格林公式及其應(yīng)用(33)課件

1、8.2 格林公式及其應(yīng)用格林公式及其應(yīng)用 8.2.1、格林公式、格林公式 1單連域與復(fù)連域單連域與復(fù)連域 設(shè)設(shè)D為平面區(qū)域，如果為平面區(qū)域，如果D內(nèi)任一閉區(qū)域所圍的部?jī)?nèi)任一閉區(qū)域所圍的部分都屬于分都屬于D，則稱，則稱D為平面單連通區(qū)域，否則稱為復(fù)為平面單連通區(qū)域，否則稱為復(fù)連通區(qū)域。連通區(qū)域。 D的邊界曲線的邊界曲線L的正向規(guī)定如下：當(dāng)觀察者沿的正向規(guī)定如下：當(dāng)觀察者沿L的這的這個(gè)方向行走時(shí)，個(gè)方向行走時(shí)，D內(nèi)在他近處的那一部分總在它的左內(nèi)在他近處的那一部分總在它的左邊。邊。 DDDD復(fù)連域復(fù)連域DLDLl2格林公式格林公式 定理定理 設(shè)閉區(qū)域設(shè)閉區(qū)域D由分段光滑的曲線由分段光滑的曲線L圍成，

2、函數(shù)圍成，函數(shù)P（x，y）及）及Q（x，y）在）在D上具有一階連續(xù)偏導(dǎo)上具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，則有數(shù)，則有)1()( LDQdyPdxdxdyyPxQ其中其中L是是D的取正向的邊界曲線。的取正向的邊界曲線。 公式（公式（1）叫做格林公式。）叫做格林公式。 ),()(),(21bxaxyxyxD 證明證明(1)(1)若區(qū)域若區(qū)域D既是既是 X型型又是又是 Y型型,即平行于即平行于坐標(biāo)軸的直線和坐標(biāo)軸的直線和L至至多交于兩點(diǎn)多交于兩點(diǎn). ),()(),(21dycyxyyxD yxo abDcd)(1xy )(2xy ABCE)(2yx )(1yx dxxQdydxdyxQyydcD )()(21

3、dcdcdyyyQdyyyQ),(),(12 CAECBEdyyxQdyyxQ),(),( EACCBEdyyxQdyyxQ),(),( LdyyxQ),(同理可證同理可證 LDdxyxPdxdyyP),(yxoDcdABCE)(2yx )(1yx 若若區(qū)區(qū)域域D由由按按段段光光滑滑的的閉閉曲曲線線圍圍成成. .如如圖圖, , 證明證明(2)(2)L1L2L3LD1D2D3D兩式相加得兩式相加得 LDQdyPdxdxdyyPxQ)(將將D分成三個(gè)既是分成三個(gè)既是 X型又是型又是 Y型的區(qū)域型的區(qū)域1D, ,2D, ,3D. . 321)()(DDDDdxdyyPxQdxdyyPxQ 321)(

4、)()(DDDdxdyyPxQdxdyyPxQdxdyyPxQ 321LLLQdyPdxQdyPdxQdyPdx LQdyPdx1D2D3DL1L2L3L),(32, 1來來說說為為正正方方向向?qū)?duì)DLLLGD3L2LFCE1LAB證明證明(3)(3) 若區(qū)域不止由一條閉曲若區(qū)域不止由一條閉曲線所圍成線所圍成. .添加直線段添加直線段ABAB, ,CECE. .則則D的邊界曲線由的邊界曲線由ABAB, ,2L, ,BA,BA,AFC,CEAFC,CE, , 3L, , ECEC及及CGACGA構(gòu)成構(gòu)成. .由由(2)知知 DdxdyyPxQ)( CEAFCBALAB2 CGAECLQdyPdx

