第十三章 結(jié)構(gòu)穩(wěn)定計(jì)算

1、第十一章第十一章 矩陣位移法矩陣位移法教學(xué)內(nèi)容：教學(xué)內(nèi)容：結(jié)構(gòu)失穩(wěn)的兩種基本形式，靜力法和能量法計(jì)算結(jié)構(gòu)臨界荷載的基本原理，簡單桿件結(jié)構(gòu)的臨界荷載，平面剛架穩(wěn)定計(jì)算，組合壓桿的穩(wěn)定計(jì)算。教學(xué)要求：教學(xué)要求：1、了解分支點(diǎn)和極值點(diǎn)失穩(wěn)的概念；2、理解靜力法確定單自由度體系、有限自由度體系和無限自由度體系的臨界荷載；勢能駐值原理；能量法確定單自由度體系、有限自由度體系和無限自由度體系的臨界荷載；組合壓桿的穩(wěn)定分析；矩陣位移法分析平面剛架的穩(wěn)定；3、掌握靜力法確定單自由度體系、有限自由度體系和無限自由度體系的臨界荷載。重點(diǎn)：重點(diǎn)：靜力法確定有限自由度體系的臨界荷載。難點(diǎn)：難點(diǎn)： 無限自由度的臨界荷載

2、，組合壓桿的穩(wěn)定分析第十三章第十三章 結(jié)構(gòu)穩(wěn)定計(jì)算結(jié)構(gòu)穩(wěn)定計(jì)算第十一章第十一章 矩陣位移法矩陣位移法13-1 13-1 概述概述13-2 13-2 確定臨界荷載的靜力法確定臨界荷載的靜力法13-3 13-3 確定臨界荷載的能量法確定臨界荷載的能量法13-4 13-4 平面剛架穩(wěn)定計(jì)算平面剛架穩(wěn)定計(jì)算13-6 13-6 組合壓桿的穩(wěn)定計(jì)算組合壓桿的穩(wěn)定計(jì)算第十三章第十三章 結(jié)構(gòu)穩(wěn)定計(jì)算結(jié)構(gòu)穩(wěn)定計(jì)算第十一章第十一章 矩陣位移法矩陣位移法一、穩(wěn)定計(jì)算的意義一、穩(wěn)定計(jì)算的意義 為了保證結(jié)構(gòu)的安全和正常使用，除了進(jìn)行強(qiáng)為了保證結(jié)構(gòu)的安全和正常使用，除了進(jìn)行強(qiáng)度計(jì)算和剛度驗(yàn)算外，還須計(jì)算其穩(wěn)定性。度計(jì)算和

3、剛度驗(yàn)算外，還須計(jì)算其穩(wěn)定性。 13-1 13-1 概述概述二、三種平衡狀態(tài)二、三種平衡狀態(tài) 軸心受壓桿件受到輕微干擾而稍微偏離了它原來軸心受壓桿件受到輕微干擾而稍微偏離了它原來的直線平衡位置，當(dāng)干擾消除后的直線平衡位置，當(dāng)干擾消除后: : 該桿件能夠回到原來的平衡位置，則原來的平衡該桿件能夠回到原來的平衡位置，則原來的平衡狀態(tài)稱為狀態(tài)稱為穩(wěn)定平衡狀態(tài)穩(wěn)定平衡狀態(tài)。 該桿件繼續(xù)偏離，不能回到原來的平衡位置，則該桿件繼續(xù)偏離，不能回到原來的平衡位置，則原來的平衡狀態(tài)稱為原來的平衡狀態(tài)稱為不穩(wěn)定平衡狀態(tài)不穩(wěn)定平衡狀態(tài) 該桿件在新位置上就地靜止并平衡，則原來的平該桿件在新位置上就地靜止并平衡，則原來

4、的平衡狀態(tài)稱為衡狀態(tài)稱為隨遇平衡狀態(tài)隨遇平衡狀態(tài)（或（或中性平衡狀態(tài)中性平衡狀態(tài)），亦稱），亦稱臨界狀態(tài)臨界狀態(tài)。 第十一章第十一章 矩陣位移法矩陣位移法對軸心受壓對軸心受壓件施以干擾件施以干擾無干擾的平衡狀態(tài)無干擾的平衡狀態(tài)干擾后的平衡狀態(tài)干擾后的平衡狀態(tài)撤除干擾撤除干擾恢復(fù)原平衡狀態(tài)恢復(fù)原平衡狀態(tài)繼續(xù)偏離繼續(xù)偏離新位置保持平衡新位置保持平衡臨界狀態(tài)：臨界狀態(tài)：是由穩(wěn)定平衡向不穩(wěn)定平衡過渡的中介狀態(tài)。是由穩(wěn)定平衡向不穩(wěn)定平衡過渡的中介狀態(tài)。使桿件處于臨界狀態(tài)的外力稱為使桿件處于臨界狀態(tài)的外力稱為臨界荷載臨界荷載，以，以P Pcrcr表示。表示。它既是使桿件保持穩(wěn)定平衡的最大荷載，也是使桿件產(chǎn)

