第2章點(diǎn)直線平的投影

1、第第2 2章章 點(diǎn)、直線、平面的投影點(diǎn)、直線、平面的投影2.2 點(diǎn)的投影點(diǎn)的投影 2.3 直線的投影直線的投影2.4 平面的投影平面的投影2.5 直線與平面、平面與平面的相對位置直線與平面、平面與平面的相對位置2.1 投影方法的基本知識投影方法的基本知識2.1 投影方法的基本知識投影方法的基本知識2.1.1 投影法的基本知識投影法的基本知識2.1.2 投影法的種類投影法的種類2.1.3 正投影法的基本性質(zhì)正投影法的基本性質(zhì)p2.1.1 投影法投影法的基本知識的基本知識 用用燈光燈光或或陽光陽光照射物體，照射物體，在地面或墻面上就會產(chǎn)生在地面或墻面上就會產(chǎn)生影子影子。人們把這種現(xiàn)象歸納、人們把這

2、種現(xiàn)象歸納、抽象抽象出來，出來，便形成了把空間物體投射在平面便形成了把空間物體投射在平面上的投影法。上的投影法。 2- -1 投影法的概念投影法的概念投射線投射線投影面投影面asa投影法投影法投射線通過物體，投射線通過物體，向選定的面投射，并在該面上向選定的面投射，并在該面上得到圖形的方法。得到圖形的方法。投射中心投射中心常用的投影方法有兩種：常用的投影方法有兩種：中心投影法中心投影法和和平行投影法平行投影法。pbacabc2.1.2 投影法的種類投影法的種類1.1.中心投影法中心投影法 中心投影法中心投影法投射投射線匯交一點(diǎn)的投影法線匯交一點(diǎn)的投影法( (投投射中心位于有限遠(yuǎn)處射中心位于有限

3、遠(yuǎn)處) )。投射中心投射中心投射線投射線物體物體投影面投影面投影投影圖圖2- -2 中心投影法中心投影法這種方法主要用于繪這種方法主要用于繪制建筑物或產(chǎn)品具有直觀制建筑物或產(chǎn)品具有直觀立體感的圖立體感的圖透視圖透視圖。pacbacbs投射方向投射方向2平行投影法平行投影法 平行投影法平行投影法投射線相互平行的投影法投射線相互平行的投影法 ( (投射中心位于無投射中心位于無限遠(yuǎn)處限遠(yuǎn)處) ) 。pacbabc圖圖2- -3 平行投影法平行投影法投射線與投影面投射線與投影面傾斜傾斜斜投影斜投影投射線與投影面投射線與投影面垂直垂直正投影正投影a) 斜投影斜投影 b) 正投影正投影pcdbaabdca

4、bba 1平行性平行性 平行兩直線的投平行兩直線的投影仍為相互平行的直影仍為相互平行的直線。線。 這種特性稱為這種特性稱為:平行性平行性。 2定比性定比性 直線上點(diǎn)分兩線直線上點(diǎn)分兩線段的長度之比等于其段的長度之比等于其投影長度之比。這種投影長度之比。這種特性稱為特性稱為:定比性定比性。 2.1.3 正投影法的基本性質(zhì)正投影法的基本性質(zhì)cc圖圖2- -4 正投影的基本特性正投影的基本特性(1)p 3 3實(shí)形性實(shí)形性 當(dāng)平面或線段平行于當(dāng)平面或線段平行于投影面時(shí)，其投影反映平投影面時(shí)，其投影反映平面的實(shí)形或線段的實(shí)長。面的實(shí)形或線段的實(shí)長。這種特性稱為這種特性稱為: :實(shí)形性實(shí)形性。 4 4積聚

5、性積聚性 當(dāng)平面或線段垂直于當(dāng)平面或線段垂直于投影面時(shí)，其投影積聚成投影面時(shí)，其投影積聚成為一直線或一點(diǎn)。這種特為一直線或一點(diǎn)。這種特性稱為性稱為: :積聚性積聚性。gabcdefhcabdefgha(b)h(g)e(f)d(c)圖圖2- -5 正投影的基本特性正投影的基本特性(2)abedfghcp 5類似性類似性 當(dāng)平面或線段傾斜當(dāng)平面或線段傾斜于投影面時(shí)，其平面圖于投影面時(shí)，其平面圖形的投影成為一個與其形的投影成為一個與其不全等的類似形，線段不全等的類似形，線段投影成為比實(shí)長短的線投影成為比實(shí)長短的線段。即段。即ab ab, , 這種特這種特性稱性稱: :類似性類似性。abcdefgha