5、)(3 LQdyPdx 231)(LLLQdyPdx),(32, 1來來說說為為正正方方向向?qū)?duì)DLLL格格林林公公式式的的實(shí)實(shí)質(zhì)質(zhì): : 溝溝通通了了沿沿閉閉曲曲線線的的積積分分與與二二重重積積分分之之間間的的聯(lián)聯(lián)系系.3格林公式的應(yīng)用舉例。格林公式的應(yīng)用舉例。 當(dāng)當(dāng)D的邊界曲線由參數(shù)方程得出時(shí)，由（的邊界曲線由參數(shù)方程得出時(shí)，由（4）式可求式可求D的面積。的面積。 例例1 Lydxxdy.21xdydxyAL （4）例如例如 橢圓橢圓ydxdyxAL 21abdab 202 20)sin(sincoscos21dabba,22)1(1 AdxdydxdyDD (1). (1). 計(jì)算平面面

6、積計(jì)算平面面積的面積：的面積：12222 byax LdyyxdxxyLyxD)sin2(3, 14:2222求求是橢圓的逆時(shí)針方向是橢圓的逆時(shí)針方向例例利用格林公式利用格林公式解解(2). (2). 簡(jiǎn)化曲線積分簡(jiǎn)化曲線積分 232 DDdxdydxdy Ldyyxdxxy)sin2(32 L：y=sinx從從O（0，0）到）到A（，0）。）。 ,)1(sin)cos1(3dyyedxyeIxLx 計(jì)計(jì)算算例例解解：可直接化為對(duì)可直接化為對(duì)x的定積分，但計(jì)算量的定積分，但計(jì)算量較大。這里用格林公式。較大。這里用格林公式。 0sin)1(sin dxdyyeyexDx 0sin00sin xd

7、xedyedxxxx.2121|)cos(sin20 exxexOA OADAOAOOAOAdxdyyPxQ)(（例例 4 4 計(jì)計(jì)算算 Lyxydxxdy22, ,其其中中L為為一一條條無無重重點(diǎn)點(diǎn), ,分分段段光光滑滑且且不不經(jīng)經(jīng)過過原原點(diǎn)點(diǎn)的的連連續(xù)續(xù)閉閉曲曲線線, ,L的的方方向向?yàn)闉槟婺鏁r(shí)時(shí)針針方方向向. . 則則當(dāng)當(dāng)022 yx時(shí)時(shí), , 有有yPyxxyxQ 22222)(.記記L所所圍圍成成的的閉閉區(qū)區(qū)域域?yàn)闉镈,解解令令2222,yxxQyxyP , L( (1 1) ) 當(dāng)當(dāng)D )0, 0(時(shí)時(shí), ,(2) 當(dāng)當(dāng)D )0 , 0(時(shí)時(shí),1DrlxyoLD由格林公式知由格林公

8、式知 LDdxdyyPxQyxydxxdy0)(22作作位位于于D內(nèi)內(nèi)圓圓周周 222:ryxl , 記記1D由由L和和l所所 圍圍 成成 ,應(yīng)用格林公式應(yīng)用格林公式,得得yxo )(22lLyxydxxdy0)(1 DdxdyyPxQ lLyxydxxdyyxydxxdy2222xyor1DlL02222 lLyxydxxdyyxydxxdy即即：(其其 中中l(wèi)的的 方方 向向取取逆逆時(shí)時(shí)針針方方向向).2 (注意格林公式的條件注意格林公式的條件) drrr2222220sincos 注注 此例中所作的輔助圓此例中所作的輔助圓l是否一定要是是否一定要是D內(nèi)內(nèi)的的圓周（即圓周（即r充分?。?？充