5、它既是使桿件保持穩(wěn)定平衡的最大荷載，也是使桿件產(chǎn)生不穩(wěn)定平衡的最小荷載。生不穩(wěn)定平衡的最小荷載。二、三種平衡狀態(tài)二、三種平衡狀態(tài) 第十一章第十一章 矩陣位移法矩陣位移法失穩(wěn)失穩(wěn)：隨著荷載的逐漸增大，原始平衡狀態(tài)喪失其穩(wěn)定性：隨著荷載的逐漸增大，原始平衡狀態(tài)喪失其穩(wěn)定性 第一類失穩(wěn)：第一類失穩(wěn)：分支點(diǎn)失穩(wěn)分支點(diǎn)失穩(wěn)三、兩類穩(wěn)定問題三、兩類穩(wěn)定問題 結(jié)構(gòu)變形產(chǎn)生了性質(zhì)上的突變，結(jié)構(gòu)變形產(chǎn)生了性質(zhì)上的突變，帶有突然性。帶有突然性。l/2PPc rl(b) 彎曲平衡狀態(tài)彎曲平衡狀態(tài)P2POP1D（c） 荷載荷載位移曲線（位移曲線（P 曲線）曲線）Pc rDCABP(a)直線平衡狀態(tài)直線平衡狀態(tài) l第十

6、一章第十一章 矩陣位移法矩陣位移法O1D穩(wěn)定平衡隨遇平衡不穩(wěn)定平衡DFPcrABCPFFP/2ll/2(穩(wěn)定)(不穩(wěn)定)(大撓度理論)(小撓度理論)22crPPEI l壓桿單純受壓，不發(fā)生彎曲變形（撓度壓桿單純受壓，不發(fā)生彎曲變形（撓度D D0 0）。僅有惟）。僅有惟一平衡形式一平衡形式直線形式的原始平衡狀態(tài)，是穩(wěn)定的，直線形式的原始平衡狀態(tài)，是穩(wěn)定的，對應(yīng)原始平衡路徑對應(yīng)原始平衡路徑（OABOAB表示）。表示）。 第十一章第十一章 矩陣位移法矩陣位移法O1D穩(wěn)定平衡隨遇平衡不穩(wěn)定平衡DFPcrABCPFFP/2ll/2(穩(wěn)定)(不穩(wěn)定)(大撓度理論)(小撓度理論)c rPP具有兩種平衡形式：

7、具有兩種平衡形式：一是直線形式的一是直線形式的原始平衡狀態(tài)原始平衡狀態(tài)，是不穩(wěn)定的，對應(yīng)原始平，是不穩(wěn)定的，對應(yīng)原始平衡路徑衡路徑I I（由（由BCBC表示）表示）二是彎曲形式的二是彎曲形式的新的平衡狀態(tài)新的平衡狀態(tài)，對應(yīng)平衡路徑，對應(yīng)平衡路徑IIII（對于大（對于大撓度理論，用曲線撓度理論，用曲線BDBD表示；對于小撓度理論，曲線表示；對于小撓度理論，曲線BDBD退化退化為直線為直線BDBD1 1） 第十一章第十一章 矩陣位移法矩陣位移法O1D穩(wěn)定平衡隨遇平衡不穩(wěn)定平衡DFPcrABCPFFP/2ll/2(穩(wěn)定)(不穩(wěn)定)(大撓度理論)(小撓度理論)crPPB B點(diǎn)是路徑點(diǎn)是路徑與與的的分支

