關(guān)于矩陣秩的證明

1、關(guān)于矩陣秩的證明 -09數(shù)應(yīng) 鄢麗萍中文摘要 在高等代數(shù)中,矩陣的秩是一個重要的概念。它是矩陣的一個數(shù)量特征，而且在初等變換下保持不變。關(guān)于矩陣秩的問題,通常轉(zhuǎn)化為矩陣是否可逆,線性方程組的解的情況等來解決。 所謂矩陣的行秩就是指矩陣的行向量組的秩，矩陣的列秩就是矩陣的列向量組的秩，由于矩陣的行秩與列秩相等，故統(tǒng)稱為矩陣的秩。向量組的秩就是向量組中極大線性無關(guān)組所含向量的個數(shù)。關(guān)鍵詞：初等變換 向量組的秩 極大線性無關(guān)組 約定用E表示單位向量，A表示矩陣A的轉(zhuǎn)置，r(A)表示矩陣A的秩。在涉及矩陣的秩時，以下幾個簡單的性質(zhì)：（1） r(A)=r(A);（2） r(kA)= （3） 設(shè)A,B分別

2、為n×m與m×s矩陣，則 r(AB)minr(A),r(B),n,m,s(4) r(A)=n,當且僅當0(5) r=r(A)+r(B)r(6) r(A-B)r(A)+r(B)矩陣可以進行加法，數(shù)乘，乘法等運算，運算后的新矩陣的秩與原矩陣的秩有一定關(guān)系。定理1：設(shè)A,B為n×n階矩陣，則r(A+B)r(A)+r(B)證: 由初等變換可得即=由性質(zhì)5可得r=r則有r(A)+r(B)r(A+B)定理2（sylverster公式）設(shè)A為s×n階矩陣，B為n×m階矩陣，則有r(A)+r(B)-nr(AB)證：由初等變換可得即則r=r 即r(A)+r(B)

3、-nr(AB)推論(Frobenius公式) 設(shè)A為m×n階矩陣，B為n×s階矩陣，C為s×t階矩陣，則 r(AB)+r(BC)-r(B)r(ABC)證：設(shè)r(B)=r,存在n階可逆矩陣P，s階可逆矩陣Q，使 B=PQ=PQ 令M=P，N=Q則有B=MN根據(jù)定理2 r(AMNC)r(AM)+r(NC)-r(MN) r(AMN)+r(MNC)-r(MN) 即r(AB)+r(BC)-r(B)r(ABC)定理3 設(shè)A為n×n矩陣，若A=E，那么有 r(A+E)+r(A-E)=n證：根據(jù)題意有（A+E）（A-E）=O令A+E=A，A-E=A，有AA=O由定理2可

4、知 r(A)+r(A)n 即r(A+E)+r(A-E)n又根據(jù)性質(zhì)6有r(A+E)+r(A-E)r(A+E)-(A-E)=r(2E)=n故r(A+E)+r(A-E)=n推論 設(shè)A為n×n矩陣且A=A，那么有 r(A)+r(A-E)=n 證：事實上，有=則有r=r 故有r(A)+r(A-E)=r(E)=n定理4 設(shè)A是s×n實矩陣，有r(E-AA)-r(E-AA)=n-s證:要證r(E-AA)-r(E-AA)=n-s即只要證r(E-AA)+s=r(E-AA)+n由初等變換有即=故有r=r=n+r(E-AA)同理可證 r=s+r(E-AA)綜上有 n+r(E-AA)=s+r(E-AA)定理5 設(shè)A,C均為m×n矩陣，B,D均為n×s矩陣，則有 r(AB-CD)r(A-C)+r(B-D)證：由分塊矩陣的乘法得 =故r=r故r(A-C)+r(B-D)r(AB-CD) 參考文獻【1】 劉紅星.高等代數(shù)選講【M】.北京：機械工業(yè)出版社，2009.【2】 錢吉