9、分小）？ 說明：如說明：如 除點(diǎn)（除點(diǎn)（0，0）外，處處有）外，處處有 yPxQ 則則 321lllLyOxL1L2L3L小結(jié)：小結(jié)：（1）L是是D的邊界，在的邊界，在D上上簡(jiǎn)單簡(jiǎn)單yPxQ 易易于于計(jì)計(jì)算算時(shí)時(shí)，進(jìn)進(jìn)而而 DdxdyyPxQ)(可應(yīng)用格林公式計(jì)算可應(yīng)用格林公式計(jì)算 封閉曲線）封閉曲線）( . LQdyPdx（2）L不封閉時(shí)，采取不封閉時(shí)，采取“補(bǔ)線補(bǔ)線”的方法：的方法： lDlLlLdxdyyPxQ)(要求右端的二重積分及曲線積分易于計(jì)算。要求右端的二重積分及曲線積分易于計(jì)算。l選用直選用直線段、折線等。線段、折線等。 其中其中l(wèi)是包圍點(diǎn)是包圍點(diǎn)(x0，y0)的與的與L同向的

10、光滑的簡(jiǎn)單閉曲線，同向的光滑的簡(jiǎn)單閉曲線，特別地特別地l是以是以(x0，y0)為中心的圓、橢圓等為中心的圓、橢圓等. . （3）如在）如在D上上P、Q一階偏導(dǎo)連續(xù)，且處處有一階偏導(dǎo)連續(xù)，且處處有 ,yPxQ 則則; 0 L如如D內(nèi)除點(diǎn)內(nèi)除點(diǎn)M0 (x0，y0)外均有外均有 ,yPxQ lL則則 逆時(shí)針方向。逆時(shí)針方向。 , 1:,452222 yxCyxydxxdyIC計(jì)算計(jì)算例例,4,42222yxxQyxyP 解：解：,)4(4)4(8)4(2222222222yxyxyxxxyxxQ ,)4(4)4(2)4(2222222222yxyxyxyyyxyP 除原點(diǎn)外處處有除原點(diǎn)外處處有 .y

11、PxQ 取取L：4x2+y2=1,逆時(shí)針方向，則逆時(shí)針方向，則 2DLLcdxdyydxxdy 或利用橢圓的參數(shù)方程直接計(jì)算。或利用橢圓的參數(shù)方程直接計(jì)算。)cos21sinsincos21(20 ddydxxdyLLc )sin21cos21(2022d8.2.2、曲線積分與路徑無關(guān)的條件、曲線積分與路徑無關(guān)的條件 1什么叫曲線積分與路徑無關(guān)什么叫曲線積分與路徑無關(guān) Gyxo 1LQdyPdx則則稱稱曲曲線線積積分分 LQdyPdx在在G內(nèi)內(nèi)與與路路徑徑無無關(guān)關(guān), , 2LQdyPdx1L2LBA如果在區(qū)域如果在區(qū)域G內(nèi)有內(nèi)有 否否則則與與路路徑徑有有關(guān)關(guān). .顯然曲線積分顯然曲線積分 LQ

12、dyPdx0 cQdyPdx沿沿G內(nèi)任意閉曲線內(nèi)任意閉曲線C的曲線積分的曲線積分在在G內(nèi)與路徑無關(guān)內(nèi)與路徑無關(guān)2曲線積分與路徑無關(guān)的條件曲線積分與路徑無關(guān)的條件 定理定理2 設(shè)開區(qū)域設(shè)開區(qū)域G是一個(gè)單連通域，函數(shù)是一個(gè)單連通域，函數(shù)P（x，y），），Q（x，y）在）在G內(nèi)具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，則曲線積分內(nèi)具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，則曲線積分 LQdyPdxxQyP （5） 在在G內(nèi)恒成立。內(nèi)恒成立。 證證明：明：充分性：在充分性：在G內(nèi)任取一條閉曲線內(nèi)任取一條閉曲線C0)( DCdxdyyPxQQdyPdx的充分必要條件是等式的充分必要條件是等式在在G內(nèi)與路徑無關(guān)（或沿內(nèi)與路徑無關(guān)（或沿G內(nèi)閉曲線內(nèi)閉

