勾股定理經(jīng)典例題(含答案)

1、優(yōu)秀資料歡迎下載！勾股定理經(jīng)典例題類型一：勾股定理的直接用法1、在 Rt ABC 中， C=90°(1)已知 a=6， c=10，求 b， (2)已知 a=40，b=9，求 c； (3)已知 c=25，b=15，求 a. 思路點(diǎn)撥 : 寫解的過程中，一定要先寫上在哪個直角三角形中，注意勾股定理的變形使用。舉一反三【變式】 :如圖 B=ACD=90°, AD=13,CD=12, BC=3,則 AB 的長是多少 ?類型二：勾股定理的構(gòu)造應(yīng)用2、如圖，已知：在中，. 求： BC 的長 .1、某市在舊城改造中，計劃在市內(nèi)一塊如圖所示的三角形空地上種植草皮以美化環(huán)境，已知這種草皮每平

2、方米售價 a 元，則購買這種草皮至少需要（）30mA 、 450a 元B、225a 元C、150a 元20mD、300a 元150°舉一反三【變式 1】如圖，已知：，于 P.求證：.【變式 2】已知：如圖， B=D=90°， A=60°， AB=4，CD=2 。求：四邊形 ABCD 的面積。優(yōu)秀資料歡迎下載！類型三：勾股定理的實(shí)際應(yīng)用（一）用勾股定理求兩點(diǎn)之間的距離問題3、如圖所示，在一次夏令營活動中，小明從營地A 點(diǎn)出發(fā)，沿北偏東60°方向走了到達(dá) B點(diǎn)，然后再沿北偏西30°方向走了 500m 到達(dá)目的地 C 點(diǎn)。（1）求 A、C 兩點(diǎn)之間的

3、距離。（2）確定目的地 C 在營地 A 的什么方向。舉一反三【變式】一輛裝滿貨物的卡車，其外形高 2.5 米，寬 1.6 米，要開進(jìn)廠門形狀如圖的某工廠，問這輛卡車能否通過該工廠的廠門 ?（二）用勾股定理求最短問題4、如圖，一圓柱體的底面周長為 20cm，高為 4cm，是上底面的直徑 一只螞蟻從點(diǎn) A 出發(fā)，沿著圓柱的側(cè)面爬行到點(diǎn) C，試求出爬行的最短路程優(yōu)秀資料歡迎下載！類型四：利用勾股定理作長為的線段5、作長為、的線段。作法：如圖所示舉一反三【變式】在數(shù)軸上表示的點(diǎn)。解析：可以把看作是直角三角形的斜邊，為了有利于畫圖讓其他兩邊的長為整數(shù)，而 10 又是 9 和 1 這兩個完全平方數(shù)的和，得

4、另外兩邊分別是3和 1。作法：如圖所示在數(shù)軸上找到A 點(diǎn)，使 OA=3，作 AC OA 且截取 AC=1，以 OC 為半徑，以 O 為圓心做弧，弧與數(shù)軸的交點(diǎn)B 即為。類型五：逆命題與勾股定理逆定理6、寫出下列原命題的逆命題并判斷是否正確1原命題：貓有四只腳 （正確）2原命題：對頂角相等（正確）3原命題：線段垂直平分線上的點(diǎn)，到這條線段兩端距離相等（正確）4原命題：角平分線上的點(diǎn)，到這個角的兩邊距離相等（正確）7、如果ABC 的三邊分別為 a、 b、 c，且滿足 a2+b2+c2+50=6a+8b+10c，判斷ABC 的形狀。舉一反三【變式 1】四邊形 ABCD 中， B=90°，

5、AB=3，BC=4，CD=12，AD=13，求四邊形 ABCD 的面積。優(yōu)秀資料歡迎下載！【變式 2】已知 :ABC 的三邊分別為 m2n2,2mn,m2+n2(m,n 為正整數(shù) ,且 m n),判斷 ABC 是否為直角三角形 .【變式 3】如圖正方形 ABCD ，E 為 BC 中點(diǎn)， F 為 AB 上一點(diǎn)，且 BF=AB。請問 FE 與 DE 是否垂直 ?請說明。【答案】答： DE EF。證明：設(shè) BF=a，則 BE=EC=2a, AF=3a ，AB=4a, EF2=BF2 +BE2=a2+4a2=5a2；DE 2=CE2 +CD 2=4a2+16a2=20a2。連接 DF（如圖）DF2=A

6、F2+AD 2=9a2+16a2=25a2。 DF2=EF2+DE2, FEDE。練習(xí)一、判斷直角三角形問題：1、. 滿足下列條件的ABC，不是直角三角形的是A.b2c2 a2B.a b c C.C A BD. A B C =345=12 13 152、若一個三角形的三邊長的平方分別為：32，42，x2 則此三角形是直角三角形的x2 的值是A.4 2B.5 2C.7D.52 或 7、如果 ABC的三邊分別為22m那么m ，m+1(1)312 mA. ABC是直角三角形，且斜邊長為2B. ABC是直角三角形，且斜邊長 2 為 mm+1C. ABC是直角三角形，但斜邊長需由m的大小確定D. ABC