8、點(diǎn)分支點(diǎn)（也可理解為共解點(diǎn)）。該分支點(diǎn)處，（也可理解為共解點(diǎn)）。該分支點(diǎn)處，二平衡路徑同時(shí)并存，出現(xiàn)平衡形式的二重性（其平衡既可以二平衡路徑同時(shí)并存，出現(xiàn)平衡形式的二重性（其平衡既可以是原始直線形式，也可以是新的微彎形式）。是原始直線形式，也可以是新的微彎形式）。原始平衡路徑原始平衡路徑I I在該分支點(diǎn)處，由穩(wěn)定平衡轉(zhuǎn)變?yōu)椴环€(wěn)定平衡。在該分支點(diǎn)處，由穩(wěn)定平衡轉(zhuǎn)變?yōu)椴环€(wěn)定平衡。因此，這種形式的失穩(wěn)因此，這種形式的失穩(wěn)稱為稱為分支點(diǎn)失穩(wěn)分支點(diǎn)失穩(wěn)，對應(yīng)，對應(yīng)的荷載稱為第一類失穩(wěn)的荷載稱為第一類失穩(wěn)的臨界荷載，對應(yīng)的狀的臨界荷載，對應(yīng)的狀態(tài)稱為臨界狀態(tài)。態(tài)稱為臨界狀態(tài)。 第十一章第十一章 矩陣位移法

9、矩陣位移法crqFPcrPcrFFPcra) 受靜水壓力的圓弧拱單純受靜水壓力的圓弧拱單純受壓受壓轉(zhuǎn)為壓彎組合變形轉(zhuǎn)為壓彎組合變形b) 框架各柱單純受壓框架各柱單純受壓轉(zhuǎn)為壓彎組合變形轉(zhuǎn)為壓彎組合變形c) 梁平面彎曲梁平面彎曲轉(zhuǎn)為轉(zhuǎn)為斜彎曲和扭轉(zhuǎn)組合變形斜彎曲和扭轉(zhuǎn)組合變形分支點(diǎn)失穩(wěn)的幾個(gè)實(shí)例分支點(diǎn)失穩(wěn)的幾個(gè)實(shí)例理想體系的失穩(wěn)形式是理想體系的失穩(wěn)形式是分支點(diǎn)失穩(wěn)分支點(diǎn)失穩(wěn)。其特征是：喪失穩(wěn)。其特征是：喪失穩(wěn)定時(shí)，結(jié)構(gòu)的內(nèi)力狀態(tài)和平衡形式均發(fā)生質(zhì)的變化。因定時(shí)，結(jié)構(gòu)的內(nèi)力狀態(tài)和平衡形式均發(fā)生質(zhì)的變化。因此，亦稱此，亦稱質(zhì)變失穩(wěn)質(zhì)變失穩(wěn)（屬屈曲問題）。（屬屈曲問題）。第十一章第十一章 矩陣位移法矩

10、陣位移法PcrFO極值點(diǎn)Euler-FPcr初始D彈塑性工程柱彈性工程柱CBAPFeeFPFP0PF塑性a) 初彎曲柱初彎曲柱b) 初偏心柱初偏心柱c) 初偏心柱的初偏心柱的FP-D D 曲線曲線第二類失穩(wěn)（極值點(diǎn)失穩(wěn)）：第二類失穩(wěn)（極值點(diǎn)失穩(wěn)）：雖不出現(xiàn)新的變形形式，雖不出現(xiàn)新的變形形式，但結(jié)構(gòu)原來的變形將增大或材料的應(yīng)力超過其許可值，但結(jié)構(gòu)原來的變形將增大或材料的應(yīng)力超過其許可值，結(jié)構(gòu)不能正常工作。結(jié)構(gòu)不能正常工作。第十一章第十一章 矩陣位移法矩陣位移法當(dāng)達(dá)到當(dāng)達(dá)到C C點(diǎn)后，即使荷載減點(diǎn)后，即使荷載減小，撓度仍繼續(xù)迅速增大，小，撓度仍繼續(xù)迅速增大，即失去平衡的穩(wěn)定性。稱為即失去平衡的穩(wěn)定

11、性。稱為極值點(diǎn)失穩(wěn)。極值點(diǎn)失穩(wěn)。與極值點(diǎn)對應(yīng)的荷載稱為第與極值點(diǎn)對應(yīng)的荷載稱為第二類失穩(wěn)的臨界荷載。二類失穩(wěn)的臨界荷載。 PcrFO極值點(diǎn)Euler-FPcr初始D彈塑性工程柱彈性工程柱CBAPFeeFPFP0PF塑性平衡路徑以曲線平衡路徑以曲線OBAOBA表示。表示。按照小撓度理論，對于具有初偏心的彈塑性實(shí)際壓桿（彈按照小撓度理論，對于具有初偏心的彈塑性實(shí)際壓桿（彈塑性工程柱），塑性工程柱），C C點(diǎn)為極值點(diǎn)，荷載達(dá)到極限值。在達(dá)到點(diǎn)為極值點(diǎn)，荷載達(dá)到極限值。在達(dá)到C C點(diǎn)之前，每個(gè)值都對應(yīng)著一定的變形撓度；點(diǎn)之前，每個(gè)值都對應(yīng)著一定的變形撓度；第二類失穩(wěn)：第二類失穩(wěn)：極值點(diǎn)失穩(wěn)極值點(diǎn)失穩(wěn)