13、曲線的曲線積分為零）的曲線積分為零）因?yàn)橐驗(yàn)镚是單連通的，所以閉曲線是單連通的，所以閉曲線C所圍成的區(qū)域所圍成的區(qū)域D全部全部在在G內(nèi)，應(yīng)用格林公式，有內(nèi)，應(yīng)用格林公式，有必要性：現(xiàn)在要證的是：如果沿必要性：現(xiàn)在要證的是：如果沿G內(nèi)任意閉曲線的曲內(nèi)任意閉曲線的曲線積分為零，那么（線積分為零，那么（5）式在）式在G內(nèi)恒成立。內(nèi)恒成立。. 0)(0 MyPxQ不妨假定不妨假定 . 02)(0 MyPxQ由于由于 在在G內(nèi)連續(xù)，可以在內(nèi)連續(xù)，可以在G內(nèi)取得一個(gè)以內(nèi)取得一個(gè)以M0為為圓心半徑足夠小的圓形閉區(qū)域圓心半徑足夠小的圓形閉區(qū)域K，使得在，使得在K上恒有上恒有 yPxQ ,.2 yPxQ用反證法

14、來證。假使上述論斷不成立，用反證法來證。假使上述論斷不成立，那么那么G內(nèi)至少有一點(diǎn)內(nèi)至少有一點(diǎn)M0，使，使于是由格林公式及二重積分的性質(zhì)就有于是由格林公式及二重積分的性質(zhì)就有.2)( KdxdyyPxQQdyPdx這里的這里的是是K的正向邊界曲線，的正向邊界曲線，是是K的面積。因?yàn)榈拿娣e。因?yàn)? 0 QdyPdx這結(jié)果與沿這結(jié)果與沿G內(nèi)任意閉曲線的曲線積分為零的內(nèi)任意閉曲線的曲線積分為零的假定相矛盾，可見假定相矛盾，可見G內(nèi)使（內(nèi)使（5）式不成立的點(diǎn)不）式不成立的點(diǎn)不可能存在，即（可能存在，即（5）式在）式在G內(nèi)處處成立。證畢。內(nèi)處處成立。證畢。0,0，從而，從而如果這兩個(gè)條件不能都滿足，那么

15、定理的結(jié)論不一如果這兩個(gè)條件不能都滿足，那么定理的結(jié)論不一定成立。如在前面的例定成立。如在前面的例4、例、例5中，除原點(diǎn)外恒有中，除原點(diǎn)外恒有 yPxQ 但沿包圍原點(diǎn)的閉曲線但沿包圍原點(diǎn)的閉曲線L的積分的積分0 LQdyPdx(1) 開開區(qū)區(qū)域域G是是一一個(gè)個(gè)單單連連通通域域.(2) 函函數(shù)數(shù)),(),(yxQyxP在在G內(nèi)內(nèi)具具有有一一階階連連續(xù)續(xù)偏偏導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù).兩條件缺一不可兩條件缺一不可有關(guān)定理的說明：有關(guān)定理的說明：解解：;,yyeyPxeP ;,2yyexQyxeQ CBOCLdyyedxxy 2010)2()1(202102|)(|2)1(yexy 例例111OACxyB（1，2）2

16、71)4()212(22 ee ），（），（與與路路徑徑無無關(guān)關(guān)，并并計(jì)計(jì)算算驗(yàn)驗(yàn)證證曲曲線線積積分分2100)2()(.)2()(dyyxedxxedyyxedxxeyyLyyyPxQ 所以所以, ,曲線積分與路徑無關(guān)曲線積分與路徑無關(guān) 與路徑無關(guān)，僅與起點(diǎn)與路徑無關(guān)，僅與起點(diǎn) A(x1，y1)終點(diǎn)終點(diǎn)B(x2，y2)的坐標(biāo)有關(guān)，其中的坐標(biāo)有關(guān)，其中L是是G內(nèi)以內(nèi)以A為起點(diǎn)，為起點(diǎn)，B為終點(diǎn)的任意光滑或分段光滑的曲線。為終點(diǎn)的任意光滑或分段光滑的曲線。 LQdyPdx若若曲曲線線積積分分注注： ),(),(2211yxyxLQdyPdxQdyPdx此時(shí)可記此時(shí)可記 2121),(),(21y

