高中數(shù)學(xué)第一章三角函數(shù)1.2角的概念的推廣課件1北師大版必修

1、1.2 角的概念的推廣 1.1.在初中角是如何定義的？在初中角是如何定義的？定義定義1 1：有公共端點(diǎn)的兩條射線組成的幾何圖形叫作：有公共端點(diǎn)的兩條射線組成的幾何圖形叫作角角. .頂點(diǎn)頂點(diǎn)邊邊邊邊定義定義2 2：平面內(nèi)一條射線繞著端點(diǎn)從一個(gè)位置旋：平面內(nèi)一條射線繞著端點(diǎn)從一個(gè)位置旋轉(zhuǎn)到另一個(gè)位置所形成的圖形叫作角轉(zhuǎn)到另一個(gè)位置所形成的圖形叫作角. .a ab bo o頂點(diǎn)頂點(diǎn)始邊始邊終邊終邊2.2.角是如何度量的角是如何度量的? ?角的單位是度角的單位是度. .規(guī)定規(guī)定: :周角的周角的 為為1 1度的角度的角. .3.3.我們學(xué)過(guò)哪些角我們學(xué)過(guò)哪些角? ?它們的大小是多少它們的大小是多少?

2、?銳角銳角: :大于大于0 0小于小于9090 直角：等于直角：等于9090鈍角鈍角: :大于大于9090小于小于180180 平角：等于平角：等于180180周角：等于周角：等于360360 我們以前所學(xué)過(guò)的角都是大于我們以前所學(xué)過(guò)的角都是大于0 0，小于或等于，小于或等于360360的角的角. .1360生活中很多實(shí)例不在生活中很多實(shí)例不在0 0360360范圍內(nèi)范圍內(nèi). .像體操運(yùn)動(dòng)員轉(zhuǎn)體像體操運(yùn)動(dòng)員轉(zhuǎn)體720720，跳水運(yùn)動(dòng)員向內(nèi)、向外轉(zhuǎn)，跳水運(yùn)動(dòng)員向內(nèi)、向外轉(zhuǎn)體體1 0801 080.本節(jié)課我們進(jìn)一步研究更廣泛的角本節(jié)課我們進(jìn)一步研究更廣泛的角. .地球繞太陽(yáng)旋轉(zhuǎn)，角的范圍如何來(lái)表示

3、？地球繞太陽(yáng)旋轉(zhuǎn)，角的范圍如何來(lái)表示？角這就是這節(jié)課我們所要學(xué)習(xí)的內(nèi)容這就是這節(jié)課我們所要學(xué)習(xí)的內(nèi)容角角1.1.通過(guò)實(shí)例深刻理解推廣后角的概念通過(guò)實(shí)例深刻理解推廣后角的概念. .( (重點(diǎn)重點(diǎn)) )2.2.理解正角、負(fù)角和零角的定義及任意角、象限角理解正角、負(fù)角和零角的定義及任意角、象限角的概念的概念. .（重點(diǎn)）（重點(diǎn)）3.3.掌握所有與角掌握所有與角終邊相同的角的表示方法終邊相同的角的表示方法. .（難點(diǎn)）（難點(diǎn)）探究點(diǎn)探究點(diǎn)1 1 任意角的概念任意角的概念思考思考1 1：下面的角度如何表示？下面的角度如何表示？（）你的手表慢了分鐘，想將它校準(zhǔn)，（）你的手表慢了分鐘，想將它校準(zhǔn)，分針應(yīng)該旋

