平面上曲線積分與路徑無(wú)關(guān)的條件PPT課件

1、2021年11月10日星期三1Gyxo 1LQdyPdx則稱曲線積分則稱曲線積分 LQdyPdx在在G內(nèi)內(nèi) 與路與路線線無(wú)關(guān)無(wú)關(guān), , 一、平面曲線積分與路線無(wú)關(guān)的條件 2LQdyPdx1L2LBA如果在區(qū)域G內(nèi)有 否則與路否則與路線線有關(guān)有關(guān). . 1. 曲線積分與路線無(wú)關(guān)的定義第1頁(yè)/共30頁(yè)2021年11月10日星期三2(ii) 對(duì) D 中任一按段光滑曲線 L, 曲線積分 ddLP xQ y與路線無(wú)關(guān), 只與 L 的起點(diǎn)及終點(diǎn)有關(guān);ddP xQ y ( ,)u x y(iii) 是 D 內(nèi)某一函數(shù)的全微分, 即在 D 內(nèi)有 ddd ;uP xQ y (iv) 在 D 內(nèi)處處成立 .PQy

2、x 定理1 設(shè) D 是單連通區(qū)域. 若函數(shù)( ,),P x y( ,)Q x y 在 D 內(nèi)連續(xù), 且具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù), 則以 下四個(gè)條件兩兩等價(jià): (i) 沿 D 內(nèi)任一按段光滑封閉曲線 L, 有dd0;LP xQ y第2頁(yè)/共30頁(yè)2021年11月10日星期三3 若 ( ,),( ,)P x yQ x y滿足定理1 的條件, 則 由上述證明可看到二元函數(shù) ( ,)d( ,),d(ABP x yxQ xuyx yy00(,)(,)( ,)d( ,)dB x yA xyP x yxQ x yy具有性質(zhì)d ( ,)( ,)d( ,)d .u x yP x yxQ x yy我們也稱( ,)u x

3、 y為ddP xQ y 的一個(gè)原函數(shù). 二、原函數(shù)計(jì)算舉例第3頁(yè)/共30頁(yè)2021年11月10日星期三4第4頁(yè)/共30頁(yè)2021年11月10日星期三54sin sin3 cos d3cos3 cos2 dOAxyx xyx y4sin sin3 cos d3cos3 cos2 dABxyx xyx y第5頁(yè)/共30頁(yè)2021年11月10日星期三6第6頁(yè)/共30頁(yè)2021年11月10日星期三7第7頁(yè)/共30頁(yè)2021年11月10日星期三8第8頁(yè)/共30頁(yè)2021年11月10日星期三9例3 計(jì)算曲線積分(2,3)2(1,1)()().xyxyxyIexyedxx edy 解 由于 2xyxyxye

4、xyex eyx 所所以以原原積積分分曲曲線線積積分分與與路路線線無(wú)無(wú)關(guān)關(guān). . 于于是是有有22xyxyxex ye 第9頁(yè)/共30頁(yè)2021年11月10日星期三10(2,3)2(1,1)()().xyxyxyIexyedxx edy 23211()4xxyexedxedy 23211(1)(2)xyx dede 2223111(1)|(1)2|xxyx ee dxe 226232()22eeeeee 62ee 第10頁(yè)/共30頁(yè)2021年11月10日星期三11xxyxyyP2)2(2 xyxxxQ2)(42 解 故故原原式式 101042)1(dyydxx.1523 第11頁(yè)/共30頁(yè)20

5、21年11月10日星期三12與路徑無(wú)關(guān)的四個(gè)等價(jià)命題條件在單連通在單連通區(qū)域區(qū)域D上上),(),(yxQyxP具有連具有連續(xù)的一階偏導(dǎo)數(shù)續(xù)的一階偏導(dǎo)數(shù), ,則以下四個(gè)命題成立則以下四個(gè)命題成立. . 等價(jià)命題（1） 在在G內(nèi)內(nèi)ddLP xQ y與路徑無(wú)關(guān)與路徑無(wú)關(guān)； （2）dd0LP xQ y，閉曲線，閉曲線LG （3）在在G內(nèi)存在內(nèi)存在( , )u x y，使，使duPdxQdy （4）在）在G內(nèi)，內(nèi)，PQyx 內(nèi)容小結(jié)第12頁(yè)/共30頁(yè)2021年11月10日星期三13作業(yè)習(xí) 題 9-6 P221 2(2);3(2);第13頁(yè)/共30頁(yè)2021年11月10日星期三14思考與練習(xí)1. 設(shè)曲線積

