高考數(shù)學(xué)立體幾何解答題目

1、立體幾何解答題 c1、已知三棱柱，底面三角形為正三角形，側(cè)棱底面， ，為的中點(diǎn)，為中點(diǎn)() 求證：直線平面；（）求平面和平面所成的銳二面角的余弦值1、法一（）取的中點(diǎn)為，連接， 則，且，3分 則四邊形為平行四邊形， 則，即平面6分 （）延長(zhǎng)交延長(zhǎng)線于點(diǎn)，連接， 則即為平面與平面的交線， 且， 則為平面和平面所成的銳二面角的平面角8分 在中，12分 法二 取中點(diǎn)為，連接，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，為軸，為軸，為軸建立空間直角坐標(biāo)系，則，2分（）則，設(shè)平面的法向量為，則，即4分令，則，即，所以，故直線平面6分（）設(shè)平面的法向量，則12分2、如圖,在矩形abcd中，ab5，bc3，沿對(duì)角線bd把a(bǔ)bd折起，使

2、a移到a1點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)a1作a1o平面bcd，垂足o恰好落在cd上（1）求證：bca1d；（2）求直線a1b與平面bcd所成角的正弦值解：（1）因?yàn)閍1o平面bcd，bc平面bcd，bca1o，因?yàn)閎ccd，a1ocdo，bc面a1cd因?yàn)閍1d面a1cd，bca1d（6分）（2）連結(jié)bo，則a1bo是直線a1b與平面bcd所成的角因?yàn)閍1dbc，a1da1b，a1bbcb，a1d面a1bca1c面a1bc，a1da1c在rtda1c中，a1d3，cd5，a1c4根據(jù)sa1cda1d·a1ca1o·cd，得到a1o，在rta1ob中，sina1bo所以直線a1b與平面bcd所成

3、角的正弦值為（12分）3、如圖，pa平面abcd，abcd是矩形，pa=ab=1，pd與平面abcd所成角是30°，點(diǎn)f是pb的中點(diǎn)，點(diǎn)e在邊bc上移動(dòng) （）點(diǎn)e為bc的中點(diǎn)時(shí)，試判斷ef與平面pac的位置關(guān)系,并說(shuō)明理由； （）證明：無(wú)論點(diǎn)e在邊bc的何處，都有peaf； （）當(dāng)be等于何值時(shí)，二面角p-de-a的大小為45°思路點(diǎn)撥：本題是一個(gè)開放型問(wèn)題，考查了線面平行、線面垂直、二面角等知識(shí)，考查了同學(xué)們解決空間問(wèn)題的能力。（）利用三角形的中位線及線面平行的判定定理解決；（）通過(guò)證明即可解決；（）作出二面角的平面角，設(shè)出be的長(zhǎng)度，然后在直角三角形dce 中列方程求解

4、be的長(zhǎng)度。本題也可利用向量法解決。解: 解法一:（）當(dāng)點(diǎn)為的中點(diǎn)時(shí)，與平面平行-1分在中，、分別為、的中點(diǎn)， 又平面，而平面 平面 4分（）證明:,，又,又， -6分又,點(diǎn)是的中點(diǎn),8分（）過(guò)作于，連，又，則平面,則是二面角的平面角，10分與平面所成角是，設(shè)，則，在中，得 12分解法二:（向量法）（）同解法一4分（）建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，則，設(shè)，則 8分（）設(shè)平面的法向量為，由，得：，而平面的法向量為,二面角的大小是,所以=，得 或 （舍） 12分歸納總結(jié)：無(wú)論是線面平行（垂直）還是面面平行（垂直），都源自于線與線的平行（垂直），這種“高維”向“低維”轉(zhuǎn)化的思想方法，在解題時(shí)非常重要，