4、轉(zhuǎn)多少度？分針應(yīng)該旋轉(zhuǎn)多少度？（）假如你的手表快了（）假如你的手表快了2.52.5小時(shí)，想將它校小時(shí)，想將它校準(zhǔn)，分針應(yīng)該旋轉(zhuǎn)多少度？準(zhǔn)，分針應(yīng)該旋轉(zhuǎn)多少度？注意：旋轉(zhuǎn)方向和旋轉(zhuǎn)量確定了校準(zhǔn)手表的方式注意：旋轉(zhuǎn)方向和旋轉(zhuǎn)量確定了校準(zhǔn)手表的方式. .順時(shí)針旋轉(zhuǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)3030逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)900900提示：提示：類比正負(fù)數(shù)可表示具有相反意義的量，對(duì)類比正負(fù)數(shù)可表示具有相反意義的量，對(duì)于旋轉(zhuǎn)方向不同的角，我們猜想：也可以用正負(fù)于旋轉(zhuǎn)方向不同的角，我們猜想：也可以用正負(fù)來(lái)表示來(lái)表示. .思考思考2 2：類比數(shù)系的擴(kuò)充，思考角的概念是否類比數(shù)系的擴(kuò)充，思考角的概念是否也可以推廣也可以推廣? ?

5、 逆時(shí)針逆時(shí)針 順時(shí)針順時(shí)針任意角定義任意角定義：正角：正角：按按逆時(shí)針逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)形成的角方向旋轉(zhuǎn)形成的角負(fù)角：負(fù)角：按按順時(shí)針順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)形成的角方向旋轉(zhuǎn)形成的角零角：零角：一條射線從起始位置一條射線從起始位置oaoa沒(méi)沒(méi)有作任何旋轉(zhuǎn)，終止位置有作任何旋轉(zhuǎn)，終止位置obob與起與起始位置始位置oaoa重合重合任任意意角角記法：角記法：角 或或 , ,可簡(jiǎn)記為可簡(jiǎn)記為 . . 注意角的注意角的旋轉(zhuǎn)方向和旋轉(zhuǎn)方向和旋轉(zhuǎn)量旋轉(zhuǎn)量. .【特別提醒特別提醒】1.1.角的正負(fù)由角的正負(fù)由旋轉(zhuǎn)方向旋轉(zhuǎn)方向決定決定. .2.2.角可以任意大小，其數(shù)值的大小由角可以任意大小，其數(shù)值的大小由旋轉(zhuǎn)次數(shù)旋轉(zhuǎn)次

6、數(shù)及及終邊位置終邊位置決定決定. .這樣，我們就把角的概念推廣到了任意角這樣，我們就把角的概念推廣到了任意角. .下列說(shuō)法正確的是下列說(shuō)法正確的是( )( )a.a.一條射線繞頂點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)的圈數(shù)越多，則這個(gè)角一條射線繞頂點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)的圈數(shù)越多，則這個(gè)角越大越大b.b.在坐標(biāo)系中，將在坐標(biāo)系中，將y y軸的非負(fù)方向繞坐標(biāo)原點(diǎn)順時(shí)針旋軸的非負(fù)方向繞坐標(biāo)原點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)到轉(zhuǎn)到x x軸的非負(fù)方向形成的角為軸的非負(fù)方向形成的角為9090c.c.將鐘表調(diào)快一個(gè)小時(shí)，則分針轉(zhuǎn)了將鐘表調(diào)快一個(gè)小時(shí)，則分針轉(zhuǎn)了360360d.d.順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)形成的角一定小于逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)形成的角一定小于逆時(shí)針?lè)?/p>

7、向旋轉(zhuǎn)形成的角形成的角【即時(shí)訓(xùn)練即時(shí)訓(xùn)練】【解析解析】如果一條射線繞頂點(diǎn)順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)，則如果一條射線繞頂點(diǎn)順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)，則它形成負(fù)角，旋轉(zhuǎn)的圈數(shù)越多，則這個(gè)角越小，故它形成負(fù)角，旋轉(zhuǎn)的圈數(shù)越多，則這個(gè)角越小，故a a不正確不正確. .在坐標(biāo)系中，將在坐標(biāo)系中，將y y 軸的非負(fù)方向繞坐標(biāo)原點(diǎn)軸的非負(fù)方向繞坐標(biāo)原點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到旋轉(zhuǎn)到x x軸的非負(fù)方向時(shí)，是按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)，故軸的非負(fù)方向時(shí)，是按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)，故它形成的角為它形成的角為-90-90，故，故b b不正確不正確. .將鐘表調(diào)快一個(gè)小將鐘表調(diào)快一個(gè)小時(shí)，也是按順時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)，故分針轉(zhuǎn)了時(shí)，也是按順時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)，故分針轉(zhuǎn)了-360-360，c c

