初二三角形證明的中考題

1、第一章三角形的證明測試卷（源于中考的試題）參考答案與試題解析一.選擇題（共9小題）1. （2013?郴州）如圖，在 RtACB中，/ACB=90 , /A=25 , D是 AB上一點(diǎn).將RtABC沿CD折疊，使B點(diǎn)落在AC邊上的B'處，則/ ADB等于（）A. 25°B. 30 °C. 35 °D. 40°解答： 解：.在 RtACB中，Z ACB=90 , Z A=25° ,/ B=90° - 25° =65° , CDB由4CDB反折而成，./CB D=Z B=65 ,/CB D 是AB' D

2、的外角， ./ADB =/CB D- /A=65 -25° =40° . 故選D.2. （2012?濰坊）輪船從B處以每小時50海里的速度沿南偏東 30°方向勻速航行，在B處觀測燈塔A位于南偏東75°方向上，輪船航行半小時到達(dá) C處，在C處觀測燈塔A位于北偏東60°方向上，則C處與燈塔A的距離是（）海里.A. 25 ：；B. 25 ：C. 50D. 25解解：根據(jù)題意， 答：Z 1=7 2=30° ,/ ACD=60 , / ACB=30 +60° =90° , / CBA=75 - 30° =45

3、76; , ABC為等腰直角三角形，BC=50< =25, .AC=BC=2 5 海里）. 故選D.3. （2011?貴陽）如圖， ABC中，/ C=90 , AC=3 / B=30°，點(diǎn) P是 BC邊上的動點(diǎn)，則AP長不可能是（）ABCD 7解 解：根據(jù)垂線段最短，可知 AP的長不可小于3； 答：. ABC中，/ C=90 , AC=3 /B=30° , .AB=6.AP的長不能大于6. 故選D.4. （2012?銅仁地區(qū)）如圖，在 ABC中，/ ABC和/ ACB的平分線交于點(diǎn) E,過點(diǎn)E作MN/ BC交AB于M 交AC于N,若BM+CN=9則線段 MN的長為（）

4、A 6B 7C 8D 9等腰三角形的判定與性質(zhì)；平行線的性質(zhì)：分 由/ABC / ACB的平分線相交于點(diǎn) E, /MBE=EBC / ECNW ECB利用兩直線平行，內(nèi)錯角 析：相等，利用等量代換可/ MBE=MEB /NECW ECN然后即可求得結(jié)論.解 解：./ABC /ACB的平分線相交于點(diǎn) E, 答： ，/MBE=EBC /ECNW ECB. MIN/ BC / EBCW MEB / NECW ECB / MBE= MEB / NECW ECN.BM=ME EN=CN .MN=ME+E N 即 MN=BM+C N .BM+CN=9 .MN=9 故選 D.5. （2011?恩施州）如圖，

5、 AD是AABC的角平分線，DF!AB,垂足為 F, DE=DGADGf口AAED的面積分別為 50和39,貝EDF的面積為（）A 11BC 7D考點(diǎn)專題分析解答角平分線的性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì)計(jì)算題；壓軸題作DM=DE< AC于M彳DNLAC利用角平分線的性質(zhì)得到DN=DF將三角形EDF的面積轉(zhuǎn)化為三角形DNM勺面積來求.解：作 DM=D& AC于 M,彳DNL AC DE=DG DM=DE . DM=D G 人口是 ABC的角平分線，D。AR.DF=DN在 RtDEF和 RtADMM3,DNRF,（M=DE Rt ADEfFRt ADMN（ HL）, ADG和AED的面

6、積分別為 50和39,''' S AMD=SADC3- SzADI=50 39=11 ,SADNh=SADEF=SaMD（=A - -= 22故選B.點(diǎn)本題考查了角平分線的性質(zhì)及全等三角形的判定及性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是正確地作出輔助線，將評：所求的三角形的面積轉(zhuǎn)化為另外的三角形的面積來求.6. （2012?廣州）在 RtABC中,/ C=90 , AC=9 BC=12 則點(diǎn) C至U AB的距離是（）A.B.C.D.解 解：根據(jù)題意畫出相應(yīng)的圖形，如圖所示：答： 在 RtABC中，AC=9 BC=12根據(jù)勾股定理得：AB=J皿2 + bc 2=15,過C作CDL AB,交AB

