結構塑性分析的極限荷課件

1、第第1515章章結構塑性分析的極限荷載結構塑性分析的極限荷載第一節(jié)第一節(jié) 概述概述 1.1.結構的彈塑性結構的彈塑性 obCIIIIbssBDAII普通鋼筋拉伸曲線普通鋼筋拉伸曲線 考慮圖所示材料的路徑在彈性階段考慮圖所示材料的路徑在彈性階段I I以后的的以后的的IIII、IIIIII兩條路經(jīng)上的特性兩條路經(jīng)上的特性和承載能力。和承載能力。這兩條路經(jīng)的曲線顯示一個共同的這兩條路經(jīng)的曲線顯示一個共同的點，材料產(chǎn)生明顯變形且有殘余應點，材料產(chǎn)生明顯變形且有殘余應變，但仍有承載能力。變，但仍有承載能力。殘余變形是材料不能恢復的變形殘余變形是材料不能恢復的變形。結構的彈性設計方法，是以只要結構結構的彈

2、性設計方法，是以只要結構上有一個截面的一點的應力達到材料上有一個截面的一點的應力達到材料的許用應力的許用應力 為標志的。即結構上為標志的。即結構上任一點的應力任一點的應力 和應變和應變 都不許超過都不許超過材料的屈服應力材料的屈服應力 和屈服應變和屈服應變 。即：即： ss s s(a)(a)PuF即：即：PuPPFFF許用荷載法。許用荷載法。 (b)(b)2.2.理想彈塑性材料假設理想彈塑性材料假設 oCIssAII oCIsAII(a)(a)線性強化模型線性強化模型(b)(b)剛塑性模型剛塑性模型oCIssAII殘余應變(c)(c)理想彈塑性模型理想彈塑性模型各類簡化曲線模型各類簡化曲線模

3、型(2)(2)加載時，材料的加載時，材料的 曲線分彈性曲線分彈性I I、塑性塑性IIII兩個階段。兩個階段。理想彈塑性材料假定：理想彈塑性材料假定： (1)(1)材料的拉壓性能相同材料的拉壓性能相同(3)(3)卸載時，卸載點在卸載時，卸載點在I I、IIII兩個階段上兩個階段上是不同的。是不同的。理想彈塑性假定，材料加載時呈彈塑性，理想彈塑性假定，材料加載時呈彈塑性，卸載時呈彈性。卸載時呈彈性。第二節(jié)第二節(jié) 極限彎矩和塑性鉸極限彎矩和塑性鉸MM(a)(a)純彎曲純彎曲 矩形截面梁矩形截面梁ss(b)(b)(c)(c)1、彈性極限彎矩彈性極限彎矩Ms 由材料力學知，在線彈性范圍內，處于純由材料力

4、學知，在線彈性范圍內，處于純彎曲受力狀態(tài)的梁的任一截面上只有與外彎曲受力狀態(tài)的梁的任一截面上只有與外力偶相等的彎矩產(chǎn)生，截面在變形后仍保力偶相等的彎矩產(chǎn)生，截面在變形后仍保持平截面，即截面上各層纖維沿梁軸線的持平截面，即截面上各層纖維沿梁軸線的伸縮與截面高度成正比，或說截面上的應伸縮與截面高度成正比，或說截面上的應變按截面高度線性分布，在中性軸處的應變按截面高度線性分布，在中性軸處的應變等于零。變等于零。 按結構的彈性設計方法，當截面的最外按結構的彈性設計方法，當截面的最外層纖維達到材料的屈服應力，即層纖維達到材料的屈服應力，即 sIMymaxmax(a)(a)時，認為該截面已達到截面的彈性極

5、限狀時，認為該截面已達到截面的彈性極限狀態(tài)，此時截面的彎矩即為該截面的彈性極態(tài)，此時截面的彎矩即為該截面的彈性極限彎矩。用限彎矩。用Ms替換式替換式(a)(a)中的中的M M，即得：，即得： sSyIMmax(b)(b)對圖示矩形截面梁，對圖示矩形截面梁，代入代入 123bhI 2maxhy得矩形截面彈性極限彎矩：得矩形截面彈性極限彎矩： SSbhM62(c)(c)MM=MsM線彈性狀態(tài)線彈性狀態(tài)M=MuMs(a)(a)彈塑性及塑性流動階段彈塑性及塑性流動階段(b)(b)s2 2、極限彎矩、極限彎矩Mu 當截面達到彈性極限狀態(tài)外力偶繼續(xù)增大當截面達到彈性極限狀態(tài)外力偶繼續(xù)增大MMs以后，截面上