8、不正不正確確. .順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)形成的角為負(fù)角，它一定小于逆順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)形成的角為負(fù)角，它一定小于逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)形成的正角，故時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)形成的正角，故d d正確正確. .答案：答案：d.d.oyx思考思考1 1：為了進(jìn)一步研究角的需要，我們常在直角為了進(jìn)一步研究角的需要，我們常在直角坐標(biāo)系內(nèi)討論角，并使角的頂點(diǎn)與原點(diǎn)重合坐標(biāo)系內(nèi)討論角，并使角的頂點(diǎn)與原點(diǎn)重合, ,角的角的始邊與始邊與x x軸的非負(fù)半軸重合，那么對(duì)一個(gè)任意角，軸的非負(fù)半軸重合，那么對(duì)一個(gè)任意角，角的終邊可能落在哪些位置？角的終邊可能落在哪些位置？ 提示：提示：如圖，可以是坐標(biāo)軸、如圖，可以是坐標(biāo)軸、第一象限、第二象限、第一象

9、限、第二象限、第三象限、第四象限第三象限、第四象限探究點(diǎn)探究點(diǎn)2 2 象限角象限角象限角象限角1.1.角的頂點(diǎn)與原點(diǎn)重合角的頂點(diǎn)與原點(diǎn)重合. .2.2.角的始邊重合于角的始邊重合于x x軸的軸的非負(fù)半軸非負(fù)半軸. .則角的終邊（除端點(diǎn)外）在則角的終邊（除端點(diǎn)外）在第幾象限，第幾象限，就是就是第第幾象限角幾象限角. .x xy y o o始邊始邊終邊終邊 終邊終邊 終邊終邊 終邊終邊 提示：提示：象限角只能反映角的終邊所在象限，不能反象限角只能反映角的終邊所在象限，不能反映角的大小映角的大小. .象限角的圖形表示象限角的圖形表示思考思考2 2：如圖所示的角如圖所示的角、角角是第幾象限角？怎樣是第

10、幾象限角？怎樣判斷一個(gè)角是第幾象限角？判斷一個(gè)角是第幾象限角？提示：提示：角角是第一象限角，角是第一象限角，角是第三象限角是第三象限角. .判斷方法是將角的頂點(diǎn)與坐標(biāo)原點(diǎn)重合，角的始判斷方法是將角的頂點(diǎn)與坐標(biāo)原點(diǎn)重合，角的始邊與邊與x x軸的非負(fù)半軸重合，角的終邊落在第幾象軸的非負(fù)半軸重合，角的終邊落在第幾象限，就說(shuō)的該角是第幾象限角限，就說(shuō)的該角是第幾象限角. .坐標(biāo)軸上的角坐標(biāo)軸上的角如果角的終邊落在了坐標(biāo)軸上，就認(rèn)為這如果角的終邊落在了坐標(biāo)軸上，就認(rèn)為這個(gè)角不屬于任何象限個(gè)角不屬于任何象限. .例如：角的終邊落在例如：角的終邊落在x x軸或軸或y y軸上軸上. .坐標(biāo)軸上的角坐標(biāo)軸上的角

11、第三象限角第三象限角第四象限角第四象限角第三象限角第三象限角坐標(biāo)軸上的角坐標(biāo)軸上的角坐標(biāo)軸上的角坐標(biāo)軸上的角坐標(biāo)軸上的角坐標(biāo)軸上的角坐標(biāo)軸上的角坐標(biāo)軸上的角第一象限角第一象限角坐標(biāo)軸上的角坐標(biāo)軸上的角坐標(biāo)軸上的角坐標(biāo)軸上的角坐標(biāo)軸上的角坐標(biāo)軸上的角象限角象限角坐標(biāo)軸上的角坐標(biāo)軸上的角坐標(biāo)軸上的角坐標(biāo)軸上的角坐標(biāo)軸上的角坐標(biāo)軸上的角角角坐標(biāo)軸上的角坐標(biāo)軸上的角坐標(biāo)軸上的角坐標(biāo)軸上的角坐標(biāo)軸上的角坐標(biāo)軸上的角按終邊的位置分類按終邊的位置分類第二象限角第二象限角1.1.銳角是第幾象限的角？銳角是第幾象限的角？2.2.第一象限的角是否都是銳角？第一象限的角是否都是銳角？3.3.小于小于9090的角都是