6、bcdegfhq q圖圖2- -6 正投影的基本特性正投影的基本特性(2)2.2 點(diǎn)的投影點(diǎn)的投影2.2.1 點(diǎn)在三面體系中的投影點(diǎn)在三面體系中的投影2.2.2 特殊位置點(diǎn)的投影特殊位置點(diǎn)的投影2.2.3 兩點(diǎn)的相對位置和重影點(diǎn)兩點(diǎn)的相對位置和重影點(diǎn) 2.2.1 點(diǎn)在三面體系中的投影點(diǎn)在三面體系中的投影1 1符號規(guī)定符號規(guī)定 空間點(diǎn)：用大寫字母空間點(diǎn)：用大寫字母a、b、c 投影點(diǎn)：用小寫字母投影點(diǎn)：用小寫字母 水平投影水平投影 a 、 b 、 c 正面投影正面投影 a、 b、 c 側(cè)面投影側(cè)面投影 a、 b 、 c等等 (1) (1) 建立三面投影體系建立三面投影體系 v面面:正立投影面正立投

7、影面 h面面:水平投影面水平投影面 w面面:側(cè)立投影面?zhèn)攘⑼队懊? 2點(diǎn)的投影特性點(diǎn)的投影特性 a aox軸軸 a a oz軸軸 aax = a az = y =a到到v面的距離面的距離 a ax= a ay = z =a到到h面的距離面的距離 aay = a az = x =a到到w面的距離面的距離aaaaxayazxyzvhaw oxyzxaaaoaxayazzayyhywhw圖圖2- -7 點(diǎn)在三面投影體系中的投影點(diǎn)在三面投影體系中的投影a) 直觀圖直觀圖 b) 投影圖投影圖【例【例2-1 2-1 】已知點(diǎn)的兩個投影，求第三投影。已知點(diǎn)的兩個投影，求第三投影。a aaxa a aaxaz

8、az解法一解法一:通過作通過作45斜線斜線使使a az=aax解法二解法二:用圓規(guī)直接用圓規(guī)直接量取量取a az=aaxa 圖圖2- -8 由點(diǎn)的兩個投影求第三投影由點(diǎn)的兩個投影求第三投影a) 解法一解法一 b) 解法二解法二xoxo(1) 空間點(diǎn)可用三個坐標(biāo)表示，如空間點(diǎn)可用三個坐標(biāo)表示，如 a點(diǎn)坐標(biāo)點(diǎn)坐標(biāo) （xa，ya，za）。）。 x：反映點(diǎn)到：反映點(diǎn)到w面距離面距離 y：反映點(diǎn)到：反映點(diǎn)到v面距離面距離 z：反映點(diǎn)到：反映點(diǎn)到h面距離面距離(2) 一個投影點(diǎn)反映了兩個坐標(biāo)值，如投影一個投影點(diǎn)反映了兩個坐標(biāo)值，如投影 a，其坐標(biāo)，其坐標(biāo) xa ， ya ；結(jié)論：若點(diǎn)的兩個投影已知，則其空

9、間位置確定，其第三投影結(jié)論：若點(diǎn)的兩個投影已知，則其空間位置確定，其第三投影也就唯一確定。也就唯一確定。3 3點(diǎn)的坐標(biāo)與投影的關(guān)系點(diǎn)的坐標(biāo)與投影的關(guān)系圖圖2-9 點(diǎn)的坐標(biāo)與投影關(guān)系點(diǎn)的坐標(biāo)與投影關(guān)系a) 直觀圖直觀圖 b) 投影圖投影圖vhxozyw【例【例2- -2 】 已知點(diǎn)（已知點(diǎn)（15，5，10），作出點(diǎn)的三面投影和直觀圖。），作出點(diǎn)的三面投影和直觀圖。aaaaaa a圖圖2-10 由點(diǎn)的坐標(biāo)求作點(diǎn)的投影圖和軸測圖由點(diǎn)的坐標(biāo)求作點(diǎn)的投影圖和軸測圖a) 投影圖投影圖b) 直觀圖直觀圖xozyhywoxzyhywaaacc由圖由圖2-11可知可知:(1) 三個坐標(biāo)三個坐標(biāo)值中有一個坐值中有

10、一個坐標(biāo)為零時(shí)，則標(biāo)為零時(shí)，則該點(diǎn)必定在投該點(diǎn)必定在投影面上影面上(2) 三個坐標(biāo)三個坐標(biāo)值中有兩個坐值中有兩個坐標(biāo)為零時(shí)，則標(biāo)為零時(shí)，則該點(diǎn)必定在其該點(diǎn)必定在其坐標(biāo)值不為零坐標(biāo)值不為零的那個投影軸的那個投影軸上。上。bb2.2.2 特殊位置點(diǎn)的投影特殊位置點(diǎn)的投影b45圖圖2-11 特殊位置點(diǎn)的投影特殊位置點(diǎn)的投影c 兩點(diǎn)的相對位置指兩點(diǎn)在空間兩點(diǎn)的相對位置指兩點(diǎn)在空間的的上下、前后、左右上下、前后、左右位置關(guān)系。位置關(guān)系。判斷方法判斷方法 ： x 坐標(biāo)大的在左坐標(biāo)大的在左 y 坐標(biāo)大的在前坐標(biāo)大的在前 z 坐標(biāo)大的在上坐標(biāo)大的在上b aa a b bb點(diǎn)在點(diǎn)在a點(diǎn)之前、點(diǎn)之前、之右、之下。

