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文檔簡介

1、二函數(shù)極限的性質及運算法則二函數(shù)極限的性質及運算法則M)x( fx)x(Ox0,M :xxf(x) 3 . 2def000 時有時有當當若若時有界時有界在在)(xfy 0 x0 x0 xxyoM-M(一一)極限的性極限的性 質質性質性質2.5.局部有界性局部有界性.Xx)x(f,A)x(flimXx某某一一鄰鄰域域內內有有界界過過程程所所允允許許的的在在則則稱稱若若 性質性質2.62.6局部保號性局部保號性B)x( f).x(g)x( fXx)x(g)x( f,BA,B)x(glim,A)x( flimXxXx 特別地特別地有有中所允許的某一鄰域內中所允許的某一鄰域內在在與與則則若若說明說明:

2、BA)B(O2 )A(O1 )B(O)x(g),A(O)x( f21 ).0)x(f(0)x(f ,x)x(Ox, 0),0A(0A,A)x(flim00 xx0 或或時時當當則則或或且且若若特別地特別地).0A(0A),0)x( f(0)x( f,x )x(Ox, 0,A)x( flim00 xx0 或或則則或或時時當當且且若若特別地特別地性質性質2.7 BA),x(g)x( f)(x(g)x( fXx,B)x(glim,A)x( flimXxXx 則則或或過過程程下下有有且且在在若若性質性質2.8(函數(shù)極限的夾逼定理函數(shù)極限的夾逼定理)A)x( flim,A)x(hlim)x(glim),

3、x(h)x( f)x(g,XxXxXxXx 則則且且所允許的某一鄰域內所允許的某一鄰域內若在極限過程若在極限過程 A)x(hA)x( fA)x(g x:的的某某一一鄰鄰域域內內有有在在說說明明AC利用夾逼定理可證重要極限利用夾逼定理可證重要極限(2)1sinlim0 xxx)20(, xxAOBO 圓圓心心角角設設單單位位圓圓,tan,sinACxABxBDx 弧弧于是有于是有xoBD.ACO ,得,得作單位圓的切線作單位圓的切線,xOAB的圓心角為的圓心角為扇形扇形,BDOAB的高為的高為 ,tansinxxx , 1sincos xxx即即)0 x2(也也成成立立對對 ,20時時當當 xx

4、xcos11cos0 2sin22x 2)2(2x , 02x2 , 0)cos1(lim0 xx, 1coslim0 xx得證得證. x1xlim 10 x求求例例x1x11x1 : 解解 ) , 5 . 25 . 215 . 2 , 25 . 2:( 如如1x1 xlim1x1xx1, 0 x0 x 有有當當1x1 xlimx1x1x1, 0 x0 x 有有當當1x1 xlim0 x (二二)極限的運算法則極限的運算法則性質性質2.9. 0B,BA)x(glim)x( flim)x(g)x( flim)4(;BA)x(glim)x( flim)x(g)x( f lim)3()x( flim

5、c)x(cflim )2(;BA)x(glim)x( flim)x(g)x( f lim)1(,B)x(glim,A)x( flimXxXxXxXxXxXxXxXxXxXxXxXxXx 其其中中則則設設.)x( flim)x( f lim,n,)x( flim:nXxnXxXx 則則是是正正整整數(shù)數(shù)而而存存在在如如果果結結論論.5x3x1xlim)1(232x 解解)53(lim22 xxx5lim3limlim2222 xxxxx5limlim3)lim(2222 xxxxx52322 , 03 531lim232 xxxx)53(lim1limlim22232 xxxxxx.37 3123

6、 例例1 求下列極限求下列極限7x4x23x6x8lim )3(xelim )2(22xx2x )xx1(lim )5(1x1xlim )4(xn1x 消除消除0因子因子)x13x11(lim )6(21x 先通分先通分 根式有理化根式有理化 4x8xlim )7(364x tx:61 變量替換變量替換性質性質2.10(復合函數(shù)的極限法則復合函數(shù)的極限法則)B)y( flim)x(g( flim,B)y( flim,A)x(gy),(A)x(glimAyXxAyXx 則則或或若若.,A)x(g10. 2否則結論未必成立否則結論未必成立不能省去不能省去中條件中條件性質性質 意義意義1.極限符號可

7、以與函數(shù)符號互換極限符號可以與函數(shù)符號互換;.)(. 2的的理理論論依依據(jù)據(jù)變變量量代代換換xu 例例1 1.)1ln(lim0 xxx 求求. 1 xxx10)1ln(lim 原原式式)1(limln10 xxx eln 解解例例2 2.1lim0 xexx 求求. 1 )1ln(lim0yyy 原原式式解解,1yex 令令),1ln(yx 則則. 0,0yx時時當當yyy10)1ln(1lim 同理可得同理可得.ln1lim0axaxx 例如例如,xxysin 1sinlim0 xxx, 11sinlim nnn, 11sinlim nnn11sin1lim22 nnnnn函數(shù)極限與數(shù)列極

8、限的關系函數(shù)極限與數(shù)列極限的關系函數(shù)極限存在的充要條件是它的任何子列的極函數(shù)極限存在的充要條件是它的任何子列的極限都存在限都存在, ,且相等且相等. .sin時時的的變變化化趨趨勢勢當當觀觀察察函函數(shù)數(shù) xxx一、自變量趨向無窮大時函數(shù)的極限一、自變量趨向無窮大時函數(shù)的極限.sin時時的的變變化化趨趨勢勢當當觀觀察察函函數(shù)數(shù) xxx一、自變量趨向無窮大時函數(shù)的極限一、自變量趨向無窮大時函數(shù)的極限.sin時時的的變變化化趨趨勢勢當當觀觀察察函函數(shù)數(shù) xxx一、自變量趨向無窮大時函數(shù)的極限一、自變量趨向無窮大時函數(shù)的極限.sin時時的的變變化化趨趨勢勢當當觀觀察察函函數(shù)數(shù) xxx一、自變量趨向無窮大時函數(shù)的極限一、自變量趨向無窮大時函數(shù)的極限.sin時時的的變變化化趨趨勢勢當當觀觀察察函函數(shù)數(shù) xxx一、自變量趨向無窮大時函數(shù)的極限一、自變量趨向無窮大時函數(shù)的極限.sin時時的的變變化化趨趨勢勢當當觀觀察察函函數(shù)數(shù) xxx一、自變量趨向無窮大時函數(shù)的極限一、自變量趨向無窮大時函數(shù)的極限.sin時時的的變變化化趨趨勢勢當當觀觀察察函函數(shù)數(shù) xxx一、自變量趨向無窮大時函數(shù)的極限一、自變

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