12、銳角嗎？的角都是銳角嗎？答：答：銳角是第一象限的角銳角是第一象限的角. .答：答：第一象限的角并不都是銳角第一象限的角并不都是銳角. .答：答：小于小于9090的角并不都是銳角，它也有可能是零角的角并不都是銳角，它也有可能是零角或負(fù)角或負(fù)角. .【即時(shí)訓(xùn)練】【即時(shí)訓(xùn)練】思考思考1 1：在坐標(biāo)軸上畫出在坐標(biāo)軸上畫出3030,390,390,-330,-330, , 它們有什么共同點(diǎn)和內(nèi)它們有什么共同點(diǎn)和內(nèi)在聯(lián)系？在聯(lián)系？提示：提示：終邊相同，且終邊相同，且3030=30=30+ 0+ 0360360 xyo3030390390-330390390=30=30+360+360-330-330=30

13、=30-360-360=30=30+1+1360360 =30=30-1-1360360探究點(diǎn)探究點(diǎn)3 3 終邊相同的角終邊相同的角390390,-330,-330兩個(gè)角都可以表示成兩個(gè)角都可以表示成3030角與角與k k個(gè)周角個(gè)周角的和的和, ,其中其中k k為整數(shù)為整數(shù). .提示：提示：集合集合思考思考2 2：所有與所有與3030角終邊相同的角，連同角終邊相同的角，連同3030角角在內(nèi)，可構(gòu)成一個(gè)集合在內(nèi)，可構(gòu)成一個(gè)集合s s，你能用描述法表示集合，你能用描述法表示集合s s嗎？嗎？ oos= =30 +k 360 ,kz提醒：提醒：所有與所有與3030角終邊相同的角，連同角終邊相同的角，

14、連同3030角在角在內(nèi)，都是集合內(nèi)，都是集合s s的元素；反過(guò)來(lái)，集合的元素；反過(guò)來(lái)，集合s s的任一元素的任一元素顯然都與顯然都與3030角終邊相同角終邊相同. .終邊相同的角的表示終邊相同的角的表示所有與角所有與角終邊相同的角，連同角終邊相同的角，連同角在內(nèi)，可構(gòu)成在內(nèi)，可構(gòu)成一個(gè)集合：一個(gè)集合： s= s= 即任何一個(gè)與角即任何一個(gè)與角終邊相同的角，都可以表示成角終邊相同的角，都可以表示成角與周角的整數(shù)倍的和與周角的整數(shù)倍的和. . |=+k=+k360360,kz,kz (1) (1)kz. .(2)(2)是任意角是任意角. .(3)(3)k k360360與與 之間是之間是“+ +”

15、號(hào)，號(hào)， 如如k k360360-30-30, ,應(yīng)看成應(yīng)看成k k360360+ +（-30-30）. .(4)(4)k的兩層含義：的兩層含義：特殊性：每對(duì)特殊性：每對(duì)k k賦一個(gè)值可得一個(gè)具體角；賦一個(gè)值可得一個(gè)具體角；一般性：表示了所有與終邊一般性：表示了所有與終邊重合的角的集合重合的角的集合. .【特別提醒】【特別提醒】(5)(5)終邊相同的角不一定相等，但相等的角終邊一終邊相同的角不一定相等，但相等的角終邊一定相同，終邊相同的角有無(wú)數(shù)多個(gè)，它們相差定相同，終邊相同的角有無(wú)數(shù)多個(gè)，它們相差360360的整數(shù)倍的整數(shù)倍. .例例1 1 判定下列各角是第幾象限角：判定下列各角是第幾象限角：