11、之右、之下。xyhywz2.2.3 兩點(diǎn)的相對位置和重影點(diǎn)兩點(diǎn)的相對位置和重影點(diǎn)1兩點(diǎn)的相對位置兩點(diǎn)的相對位置圖圖2-12 兩點(diǎn)相對位置兩點(diǎn)相對位置o 【例【例2- -3】已知點(diǎn)】已知點(diǎn)a的三面投影的三面投影a、a、a，并知點(diǎn)，并知點(diǎn)b在點(diǎn)在點(diǎn)a的左方的左方32mm，在點(diǎn)，在點(diǎn)a上方上方25mm，在點(diǎn)，在點(diǎn)a前方前方20mm，求作點(diǎn)，求作點(diǎn)b的的三面投影三面投影b、b、b 。aaa322025bbb20圖圖2-13 利用相對坐標(biāo)作圖利用相對坐標(biāo)作圖(d)aaacccddbbbxozyhyw2重影點(diǎn)重影點(diǎn) 位于同一投射線上的兩點(diǎn)，由于它們在投射線所垂直的投位于同一投射線上的兩點(diǎn)，由于它們在投射線

12、所垂直的投影面上的投影是重合的，所以叫做影面上的投影是重合的，所以叫做（重影點(diǎn)必須有兩個（重影點(diǎn)必須有兩個坐標(biāo)值相同）坐標(biāo)值相同） 。圖圖2-14 重影點(diǎn)的投影重影點(diǎn)的投影(b)被擋住的投影加被擋住的投影加( ) 2.3 直線的投影直線的投影 2.3.1 直線的投影直線的投影 2.3.2 各種位置直線的投影特性各種位置直線的投影特性 2.3.3 一般位置線段的實(shí)長及其對投影面的傾角一般位置線段的實(shí)長及其對投影面的傾角 2.3.4 點(diǎn)與直線、直線與直線的相對位置點(diǎn)與直線、直線與直線的相對位置 2.3.5 直角投影定理直角投影定理2.3.1 直線的投影直線的投影 一般情況下，直線的投影仍為直線。由

13、于兩點(diǎn)決定一直線，因一般情況下，直線的投影仍為直線。由于兩點(diǎn)決定一直線，因而只要作出直線上任意兩點(diǎn)（通常為直線段的端點(diǎn)）的投影，并將而只要作出直線上任意兩點(diǎn)（通常為直線段的端點(diǎn)）的投影，并將其同面投影用粗實(shí)線連線，即可確定直線的投影，如圖其同面投影用粗實(shí)線連線，即可確定直線的投影，如圖3-93-9所示。所示。圖圖2-15 直線的投影直線的投影xzyhywaaa bbbo直線與投影面的相對位置情況：直線與投影面的相對位置情況：2.3.2 各種位置直線的投影特性各種位置直線的投影特性直線的空間位置直線的空間位置特殊位置直線特殊位置直線一般位置直線一般位置直線投影面垂直線投影面垂直線投影面平行線投影

14、面平行線正垂線正垂線 鉛垂線鉛垂線側(cè)垂線側(cè)垂線 正平線正平線 水平線水平線側(cè)平線側(cè)平線投影特性投影特性: : 在其垂直的投影面上，投影有積聚性。在其垂直的投影面上，投影有積聚性。 另外兩個投影，反映線段實(shí)長。且垂直于相應(yīng)的投影軸。另外兩個投影，反映線段實(shí)長。且垂直于相應(yīng)的投影軸。1投影面垂直線投影面垂直線垂直于某一個投影面的直線。垂直于某一個投影面的直線。 圖圖2-16 投影面的垂直線投影面的垂直線與一個投影面平行，而對另外兩投影面傾斜的直線與一個投影面平行，而對另外兩投影面傾斜的直線 。2投影面平行線投影面平行線投影特性投影特性: : 在其平行的那個投影面上的投影反映實(shí)長，并反映直線與另兩投

15、影面傾角在其平行的那個投影面上的投影反映實(shí)長，并反映直線與另兩投影面傾角的真實(shí)大小。的真實(shí)大小。 另兩個投影面上的投影平行于相應(yīng)的投影軸。另兩個投影面上的投影平行于相應(yīng)的投影軸。圖圖2-17 投影面的平行線投影面的平行線 對三個投影面都傾斜的直線。對三個投影面都傾斜的直線。 直線與投影面的夾角稱為直線對投影面的傾角?？臻g直線與投直線與投影面的夾角稱為直線對投影面的傾角。空間直線與投影面影面h、v、w之間的傾角分別用之間的傾角分別用、表示，如表示，如圖圖2-18所示。所示。水平投影水平投影 a b = abcos 3一般位置直線一般位置直線一般位置直線的投影特征：一般位置直線的投影特征： 三個投