7、于點(diǎn)D,又 SAabc=-AC?BC=AB?CD 22 CD-CD- ,AB 155則點(diǎn)C到AB的距離是理.故選A57. （2007?蕪湖）如圖，在 ABC中 ACLBC CEELAB,垂足分別為 D、E, AQ CE交于點(diǎn)H,已知EH-EB-3 AE-4貝（J CH的長是（）A. 1B. 2C. 3D. 4解 解：在 ABC 中，ADL BC CEL AB 答：./AEH- ADB-90 ; . /EAH+AHE=90 , / DHC+BCH-90 , / EHAW DHC（對頂角相等）， / EAHW DCH（等量代換）； 在 BCE 和 4HAE 中 rZBEC=ZHEA& ZB

8、CE=ZHAE,BE=HE=3 .AEHACEB（ AAS）;.AE=CE EH=EB=3 AE=4, .CH=CE EH=AE- EH=4- 3=1.故選 A.8. （2011?泰安）如圖，點(diǎn)O是矩形ABCD勺中心，E是AB上的點(diǎn)，沿CE折疊后，點(diǎn)B恰好與點(diǎn)O重合，若BC=3則折痕CE的長為（）A.B.C.D. 6解答：解：.CEO是4CEB翻折而成，BC=OC BE=OE /B=/ COE=90 ,EQL AC'.'O是矩形 ABCD勺中心,. OE是AC的垂直平分線，AC=2BC=2 3=6,.AE=CE在 RtMBC中,aC=aB+bC,即 62=aB"+32

9、,解得 AB=3/3,在 RtAOE中，設(shè) OE=x 貝U AE=3/3-x,aE'=AC2+O ,即（371x） 2=32+x2,解得 x=/3, ，AE=EC=3/1-丘=2 百.故選A.9. （2012?深圳）如圖，已知：/ MON=30,點(diǎn) A、人、人在射線 ON止，點(diǎn)B、B2、R在射線 OM上，A1BA、A2B2A、AA 3®A均為等邊三角形，若 OA=1,則AAgBA的邊長為（）A. 6B. 12C. 32D. 64解 B： A 1B1A2是等邊三角形， 答：，A1B=A2B1, Z3=Z4=712=60° ,.Z 2=120° , / MON

10、=30 , / 1=180° 120° 30° =30° , 又 /3=60° ,.,-7 5=180° -60° -30° =90° ,. /MON =1=30° , .OA=A1B1=1,A 2B=1, A 2B2A3、 A 3B3A4 是等邊二角形，/11=/10=60° , Z 13=60° ,1. Z 4=712=60° , .A1B1 /A2E2/A3E3, B1A2 / B 2A3, /1=/6=/7=30° , Z 5=Z 8=90

11、6; , .A2B>=2B1A2, B3A3=2BA, .A3B3=4B1A2=4,A4B4=8BiA2 = 8,A5B5=163A2=16,以此類推： 4B5=32B1A2=32.故選：C.二.填空題（共8小題）10. （2011?懷化）如圖，在 ABC中，AB=AC / BAC的角平分線交 BC邊于點(diǎn)D,AB=5, BC=6 貝U AD= 4 .考點(diǎn)：勾股定理；等腰三角形的性質(zhì).分析：首先根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)：等腰三角形的三線合一，求出DB=DcicB, ACLBC再利用勾2股定理求出AD的長.解答：解：AB=AC AD是/ BAC的角平分線，DB=DC=CB=3 ADL BC在 R

12、tABD中，,.aD"+bD=aB',AD=二=4，故答案為：4.點(diǎn)評：此題主要考查了等腰三角形的性質(zhì)與勾股定理的應(yīng)用，做題的關(guān)鍵是根據(jù)等腰三角形的性質(zhì) 證出4ADB是直角三角形.11. （2011?衡陽）如圖所示，在 ABC 中，/ B=90° , AB=3, AC=5 將AABCW疊，使點(diǎn)C與點(diǎn)A重合，折痕為DE,貝QABE的周長為7 .考點(diǎn)：翻折變換（折疊問題）；勾股定理.專題：壓軸題；探究型.分析：先根據(jù)勾股定理求出 BC的長，再根據(jù)圖形翻折變換的性質(zhì)得出AE=CE進(jìn)而求出 ABE的周長.解答：解：在 4ABC 中，Z B=90° , AB=3,