12、第十一章第十一章 矩陣位移法矩陣位移法非理想體系的失穩(wěn)形式是極值點(diǎn)失穩(wěn)。其特征是：喪失非理想體系的失穩(wěn)形式是極值點(diǎn)失穩(wěn)。其特征是：喪失穩(wěn)定時(shí)，結(jié)構(gòu)沒有內(nèi)力狀態(tài)和平衡形式質(zhì)的變化，而只穩(wěn)定時(shí)，結(jié)構(gòu)沒有內(nèi)力狀態(tài)和平衡形式質(zhì)的變化，而只有兩者量的漸變。因此，亦稱為有兩者量的漸變。因此，亦稱為量變失穩(wěn)量變失穩(wěn)（屬壓潰問（屬壓潰問題）。題）。 PcrFO極值點(diǎn)Euler-FPcr初始D彈塑性工程柱彈性工程柱CBAPFeeFPFP0PF塑性第二類失穩(wěn)：第二類失穩(wěn)：極值點(diǎn)失穩(wěn)極值點(diǎn)失穩(wěn) 第十一章第十一章 矩陣位移法矩陣位移法四、穩(wěn)定問題的實(shí)質(zhì)四、穩(wěn)定問題的實(shí)質(zhì) 強(qiáng)度問題的實(shí)質(zhì)是一個(gè)通過對結(jié)構(gòu)的內(nèi)力分析，來強(qiáng)

13、度問題的實(shí)質(zhì)是一個(gè)通過對結(jié)構(gòu)的內(nèi)力分析，來確定構(gòu)件最大應(yīng)力的位置和數(shù)值的問題。確定構(gòu)件最大應(yīng)力的位置和數(shù)值的問題。 穩(wěn)定問題的實(shí)質(zhì)是一個(gè)通過對結(jié)構(gòu)的變形分析，計(jì)穩(wěn)定問題的實(shí)質(zhì)是一個(gè)通過對結(jié)構(gòu)的變形分析，計(jì)入附加荷載效應(yīng)之后，來判斷結(jié)構(gòu)的原有位形是否能保入附加荷載效應(yīng)之后，來判斷結(jié)構(gòu)的原有位形是否能保持穩(wěn)定平衡的問題。持穩(wěn)定平衡的問題。第十一章第十一章 矩陣位移法矩陣位移法五、穩(wěn)定分析的自由度五、穩(wěn)定分析的自由度 體系穩(wěn)定分析的自由度體系穩(wěn)定分析的自由度確定結(jié)構(gòu)失穩(wěn)時(shí)所有的確定結(jié)構(gòu)失穩(wěn)時(shí)所有的變形狀態(tài)所需的獨(dú)立幾何參數(shù)（位移參數(shù)）的數(shù)目，用變形狀態(tài)所需的獨(dú)立幾何參數(shù)（位移參數(shù)）的數(shù)目，用W W表

14、示。表示。) x (yxEI=EI2yy1FPFPPF0EI =0a) W=1b) W=2c) W=第十一章第十一章 矩陣位移法矩陣位移法一、靜力法及其計(jì)算步驟一、靜力法及其計(jì)算步驟在分支點(diǎn)失穩(wěn)問題中，臨界在分支點(diǎn)失穩(wěn)問題中，臨界狀態(tài)的狀態(tài)的靜力特征靜力特征是：是：平衡形平衡形式具有二重性。式具有二重性。靜力法的要靜力法的要點(diǎn)是：點(diǎn)是：在原始平衡路徑之外，在原始平衡路徑之外，尋找新的平衡路徑，確定二尋找新的平衡路徑，確定二者交叉的分支點(diǎn)，從而求出者交叉的分支點(diǎn)，從而求出臨界荷載。臨界荷載。 O1D穩(wěn)定平衡隨遇平衡不穩(wěn)定平衡DFPcrABCPFFP/2ll/2(穩(wěn)定)(不穩(wěn)定)(大撓度理論)(小