16、影均不反映實(shí)長；三個投影均不反映實(shí)長； 三個投影均不反映直線與投影面的傾角。三個投影均不反映直線與投影面的傾角。圖圖2-18 一般位置直線一般位置直線側(cè)面投影側(cè)面投影 ab=abcos正面投影正面投影 ab=abcos2.3.3 一般位置直線實(shí)長及其對投影面的傾角一般位置直線實(shí)長及其對投影面的傾角 一般位置直線段在各投影面上的投影均不反映實(shí)長，也不一般位置直線段在各投影面上的投影均不反映實(shí)長，也不反映對投影面的傾角。在工程上，經(jīng)常遇到求一般位置直線的反映對投影面的傾角。在工程上，經(jīng)常遇到求一般位置直線的實(shí)長和傾角，常采用的作圖方法有直角三角形法實(shí)長和傾角，常采用的作圖方法有直角三角形法。 ay

17、zvabbhboxaa1aaxbbza-zbza-zbab實(shí)長實(shí)長aaxbbab實(shí)長實(shí)長aoab圖圖2-19 用三角形法求一般位置直線的實(shí)長和傾角用三角形法求一般位置直線的實(shí)長和傾角ooa bxa b a ba ba b a bya bza ba b 一般位置直線的投影中可作出三個直角三角形，若一般位置直線的投影中可作出三個直角三角形，若只考慮直角三角形的組成關(guān)系。只考慮直角三角形的組成關(guān)系。利用直角三角形法，只利用直角三角形法，只要知道四個要素中的兩個要素，即可求出其他兩個未知要知道四個要素中的兩個要素，即可求出其他兩個未知要素，要素，如如圖圖2-20所示。所示。圖圖2-20直角三角形的三種

18、三角形直角三角形的三種三角形b1ayzvabbhboxaa130【例【例2- -4】已知直線】已知直線ab對對h面的傾角為面的傾角為3030，試求，試求ab的正面投影的正面投影。xoaabbb1圖圖2-21 由線段的傾角求直線的投影由線段的傾角求直線的投影2.3.4 點(diǎn)與直線、直線與直線的相對位置點(diǎn)與直線、直線與直線的相對位置投影特性：投影特性： 直線上點(diǎn)的投影必在該直線同面投影上；直線上點(diǎn)的投影必在該直線同面投影上； 同直線上兩線段長度比等于其投影長度比。同直線上兩線段長度比等于其投影長度比。1 1點(diǎn)與直線的相對位置點(diǎn)與直線的相對位置- -直線上的點(diǎn)直線上的點(diǎn)圖圖2-22 直線上點(diǎn)的投影直線

19、上點(diǎn)的投影a b abkb a k 【例【例2- -5】在在ab上上求作求作點(diǎn)點(diǎn)k，使，使ak:kb=1:2。 21k 圖圖2-23 求作直線上求作直線上k點(diǎn)的投影點(diǎn)的投影ox2直線與直線的相對位置直線與直線的相對位置空間兩直線的相對位置可以分為三種：平行、相交、交叉?？臻g兩直線的相對位置可以分為三種：平行、相交、交叉。 （1）兩直線平行）兩直線平行 空間兩直線平行，則它們的同面投影必然相互平行；空間兩直線平行，則它們的同面投影必然相互平行； 反之，如果兩直線的各個同面投影相互平行，則兩直反之，如果兩直線的各個同面投影相互平行，則兩直線在空間也一定相互平行。線在空間也一定相互平行。 圖圖2-2

20、4 平行兩直線平行兩直線 ab、cd為側(cè)平線，雖然為側(cè)平線，雖然abcd，abcd，但，但ab不平行于不平行于cd，故直線，故直線ab不平行于直線不平行于直線cd。 若要在投影圖上判斷兩條一般位置直線是否平行，只要看它若要在投影圖上判斷兩條一般位置直線是否平行，只要看它們的兩個同面投影是否平行。但對于投影面的平行線，通常根據(jù)們的兩個同面投影是否平行。但對于投影面的平行線，通常根據(jù)其三面投影（或其他的方法）來判別其三面投影（或其他的方法）來判別。圖圖2-25 判斷兩直線平行判斷兩直線平行 當(dāng)兩直線相交時(shí)，它們在各個投影面上的同面投影也當(dāng)兩直線相交時(shí)，它們在各個投影面上的同面投影也必然相交，并且交

