極限存在準(zhǔn)則兩個(gè)重要極限(16)課件VIP

1、第六節(jié)第六節(jié) 極限存在準(zhǔn)則與兩個(gè)重要極限極限存在準(zhǔn)則與兩個(gè)重要極限xAynznxn準(zhǔn)則準(zhǔn)則1:,滿滿足足下下列列條條件件若若數(shù)數(shù)列列nnnzyxnnnzxy )1(;limlim )2(Azynnnn .lim Axnn 則則);(0Nn ,1 AyNnn恒恒有有時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng),max021NNNN 取取, AyAn,2 AzNnn恒恒有有時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng), AzAn,成成立立即即 Axn.limAxnn 數(shù)列的極限存在準(zhǔn)則數(shù)列的極限存在準(zhǔn)則1可以推廣到函數(shù)情形可以推廣到函數(shù)情形:,恒有恒有時(shí)時(shí)則當(dāng)則當(dāng)Nn nnnzxy A, A證明證明,AzAynn, 0, 0, 021 NN :使得使得準(zhǔn)則準(zhǔn)則 1和和

2、準(zhǔn)則準(zhǔn)則1 稱為稱為夾逼準(zhǔn)則夾逼準(zhǔn)則.準(zhǔn)則準(zhǔn)則1:)(),(),(的附近滿足下列條件的附近滿足下列條件在在若若axhxgxf)()()( )1(xhxfxg ;)(lim)(lim )2(Axhxgaxax .)(lim Axfax 則則 0 x 0 x0 x)(xhy )(xgy )(xfy Ay Ay Ay);(的的附附近近在在a例例1 1).12111(lim222nnnnn 求求解解, nxnnn 212 nnnnnnnn111limlim2 又又, 1 22111lim1limnnnnn , 1 由夾逼準(zhǔn)則得：由夾逼準(zhǔn)則得：原式原式=1.2. 單調(diào)有界準(zhǔn)則單調(diào)有界準(zhǔn)則:nx對(duì)于數(shù)列對(duì)

3、于數(shù)列,121 nnxxxx若若nx則稱數(shù)列則稱數(shù)列單調(diào)增加單調(diào)增加,121 nnxxxx若若nx則稱數(shù)列則稱數(shù)列單調(diào)減少單調(diào)減少x1x2x3x1 nxnx單調(diào)數(shù)列單調(diào)數(shù)列幾何解釋幾何解釋:M準(zhǔn)則準(zhǔn)則2 單調(diào)有界數(shù)列必有極限單調(diào)有界數(shù)列必有極限.A（1）單調(diào)增加且有上界的數(shù)列必有極限；）單調(diào)增加且有上界的數(shù)列必有極限；（2）單調(diào)減少且有下界的數(shù)列必有極限）單調(diào)減少且有下界的數(shù)列必有極限.函數(shù)也有類似的單調(diào)有界準(zhǔn)則函數(shù)也有類似的單調(diào)有界準(zhǔn)則.例例2 2.,)(333并并求求出出此此極極限限的的極極限限存存在在重重根根式式證證明明數(shù)數(shù)列列nxn 解解,1nnxx 顯然顯然 ;是是單單調(diào)調(diào)增增加加的

4、的即即數(shù)數(shù)列列nx, 331 x又又, 3 kx假假設(shè)設(shè)kkxx 31則則, 3 ,是是有有上上界界的的nx.lim存在存在nnx ,31nnxx ,321nnxx ),3(limlim21nnnnxx ,32AA 2131,213121 AA解解得得(舍去舍去)，.2131lim nnx(1)1sinlim0 xxx,作一單位圓作一單位圓,OACOBA 得得、延延長(zhǎng)長(zhǎng)作作單單位位圓圓的的切切線線過過的面積的面積OAB 二、兩個(gè)重要極限二、兩個(gè)重要極限 xsin21 即即,tansin xxx oAxB)20(, xxAOB設(shè)設(shè)圓圓心心角角C;AB連結(jié)連結(jié)的面積的面積扇形扇形OAB的的面面積積

5、OAC x21,tan21x , 1sincos xxx.02也成立也成立此式對(duì)于此式對(duì)于 x ,20時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) xxcos10 2sin22x 2)2(2x 22x , 0, 0)cos1(lim0 xx, 1coslim0 xx, 11lim0 x又又. 1sinlim0 xxx xsin21 即即,tansin xxx x21,tan21x 1sinlim0 xxx1sinlim 0,lim axax則則有有若若定定理理型型00 xxx3sinlim)1(0如：如：333sinlim0 xxx. 3 1)1sin(lim)2(1xxxuuusinlim0. 1 練習(xí)練習(xí) 1)1sin(li

6、m21xxx)1(1)1sin(lim221 xxxx. 2 例例3 3.21cos1lim20 xxx 求求解解0lim x原式原式22212sin2xx220)2(2sinlimxxx 20)22sin(limxxx . 1 ).0(3sin3lim,3sin2tanlim ,tanlim00 kkcxxbxxannnxx求求例例4 40lim xb132111 xxxaxcos1sinlim0 , 1 xx2sin2cos1 x2 x2x3x3sin x3.32 nclimnk3sin解解nk3k .1kk (2)e)11(lim xxxnnnx)11( knkknnC10 21! 2)

7、1(1! 11nnnnn),11()21)(11(!1)11(! 2111nnnnnn nnnnnnn1!)1()1( knkknnkP1!0 1nx).11()221)(111()!1(1)111()221)(111(!1)111(! 2111 nnnnnnnnnnn,1nnxx 顯顯然然 ;加加單單調(diào)調(diào)增增nx!1! 2111nxn )1(123112111 nnn13 , 3 ;有有上上界界數(shù)數(shù)列列nx,lim存存在在nnx ,)11(lim存存在在即即nnn e,)11(lim nnn記記.71828. 2e : 進(jìn)進(jìn)一一步步可可證證, e)11(lim xxx, e)11(lim xxxe.)11(lim xxxe)11(lim xxx1e)11(lim ,lim axax則有則有若若定理定理e)1(lim , 0lim 1 axax則有則有若若定理定理e)1(lim10 xxx例例5 5.)11(lim3xxx 求求解解3)11(1limxxx 3)11(lim xxx原原式式.ee133 例例6 6.)23(lim2xxxx