5、在處理實(shí)際問(wèn)題的過(guò)程中，可以先從題設(shè)條件入手，分析已有的平行（垂直）關(guān)系，再?gòu)慕Y(jié)論入手分析所要證明的平行（垂直）關(guān)系，從而架起已知與未知之間的橋梁。 而空間向量是解答立體幾何問(wèn)題的有利工具，它有著快捷有效的特征，是近幾年高考中一直考查的重點(diǎn)內(nèi)容。4、如圖，在四棱錐中，底面為平行四邊形，平面，在棱上（i）當(dāng)時(shí)，求證平面（ii）當(dāng)二面角的大小為時(shí)，求直線與平面所成角的大小解：（）在平行四邊形中，由，易知，2分又平面，所以平面,，在直角三角形中，易得，在直角三角形中，又，可得.，5分又，平面6分（）由（）可知,，可知為二面角的平面角， ，此時(shí)為的中點(diǎn). 8分過(guò)作,連結(jié),則平面平面,作,則平面,連結(jié),

6、可得為直線與平面所成的角因?yàn)?所以.10分在中，直線與平面所成角的大小為.12分解法二：依題意易知，平面acd以a為坐標(biāo)原點(diǎn)，ac、ad、sa分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系，則易得，（）由有，3分易得，從而平面ace6分 ()由平面，二面角的平面角.又，則 e為的中點(diǎn)， 即 ,8分設(shè)平面的法向量為則，令,得，10分從而，所以與平面所成角大小為12分5、如圖，在三棱柱中，頂點(diǎn)在底面上的射影恰為點(diǎn)，且（）證明：平面平面； （）求棱與所成的角的大??；（）若點(diǎn)為的中點(diǎn)，并求出二面角的平面角的余弦值證明：（）面, -1分 又， 面， -3分面， 平面平面；-4分（）以a為原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

7、則， -6分，故與棱bc所成的角是 -8分（）因?yàn)閜為棱的中點(diǎn)，故易求得 -9分 設(shè)平面的法向量為，則,由 得 令，則 -11分 而平面的法向量=(1,0,0)，則 -12分abdec由圖可知二面角為銳角故二面角的平面角的余弦值是 -13分 6、已知平行四邊形abcd中，ab=6，ad=10，bd=8，e是線段ad的中點(diǎn)沿直線bd將bcd翻折成，使得平面平面abd（）求證：平面abd；（）求直線與平面所成角的正弦值；（）求二面角的余弦值證明：（）平行四邊形abcd中，ab=6，ad=10，bd=8， 沿直線bd將bcd翻折成 可知cd=6，bc=bc=10，bd=8，即， 故 2分 平面平面，

8、平面平面=，平面， 平面abd 5分（）由（）知平面abd，且，如圖，以d為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系 6分abdecxyz則，e是線段ad的中點(diǎn)，在平面中，設(shè)平面法向量為， ，即，令，得，故 8分設(shè)直線與平面所成角為，則 9分 直線與平面所成角的正弦值為 10分（）由（）知平面的法向量為， 而平面的法向量為， ， 因?yàn)槎娼菫殇J角，所以二面角的余弦值為7、如圖，四棱錐的底面是直角梯形，和是兩個(gè)邊長(zhǎng)為的正三角形，為的中點(diǎn)，為的中點(diǎn) ()求證：平面； ()求證：平面； ()求直線與平面所成角的正弦值解：（）證明：設(shè)為的中點(diǎn)，連接，則f，四邊形為正方形，為的中點(diǎn)，為的交點(diǎn)， ， ，在三角形中，4分，

9、平面； 5分()方法1：連接，為的中點(diǎn)，為中點(diǎn)，平面，平面，平面. 9分f方法2：由()知平面，又，所以過(guò)分別做的平行線，以它們做軸，以為軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，由已知得：，則，.平面，平面，平面； 9分() 設(shè)平面的法向量為，直線與平面所成角，則，即，解得，令，則平面的一個(gè)法向量為，又則，直線與平面所成角的正弦值為. 14分8、如圖，已知菱形的邊長(zhǎng)為，,.將菱形沿對(duì)角線折起，使，得到三棱錐.（）若點(diǎn)是棱的中點(diǎn)，求證:平面；（）求二面角的余弦值；m（）設(shè)點(diǎn)是線段上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，試確定點(diǎn)的位置，使得，并證明你的結(jié)論.（）證明：因?yàn)辄c(diǎn)是菱形的對(duì)角線的交點(diǎn)，所以是的中點(diǎn).又點(diǎn)是棱的中點(diǎn)，所以是的