21、點(diǎn)符合點(diǎn)的投影規(guī)律必然相交，并且交點(diǎn)符合點(diǎn)的投影規(guī)律。 （2 2）兩直線相交）兩直線相交 圖圖2-26 相交兩直線相交兩直線bacabdckxo 【例【例3- -6】已知點(diǎn)已知點(diǎn)k是是ab與與cd的交點(diǎn)，求的交點(diǎn)，求cd的正面投影的正面投影cd。 分析：交點(diǎn)為兩直線所共有，且符合點(diǎn)的投影規(guī)律，據(jù)此可求得分析：交點(diǎn)為兩直線所共有，且符合點(diǎn)的投影規(guī)律，據(jù)此可求得k；c、k、d同屬一條直線，據(jù)此可求出同屬一條直線，據(jù)此可求出d。kd圖圖2-27 利用兩直線相交求利用兩直線相交求cd直線的投影直線的投影 在空間既不平行也不相交的兩直線稱為交叉直線。交叉直線在空間既不平行也不相交的兩直線稱為交叉直線。交

22、叉直線的投影不具備平行或相交直線的投影特性，如的投影不具備平行或相交直線的投影特性，如圖圖2-28所示。所示。 （3 3）兩直線交叉）兩直線交叉圖圖2-28 交叉兩直線交叉兩直線2.3.5 直角投影定理直角投影定理 空間兩直線垂直相交，如果其中一條直線平行于某一投影面，空間兩直線垂直相交，如果其中一條直線平行于某一投影面，則此兩直線在該投影面上的投影互相垂直，反之，若相交兩直線則此兩直線在該投影面上的投影互相垂直，反之，若相交兩直線在某一投影面上的投影互相垂直，且其中一條是該投影面的平行在某一投影面上的投影互相垂直，且其中一條是該投影面的平行線，則兩直線在空間互相垂直。線，則兩直線在空間互相垂

23、直。 如圖如圖2-29所示。所示。 已知已知abbc，abh面，面，bc傾斜于傾斜于h面。面。ab h面，面，bbh面，面，abbb.又又abbc，ab 垂直于垂直于bc和和bb所決定所決定的平面的平面bccb。又又abab，ab 平面平面bccb，則有，則有abbc，即，即abc為直角。為直角。 圖圖2-29 直角的投影直角的投影【例【例2- -7】求點(diǎn)】求點(diǎn)a到水平線到水平線bc的距離的距離ak及其投影及其投影。 分析：分析：點(diǎn)點(diǎn)a到到bc的距離的距離akbc，因?yàn)椋驗(yàn)閎c為水平線，所以在水平面為水平線，所以在水平面投影上能反映直角關(guān)系。投影上能反映直角關(guān)系。cabcabxokka實(shí)長實(shí)

24、長圖圖2-30 求點(diǎn)到直線的投影求點(diǎn)到直線的投影2.4 平面的投影平面的投影2.4.1 平面的投影表示法平面的投影表示法2.4.2 各種位置平面的投影特性各種位置平面的投影特性2.4.3 平面上的點(diǎn)和直線平面上的點(diǎn)和直線2.4.1 平面的投影表示法平面的投影表示法不在同一直線不在同一直線上的三個點(diǎn)上的三個點(diǎn)直線及線外直線及線外一點(diǎn)一點(diǎn)兩兩相交相交直線直線兩兩平行平行直線直線平面圖形平面圖形圖圖2-31 平面表示法平面表示法平面的表示方法如平面的表示方法如圖圖2-31所示。所示。 2.4.2 各種位置平面的投影特性各種位置平面的投影特性平面與投影面的相對位置情況：平面與投影面的相對位置情況： 平

25、面的空間位置平面的空間位置特殊位置平面特殊位置平面一般位置平面一般位置平面投影面垂直面投影面垂直面投影面平行面投影面平行面正垂面正垂面 鉛垂面鉛垂面 側(cè)垂面?zhèn)却姑?正平面正平面 水平面水平面?zhèn)绕矫鎮(zhèn)绕矫嫱队疤匦裕和队疤匦裕?平面在所平行的投影面上的投影反映實(shí)形。平面在所平行的投影面上的投影反映實(shí)形。 平面在另兩個投影面上的投影均積聚為一條直線，且平行于相應(yīng)的投影軸。平面在另兩個投影面上的投影均積聚為一條直線，且平行于相應(yīng)的投影軸。 1 1投影面平行面投影面平行面平行于一個投影面，并必與另外兩個投影面垂直的平面。平行于一個投影面，并必與另外兩個投影面垂直的平面。水平面水平面 正平面正平面 側(cè)平面

26、側(cè)平面圖圖2-32 投影面的平行面投影面的平行面 投影特性：投影特性： 平面在所垂直的投影面上的投影積聚為一條直線，它與投影軸的夾角平面在所垂直的投影面上的投影積聚為一條直線，它與投影軸的夾角分別反映該平面對另兩個投影面的傾角。分別反映該平面對另兩個投影面的傾角。 平面在另兩個投影面上的投影均為小于原平面的類似形。平面在另兩個投影面上的投影均為小于原平面的類似形。 2投影面垂直面投影面垂直面垂直于一個投影面，并與另外兩個投影面傾斜的平面垂直于一個投影面，并與另外兩個投影面傾斜的平面。鉛垂面鉛垂面 正垂面正垂面 側(cè)垂面?zhèn)却姑鎴D圖2-33 投影面的垂直面投影面的垂直面3 3一般位置平面一般位置平面