16、（1 1）-60-60. . （2 2）606606. . （3 3） -950-9501212 . .解解: :（1 1）因?yàn)橐驗(yàn)?60-60角的終邊在第四象限，角的終邊在第四象限，所以它是第四象限角所以它是第四象限角. . （2 2）因?yàn)椋┮驗(yàn)?06606=360=360+246+246, ,所以所以606606與與246246角的終邊重合，而角的終邊重合，而246246的終邊在的終邊在第三象限，所以第三象限，所以606606是第三象限角是第三象限角. .（3 3）因?yàn)椋┮驗(yàn)?950-95012 = 12 = （-2-2）360360-230-23012,12,而而-230-2301212

17、的終邊在第二象限，所以的終邊在第二象限，所以-950-9501212 是第二象限角是第二象限角. . 【總結(jié)提升】【總結(jié)提升】判斷一個(gè)角所在象限或不同角之間的終邊關(guān)系，只要把判斷一個(gè)角所在象限或不同角之間的終邊關(guān)系，只要把它們化為它們化為 + + k k360360, ,k kzz，（，（0 0 360360），然后只要考查），然后只要考查 的相關(guān)問(wèn)題即可的相關(guān)問(wèn)題即可. .【變式練習(xí)】【變式練習(xí)】已知角的頂點(diǎn)與坐標(biāo)原點(diǎn)重合，始邊落在已知角的頂點(diǎn)與坐標(biāo)原點(diǎn)重合，始邊落在x x軸的軸的非負(fù)半軸上，作出下列各角，并指出它們是第幾非負(fù)半軸上，作出下列各角，并指出它們是第幾象限的角象限的角. .(1)

18、-75(1)-75.(2)855.(2)855.(3)-510.(3)-510. .【解析】【解析】作出各角，其對(duì)應(yīng)的終邊如圖所示：作出各角，其對(duì)應(yīng)的終邊如圖所示：(1)(1)由圖可知：由圖可知：-75-75是第四象限的角是第四象限的角. .(2)(2)由圖可知：由圖可知：855855是第二象限的角是第二象限的角. .(3)(3)由圖可知：由圖可知：-510-510是第三象限的角是第三象限的角. .例例2 2 在直角坐標(biāo)系中，寫出終邊在在直角坐標(biāo)系中，寫出終邊在y y軸上的角的集軸上的角的集合（用合（用0 0360360的角表示的角表示).).解解: : 在在0 0360360范圍內(nèi)，終邊在范

19、圍內(nèi)，終邊在y y軸上的角有兩個(gè)，即軸上的角有兩個(gè)，即9090與與270270角（如圖）角（如圖）. .因此，所有與因此，所有與9090角終邊相同的角終邊相同的角構(gòu)成集合角構(gòu)成集合s1 1= =而所有與而所有與270270角終邊相同的角構(gòu)成集合角終邊相同的角構(gòu)成集合s2 2= =于是，終邊在于是，終邊在y y軸上的角的集合軸上的角的集合s=s1s2= =,; 9036090360kkzkkz,. 270360270360kkzkkz,9036090360k k kz=| =9090+k180180,kz.| =270270+k360360,kz解：解：s s = = 丨丨 =k360360+6

20、060,kz. .s s 中適合中適合-360-360 720720的元素是的元素是: : 60 60-1-1360360 =-300 =-300, , 60 60+0+0360360=60=60, , 60 60+1+1360360=420=420. .例例3 3 寫出與寫出與6060角角終邊相同的角的集合終邊相同的角的集合s,s,并把并把s s中中適合不等式適合不等式-360-360 720720 的元素的元素 寫出來(lái)寫出來(lái). .【變式練習(xí)】【變式練習(xí)】如圖所示：如圖所示：則終邊在圖中所示直線上的角的集合為則終邊在圖中所示直線上的角的集合為_._.【解題關(guān)鍵】【解題關(guān)鍵】在在0 03603