6、分設(shè)曲線積分 Ldyxydxxy)(2與路徑無(wú)關(guān)與路徑無(wú)關(guān), 其中其中 具有連具有連續(xù)的導(dǎo)數(shù)續(xù)的導(dǎo)數(shù), 且且0)0( ,計(jì)算計(jì)算 )1 , 1()0,0(2)(dyxydxxy. 解:,2)(2xyxyyyP ),()(xyxyxxQ ,),(2xyyxP ),(),(xyyxQ 積分與路徑無(wú)關(guān)積分與路徑無(wú)關(guān)xQyP ， 由由xyxy2)( cxx 2)( 由由0)0( ，知知0 c 2)(xx . 故故 )1 ,1()0,0(2)(dyxydxxy 10100ydydx.21 第14頁(yè)/共30頁(yè)2021年11月10日星期三152. 試應(yīng)用曲線積分求(2sin )d( cos )dxyxxyy

7、 的原函數(shù). 解 這里( ,)2sin,( ,)cos,P x yxy Q x yxy 在整個(gè)平面上成立 cos.PQyyx由定理1, 曲線積分(2sin )d( cos )dABxyxxyy只與起點(diǎn) A 和終點(diǎn) B 有關(guān), 而與路線的選擇無(wú)關(guān). 為此, 取(0,0),( , ),OB x y取路線為圖21-22中的折 00( ,)2 dcos dxyu x yx xxy y2sin.xxyC x2122 圖圖( ,0)C x( , )B x yOy線段 于是有 .OCB第15頁(yè)/共30頁(yè)2021年11月10日星期三16ARBASB證 (i)(ii) 如圖 21-19, 設(shè) 與 為聯(lián)結(jié)點(diǎn) A,

8、 B 的任意兩條按段光滑曲線, 由 (i) 可推得 ddddARBASBP xQ yP xQ yddddARBBSAP xQ yP xQ ydd0,ARBSAP xQ y所以dddd .ARBASBP xQ yP xQ y2119 圖圖BARS第16頁(yè)/共30頁(yè)2021年11月10日星期三17D 內(nèi)任意一點(diǎn). 由 (ii), 曲線積分 ddABP xQ y與路線的選擇無(wú)關(guān), 故當(dāng)( , )B x y在 D 內(nèi)變動(dòng)時(shí), 其 積分值是( , )B x y的函數(shù), 即有 ( , )dd .ABu x yP xQ y取x 充分小, 使 (,),C xx yD 則函數(shù) ( ,)u x y對(duì)于 x 的偏增

9、量(圖21-20). 00(,)A xy( , )B x y(ii)(iii) 設(shè) 為 D 內(nèi)某一定點(diǎn), 為 (,)( ,)xuu xx yu x y dddd .ACABP xQ yP xQ yOx2120 圖圖B0 xADCxxx 0yyy第17頁(yè)/共30頁(yè)2021年11月10日星期三18因?yàn)樵?D 內(nèi)曲線積分與路線無(wú)關(guān), 所以 dddddd .ACABBCP xQ yP xQ yP xQ y因直線段 BC 平行于 x 軸, 故 d0y , 從而由積分中 值定理可得 ddxBCuP xQ y( ,)d(,),xxxP t ytP xx yx (,)( ,)xuu xx yu x y ddd

10、d .ACABP xQ yP xQ y01. ( ,)P x y其中 根據(jù) 在 D 上連續(xù), 于是有 第18頁(yè)/共30頁(yè)2021年11月10日星期三1900limlim(,)( ,).xxxuuP xx yP x yxx 同理可證( ,).uQ x yy 所以證得 ddd .uP xQ y ( ,),u x y(iii)(iv) 設(shè)存在函數(shù)使得ddd ,uP xQ y 因此 ( ,)( ,),( ,)( ,).xyP x yux yQ x yux y于是由 一點(diǎn)處都有 ( , )( , ).xyyxPQux yux yyx即即以及 P, Q 具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù), 便可知道在 D 內(nèi)每 ( ,