7、不是直角三角形4、已知 Rt ABC中， C=90°，若 a+b=14cm， c=10cm，則 RtABC的面積是（）2222A 、 24cmB、36cmC、48cmD、60cm5、下面幾組數(shù) : 7,8,9; 12,9,15;2222, 2mn(m,n 均為正整數(shù) ,mn); a2 , a 21, a22 .m + n , m n其中能組成直角三角形的三邊長的是( )A. ;B. ;C. ;D. 6、 三角形的三邊長為 (a b)2c 22ab , 則這個三角形是 ( )A. 等邊三角形 ; B. 鈍角三角形 ; C. 直角三角形 ; D.銳角三角形 .7、已知 x6y8( z10

8、) 20 , 則由此 x, y, z 為三邊的三角形是三角形 .9、已知 a，b，c 為 ABC三邊，且滿足 a2+b2+c2 +338=10a+24b+26c. 試判斷 ABC的形狀 .優(yōu)秀資料歡迎下載！10、若 ABC的三邊長為 a, b, c，根據(jù)下列條件判斷 ABC的形狀 .（1） a2+b2+c2+200=12a+16b+20c(2) a3a2b+ab2 ac2+bc2 b3=011、已知， ABC中， AB=17cm，BC=16cm，BC邊上的中線 AD=15cm，試說明 ABC是等腰三角形。經(jīng)典例題精析類型一：勾股定理及其逆定理的基本用法1、若直角三角形兩直角邊的比是3：4，斜邊

9、長是 20，求此直角三角形的面積。舉一反三【變式 1】等邊三角形的邊長為2，求它的面積。注：等邊三角形面積公式：若等邊三角形邊長為a，則其面積為a?！咀兪?2】直角三角形周長為12cm，斜邊長為 5cm，求直角三角形的面積?！咀兪?3】若直角三角形的三邊長分別是n+1，n+2，n+3，求 n?？偨Y(jié)升華：注意直角三角形中兩“直角邊”的平方和等于“斜邊”的平方，在題目沒有給出哪條是直優(yōu)秀資料歡迎下載！角邊哪條是斜邊的情況下，首先要先確定斜邊，直角邊?！咀兪?4】以下列各組數(shù)為邊長，能組成直角三角形的是（）A、8，15， 17B、 4，5，6C、5，8，10D、8，39，40類型二：勾股定理的應(yīng)用2

10、、如圖，公路MN 和公路 PQ 在點(diǎn) P 處交匯，且 QPN 30°，點(diǎn) A 處有一所中學(xué)， AP160m。假設(shè)拖拉機(jī)行駛時，周圍 100m 以內(nèi)會受到噪音的影響，那么拖拉機(jī)在公路學(xué)校是否會受到噪聲影響？請說明理由，如果受影響，已知拖拉機(jī)的速度為MN 上沿 PN 方向行駛時，18km/h，那么學(xué)校受影響的時間為多少秒？總結(jié)升華 :勾股定理是求線段的長度的很重要的方法 ,若圖形缺少直角條件 ,則可以通過作輔助垂線的方法 ,構(gòu)造直角三角形以便利用勾股定理。舉一反三 【變式 1】如圖學(xué)校有一塊長方形花園，有極少數(shù)人為了避開拐角而走“捷徑” ，在花園內(nèi)走出了一條“路”。他們僅僅少走了 _步路

11、（假設(shè) 2 步為 1m），卻踩傷了花草。【答案】 4【變式 2】如圖中的虛線網(wǎng)格我們稱之為正三角形網(wǎng)格，它的每一個小三角形都是邊長為形，這樣的三角形稱為單位正三角形。1 的正三角（1）直接寫出單位正三角形的高與面積。（2）圖中的平行四邊形 ABCD 含有多少個單位正三角形？平行四邊形 ABCD 的面積是多少？（3）求出圖中線段 AC 的長（可作輔助線） 。類型三：數(shù)學(xué)思想方法方程的思想方法4、如圖所示，已知 ABC 中， C=90°， A=60°， ，求 、 、 的值。思路點(diǎn)撥：由，再找出、的關(guān)系即可求出和的值。優(yōu)秀資料歡迎下載！解：在Rt ABC中， A=60°

12、， B=90° - A=30°，則，由勾股定理，得。因?yàn)?，所以，?？偨Y(jié)升華：在直角三角形中，30°的銳角的所對的直角邊是斜邊的一半。舉一反三：【變式】如圖所示，折疊矩形的一邊AD ，使點(diǎn) D 落在 BC 邊的點(diǎn)F 處，已知AB=8cm，BC=10cm，求 EF 的長。解：因?yàn)?ADE 與 AFE 關(guān)于 AE 對稱，所以 AD=AF ， DE=EF 。因?yàn)樗倪呅?ABCD 是矩形，所以 B= C=90°，在 RtABF 中， AF=AD=BC=10cm ， AB=8cm，所以。 所以。設(shè)在 RtECF，則中，。，即即 EF 的長為5cm。，解得。三、折疊問題1、已知，如圖長方形ABCD中， AB=3cm，AD=9cm，將此長方形折疊，使點(diǎn)B 與點(diǎn) D重合，折痕為 EF，則 ABE的面積為（）2222A 、6cmB、8cmC、10cmD、