6、的應變分布仍與截面以后，截面上的應變分布仍與截面高度呈線性關系，即平截面假定仍然適用，高度呈線性關系，即平截面假定仍然適用，見圖見圖14-2-1(c)14-2-1(c)。但截面上的應力分布不。但截面上的應力分布不再與截面高度保持線性關系。再與截面高度保持線性關系。 (1)(1)截面的彈塑性階段截面的彈塑性階段(2)(2)截面的塑性流動階段截面的塑性流動階段矩形截面在塑性極限狀態(tài)的極限彎矩矩形截面在塑性極限狀態(tài)的極限彎矩 SSbhhbhMu42)42(2(d)(d)(3)(3)塑性鉸概念塑性鉸概念當截面出現(xiàn)并不斷擴大塑性區(qū)進入彈塑性當截面出現(xiàn)并不斷擴大塑性區(qū)進入彈塑性發(fā)展階段，直到整個截面被塑性

7、區(qū)充滿的發(fā)展階段，直到整個截面被塑性區(qū)充滿的塑性極限狀態(tài)止，截面上應變的發(fā)展始終塑性極限狀態(tài)止，截面上應變的發(fā)展始終與截面高度成線性關系。即盡管這一階段與截面高度成線性關系。即盡管這一階段塑性區(qū)上的應力停止在屈服應力值上，但塑性區(qū)上的應力停止在屈服應力值上，但應變仍與彈性核部分的應變分布斜直線共應變仍與彈性核部分的應變分布斜直線共線發(fā)展。因此，當截面達到塑性極限狀態(tài)線發(fā)展。因此，當截面達到塑性極限狀態(tài)時，比彈性極限狀態(tài)的應變值顯著增大，時，比彈性極限狀態(tài)的應變值顯著增大，由此產(chǎn)生的是該截面兩側無限靠近的兩個由此產(chǎn)生的是該截面兩側無限靠近的兩個截面繞中性軸發(fā)生相對的轉動的相對角位截面繞中性軸發(fā)生

8、相對的轉動的相對角位移效應。移效應。塑性鉸的以下特征：塑性鉸的以下特征：(1)(1)塑性鉸承受并傳遞極限彎矩塑性鉸承受并傳遞極限彎矩Mu。(2)(2)塑性鉸是單向鉸，只能使其兩側按與荷塑性鉸是單向鉸，只能使其兩側按與荷載增加（彎矩增大）相一致方向發(fā)生有限的載增加（彎矩增大）相一致方向發(fā)生有限的轉動。轉動。(3)(3)塑性鉸不是一個鉸點，而是具有一定的塑性鉸不是一個鉸點，而是具有一定的長度。長度。 綜上所述，截面上各點應力均等于屈服應力綜上所述，截面上各點應力均等于屈服應力的應力狀態(tài)、截面達到極限彎矩、截面形成的應力狀態(tài)、截面達到極限彎矩、截面形成塑性鉸，均表示該截面達到其塑性流動的極塑性鉸，均

9、表示該截面達到其塑性流動的極限狀態(tài)。限狀態(tài)。 3.3.具有一個對稱軸截面的極限彎矩具有一個對稱軸截面的極限彎矩 等面積軸形心軸(1)(1)截面在塑性極限狀態(tài)的中性軸位置截面在塑性極限狀態(tài)的中性軸位置 截面上的應力應滿足：截面上的應力應滿足： 0AdA(a)(a)在塑性極限狀態(tài)時截面上的軸力應滿足：在塑性極限狀態(tài)時截面上的軸力應滿足： 021ASASdAdA0)()(2121AAdAdASAAS即即截面在塑性極限狀態(tài)的中性軸平分截面截面在塑性極限狀態(tài)的中性軸平分截面總面積總面積A A，即為截面的等面積軸。，即為截面的等面積軸。 上式只有在上式只有在 成立時才能滿足，成立時才能滿足，即受拉區(qū)的面積

10、須等于受壓區(qū)的面積。即受拉區(qū)的面積須等于受壓區(qū)的面積。 021 AA(2)(2)截面的極限彎矩截面的極限彎矩Mu 已知在塑性極限狀態(tài)時截面的中性軸位置，已知在塑性極限狀態(tài)時截面的中性軸位置，可推導截面的極限彎矩如下。彎矩等于截面可推導截面的極限彎矩如下。彎矩等于截面上應力對中性軸的合力矩，即：上應力對中性軸的合力矩，即： dAydAyMssu(14-2-1)(14-2-1) 式中積分為截面的面積凈矩，可寫成式中積分為截面的面積凈矩，可寫成： 2121SSydAydAdAyAA則極限彎矩可表示為：則極限彎矩可表示為： )(21SSMus(14-2-2)(14-2-2) 彈性極限和塑性極限之間的彈

11、塑性階段，彈性極限和塑性極限之間的彈塑性階段，中性軸界于截面的形心軸和等面積軸之間。中性軸界于截面的形心軸和等面積軸之間。 以上所討論的是梁在純彎受力和變形狀態(tài)以上所討論的是梁在純彎受力和變形狀態(tài)下的截面的兩個階段的極限狀態(tài)和相應的下的截面的兩個階段的極限狀態(tài)和相應的極限彎矩。極限彎矩。對非純彎狀態(tài)梁，通常剪力對梁的承載力對非純彎狀態(tài)梁，通常剪力對梁的承載力的影響可忽略。所以仍可利用以上概念和的影響可忽略。所以仍可利用以上概念和結果。利用式結果。利用式(14-2-1)(14-2-1)或或(14-2-2)(14-2-2)計算截計算截面極限彎矩。面極限彎矩。第三節(jié)第三節(jié) 梁的極限荷梁的極限荷載載