13、AC=5BC=. '' - 1'=.L二=4， ADE>A CDE 翻折而成，.AE=CE，AE+BE=BC=4 .ABE 的周長=AB+BC=3+4=7故答案為：7.點(diǎn)評：本題考查的是圖形翻折變換的性質(zhì)，即折疊是一種對稱變換，它屬于軸對稱，折疊前后圖形 的形狀和大小不變，位置變化，對應(yīng)邊和對應(yīng)角相等.12. （2010?濱州）如圖，等邊 ABC的邊長為6, AD是BC邊上的中線，M是AD上的動點(diǎn)，E是AC邊上一點(diǎn)，若 AE=2 EM+CMJ最小值為 _2寸?考點(diǎn)：軸對稱-最短路線問題；勾股定理.專題：壓軸題；動點(diǎn)型.分析：要求em+cMj最小值，需考慮通過作輔助

14、線轉(zhuǎn)化EM CM的值，從而找出其最小值求解.解答：解：連接BE,與AD交于點(diǎn)M.則BE就是EM+CMJ最小值.取CE中點(diǎn)F,連接DF. 等邊 ABC的邊長為6, AE=2,.CE=AC AE=6- 2=4, .CF=EF=AE=2又AD是BC邊上的中線， .DF是 BCE的中位線，BE=2DF BE/ DF,又TE為AF的中點(diǎn)， .M為AD的中點(diǎn)， .ME是4ADF的中位線， .DF=2M EBE=2DF=4M E.BM=BE ME=4ME ME=3MEBEM3在直角 4BDM中，BDBC=3 DM=Ad£Z1,222 bm版不談=pv，4 H j-j-BE=；J 乙 .EM+CM=

15、BE . em+cM勺最小值為2VY.點(diǎn)評：考查等邊三角形的性質(zhì)和軸對稱及勾股定理等知識的綜合應(yīng)用.13. （2013?泰安）如圖，在 RtABC中，/ ACB=90 , AB的垂直平分線 DE交AC于E,交BC的延長線于F,若/ F=30° , DE=1,貝BE的長是 2 .考點(diǎn)：含30度角的直角三角形；線段垂直平分線的性質(zhì).專題：壓軸題.分析：根據(jù)同角的余角相等、等腰 ABE的性質(zhì)推知/ DBE=30 ,則在直角 DBE中由“30度角所對的直角邊是斜邊的一半”即可求得線段BE的長度.解答：解：./ACB=90 , F»AR，/ACB= FDB=90 ,/ F=30

16、76; ,Z A=Z F=30° （同角的余角相等）.又AB的垂直平分線 DE交AC于E,/EBA至 A=30° , . 直角 DBE 中,BE=2DE=2故答案是：2 .點(diǎn)評：本題考查了線段垂直平分線的性質(zhì)、 含30度角的直角三角形.解題的難點(diǎn)是推知/ EBA=30 .14. （2013?黔西南州）如圖，已知 ABC是等邊三角形，點(diǎn) B、C、D、E在同一直線上，且 CG=CD DF=DE貝u/ E= 15 度.考點(diǎn)：等邊三角形的性質(zhì)；三角形的外角性質(zhì)；等腰三角形的性質(zhì).專題：壓軸題.分析：根據(jù)等邊三角形三個角相等，可知/ ACB=60 ,根據(jù)等腰三角形底角相等即可得出/E