27、 一般位置平面與三個投影面都傾斜一般位置平面與三個投影面都傾斜的平面的平面。圖圖2-34 一般位置平面一般位置平面投影特性：投影特性：在三個投影面上的投影都不反映實(shí)形，而是小于原平面的類似形。在三個投影面上的投影都不反映實(shí)形，而是小于原平面的類似形。 分析：分析： 鉛垂面的水平投影積鉛垂面的水平投影積聚成一條傾斜直線，且與聚成一條傾斜直線，且與x軸的夾角為軸的夾角為角，據(jù)此可作角，據(jù)此可作圖。圖。 【例【例2- -8】過點(diǎn)】過點(diǎn)a（a，a）作一鉛垂面，并使其與）作一鉛垂面，并使其與v面面的傾角為的傾角為=30 。 作圖：作圖： 過點(diǎn)過點(diǎn)a的水平投影的水平投影a作與作與x軸成軸成30夾角的線段夾

28、角的線段ab，在線段在線段ab上任選一點(diǎn)上任選一點(diǎn)c，即得，即得鉛垂面的水平投影。過點(diǎn)鉛垂面的水平投影。過點(diǎn)a的正面投影的正面投影a作作ab、ac，則則abc和和abc即為所求鉛垂即為所求鉛垂面。面。cbac a b 圖圖2-35 求作鉛垂面求作鉛垂面xo【例【例2- -9】過直線過直線ab作一正垂面作一正垂面。 分析：分析：正垂面的正面投影積聚成一條傾斜直線，因此過正垂面的正面投影積聚成一條傾斜直線，因此過ab所作的正垂所作的正垂面的投影一定與面的投影一定與 ab重合，水平投影可任意作一平面圖形即可。重合，水平投影可任意作一平面圖形即可。 xaabbocc圖圖2-36 求作正垂面求作正垂面

29、注意：注意：若無條件限制，過直線若無條件限制，過直線ab可作無數(shù)個平面；若過可作無數(shù)個平面；若過ab作垂直面，可作正作垂直面，可作正垂面，也可作鉛垂面；但是由于垂面，也可作鉛垂面；但是由于ab是一般位置直線，所以過是一般位置直線，所以過ab不可能作出水平面不可能作出水平面或正平面。或正平面。2.4.3 平面上的點(diǎn)和直線平面上的點(diǎn)和直線 點(diǎn)和直線在平面上的幾何投影條件點(diǎn)和直線在平面上的幾何投影條件 ： 若某點(diǎn)位于平面內(nèi)的一條已知直線上，則此點(diǎn)必定在該平面上。若某點(diǎn)位于平面內(nèi)的一條已知直線上，則此點(diǎn)必定在該平面上。 一直線通過平面上的兩已知點(diǎn)，則此直線必在該平面上。一直線通過平面上的兩已知點(diǎn)，則此

30、直線必在該平面上。 一直線過平面上的一已知點(diǎn)且與平面上一已知直線平行，則此直線必在一直線過平面上的一已知點(diǎn)且與平面上一已知直線平行，則此直線必在該平面上。該平面上。fgmneengfmfmengqxonmcabpaabccbmnnmxo圖圖2-37 點(diǎn)和直線在平面上的條件（一）點(diǎn)和直線在平面上的條件（一）圖圖2-38 點(diǎn)和直線在平面上的條件（二）點(diǎn)和直線在平面上的條件（二）【例例2- -10】 已知平面已知平面abc，如圖，如圖2-39所示，所示，試求：試求： (1) 判斷點(diǎn)判斷點(diǎn)d是否在平面是否在平面abc上。上。 (2) 平面平面abc上有一點(diǎn)上有一點(diǎn)e，已知水平投影，已知水平投影e，求正

31、面投影，求正面投影e。edd1212xoaabcbc 作圖：作圖： 連 接連 接 c d ， 并 延 長 與， 并 延 長 與ab交于交于1，求出，求出1c，若點(diǎn)，若點(diǎn)d在在直線直線ic上，則不僅上，則不僅d在在1c上，上，而且而且d也也在在1c上，從圖中可看出點(diǎn)上，從圖中可看出點(diǎn)d不在平面不在平面abc上。上。 連接連接ae與與bc相交于相交于2，求出，求出a2，則，則a為平面為平面abc上的一條上的一條直線，因?yàn)辄c(diǎn)直線，因?yàn)辄c(diǎn)e在平面在平面abc上，所以上，所以點(diǎn)點(diǎn)e在直線在直線a上，因此過點(diǎn)上，因此過點(diǎn)e 作投作投射線與射線與a2的延長線得交點(diǎn)，該的延長線得交點(diǎn)，該交點(diǎn)即為所求正面投影交