12、研究梁的極限荷載，是尋找能使梁結研究梁的極限荷載，是尋找能使梁結構達到塑性極限狀態(tài)時的荷載值，也構達到塑性極限狀態(tài)時的荷載值，也就是梁結構在喪失承載力之前所能承就是梁結構在喪失承載力之前所能承受的最大荷載值。受的最大荷載值。在上一節(jié)討論過的截面極限狀態(tài)在上一節(jié)討論過的截面極限狀態(tài)（極限彎矩）的基礎上，本節(jié)討論（極限彎矩）的基礎上，本節(jié)討論結構的極限狀態(tài)（極限荷載）。結構的極限狀態(tài)（極限荷載）。1.1.靜定梁的極限荷載靜定梁的極限荷載 2FPF /2P2FP1Fp15F /2P1F /2P12FP25F /2P2F /2P2(a)(a)sCMMPsPFF1uCSMMMPuPPsFFF2(b)(b

13、)(c)(c)3FPuFpuMuF /2Pu5F /2PuF /2Pu2FPuF /2Pu(d)(d)(e)(e)uCMM(1).(1).結構的極限狀態(tài)結構的極限狀態(tài) 極限荷載是相應于結構極限狀態(tài)時的荷載。極限荷載是相應于結構極限狀態(tài)時的荷載。 當當MCMu，F(xiàn)P2Mu。(b) (a) (c)(c)可能機構可能機構I I (d)(d)可能極限彎矩圖可能極限彎矩圖I I (e)(e)可能機構可能機構IIII (f) (f)可能極限彎矩圖可能極限彎矩圖IIII (g)(g)可能機構可能機構III III (h) (h)不可能不可能 n當梁在極限狀態(tài)下可能出現(xiàn)塑性鉸的所有截面可預先當梁在極限狀態(tài)下可

14、能出現(xiàn)塑性鉸的所有截面可預先判定，并可能的塑性鉸的數(shù)目大于破壞機構需要的塑判定，并可能的塑性鉸的數(shù)目大于破壞機構需要的塑性鉸數(shù)目時，可以得出按需要的塑性鉸的數(shù)目的全部性鉸數(shù)目時，可以得出按需要的塑性鉸的數(shù)目的全部組合。假定每一種組合是一種可能得極限狀態(tài)，即可組合。假定每一種組合是一種可能得極限狀態(tài)，即可按基本方法一一求得相應的可能得極限荷載。然后通按基本方法一一求得相應的可能得極限荷載。然后通過比較，其中最小荷載值既是梁得極限荷載。此中求過比較，其中最小荷載值既是梁得極限荷載。此中求極限荷載的方法可稱作極限荷載的方法可稱作窮舉法窮舉法。解：解： 1)1)基本方法用破壞機構法基本方法用破壞機構法

15、 n可能機構可能機構I： 0331uPMLFLMFuP91(a) 注意：在突變截面處的塑性鉸的極限彎注意：在突變截面處的塑性鉸的極限彎矩為較小極限彎矩。矩為較小極限彎矩。 n可能機構可能機構II： 0)(32uuuPMMMLF由幾何關系知：由幾何關系知： 2代入上式，得：代入上式，得：LMMFuuP2)3( 32(b) n可能機構可能機構III：02)(33uuuPMMMLFLMMFuuP)32( 33(c) 當當 uM uM3LMFFuPPu91，機構，機構I I為破壞機構。為破壞機構。 由式由式(b)(b)知，知， 當當 uMuM3 2PPuFFLMu9 機構機構IIII為破壞機構。為破壞

16、機構。 LMFFFuPPPu921當當 uM= = uM3機構機構I I、IIII都是相應的破壞機構。都是相應的破壞機構。 n圖圖(d)(d)、(f)(f)、(h)(h)是利用極限狀態(tài)時可能的極限彎矩圖是利用極限狀態(tài)時可能的極限彎矩圖由平衡條件進行計算的方法。由圖由平衡條件進行計算的方法。由圖(h)(h)所示極限彎矩圖所示極限彎矩圖的不可能將其排除。的不可能將其排除。 由圖由圖(f)(f)分析可知，當分析可知，當 uM uM uM3B B截面彎矩值為：截面彎矩值為： 時，時，2uuBMMM uMuuPuMMLF3332因此，圖因此，圖(f)(f)所示的可能極限彎矩圖成所示的可能極限彎矩圖成立。