15、撓度理論)13-2 13-2 確定臨界荷載的靜力法確定臨界荷載的靜力法 假定體系處于假定體系處于微彎失穩(wěn)微彎失穩(wěn)的臨界狀態(tài)，列出相應(yīng)的臨界狀態(tài)，列出相應(yīng)的平衡微分方程，進(jìn)而求解臨界荷載的方法。的平衡微分方程，進(jìn)而求解臨界荷載的方法。第十一章第十一章 矩陣位移法矩陣位移法1 1）假設(shè)臨界狀態(tài)時(shí)體系的新的平衡形式）假設(shè)臨界狀態(tài)時(shí)體系的新的平衡形式( (失穩(wěn)形式失穩(wěn)形式) )。2 2）根據(jù)靜力平衡條件，建立）根據(jù)靜力平衡條件，建立臨界狀態(tài)平衡方程臨界狀態(tài)平衡方程。3 3）根據(jù)平衡具有二重性靜力特征）根據(jù)平衡具有二重性靜力特征( (位移有非零解位移有非零解) )，建，建立特征方程，習(xí)慣稱立特征方程，習(xí)

16、慣稱穩(wěn)定方程穩(wěn)定方程。4 4）解穩(wěn)定方程，求特征根，即）解穩(wěn)定方程，求特征根，即特征荷載值特征荷載值。5 5）由最小的特征荷載值，確定臨界荷載）由最小的特征荷載值，確定臨界荷載( (結(jié)構(gòu)所能承結(jié)構(gòu)所能承受的壓力必須小于這個(gè)最小特征荷載值，才能維持受的壓力必須小于這個(gè)最小特征荷載值，才能維持其穩(wěn)定平衡其穩(wěn)定平衡) )。 靜力法計(jì)算步驟靜力法計(jì)算步驟第十一章第十一章 矩陣位移法矩陣位移法（2 2）建立臨界狀態(tài)的平衡方程）建立臨界狀態(tài)的平衡方程 二、靜力法計(jì)算示例二、靜力法計(jì)算示例以圖示的一個(gè)單自由度體系為例。以圖示的一個(gè)單自由度體系為例。（1 1）假設(shè)失穩(wěn)形式，如圖所示）假設(shè)失穩(wěn)形式，如圖所示0A

17、M 0RBPlFlRBFkl2()0Plkl彈簧反力彈簧反力于是有于是有第十一章第十一章 矩陣位移法矩陣位移法00方程有兩個(gè)解，其一為零解，方程有兩個(gè)解，其一為零解，對應(yīng)于原始平衡路徑對應(yīng)于原始平衡路徑I (I (圖中圖中OABOAB) )；其二為非零解，；其二為非零解，對應(yīng)于新的平衡路徑對應(yīng)于新的平衡路徑II (II (圖中圖中ACAC或或ACAC1 1) ) （3 3）建立穩(wěn)定方程：）建立穩(wěn)定方程：2()0PlklBRFCkPFAOC1Bkl=PcrF1BBABAlFPFPEI0=(穩(wěn)定)(不穩(wěn)定)(隨遇平衡)二、靜力法計(jì)算示例二、靜力法計(jì)算示例（2 2）建立臨界狀態(tài)的平衡方程）建立臨界狀

18、態(tài)的平衡方程 以圖示的一個(gè)單自由度體系為例。以圖示的一個(gè)單自由度體系為例。（1 1）假設(shè)失穩(wěn)形式，如圖所示）假設(shè)失穩(wěn)形式，如圖所示第十一章第十一章 矩陣位移法矩陣位移法為了得到非零解，方程的系數(shù)應(yīng)為零為了得到非零解，方程的系數(shù)應(yīng)為零Plkl 20 稱為稱為穩(wěn)定方程穩(wěn)定方程。由此方程知，平衡路徑由此方程知，平衡路徑為水平直線。為水平直線。（3 3）建立穩(wěn)定方程：）建立穩(wěn)定方程：2()0PlklBRFCkPFAOC1Bkl=PcrF1BBABAlFPFPEI0=(穩(wěn)定)(不穩(wěn)定)(隨遇平衡)二、靜力法計(jì)算示例二、靜力法計(jì)算示例（2 2）建立臨界狀態(tài)的平衡方程）建立臨界狀態(tài)的平衡方程 以圖示的一個(gè)單

19、自由度體系為例。以圖示的一個(gè)單自由度體系為例。（1 1）假設(shè)失穩(wěn)形式，如圖所示）假設(shè)失穩(wěn)形式，如圖所示第十一章第十一章 矩陣位移法矩陣位移法（4 4）解穩(wěn)定方程，求特征荷載值：）解穩(wěn)定方程，求特征荷載值：Pkl crPkl （5 5）確定臨界荷載：對于單自由度體系，該惟一的）確定臨界荷載：對于單自由度體系，該惟一的特征荷載值即為臨界荷載特征荷載值即為臨界荷載（3 3）建立穩(wěn)定方程：）建立穩(wěn)定方程：BRFCkPFAOC1Bkl=PcrF1BBABAlFPFPEI0=(穩(wěn)定)(不穩(wěn)定)(隨遇平衡)二、靜力法計(jì)算示例二、靜力法計(jì)算示例（2 2）建立臨界狀態(tài)的平衡方程）建立臨界狀態(tài)的平衡方程 以圖示的