32、點(diǎn)即為所求正面投影e。 e圖圖2-39 平面內(nèi)取點(diǎn)平面內(nèi)取點(diǎn) 分析：分析： 判斷一點(diǎn)是否在平面上，或判斷一點(diǎn)是否在平面上，或在平面上取點(diǎn)，都必須在平面上在平面上取點(diǎn)，都必須在平面上取一包含該點(diǎn)的直線。取一包含該點(diǎn)的直線。 作圖：作圖： 分別連接分別連接ac、bd得一交點(diǎn)得一交點(diǎn)為點(diǎn)為點(diǎn)k，連，連bd，在，在bd上求出點(diǎn)上求出點(diǎn)k，并連接，并連接a k。 xaabbcddo 【例例2- -11】 試完成平面四邊形試完成平面四邊形abcd的正面投影，并在平面的正面投影，并在平面abcd上取一條水平線，使其到上取一條水平線，使其到h面的距離為面的距離為15mm。ckk15212圖圖2-40 平面內(nèi)取

33、線平面內(nèi)取線 分析：分析： abcd既然是平面，則其對角線既然是平面，則其對角線必相交；水平線的正面投影平行必相交；水平線的正面投影平行于于x軸，按題意，其所有點(diǎn)的軸，按題意，其所有點(diǎn)的z=15mm，據(jù)此可作圖。，據(jù)此可作圖。1 在正面投影上作一平行于在正面投影上作一平行于x軸的直線且使軸的直線且使z=15 mm，與，與ad、bc分別交于分別交于1、2點(diǎn)，求出其水平點(diǎn)，求出其水平投影投影1、2并連接，則直線并連接，則直線即為即為所求水平線。所求水平線。 過過c作作ox的連線，與的連線，與ak的延長線相交求得的延長線相交求得c，連接，連接bc、dc，即完成，即完成abcd的正面的正面投影。投影。

34、 2.5 直線與平面、平面與平面的相對位置直線與平面、平面與平面的相對位置2.5.l 直線與平面平行、平面與平面平行直線與平面平行、平面與平面平行2.5.2 直線與平面相交、平面與平面相交直線與平面相交、平面與平面相交2.5.3 直線與平面垂直、平面與平面垂直直線與平面垂直、平面與平面垂直2.5.1 直線與平面、平面與平面平行直線與平面、平面與平面平行1直線與平面平行直線與平面平行 若一直線與某平面內(nèi)的任一直線平行，那么此直線與該平面平若一直線與某平面內(nèi)的任一直線平行，那么此直線與該平面平行，反之亦然。行，反之亦然。圖圖2-41 直線與平面平行的條件直線與平面平行的條件ommxbcacba【例

35、【例2- -12】過點(diǎn)過點(diǎn)m作一正平線作一正平線mn與平面與平面abc平行平行。 ddnn 分析：分析： 過直線外一點(diǎn)作某一過直線外一點(diǎn)作某一平面的平行線可以有無數(shù)平面的平行線可以有無數(shù)條，但本題要作的是正平條，但本題要作的是正平線，因此在線，因此在abc平面內(nèi)只平面內(nèi)只要作一條正平線要作一條正平線ad，使，使mn平行于該正平線即可。平行于該正平線即可。 圖圖2-42 過點(diǎn)作與已知平面平行的正平線過點(diǎn)作與已知平面平行的正平線 作圖：作圖： 在在abc的水平投影的水平投影abc中，由點(diǎn)中，由點(diǎn)a作作x軸平行線軸平行線與與bc邊相交于邊相交于d，并由，并由ad 得得ad 。 過點(diǎn)過點(diǎn)m、m 分別作

36、直分別作直線線mn、mn平行于平行于ad、ad ， mn （mn、mn）即為所求。即為所求。【例例2- -13】判斷直線】判斷直線ab是否與平面是否與平面def平行平行。 ggboxafedfaedb 分析：分析： 假 設(shè) 直 線假 設(shè) 直 線 a b 與 平 面與 平 面def平行，則在平面平行，則在平面def內(nèi)一定能作一條與內(nèi)一定能作一條與ab平行的直線。否則，直平行的直線。否則，直線與平面不平行。線與平面不平行。 作圖：作圖： 過點(diǎn)過點(diǎn)e 作一條與作一條與a b 平平行的直線行的直線e g ，作出其水平，作出其水平投影投影eg，圖圖2-43 判斷平面與直線是否平行的作圖判斷平面與直線是否

37、平行的作圖從圖中看出，從圖中看出，eg不平行不平行ab。結(jié)論：直線結(jié)論：直線ab與平面與平面def不不平行。平行。2平面與平面平行平面與平面平行 若一平面內(nèi)兩相交直線與另一平面內(nèi)的相交直線對應(yīng)平行，若一平面內(nèi)兩相交直線與另一平面內(nèi)的相交直線對應(yīng)平行，則此兩個平面互相平行，如圖則此兩個平面互相平行，如圖2-44所示。所示。 圖圖2-44 兩平面平行的條件兩平面平行的條件【例例2- -14】過點(diǎn)】過點(diǎn)k作一平面與平面作一平面與平面abc平行平行。 ff eeokkxbcacba 分析：分析： 過點(diǎn)過點(diǎn)k作平面平行作平面平行于于abc平面時(shí)，只要平面時(shí)，只要過點(diǎn)過點(diǎn)k作兩相交直線與作兩相交直線與ab