17、由平衡條件得：立。由平衡條件得： 即：即： PuFLMMFuuP2)3( 32當當 uM= = uM3由圖由圖(f)(f)按與上相同的過程可計算出：按與上相同的過程可計算出： LMFuP92PuF也可將圖也可將圖(f)(f)中中B B處的彎矩豎標與處的彎矩豎標與D D處的處的0 0鼠標連輔助線，由平衡條件得：鼠標連輔助線，由平衡條件得：uuPuMMLF2)32(4解得結果與前相同。解得結果與前相同。 例例14-3-2 14-3-2 設圖設圖(a)(a)所示連續(xù)梁下側受拉所示連續(xù)梁下側受拉（正彎矩）時，（正彎矩）時，ABAB、BCBC的極限彎矩為的極限彎矩為Mu，CDCD跨為跨為2Mu；上側受拉

18、（負彎矩）時，均；上側受拉（負彎矩）時，均為相應跨下側受拉極限彎矩的為相應跨下側受拉極限彎矩的1.21.2倍。求該倍。求該梁的極限荷載。梁的極限荷載。 F =1.5qLP2q(a)(a)F =1.5q LP21q1(b)(b)可能破壞機構可能破壞機構I I F =1.5q LP22q2(c) (c) 可能破壞機構可能破壞機構IIII F =1.5q LP23q3(d)(d)可能破壞機構可能破壞機構III III 解： 可能機構可能機構I I： 因為圖因為圖(a)(a)所示連續(xù)梁的可能破壞機構所示連續(xù)梁的可能破壞機構可全部列出，可用窮舉法。見圖可全部列出，可用窮舉法。見圖(b)(b)、(c)(c

19、)、(d)(d)。用破壞機構法計算各可能。用破壞機構法計算各可能的極限荷載如下的極限荷載如下： uMLLq)2 . 12(21可能機構可能機構IIII： uLMdxyq) 12 . 1 (202(a)(a)(b)(b)式式(b)(b)可寫成：可寫成： uMLLq) 12 . 1 (22212226 .17LMqu(c)(c)可能機構可能機構III： uMLLq)224 . 22 . 1 (75. 05 . 132375. 6LMqu(d)(d)比較取最小荷載值，即機構比較取最小荷載值，即機構I I為連續(xù)梁極為連續(xù)梁極限狀態(tài)時的破壞機構，極限荷載為：限狀態(tài)時的破壞機構，極限荷載為：214 . 6

20、LMquuqMu2FPuF /2PuMu因為該計算結果大于前面計算的極限荷因為該計算結果大于前面計算的極限荷載，且該梁不可能另有截面出現(xiàn)塑性鉸，載，且該梁不可能另有截面出現(xiàn)塑性鉸，因其他截面的彎矩值均小于因其他截面的彎矩值均小于C C、D D兩截面兩截面的彎矩值，所以圖的彎矩值，所以圖14-3-1(e)14-3-1(e)所示為梁所示為梁的真實破壞機構，由其計算的荷載即為的真實破壞機構，由其計算的荷載即為梁的極限荷載。梁的極限荷載。 圖圖14-3-214-3-2 第第4 4節(jié)節(jié) 判定極限荷載的一般定理判定極限荷載的一般定理本節(jié)給出幾個判定極限荷載的一般定理。本節(jié)給出幾個判定極限荷載的一般定理。

21、判定極限荷載一般定理的限定條件：判定極限荷載一般定理的限定條件：1)1)限定給結構加載的方式為按比例加載限定給結構加載的方式為按比例加載2)2)限定僅在梁、剛架一類以彎曲變形為主的限定僅在梁、剛架一類以彎曲變形為主的結構的范圍內。并假定：結構的范圍內。并假定：a.材料為理想彈塑性材料。材料為理想彈塑性材料。b.軸力和剪力對極限荷載的影響可以軸力和剪力對極限荷載的影響可以忽略不計。忽略不計。1 1、極限狀態(tài)下的結構應滿足的條件、極限狀態(tài)下的結構應滿足的條件 平衡條件平衡條件2)屈服條件（內力局限條件）屈服條件（內力局限條件）3)單向機構條件單向機構條件在極限狀態(tài)下，結構的整體、或任一局在極限狀態(tài)

22、下，結構的整體、或任一局 部都滿足靜力平衡條件。部都滿足靜力平衡條件。在極限狀態(tài)下，結構的任一截面上的在極限狀態(tài)下，結構的任一截面上的彎矩值都不能超過截面的極限彎矩。彎矩值都不能超過截面的極限彎矩。在極限狀態(tài)下，結構中有足夠多的截面的彎矩在極限狀態(tài)下，結構中有足夠多的截面的彎矩值達到其極限彎矩，形成塑性鉸，使結構成為值達到其極限彎矩，形成塑性鉸，使結構成為機構，并可按荷載增加的方向作單向機構運動機構，并可按荷載增加的方向作單向機構運動（剛體位移）。（剛體位移）。下面給出兩個有意義的術語。下面給出兩個有意義的術語。1)1)、可接受荷載、可接受荷載 在結構的所有截面的彎矩都不超過截面極限在結構的所