20、一個(gè)單自由度體系為例。以圖示的一個(gè)單自由度體系為例。（1 1）假設(shè)失穩(wěn)形式，如圖所示）假設(shè)失穩(wěn)形式，如圖所示2()0Plkl第十一章第十一章 矩陣位移法矩陣位移法例例13-113-1：圖示兩個(gè)自由度的體系。各桿均為剛性桿，在鉸：圖示兩個(gè)自由度的體系。各桿均為剛性桿，在鉸結(jié)點(diǎn)結(jié)點(diǎn)B B和和C C處為彈簧支承，其剛度系數(shù)均為處為彈簧支承，其剛度系數(shù)均為k k。體系在。體系在A A、D D兩端有壓力作用。試用靜力法求其臨界荷載。兩端有壓力作用。試用靜力法求其臨界荷載。 (1)(1)假設(shè)失穩(wěn)形式，如圖所示。位移參數(shù)為假設(shè)失穩(wěn)形式，如圖所示。位移參數(shù)為y y1 1和和 y y2 2各支座反力分別為別計(jì)算

21、如圖示各支座反力分別為別計(jì)算如圖示第十一章第十一章 矩陣位移法矩陣位移法（2 2）建立臨界狀態(tài)平衡方程：分別?。┙⑴R界狀態(tài)平衡方程：分別取A-BA-B1 1-C-C1 1部分和部分和B B1 1- -C C1 1-D-D部分為隔離體，則有部分為隔離體，則有 1111()()00CBCBMM以左部分以右部分112221()20()20PPF yky llPylF yky llPyl1212(2)0(2)0klP yPyPyklP y關(guān)于位移參數(shù)為關(guān)于位移參數(shù)為y y1 1和和 y y2 2的齊次線性方程組的齊次線性方程組 第十一章第十一章 矩陣位移法矩陣位移法120yy202klPPDPklP

22、建立穩(wěn)定方程：建立穩(wěn)定方程：則對應(yīng)于原始平衡形式，相應(yīng)于沒有喪失穩(wěn)定的情況則對應(yīng)于原始平衡形式，相應(yīng)于沒有喪失穩(wěn)定的情況1y2y不全為零，則對應(yīng)于相應(yīng)新的平衡形式不全為零，則對應(yīng)于相應(yīng)新的平衡形式此方程就是穩(wěn)定方程。此方程就是穩(wěn)定方程。第十一章第十一章 矩陣位移法矩陣位移法解穩(wěn)定方程，求特征荷載值：解穩(wěn)定方程，求特征荷載值：22(2 )0klPP13Pkl2Pkl3crPkl由此解得兩個(gè)特征荷載值，即由此解得兩個(gè)特征荷載值，即確定臨界荷載值：取二特征荷載值中最小者，確定臨界荷載值：取二特征荷載值中最小者，得得第十一章第十一章 矩陣位移法矩陣位移法【討論討論】將以上二特征荷載值分別回代，可求得對

23、應(yīng)位將以上二特征荷載值分別回代，可求得對應(yīng)位移參數(shù)的比值。移參數(shù)的比值。第十一章第十一章 矩陣位移法矩陣位移法例例13-213-2：試用靜力法求圖所示結(jié)構(gòu)的臨界荷載。彈簧剛：試用靜力法求圖所示結(jié)構(gòu)的臨界荷載。彈簧剛度系數(shù)為度系數(shù)為k k。(1)(1)假設(shè)失穩(wěn)形式，如圖所示，位移參數(shù)為假設(shè)失穩(wěn)形式，如圖所示，位移參數(shù)為d d 。ClFPRFkPFFP1BABDClllFPCDBAEI0=1DClFPRFkPFFP1BABDClllFPCDBAEI0=1D第十一章第十一章 矩陣位移法矩陣位移法0CM ()2()0PPFlFkllddd(3)0PFkld30PFkl建立臨界狀態(tài)平衡方程：建立臨界狀態(tài)