38、c的任意兩邊平行的任意兩邊平行即可。即可。 作圖：作圖： 過過k作作kebc、 kfac，過，過k 作作k e b c ，k f a c ，則，則kef組成的平面即為所組成的平面即為所求。求。 圖圖2-45 過點(diǎn)作平行平面過點(diǎn)作平行平面 若兩投影面的垂直面互相平行，則它們積聚性的同面投影也若兩投影面的垂直面互相平行，則它們積聚性的同面投影也互相平行，反之亦然互相平行，反之亦然 ，如圖，如圖2-46所所示。示。圖圖2-46 兩鉛垂面互相平行兩鉛垂面互相平行2.5.2 直線與平面相交、平面與平面相交直線與平面相交、平面與平面相交1直線與平面相交直線與平面相交(1) 一般位置直線與特殊位置平面相交一

39、般位置直線與特殊位置平面相交1(2)kkabcacbxoefef 求交點(diǎn)。求交點(diǎn)。 交點(diǎn)交點(diǎn)k的水平投影的水平投影k必在必在abc上。因上。因?yàn)辄c(diǎn)為點(diǎn)k又在又在ef上，所以點(diǎn)上，所以點(diǎn)k必在必在ef上，上，ef與與cde的交點(diǎn)即為交點(diǎn)的交點(diǎn)即為交點(diǎn)k的水平投影的水平投影k，據(jù)點(diǎn)據(jù)點(diǎn)k可求出可求出k的正面投影點(diǎn)的正面投影點(diǎn)k 。 判別可見性。判別可見性。 ef與與ab是一對交叉直線，是一對交叉直線， 在在ab上，上，在在ef上，點(diǎn)上，點(diǎn)、在在v面有重影面有重影點(diǎn)，由于點(diǎn)，由于yy，對，對v面而言，點(diǎn)面而言，點(diǎn)的的投影可見，點(diǎn)投影可見，點(diǎn)的的投影投影不可見，即線段不可見，即線段a b 可見，而可見

40、，而e f 上被平面遮住的部分上被平面遮住的部分k 2 不可見，畫為細(xì)虛線。不可見，畫為細(xì)虛線。 圖圖2-47 一般位置直線與鉛垂面相交一般位置直線與鉛垂面相交分析與作圖步驟分析與作圖步驟:1 12 2(2) 一般位置平面與投影面的垂直線相交一般位置平面與投影面的垂直線相交ckkoxeecdd bba(a) 求交點(diǎn)。求交點(diǎn)。 由于直線由于直線ab的水平投影積聚的水平投影積聚成一點(diǎn)，因此交點(diǎn)成一點(diǎn)，因此交點(diǎn)k的水平投影的水平投影k 必與之重合。又由于交點(diǎn)必與之重合。又由于交點(diǎn)k屬于屬于cde，故可利用平面上取點(diǎn)的，故可利用平面上取點(diǎn)的方法，求出點(diǎn)方法，求出點(diǎn)k的正面投影的正面投影k。 判別可見性

41、。判別可見性。 由水平投影可知，平面上的由水平投影可知，平面上的de邊與邊與ab是交叉直線，由于是交叉直線，由于de在后，在后，ab在前，所以在正面投影在前，所以在正面投影中，中， ka可見，為實(shí)線，可見，為實(shí)線， kb與與de重疊的部分不可見，則用虛線重疊的部分不可見，則用虛線表示。表示。圖圖2-48 一般位置平面與正垂線相交一般位置平面與正垂線相交分析與作圖步驟分析與作圖步驟: 求交線求交線k1k2。 利用平面利用平面abcd在水平面在水平面上具有積聚性，可直接求出上具有積聚性，可直接求出k1、k2的水平投影的水平投影k1、k2。利用。利用表面取點(diǎn)的方法，求出表面取點(diǎn)的方法，求出k1、k2的正面投影的正面投影k1、k2，并連接，并連接其同面投影，則線段其同面投影，則線段k1k2為所為所求。求。 判別可見性。判別可見性。 由由h面投影可知，面投影可知， ab與與ef 交叉，其正面重影點(diǎn)交叉，其正面重影點(diǎn)ab在在ef 的前方，故的前方，故v面投影中面投影中ek2與與ab cd重合部分重合部分為不可見，為不可見，fk2為可見，為可見，其余部分的可見性其余部分的可見性可由此進(jìn)一步確定。可由此進(jìn)一步確定。 （因?yàn)椋ㄒ驗(yàn)閒在在e之前之前 ，所以，所以 fk2為可見）