17、yxxdyyxQdxyxP 2121),(),(21xxyydxyxPdyyxQ(x1，y1)先積先積x(x2，y1)(x2，y2)后積后積y后積后積x(x1，y2)先積先積y3 3、二元函數(shù)的全微分求積、二元函數(shù)的全微分求積 1)Pdx+Qdy 為某函數(shù)全微分的充要條件。為某函數(shù)全微分的充要條件。 定理定理3 設(shè)開區(qū)域設(shè)開區(qū)域G是一個(gè)單連通區(qū)域，函數(shù)是一個(gè)單連通區(qū)域，函數(shù)P(x，y)、Q(x，y)在在G內(nèi)具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，則內(nèi)具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，則P(x，y)dx+Q(x，y)dy在在G內(nèi)為某一函數(shù)內(nèi)為某一函數(shù)u(x，y)的全微分的的全微分的充分必要條件是等式充分必要條件是等式)5(xQy

18、P 在在G內(nèi)恒成立。內(nèi)恒成立。證明：先證必要性。假設(shè)存在某一函數(shù)證明：先證必要性。假設(shè)存在某一函數(shù)u(x，y)，使得使得 du=P(x，y)dx+Q(x，y)dy 則必有則必有 ),(yxPxu ),(yxQyu 從而從而 yPyxu 2xQxyu 2由于由于P、Q具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，所以具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，所以 yxu 2連連續(xù)續(xù)，xyu 2xyuyxu 22xQyP 即即再證充分性。設(shè)已知條件（再證充分性。設(shè)已知條件（5）在內(nèi)）在內(nèi)G恒成立，恒成立， ),(),(00.),(),(yxyxdyyxQdxyxP當(dāng)起點(diǎn)當(dāng)起點(diǎn)M0(x0，y0)固定時(shí)，這個(gè)積分的值取決于終固定時(shí)，這個(gè)積分的值取決

19、于終點(diǎn)點(diǎn)M(x，y)，因此，它是，因此，它是x、y的函數(shù)，把這函數(shù)記的函數(shù)，把這函數(shù)記作作u(x，y)，即，即這就證明了條件（這就證明了條件（5）是必要的。）是必要的。則起點(diǎn)為則起點(diǎn)為M0(x0，y0)終點(diǎn)為終點(diǎn)為M(x，y) 的曲線積分在的曲線積分在區(qū)域區(qū)域G內(nèi)與路徑無關(guān)，于是可把這個(gè)曲線積分寫作內(nèi)與路徑無關(guān)，于是可把這個(gè)曲線積分寫作下面證明這函數(shù)下面證明這函數(shù)u(x，y)的全微分就是的全微分就是 P(x，y)dx+Q(x，y)dy。)6(.),(),(),(),(),(00 yxyxdyyxQdxyxPyxu即只要證明即只要證明),(yxPxu ),(yxQyu 按偏導(dǎo)數(shù)的定義，有按偏導(dǎo)數(shù)

20、的定義，有xyxuyxxuxux ),(),(lim0 由（由（6）式，得）式，得dyyxQdxyxPyxxuyxxyx ),(),(00),(),(),( 由于這里的曲線積分與路徑無關(guān)，由于這里的曲線積分與路徑無關(guān)，可以先從可以先從M0到到M，然后沿平行于，然后沿平行于x軸的直線段從軸的直線段從M到到N作為上式右作為上式右端曲線積分的路徑（如圖）。這端曲線積分的路徑（如圖）。這樣就有樣就有dyyxQdxyxPyxuyxxuyxxyx ),(),(),(),(),(),( N(x+x , y)xOyM0( x0 , y0 )GM( x，y )從而從而dyyxQdxyxPyxuyxxuyxxyx