10、中位線，. 1分因?yàn)槠矫?平面,所以平面. 3分abcodxyzm（）解：由題意，因?yàn)?，所以? 4分又因?yàn)榱庑?，所以?建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示.所以 6分設(shè)平面的法向量為，則有即：令，則，所以. 7分因?yàn)?所以平面. 平面的法向量與平行，所以平面的法向量為. 8分，因?yàn)槎娼鞘卿J角，所以二面角的余弦值為. 9分（）解：因?yàn)槭蔷€段上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，設(shè)，則，所以， 10分則，由得，即，11分解得或， 12分所以點(diǎn)的坐標(biāo)為或. 13分（也可以答是線段的三等分點(diǎn)，或）9、如圖，在多面體abcdef中，四邊形abcd是矩形，abef，eab=90º，ab=2，ad=ae=ef=1，平面abf

11、e平面abcd。（1）若點(diǎn)o為線段ac的中點(diǎn)，求證：；（2）求平面與平面所夾的角。 10、如圖，已知四棱錐pabcd的底面是直角梯形，ab=bc=2cd=2，pb=pc，側(cè)面底面abcd，o是bc的中點(diǎn)。（1）求證：平面abcd； （2）求證： （3）若二面角dpao的余弦值為，求pb的長(zhǎng)。（）證明：因?yàn)?，是的中點(diǎn)，所以，又側(cè)面pbc底面abcd，平面，面pbc底面abcd，所以平面 4分()證明：以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖空間直角坐標(biāo)系， 設(shè),則， 因?yàn)?，所以，?8分()解：設(shè)平面和平面的法向量分別為， 注意到， 由，令得， 由令得， 所以，解之得，所以為所求12分11、abcdea1b1c

12、1(第11題圖)如圖，在三棱柱abc-a1b1c1中 (1)若bb1=bc，b1ca1b，證明：平面ab1c平面a1bc1；(2)設(shè)d是bc的中點(diǎn)，e是a1c1上的一點(diǎn)，且a1b平面b1de，求的值解：(1)因?yàn)閎b1=bc，所以側(cè)面bcc1b1是菱形，所以b1cbc1 3分又因?yàn)閎1ca1b ，且a1bbc1=b，所以bc1平面a1bc1， 5分又b1c平面ab1c ，所以平面ab1c平面a1bc1 7分(2)設(shè)b1d交bc1于點(diǎn)f，連結(jié)ef，則平面a1bc1平面b1deef因?yàn)閍1b/平面b1de， a1b平面a1bc1，所以a1b/ef 11分所以又因?yàn)?，所?14分12、如圖甲，在平面

13、四邊形abcd中，已知,現(xiàn)將四邊形abcd沿bd折起，使平面abd平面bdc（如圖乙），設(shè)點(diǎn)e、f分別為棱ac、ad的中點(diǎn)()求證：dc平面abc；圖甲在圖乙()求bf與平面abc所成角的正弦；()求二面角befa的余弦（）證明：在圖甲中且 ，即 (1分)在圖乙中，平面abd平面bdc ， 且平面abd平面bdcbdab底面bdc，abcd (3分)又，dcbc,且dc平面abc (4分)（）解法一：e、f分別為ac、ad的中點(diǎn)ef/cd，又由（1）知，dc平面abc，ef平面abc，垂足為點(diǎn)efbe是bf與平面abc所成的角 (5分)在圖甲中，, ,設(shè)則,， (7分)在rtfeb中，即bf與

14、平面abc所成角的正弦值為 (8分)解法二：如圖，以b為坐標(biāo)原點(diǎn)，bd所在的直線為x軸建立空間直角坐標(biāo)系如下圖示，設(shè)，則， (5分)可得,，, (6分)設(shè)bf與平面abc所成的角為，由（1）知dc平面abc (8分)（）解法一：由（）知 fe平面abc，又be平面abc，ae平面abc，febe，feae，aeb為二面角befa的平面角 (10分)在aeb中，即所求二面角befa的余弦為 (12分)解法二：由（）知,，；則， (9分)設(shè)平面的法向量為，平面的法向量為，則，；解得； 即， (11分)即所求二面角befa的余弦為 (12分)13、在直角梯形abcd中，ab/cd，ab=2bc=4，cd=3，e為ab中點(diǎn)，