17、的度數(shù).解答：解：.ABC是等邊三角形， ./ACB=60 , / ACD=120 ,.CG=CD，/CDG=30 , / FDE=150 ,.DF=DE ./ E=15 . 故答案為：15.點(diǎn)評：本題考查了等邊三角形的性質(zhì)，互補(bǔ)兩角和為180°以及等腰三角形的性質(zhì)，難度適中.15. （2005?綿陽）如圖，在 ABC中，BC=5cm BP、CP分另是/ ABC和/ ACB的角平分線，且 PD/AR PE/ZAC貝UPDE的周長是 5 cm.考點(diǎn)：等腰三角形的判定與性質(zhì)；平行線的性質(zhì).專題：壓軸題.分析：分別利用角平分線的性質(zhì)和平行線的判定，求得 DBP和4ECP為等腰三角形，由等腰

18、三角形的性質(zhì)得BD=PD CE=PE那么PDE的周長就轉(zhuǎn)化為 BC邊的長，即為5cm.解答：解：1. BR CP分別是/ ABC和/ ACB的角平分線， /ABP至 PBD /ACPW PCE PD/ AB, PE/ AC /ABP至 BPD /ACPW CPE /PBDW BPD /PCEW CPE.BD=PD CE=PE PDE 的周長=PD+DE+PE=BD+DE+EC=BC=5cm答： PDE的周長是 5cm.點(diǎn)評：此題主要考查了平行線的判定，角平分線的性質(zhì)及等腰三角形的性質(zhì)等知識點(diǎn).本題的關(guān)鍵是將 PDE的周長就轉(zhuǎn)化為BC邊的長.17. （2005?十堰）如圖中的螺旋由一系列直角三角

19、形組成，則第n個三角形的面積為正.考點(diǎn)：勾股定理.專題：規(guī)律型.分析：根據(jù)勾股定理，逐一進(jìn)行計(jì)算，從中尋求規(guī)律，進(jìn)行解答. 解答：解：根據(jù)勾股定理：2第一個二角形中： OA=1+1, $=1X1+2;第二個三角形中： OA2=OA2+1=1+1+1, &=OAX 1 + 2=近11 X 1 + 2;第三個三角形中： OA2=OA2+1=1+1+1 + 1, S3=OAX1 + 2=V1+1+1 X1 + 2; 第n個三角形中：與5*1 + 2=近.點(diǎn)評：本題主要考查了勾股定理的應(yīng)用，要注意圖中三角形的面積的變化規(guī)律.三.解答題（共5小題）18. （2013?溫州）如圖，在 ABC中，/

20、 C=90 , AD平分/ CAB交CB于點(diǎn)D, 過點(diǎn)D作DHAB于點(diǎn)E.（1）求證：4AC陰 AAED（2）若/ B=30° , CD=1 求 BD的長.考點(diǎn)：全等三角形的判定與性質(zhì)；角平分線的性質(zhì)；含30度角的直角三角形.分析：（1）根據(jù)角平分線性質(zhì)求出 CD=DE根據(jù)HL定理求出另三角形全等即可；（2）求出/ DEB=90 , DE=1,根據(jù)含30度角的直角三角形性質(zhì)求出即可.解答：（1）證明：.AD 平分 / CAB DEL AR / C=90 , .CD=ED / DEAW C=90 , .在 RtACD和 RtAED中 RtMC國RtAAED（ HD； （2）解：DC=D

21、E=1 DEL AB,/ DEB=90 , / B=30° , BD=2DE= 2 點(diǎn)評：本題考查了全等三角形的判定，角平分線性質(zhì)，含30度角的直角三角形性質(zhì)的應(yīng)用，注意：角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等.19. （2013?沈陽）如圖，AABO, AB=BCBEJ_AC于點(diǎn) E, ADLBC于點(diǎn) D, / BAD=45 ,AD與BE交于點(diǎn)F,連接CF.(1)求證：BF=2AE(2)若CD形，求AD的長.考點(diǎn)：全等三角形的判定與性質(zhì)；勾股定理.專題：證明題；壓軸題.分析：(1)先判定出 ABD是等腰直角三角形，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)可得AD=BD再根據(jù)同角的余角相等求出/ CADW CBE然后利用“角邊角”證明 ADC 和4BDF全等，根據(jù)全等三 角形對應(yīng)邊相等可得 BF=AC再根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)可得AC=2AF從而得證；(2)根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等可得 DF=CD然后利用勾股定理列式求出 CF,再根據(jù)線段 垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩端點(diǎn)的距離相等可得AF=CF然后根