ba baba baba aa ba b ； 反； 若與 同向, 若與 同向, 若與向, 若與向, 填或填或(1)(1)(2)(2)注：常記注：常記 為為 。a a

4、2a|aa a 0|a b|a b2|a22( )|aa 證明向量證明向量垂直的依據(jù)垂直的依據(jù)例例1.已知已知 ， 的夾角的夾角=120=120， 求求 。| 5,| 4abab 與與a b 解：解：|cos5 4 cos12015 4 ()210= a ba b ;()()();().a bb aaba bababca cb c (1)(1)(2)(2)(3)(3)數(shù)量積的運(yùn)算規(guī)律：數(shù)量積的運(yùn)算規(guī)律：12 1A1BABOabCc2B1| |cos|cosOBOBab 11| |cosOAa1122| | |cosABABb 如圖可知：如圖可知：111112| |cos|cos|cosOBOA

5、ABabab 12() |cos|cos|cos cabcabcac bc ac b ()abca cb c ()abca cb c ;()()();().a bb aaba bababca cb c (1)(1)(2)(2)(3)(3)思考：等式思考：等式 是否成立？是否成立？()()a b ca b c 數(shù)量積的運(yùn)算規(guī)律：數(shù)量積的運(yùn)算規(guī)律：不成立不成立對任意對任意 ，恒有，恒有, a bR22222()2()().abaabbab abab對任意向量對任意向量 也有下面類似的結(jié)論？也有下面類似的結(jié)論？, ,a b 22222()2;()().abaa bbab abab (1)(1)(2)

6、(2)33223(3)()( )3( )3( )( )abaaba bb 練習(xí)練習(xí)判斷下列各題是否正確(1)若a=0,則對任意向量b,有ab=0-(2)若a0,則對任意非零向量b,有ab0-(3)若a0,且ab=0,則b=0 -(4)若ab=0,則a=0或b=0 -(5)對任意向量a有a2=a2 -(6)若a0且ab=ac,則b=c -()( )( )( )( )( )思考：用向量方法證明：直徑所對的圓思考：用向量方法證明：直徑所對的圓周角為直角。周角為直角。ABCO分析：要證分析：要證ACB=90，只須證向，只須證向量量 ，即，即 。A AC CC CB B 0 0A AC CC CB B

7、設(shè)設(shè) 則則 ，由此可得：由此可得：, ,A AO Oa a O OC Cb b , ,A AC Ca ab b C CB Ba ab b A AC CC CB Ba ab ba ab b 2 22 22 22 2| | | | |a ab ba ab b 22220 0rrrr即即 ，ACB=900CBAC向量的數(shù)量積與向量數(shù)乘及實(shí)數(shù)積的區(qū)別向量的數(shù)量積與向量數(shù)乘及實(shí)數(shù)積的區(qū)別1.兩個(gè)向量的數(shù)量積是一個(gè)實(shí)數(shù)不是一個(gè)向量，兩個(gè)向量的數(shù)量積是一個(gè)實(shí)數(shù)不是一個(gè)向量， 符號(hào)由符號(hào)由cos決定。決定。2.兩個(gè)向量的數(shù)量積是一個(gè)內(nèi)積，寫成兩個(gè)向量的數(shù)量積是一個(gè)內(nèi)積，寫成a b 與代數(shù)中的兩個(gè)與代數(shù)中的兩個(gè) 的乘積的乘積 (或或 )不同不同aba b , a b3.在實(shí)數(shù)中在實(shí)數(shù)中,若若 且且 ,則有則有0a 0a b 0b 但在數(shù)量積中但在數(shù)量積中,若若 且且 , 不能得出不能得出0a 0a b 0b 其中其中 有可能為有可能為0cos4.已知實(shí)數(shù)已知實(shí)數(shù) , 則則, , (0)a b c b abbcac但但 不能得出不能得出a bb c acOAabc如圖如圖|cos| |a ba bOAb |cos| |b cc bOAb a bb