23、有截面的彎矩都不超過截面極限彎矩，且結構處于任一內力可能的受力狀態(tài)彎矩，且結構處于任一內力可能的受力狀態(tài)下，由靜力平衡條件求得的荷載，叫可接受下，由靜力平衡條件求得的荷載，叫可接受荷載荷載。2)2)、可破壞荷載、可破壞荷載 由結構的任一可能的單向機構，用靜力平由結構的任一可能的單向機構，用靜力平衡條件求得的荷載，叫可破壞荷載。衡條件求得的荷載，叫可破壞荷載。注意：注意： 兩個求極限荷載的基本方法，及極兩個求極限荷載的基本方法，及極限彎矩平衡法和破壞機構法，都是靜力平限彎矩平衡法和破壞機構法，都是靜力平衡條件。衡條件。PFPF可接受荷載和可破壞荷載分別滿足結構可接受荷載和可破壞荷載分別滿足結構極

24、限狀態(tài)充要條件中的兩個條件。極限狀態(tài)充要條件中的兩個條件。 即即，PF滿足滿足1)1)、2)2)； PF滿足滿足1)1)、3)3)。 結構在極限狀態(tài)下的極限荷載結構在極限狀態(tài)下的極限荷載 PuF，應同時是，應同時是 PFPF和和2 2、定理及證明、定理及證明（1）基本定理）基本定理：可破壞荷載恒大于可接受荷載。即：可破壞荷載恒大于可接受荷載。即： PFPF證明：先對結構的任一可能破壞機構的單證明：先對結構的任一可能破壞機構的單向剛體虛位移，可建立虛功方程：向剛體虛位移，可建立虛功方程：n1iiuipMF（a a）uiMi表示第表示第i i個塑性鉸的極限彎矩；個塑性鉸的極限彎矩；表示第表示第i

25、i個塑性鉸的相對角位移或個塑性鉸的相對角位移或角位移。角位移。再取結構的任一可接受荷載再取結構的任一可接受荷載 ，讓該荷，讓該荷載在式載在式(a)(a)破壞機構的相同的虛位移上作虛破壞機構的相同的虛位移上作虛功，虛功方程為：功，虛功方程為：PFn1iii-pMFn1iiiM（b b）iM為結構在可接受荷載作用下，與所為結構在可接受荷載作用下，與所取機構的第取機構的第i i個塑性鉸對應處的彎矩值個塑性鉸對應處的彎矩值（滿足屈服條件）。該彎矩值應以實際（滿足屈服條件）。該彎矩值應以實際的受拉側與機構相應角位移的相對關系的受拉側與機構相應角位移的相對關系確定正負號，也就是說，式確定正負號，也就是說，

26、式(b)(b)右側的和右側的和式是代數(shù)和。式是代數(shù)和。i為所取機構第為所取機構第i i個塑性鉸的角位移。因個塑性鉸的角位移。因為該角位移是與式為該角位移是與式(a)(a)取自同一個機構的虛取自同一個機構的虛位移，自然也可取其絕對值，以利與位移，自然也可取其絕對值，以利與(a)(a)式式的比較。的比較。iMM由于由于（或可接受荷載作用下的彎矩圖，即（或可接受荷載作用下的彎矩圖，即圖）滿足屈服條件，即應有下式成立圖）滿足屈服條件，即應有下式成立：iMuiM(c)，并同取和號，并同取和號，現(xiàn)將式現(xiàn)將式(c)(c)等號兩側同乘以等號兩側同乘以 得：得：in1iiiMn1iiuiM 設結構有兩種不同的極

27、限狀態(tài)，有與設結構有兩種不同的極限狀態(tài)，有與之相應的兩個不等的極限荷載之相應的兩個不等的極限荷載比較式比較式(a)(a)、(b)(b)，上式即為：，上式即為：PFPFPFPF即即 成立成立 證畢。證畢。2.唯一性定理（單值定理）：唯一性定理（單值定理）：結構的極限荷載是唯一的。結構的極限荷載是唯一的。證明：證明：Pu1FPu2F。根據(jù)極限荷載應同時滿足既是可破壞荷。根據(jù)極限荷載應同時滿足既是可破壞荷載又是可接受荷載，先設載又是可接受荷載，先設 為可破壞荷載，為可破壞荷載，為可接受荷載，由基本定理知應有：為可接受荷載，由基本定理知應有：和和 Pu1FPu2FPu1FPu2F（a a）為可破壞荷載

28、，為可破壞荷載，為可接受荷載，為可接受荷載，Pu1FPu2F再設再設Pu1FPu2F（b b）(a)(a)、(b)(b)兩式應同時成立，否則，兩式應同時成立，否則， 、 均為極限荷載的假設不能成立。而使該兩不均為極限荷載的假設不能成立。而使該兩不等式同時成立的條件是：等式同時成立的條件是：Pu1FPu2F（c c）即，即， 和和 若為極限荷載，應是相等的。若為極限荷載，應是相等的。也即結構的極限荷載是唯一的。證畢。也即結構的極限荷載是唯一的。證畢。Pu1FPu2FPu1FPu2F3.上限定理（極小定理）：上限定理（極小定理）：可破壞荷載是極限荷載的上限。或，極限可破壞荷載是極限荷載的上限?；颍?/p>