24、平衡方程：建立穩(wěn)定方程：建立穩(wěn)定方程：ClFPRFkPFFP1BABDClllFPCDBAEI0=1D未知量未知量d d 有非零解的條件是有非零解的條件是第十一章第十一章 矩陣位移法矩陣位移法3PklF 3crPklPF解穩(wěn)定方程，得特征荷載值解穩(wěn)定方程，得特征荷載值:確定臨界荷載為確定臨界荷載為:第十一章第十一章 矩陣位移法矩陣位移法三、無限自由度體系的穩(wěn)定計(jì)算三、無限自由度體系的穩(wěn)定計(jì)算( (靜力法靜力法) ) 用靜力法計(jì)算無限自由度體系穩(wěn)定問題有兩個(gè)特點(diǎn)：用靜力法計(jì)算無限自由度體系穩(wěn)定問題有兩個(gè)特點(diǎn)：用靜力法計(jì)算圖示彈性理想壓桿的臨界荷載。用靜力法計(jì)算圖示彈性理想壓桿的臨界荷載。 （1

25、1）假設(shè)失穩(wěn)形式，如圖中實(shí)線所示。）假設(shè)失穩(wěn)形式，如圖中實(shí)線所示。（2 2）建立臨界狀態(tài)平衡方程：）建立臨界狀態(tài)平衡方程：EIyM MPyRx第二，臨界狀態(tài)平衡方程為微分方程。第二，臨界狀態(tài)平衡方程為微分方程。第一，位移參數(shù)為無窮多個(gè)；第一，位移參數(shù)為無窮多個(gè)；按小撓度理論，壓桿彈性曲線的近似微按小撓度理論，壓桿彈性曲線的近似微分方程為分方程為第十一章第十一章 矩陣位移法矩陣位移法EIyPyRx PRyyxEIEI 2PEI2RyyxEI 這是關(guān)于位移參數(shù)這是關(guān)于位移參數(shù)y y 的的非齊次常微分方程。非齊次常微分方程。 （3 3）建立穩(wěn)定方程：）建立穩(wěn)定方程： 112cossinRyCxCxx

26、P上式的通解為上式的通解為 第十一章第十一章 矩陣位移法矩陣位移法常數(shù)常數(shù)C C1 1、C C2 2和未知力和未知力R R/ /P P 可由邊界條件確定：可由邊界條件確定：0 x 0y 10C xl0y 0y 22sin0cos0RCllPRClP 對應(yīng)于彎曲的新的平衡形式的對應(yīng)于彎曲的新的平衡形式的y y( (x x) )不恒等于零不恒等于零 112cossinRyCxCxxP第十一章第十一章 矩陣位移法矩陣位移法sin0cos1llDltanll解穩(wěn)定方程，求特征荷載值：解穩(wěn)定方程，求特征荷載值：采用圖解法時(shí)，作采用圖解法時(shí)，作1tanyl2yl和兩組線，其交點(diǎn)即為方程的解兩組線，其交點(diǎn)即

27、為方程的解答，結(jié)果得到無窮多個(gè)解答，結(jié)果得到無窮多個(gè)解 由最小特征值荷載，確定臨界荷載：由最小特征值荷載，確定臨界荷載：min4.493l2222224.49320.190.7crEIEIEIPEIlll常數(shù)常數(shù)C C1 1、C C2 2和未知力和未知力R/PR/P不全為零：不全為零：左式為左式為“超越方程超越方程”l z02 23 225 493. 4lz ltgz 第十一章第十一章 矩陣位移法矩陣位移法例例13-313-3：圖示為一底端固定、頂端一段有著無窮大剛度：圖示為一底端固定、頂端一段有著無窮大剛度的直桿。試用靜力法求其臨界荷載。的直桿。試用靜力法求其臨界荷載。(1)(1)假設(shè)失穩(wěn)形

28、式，如圖中實(shí)線所示。假設(shè)失穩(wěn)形式，如圖中實(shí)線所示。 (2)(2)建立臨界狀態(tài)平衡方程：建立臨界狀態(tài)平衡方程：底段的彈性曲線近似方程為底段的彈性曲線近似方程為EIyM MP ayEIyP ay PPyyaEIEI 第十一章第十一章 矩陣位移法矩陣位移法例例13-313-3：圖示為一底端固定、頂端一段有著無窮大剛度：圖示為一底端固定、頂端一段有著無窮大剛度的直桿。試用靜力法求其臨界荷載。的直桿。試用靜力法求其臨界荷載。(1)(1)假設(shè)失穩(wěn)形式，如圖中實(shí)線所示。假設(shè)失穩(wěn)形式，如圖中實(shí)線所示。 PFxla1OOyAEIaBB1yx=0EI(2)(2)建立臨界狀態(tài)平衡方程：建立臨界狀態(tài)平衡方程：PPyy