21、60范圍內(nèi)找出終邊落在圖中直范圍內(nèi)找出終邊落在圖中直線上的角，利用終邊相同的角表示出集合即可線上的角，利用終邊相同的角表示出集合即可. .【解析】【解析】由題干圖易知，在由題干圖易知，在0 0360360范圍內(nèi)，終邊在范圍內(nèi)，終邊在直線直線y=-xy=-x上的角有兩個(gè)，即上的角有兩個(gè)，即135135和和315315，因此，終邊，因此，終邊在直線在直線y=-xy=-x上的角的集合為上的角的集合為s=|=135s=|=135+k+k360360,kz,kz|=315|=315+k+k360360,kz,kz=|=135=|=135+k+k180180,kz.,kz.答案答案: :|=135|=13

22、5+k+k180180,kz,kz【總結(jié)提升】【總結(jié)提升】1.1.終邊相同角常用的兩個(gè)結(jié)論終邊相同角常用的兩個(gè)結(jié)論(1)(1)終邊在同一直線上的角之間相差終邊在同一直線上的角之間相差180180的整數(shù)倍的整數(shù)倍. .(2)(2)終邊在相互垂直的兩直線上的角之間相差終邊在相互垂直的兩直線上的角之間相差9090的整數(shù)倍的整數(shù)倍. .2.2.表示區(qū)間角的三個(gè)步驟表示區(qū)間角的三個(gè)步驟第一步：先按逆時(shí)針的方向找到區(qū)域的起始和終止邊界；第一步：先按逆時(shí)針的方向找到區(qū)域的起始和終止邊界；第二步：按由小到大分別標(biāo)出起始和終止邊界對(duì)應(yīng)的第二步：按由小到大分別標(biāo)出起始和終止邊界對(duì)應(yīng)的-180-180180180范

23、圍內(nèi)的角范圍內(nèi)的角和和，寫出最簡(jiǎn)區(qū)間，寫出最簡(jiǎn)區(qū)間x|xx|x；第三步：起始、終止邊界對(duì)應(yīng)角第三步：起始、終止邊界對(duì)應(yīng)角，再加上再加上360360的整數(shù)的整數(shù)倍，即得區(qū)間角集合倍，即得區(qū)間角集合. .1.1.時(shí)鐘經(jīng)過(guò)時(shí)鐘經(jīng)過(guò)1 1小時(shí)，時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)的角是小時(shí)，時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)的角是( )( )a.30a.30b.60b.60c.-30c.-30d.-60d.-60【解析】【解析】時(shí)鐘經(jīng)過(guò)時(shí)鐘經(jīng)過(guò)1 1小時(shí)，時(shí)針轉(zhuǎn)過(guò)小時(shí)，時(shí)針轉(zhuǎn)過(guò)1 1格是格是3030，又順，又順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，所以大小為時(shí)針旋轉(zhuǎn)，所以大小為-30-30. .c c2. 2. 已知已知=-130=-130, ,則則的終邊落在的終邊落在( () )

24、a.a.第一象限第一象限b.b.第二象限第二象限c.c.第三象限第三象限d.d.第四象限第四象限c c【解析】【解析】=-130=-130的角的終邊處在的角的終邊處在-180-180和和-90-90之之間間, ,所以其終邊落在第三象限所以其終邊落在第三象限. .3.3.與與-800-800終邊相同的最小正角是終邊相同的最小正角是_._.【解析】【解析】與與-800-800終邊相同的角的集合為終邊相同的角的集合為|=-800|=-800+k+k360360,kz.,kz.當(dāng)當(dāng)k=3k=3時(shí)，得最小正角時(shí)，得最小正角-800-800+3+3360360=280=280. .答案：答案：2802804.4.有一個(gè)小于有一個(gè)小于360360的正角，這個(gè)角的的正角，這個(gè)角的6 6倍的終邊與倍的終邊與x x軸的軸的正半軸重合，則這個(gè)角為正半軸重合，則這個(gè)角為_._.【解