29、極限荷載是可破壞荷載中的極小者。即：荷載是可破壞荷載中的極小者。即：PFPuF（d d）4.下限定理（極大定理）：下限定理（極大定理）：可接受荷載是極限荷載的下限?；颍瑯O限荷載可接受荷載是極限荷載的下限?；颍瑯O限荷載是可接受荷載中的極大者。即：是可接受荷載中的極大者。即：PFPuF（e e）證明：證明： 因為極限荷載同時是可接受荷載和可因為極限荷載同時是可接受荷載和可破壞荷載，當考慮為可接受荷載時，由基本破壞荷載，當考慮為可接受荷載時，由基本得式得式(D)(D)： 上限定理證畢。上限定理證畢。PFPF定理定理(A)(A)PFPuF同理，當考慮同理，當考慮 為可破壞荷載時，由基本為可破壞荷載時，

30、由基本PuF下限定理證畢。下限定理證畢。得式得式(E)(E)：PFPF定理定理(A)(A)PFPuF以上四個定理，即是判定極限荷載的一般定理。以上四個定理，即是判定極限荷載的一般定理。其中基本定理用以證明上限和下限定理。其它其中基本定理用以證明上限和下限定理。其它三個定理則視所分析結構的實際情況選用。三個定理則視所分析結構的實際情況選用。窮舉法依據(jù)上限（極?。┒ɡ砗臀ㄒ恍远ɡ?。窮舉法依據(jù)上限（極小）定理和唯一性定理。當結構的所有可能破壞機構被找出后，可得相當結構的所有可能破壞機構被找出后，可得相應的所有可能的可破壞荷載，其中極小者一定應的所有可能的可破壞荷載，其中極小者一定是極限荷載。是極限荷

31、載。當結構的可能破壞機構不能確定被全部找出，當結構的可能破壞機構不能確定被全部找出，或全部找出很麻煩時，可利用上限和下限定理，或全部找出很麻煩時，可利用上限和下限定理，由試算法確定結構的極限荷載。由試算法確定結構的極限荷載。例例 求圖求圖(a)(a)所示單跨梁的極限荷載所示單跨梁的極限荷載 。 已知梁截面的極限彎矩已知梁截面的極限彎矩 uquM圖圖(a)解法解法1 1：依據(jù)極小定理。：依據(jù)極小定理。對圖對圖(b)(b)所示的破壞機構虛位移圖，建立虛所示的破壞機構虛位移圖，建立虛功方程：功方程：圖圖(b)均布荷載虛功：均布荷載虛功：L0L0qAydxqqydx即，即， 荷載虛功荷載虛功= = L

32、q21u極限彎矩虛功極限彎矩虛功= = x-LMxMuu2虛功方程：虛功方程：x-LMxMLq21uuu2整理后，得：整理后，得：LM)xL2x4(quu（a a）根據(jù)極限荷載判定定理中的極小定理，根據(jù)極限荷載判定定理中的極小定理，即，極限荷載是可破壞荷載中的極小值。即，極限荷載是可破壞荷載中的極小值。對式對式(a)(a)求一階導數(shù)應滿足求一階導數(shù)應滿足0dxdqu的極值條件，可求得的極值條件，可求得x(Cx(C截面處塑性鉸位置截面處塑性鉸位置) )。0)x)-(L2x4dxdq22u (解方程：解方程：0)x)-(L2x422(整理得：02L4Lxx22（b b）解方程（解方程（b），得：）

33、，得：)L2(2x舍去無意義根，得：舍去無意義根，得：0.5858L)L2(2x（c c）將式（將式（c c）代回式（）代回式（a a），得：），得：u2uML11.66q （d d）解法解法2 2：依據(jù)極大定理。：依據(jù)極大定理。q設梁在可接受荷載設梁在可接受荷載 的作用下，有圖的作用下，有圖(c)(c)所示彎矩圖形狀滿足屈服條件。梁端所示彎矩圖形狀滿足屈服條件。梁端A A彎矩彎矩峰值位置確定，令其等于極限彎矩；設跨中峰值位置確定，令其等于極限彎矩；設跨中彎矩最大值發(fā)生在截面彎矩最大值發(fā)生在截面C C處，當該最大彎矩處，當該最大彎矩值等于極限彎矩值時，梁上任意截面的彎矩值等于極限彎矩值時，梁上

34、任意截面的彎矩都不會超過極限彎矩。都不會超過極限彎矩。q圖圖(c)1.根據(jù)疊加原理，可求得梁的支座反力為：根據(jù)疊加原理，可求得梁的支座反力為：LM2LqFu-RB（a a）取取C C截面以右，截面以右，C C截面彎矩為：截面彎矩為：2-RBCx)-(Lq21x)(LFM將式將式(a)(a)代入，并令代入，并令 uCMM2uux)(Lq21x)(LLM2Lq(M整理，得：整理，得：)x-(Lxx)-(2LL2Mq2u（b b）由極大定理，即極限荷載是可接受荷載的極大由極大定理，即極限荷載是可接受荷載的極大值，值， 0dxdq由由 的極值條件求的極值條件求x x。 02222u)x-(Lx)2L-