29、aEIEI 2PEI22yya (3)(3)建立穩(wěn)定方程建立穩(wěn)定方程 通解為通解為 cossinyAxBxa第十一章第十一章 矩陣位移法矩陣位移法PFxla1OOyAEIaBB1yx=0EI(3)(3)建立穩(wěn)定方程建立穩(wěn)定方程 cossinyAxBxa0 x 0y y xl0y ，0000sincos0AaBAlBl例例13-313-3：圖示為一底端固定、頂端一段有著無窮大剛度：圖示為一底端固定、頂端一段有著無窮大剛度的直桿。試用靜力法求其臨界荷載。的直桿。試用靜力法求其臨界荷載。(1)(1)假設(shè)失穩(wěn)形式，如圖中實(shí)線所示。假設(shè)失穩(wěn)形式，如圖中實(shí)線所示。 (2)(2)建立臨界狀態(tài)平衡方程：建立臨

30、界狀態(tài)平衡方程：第十一章第十一章 矩陣位移法矩陣位移法PFxla1OOyAEIaBB1yx=0EI(3)(3)建立穩(wěn)定方程建立穩(wěn)定方程 例例13-313-3：圖示為一底端固定、頂端一段有著無窮大剛度：圖示為一底端固定、頂端一段有著無窮大剛度的直桿。試用靜力法求其臨界荷載。的直桿。試用靜力法求其臨界荷載。(1)(1)假設(shè)失穩(wěn)形式，如圖中實(shí)線所示。假設(shè)失穩(wěn)形式，如圖中實(shí)線所示。 (2)(2)建立臨界狀態(tài)平衡方程：建立臨界狀態(tài)平衡方程：穩(wěn)定方程穩(wěn)定方程 10010sincos0aDllsincos0all1tanla第十一章第十一章 矩陣位移法矩陣位移法PFxla1OOyAEIaBB1yx=0EI(

31、3)(3)建立穩(wěn)定方程建立穩(wěn)定方程 例例13-313-3：圖示為一底端固定、頂端一段有著無窮大剛度：圖示為一底端固定、頂端一段有著無窮大剛度的直桿。試用靜力法求其臨界荷載。的直桿。試用靜力法求其臨界荷載。(1)(1)假設(shè)失穩(wěn)形式，如圖中實(shí)線所示。假設(shè)失穩(wěn)形式，如圖中實(shí)線所示。 (2)(2)建立臨界狀態(tài)平衡方程：建立臨界狀態(tài)平衡方程：(4)(4)解特征方程，求特征荷載值：解特征方程，求特征荷載值：由試算法或圖解法，可解得由試算法或圖解法，可解得a a值。值。(5)(5)確定臨界荷載：確定臨界荷載： 取各取各 值中的最小者，代入值中的最小者，代入2P EI，便可得到所求的臨界荷載值。，便可得到所求

32、的臨界荷載值。 第十一章第十一章 矩陣位移法矩陣位移法【討論討論】 一端固定、另一端為自由端。一端固定、另一端為自由端。即即 0 0 OyyEIA1OPFlxxtanl cot0lmin2l2cr24EIPl第十一章第十一章 矩陣位移法矩陣位移法【討論討論】 取取 l EIAPFB1Ba=lll/2/2l=alB1BFPAEI=0EIEI0=1tanllmin0.861l20.741crEIPl第十一章第十一章 矩陣位移法矩陣位移法一、用能量原理建立的能量準(zhǔn)則（適用于單自由度體系）一、用能量原理建立的能量準(zhǔn)則（適用于單自由度體系）1 1、三種平衡狀態(tài)、三種平衡狀態(tài)（1 1）穩(wěn)定平衡：）穩(wěn)定平衡：偏離平衡位置，總勢能增加。偏離平衡位置，總勢能增加。（2 2）不穩(wěn)定平衡：）不穩(wěn)定平衡：偏離平衡位置，總勢能減少。偏離平衡位置，總勢能減少。（3 3）隨遇平衡：）隨遇平衡： 偏離平衡位置，總勢能不變。偏離平衡位置，總勢能不變。圖圖1 1圖圖2 2圖圖3 313-3 13-3 確定臨界荷載的能量法確定臨界荷載的能量法第十一章第十一章 矩陣位移法矩陣位移法2 2、解題思路、解題思路（1 1）當(dāng)外力為保守力系時(shí)）當(dāng)外力為保