11、),( , ),xyyxPQux yux yyx第19頁(yè)/共30頁(yè)2021年11月10日星期三20(iv)(i) 設(shè) L 為 D 內(nèi)任一按段光滑封閉曲線, 記 L 所圍的區(qū)域?yàn)? 由于 D 為單連通區(qū)域, 所以區(qū)域 含在 D 內(nèi). 應(yīng)用格林公式及在 D 內(nèi)恒有 PQyx 的 條件, 就得到 ddd0.LQPP xQ yxy 上面我們將四個(gè)條件循環(huán)推導(dǎo)了一遍, 這就證明了 它們是相互等價(jià)的.第20頁(yè)/共30頁(yè)2021年11月10日星期三21.)0 ,()0 ,()2(;)1(,2的直線段的直線段軸到點(diǎn)軸到點(diǎn)沿沿從點(diǎn)從點(diǎn)的上半圓周的上半圓周針?lè)较蚶@行針?lè)较蚶@行、圓心為原點(diǎn)、按逆時(shí)、圓心為原點(diǎn)、按逆

12、時(shí)半徑為半徑為為為其中其中計(jì)算計(jì)算aBxaAaLdxyL 例解,sincos:)1( ayaxL，變到變到從從 0)0 ,(aA)0 ,( aB 0原原式式 daa)sin(sin22 .343a 03a)(cos)cos1(2 d 應(yīng)用定理1 中的條件(iv)考察2 中的兩個(gè)例子 第21頁(yè)/共30頁(yè)2021年11月10日星期三22)0 ,(aA)0 ,( aB , 0:)2( yL，變到變到從從aax aadx0原式原式. 0 問(wèn)題：被積函數(shù)相同，起點(diǎn)和終點(diǎn)也相同，但路徑不同積分結(jié)果不同.第22頁(yè)/共30頁(yè)2021年11月10日星期三23例).1 , 1(),0 , 1()0 , 0(,)3

13、(;)1 , 1()0 , 0()2(;)1 , 1()0 , 0()1(,2222依次是點(diǎn)依次是點(diǎn)，這里，這里有向折線有向折線的一段弧的一段弧到到上從上從拋物線拋物線的一段弧的一段弧到到上從上從拋物線拋物線為為其中其中計(jì)算計(jì)算BAOOABBOyxBOxyLdyxxydxL 2xy )0 , 1(A)1 , 1(B解.)1(的積分的積分化為對(duì)化為對(duì) x, 10,:2變到變到從從xxyL 1022)22(dxxxxx原式原式 1034dxx. 1 第23頁(yè)/共30頁(yè)2021年11月10日星期三242yx .)2(的積分的積分化為對(duì)化為對(duì) y,10,:2變到變到從從yyxL 1042)22(dyy

14、yyy原式原式 1045dxy. 1 )0 , 1(A)1 , 1(B第24頁(yè)/共30頁(yè)2021年11月10日星期三25,上上在在 OA,10, 0變到變到從從xy 1022)002(2dxxxdyxxydxOA. 0 ,上上在在 AB,10, 1變到變到從從yx 102)102(2dyydyxxydxAB. 1 10 原原式式. 1 ) 0 , 1 (A)1,1(B問(wèn)題：被積函數(shù)相同，起點(diǎn)和終點(diǎn)也相同，但路徑不同而積分結(jié)果相同.)3( ABOAdyxxydxdyxxydx2222原式原式第25頁(yè)/共30頁(yè)2021年11月10日星期三26使用時(shí)，直接刪除本頁(yè)！精品課件，你值得擁有！精品課件，你值得擁有！第26頁(yè)/共30頁(yè)2021年11月10日星期三27使用時(shí)，直接刪除本頁(yè)！精品課件，你值得擁有！精品課件，你值得擁有！第27頁(yè)/共30頁(yè)2021年11月10日星期三28使用時(shí)，直接刪除本頁(yè)！精品課件，你值得擁有！精品課件，你值得擁有！第28頁(yè)/共30頁(yè)2021年11月10日星期三29注 由定理1 可見(jiàn), 若 00, , ,xx