35、4Lx(-xL2Mdxdq0222L-4Lxx-（c c）解方程（解方程（c），得：），得：)L2(2x舍去不合理根，得：舍去不合理根，得：0.5858L)L2(2x（d d）因為式因為式(d)(d)所得所得x x為可接受荷載為極大值為可接受荷載為極大值時的塑性鉸位置，將其代入式時的塑性鉸位置，將其代入式(b)(b)，則，則式式(b)(b)的可接受荷載既是結構的極限荷的可接受荷載既是結構的極限荷載。即：載。即：2u-0.5858LxuLM11.66qq結果同前。結果同前。例例 用試算法求圖示等截面連續(xù)梁的用試算法求圖示等截面連續(xù)梁的 極限荷載極限荷載 PuF4m2m圖（圖（a a）FAy4m2

36、m1pF1pF1p0.2F1pF1p0.2F圖（圖（b b）圖（圖（c c）1pF解：假定梁第一跨在可破壞荷載解：假定梁第一跨在可破壞荷載 作用下喪作用下喪失承載力，即第一跨成為可能的破壞機構，失承載力，即第一跨成為可能的破壞機構，或如圖或如圖(b)(b)所示的可能極限彎矩圖。由該可能所示的可能極限彎矩圖。由該可能極限彎矩圖的靜力平衡條件可得：極限彎矩圖的靜力平衡條件可得：)M(2F61Fu1PAy因荷載作用點因荷載作用點k k截面彎矩截面彎矩 )4M(2F614FMu1PAykukMM 又又 所以：所以： uu1PM)4M(2F61upMF25. 11驗算屈服條件：驗算屈服條件：見圖見圖(c

37、)(c)彎矩圖，可由解超靜定結構的方法彎矩圖，可由解超靜定結構的方法的的BCBC、CDCD兩跨的彎矩圖，其上無彎矩超出極兩跨的彎矩圖，其上無彎矩超出極限彎矩值，滿足屈服條件。所以該連續(xù)梁的限彎矩值，滿足屈服條件。所以該連續(xù)梁的極限荷載既是：極限荷載既是：upMF25. 11說明：說明：試算法分為兩個大的計算步驟。先計算一個試算法分為兩個大的計算步驟。先計算一個或若干個（不是全部）可能的可破壞荷載；或若干個（不是全部）可能的可破壞荷載；然后由其中較小可破壞荷載對應的可能極限然后由其中較小可破壞荷載對應的可能極限彎矩圖驗算其屈服條件。若滿足，既是結構彎矩圖驗算其屈服條件。若滿足，既是結構的極限荷載

38、。若不滿足，則要另尋找新的可的極限荷載。若不滿足，則要另尋找新的可能破壞機構，重復這兩個步驟。能破壞機構，重復這兩個步驟。用試算法可求的極限荷載的近似解。即用極用試算法可求的極限荷載的近似解。即用極大、極小定理逼近方法。大、極小定理逼近方法。第五節(jié)第五節(jié)剛架的極限荷載剛架的極限荷載 確定剛架的極限荷載是比較復雜的。確定剛架的極限荷載是比較復雜的。但當剛架中的軸力較小，如低層剛但當剛架中的軸力較小，如低層剛架，可忽略軸力的影響時，使用與架，可忽略軸力的影響時，使用與梁的極限荷載相同的計算方法。梁的極限荷載相同的計算方法。 1、剛架的可能破壞機構、剛架的可能破壞機構 分析圖分析圖14-5-1(a)

39、所示剛架，當只考慮所示剛架，當只考慮彎曲變形對鋼架極限荷載的影響時，可彎曲變形對鋼架極限荷載的影響時，可能的破壞機構的形式可分為兩大類，即能的破壞機構的形式可分為兩大類，即基本機構基本機構和和組合機構組合機構。FB1DqA(a) 1)1)基本機構：梁機構，側移機構，基本機構：梁機構，側移機構， 結點機構。結點機構。 剛架中單根桿件獨立形成的破壞機構叫剛架中單根桿件獨立形成的破壞機構叫梁機梁機構構。如圖。如圖(c)、(d)、(e)。 FB1DqA(c)梁機構II FBDqA (d)梁機構III FDqAB(e)梁機構IV 剛架中的某一層中的所有柱端都形成塑剛架中的某一層中的所有柱端都形成塑性鉸時

40、，剛架整體將發(fā)生側移。如圖性鉸時，剛架整體將發(fā)生側移。如圖(f)，稱為側移機構。稱為側移機構。 BAFDq (f)側移機構V FBDqA (b)結點機構I 當剛架中匯交于某一個結點的所有桿端當剛架中匯交于某一個結點的所有桿端（近端）及相應的遠端都形成塑性鉸時，（近端）及相應的遠端都形成塑性鉸時，該結點可單獨轉動，如圖該結點可單獨轉動，如圖(b)所示，稱所示，稱為為結點機構結點機構。 2)2)組合機構組合機構 有兩個及兩個以上的基本機構組合而成有兩個及兩個以上的基本機構組合而成的機構稱組合機構。的機構稱組合機構。 1FBDqA1FBDqA(a) (II、V)組合VI (b) (II、IV、V)組