21、 ),(),(),(),(),(),( 因?yàn)橹本€段因?yàn)橹本€段MN的方程為的方程為y=常數(shù)，按對(duì)坐標(biāo)的常數(shù)，按對(duì)坐標(biāo)的曲線積分的計(jì)算法，上式成為曲線積分的計(jì)算法，上式成為dxyxPyxuyxxuxxx ),(),(),(應(yīng)用定積分中值定理，得應(yīng)用定積分中值定理，得)10(),(),(),( xyxxPyxuyxxu上式兩端除以上式兩端除以x，并令，并令x0取極限。由于取極限。由于P(x，y)的偏導(dǎo)數(shù)在的偏導(dǎo)數(shù)在G內(nèi)連續(xù)，內(nèi)連續(xù)，P(x，y)本身也一定連續(xù)，于是本身也一定連續(xù)，于是得得 ),(yxPxu 同理可證同理可證 ),(yxQyu 這就證明了條件（這就證明了條件（5）是充分的。證畢。）是充

22、分的。證畢。 2)四個(gè)等價(jià)條件四個(gè)等價(jià)條件 設(shè)設(shè)G是是xOy平面上的單連通區(qū)域，平面上的單連通區(qū)域，P、Q在在G內(nèi)有內(nèi)有連續(xù)的一階偏導(dǎo)數(shù)，則以下連續(xù)的一階偏導(dǎo)數(shù)，則以下4個(gè)條件等價(jià)個(gè)條件等價(jià) C是是G內(nèi)任意的光滑或分段光滑的閉曲線。內(nèi)任意的光滑或分段光滑的閉曲線。 0)( CQdyPdxi 與路徑無關(guān)，僅與起點(diǎn)與路徑無關(guān)，僅與起點(diǎn) A(x1，y1)終點(diǎn)終點(diǎn)B(x2，y2)的的坐標(biāo)有關(guān)，其中坐標(biāo)有關(guān)，其中L是是G內(nèi)以內(nèi)以A為起點(diǎn)，為起點(diǎn)，B為終點(diǎn)的任為終點(diǎn)的任意光滑或分段光滑的曲線。意光滑或分段光滑的曲線。 LQdyPdxii)( ),(),(2211yxyxLQdyPdxQdyPdx此時(shí)可記此

23、時(shí)可記（iii）在）在G內(nèi)存在某可微的二元函數(shù)內(nèi)存在某可微的二元函數(shù)u(x，y)，使，使du(x，y)=Pdx+Qdy，即即Pdx+Qdy在在G內(nèi)是某函數(shù)的全內(nèi)是某函數(shù)的全微分。這時(shí)也稱微分。這時(shí)也稱u(x，y)是是Pdx+Qdy的一個(gè)原函數(shù)。的一個(gè)原函數(shù)。 （iv） 內(nèi)內(nèi)處處處處成成立立。在在GxQyP 應(yīng)特別注意結(jié)論成立的大前提條件：應(yīng)特別注意結(jié)論成立的大前提條件：G是單連通域，是單連通域，P、Q一階偏導(dǎo)連續(xù)。一階偏導(dǎo)連續(xù)。 3)二元函數(shù)的全微分求積二元函數(shù)的全微分求積 首先驗(yàn)證首先驗(yàn)證Pdx+Qdy是全微分，即檢驗(yàn)是全微分，即檢驗(yàn)P、Q在在單單連通域連通域G內(nèi)一階偏導(dǎo)連續(xù)，且有內(nèi)一階偏導(dǎo)連續(xù)，且有 xQyP （1）曲線（折線）積分法（折線應(yīng)在）曲線（折線）積分法（折線應(yīng)在G內(nèi)）內(nèi)） u(x，y)的求法通常有二種。的求法通常有二種。 (x0，y0)先積先積x(x，y0)(x，y)