41、合VIIFBDqAFBDqA(c) (IV、V)組合VIII (d) (III、V)組合VIIII 3)3)剛架可能破壞機構選擇的原則和方法剛架可能破壞機構選擇的原則和方法 剛架極限荷載的確定主要用試算法。即剛架極限荷載的確定主要用試算法。即先選擇一部分可能的破壞機構，計算相先選擇一部分可能的破壞機構，計算相應的各可破壞荷載，取其中最小值驗算應的各可破壞荷載，取其中最小值驗算屈服條件。屈服條件。 判定剛架可能破壞機構原則：無論是基判定剛架可能破壞機構原則：無論是基本機構還是組合機構，機構一定要滿足本機構還是組合機構，機構一定要滿足是一個自由度的可變體系。即可由一個是一個自由度的可變體系。即可由

42、一個坐標參變量確定其剛體位移。坐標參變量確定其剛體位移。 選擇可能破壞機構的方法：基本機構應選擇可能破壞機構的方法：基本機構應全部找出，然后從中選擇組成組合機構。全部找出，然后從中選擇組成組合機構。 4)4)剛架基本機構數(shù)目的確定方法：剛架基本機構數(shù)目的確定方法： 見圖見圖14-5-1(a)所示剛架上短線標注的所示剛架上短線標注的截面均是可能出現(xiàn)塑性鉸的截面，設剛截面均是可能出現(xiàn)塑性鉸的截面，設剛架上可能出現(xiàn)塑性鉸的截面數(shù)為架上可能出現(xiàn)塑性鉸的截面數(shù)為h，則，則本例剛架的本例剛架的h=11。 BAq=7.5FPD(a) 在尋找剛架的基本機構時，可先由式在尋找剛架的基本機構時，可先由式J=h-n

43、得出剛架應有的基本機構數(shù)，得出剛架應有的基本機構數(shù)，然后逐一列出。再選擇基本機構組合然后逐一列出。再選擇基本機構組合的組合機構。的組合機構。 設剛架的超靜定次數(shù)為設剛架的超靜定次數(shù)為n，則本例剛架，則本例剛架的的n=6。設剛架基本機構數(shù)為。設剛架基本機構數(shù)為J，則本，則本例剛架的例剛架的J=h-n=11-6=5，既有，既有5個個基本機構?；緳C構。 2、剛架極限荷載計算舉例（試算法）、剛架極限荷載計算舉例（試算法） 例例14-5-1 圖圖(a)所示剛架各桿的極限所示剛架各桿的極限彎矩彎矩 相同，求剛架的極限荷載相同，求剛架的極限荷載 。 uMPuFBAq=7.5FPD(a) 解：解：1、選擇可

44、能的破壞機構、選擇可能的破壞機構 根據(jù)荷載情況，可知兩個基本機構為圖根據(jù)荷載情況，可知兩個基本機構為圖(b)、(c)所示所示I、II。 BAq=7.5FPDBAq=7.5FPD (b) 梁機構I (c) 側移機構II 組合機構即是這兩個基本機構的組合，見組合機構即是這兩個基本機構的組合，見圖圖(d)所示所示III。 BAq=7.5FPD (d) 組合機構III 返回注意注意，機構，機構III結點結點D的塑性鉸消失。觀察該的塑性鉸消失。觀察該機構的形成過程，如果該機構是剛架的破壞機構的形成過程，如果該機構是剛架的破壞機構，圖示的機構位移趨勢符合單向機構條機構，圖示的機構位移趨勢符合單向機構條件。

45、在剛架的彈塑性發(fā)展過程中該位移趨勢件。在剛架的彈塑性發(fā)展過程中該位移趨勢是，桿是，桿CE與桿與桿CB的弦轉角和結點的弦轉角和結點C的角位移的角位移方向相反，弦轉角有增大兩桿相對角位移趨方向相反，弦轉角有增大兩桿相對角位移趨勢；而桿勢；而桿DE、DA兩桿的弦轉角方向與結點兩桿的弦轉角方向與結點D的角位移方向相同，弦轉角有減小兩桿相的角位移方向相同，弦轉角有減小兩桿相對角位移趨勢。比較這兩種情況，當剛架成對角位移趨勢。比較這兩種情況，當剛架成為機構時，后者兩桿無相對轉角，未達到極為機構時，后者兩桿無相對轉角，未達到極限彎矩。限彎矩。 2、選擇計算可破壞荷載、選擇計算可破壞荷載 組合機構組合機構III：圖：圖(d) 6M11217.5F1.5Fu3P3Pup1.142MF3側移機構側移機構II：圖：圖(c) 4M11217.5