2014屆高考空間幾何體的外接球與內(nèi)切球問(wèn)題專項(xiàng)突破復(fù)習(xí)(共6頁(yè))

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上2014屆高考球體問(wèn)題專項(xiàng)突破復(fù)習(xí)例1 球面上有三點(diǎn)、組成這個(gè)球的一個(gè)截面的內(nèi)接三角形三個(gè)頂點(diǎn)，其中，、，球心到這個(gè)截面的距離為球半徑的一半，求球的表面積分析：求球的表面積的關(guān)鍵是求球的半徑，本題的條件涉及球的截面，是截面的內(nèi)接三角形，由此可利用三角形求截面圓的半徑，球心到截面的距離為球半徑的一半，從而可由關(guān)系式求出球半徑解：，是以為斜邊的直角三角形的外接圓的半徑為，即截面圓的半徑，又球心到截面的距離為，得球的表面積為說(shuō)明：涉及到球的截面的問(wèn)題，總是使用關(guān)系式解題，我們可以通過(guò)兩個(gè)量求第三個(gè)量，也可能是抓三個(gè)量之間的其它關(guān)系，求三個(gè)量例2自半徑為的球面上一點(diǎn)，引球的三

2、條兩兩垂直的弦，求的值分析：此題欲計(jì)算所求值，應(yīng)首先把它們放在一個(gè)封閉的圖形內(nèi)進(jìn)行計(jì)算，所以應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生構(gòu)造熟悉的幾何體并與球有密切的關(guān)系，便于將球的條件與之相聯(lián)解：以為從一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)的三條棱，將三棱錐補(bǔ)成一個(gè)長(zhǎng)方體，則另外四個(gè)頂點(diǎn)必在球面上，故長(zhǎng)方體是球的內(nèi)接長(zhǎng)方體，則長(zhǎng)方體的對(duì)角線長(zhǎng)是球的直徑 =說(shuō)明：此題突出構(gòu)造法的使用，以及滲透利用分割補(bǔ)形的方法解決立體幾何中體積計(jì)算例3試比較等體積的球與正方體的表面積的大小分析：首先抓好球與正方體的基本量半徑和棱長(zhǎng)，找出等量關(guān)系，再轉(zhuǎn)化為其面積的大小關(guān)系解：設(shè)球的半徑為，正方體的棱長(zhǎng)為，它們的體積均為，則由，由得 ，即例4一個(gè)倒圓錐形容器，它的軸截面是

3、正三角形，在容器內(nèi)注入水，并放入一個(gè)半徑為的鐵球，這時(shí)水面恰好和球面相切問(wèn)將球從圓錐內(nèi)取出后，圓錐內(nèi)水平面的高是多少？分析：先作出軸截面，弄清楚圓錐和球相切時(shí)的位置特征，利用鐵球取出后，錐內(nèi)下降部分(圓臺(tái))的體積等于球的體積，列式求解解：如圖作軸截面，設(shè)球未取出時(shí)水面高，球取出后，水面高，則以為底面直徑的圓錐容積為，球取出后水面下降到，水體積為又，則， 解得例5設(shè)正四面體中，第一個(gè)球是它的內(nèi)切球，第二個(gè)球是它的外接球，求這兩個(gè)球的表面積之比及體積之比分析：此題求解的第一個(gè)關(guān)鍵是搞清兩個(gè)球的半徑與正四面體的關(guān)系，第二個(gè)關(guān)鍵是兩個(gè)球的半徑之間的關(guān)系，依靠體積分割的方法來(lái)解決的解：如圖，正四面體的中

4、心為，的中心為，則第一個(gè)球半徑為正四面體的中心到各面的距離，第二個(gè)球的半徑為正四面體中心到頂點(diǎn)的距離設(shè)，正四面體的一個(gè)面的面積為依題意得， 又即所以說(shuō)明：正四面體與球的接切問(wèn)題，可通過(guò)線面關(guān)系證出，內(nèi)切球和外接球的兩個(gè)球心是重合的，為正四面體高的四等分點(diǎn)，即定有內(nèi)切球的半徑(為正四面體的高)，且外接球的半徑例6把四個(gè)半徑都是1的球中的三個(gè)放在桌面上，使它兩兩外切，然后在它們上面放上第四個(gè)球，使它與前三個(gè)都相切，求第四個(gè)球的最高點(diǎn)與桌面的距離分析：關(guān)鍵在于能根據(jù)要求構(gòu)造出相應(yīng)的幾何體，由于四個(gè)球半徑相等，故四個(gè)球一定組成正四面體的四個(gè)頂點(diǎn)且正四面體的棱長(zhǎng)為兩球半徑之和2解：四球心組成棱長(zhǎng)為2的正

5、四面體的四個(gè)頂點(diǎn)，則正四面體的高而第四個(gè)球的最高點(diǎn)到第四個(gè)球的球心距離為求的半徑1，且三個(gè)球心到桌面的距離都為1，故第四個(gè)球的最高點(diǎn)與桌面的距離為例7如圖1所示，在棱長(zhǎng)為1的正方體內(nèi)有兩個(gè)球相外切且又分別與正方體內(nèi)切（1）求兩球半徑之和；（2）球的半徑為多少時(shí)，兩球體積之和最小分析：此題的關(guān)鍵在于作截面，一個(gè)球在正方體內(nèi)，學(xué)生一般知道作對(duì)角面，而兩個(gè)球的球心連線也應(yīng)在正方體的體對(duì)角線上，故仍需作正方體的對(duì)角面 ，得如圖2的截面圖，在圖2中，觀察與和棱長(zhǎng)間的關(guān)系即可解：如圖2，球心和在上，過(guò)，分別作的垂線交于圖2則由得， （1）設(shè)兩球體積之和為，則 =當(dāng)時(shí)，有最小值當(dāng)時(shí)，體積之和有最小值練習(xí)：1

6、、一個(gè)四棱柱的底面是正方形,側(cè)棱與底面垂直,其長(zhǎng)度為4,棱柱的體積為16,棱柱的各頂點(diǎn)在一個(gè)球面上,則這個(gè)球的表面積是 ()A.16B.20C.24D.32答案:C解:由題意知,該棱柱是一個(gè)長(zhǎng)方體,其長(zhǎng)、寬、高分別為2,2,4.所以其外接球的半徑R=.所以球的表面積是S=4R2=24.2、一個(gè)正四面體的所有棱長(zhǎng)都為,四個(gè)頂點(diǎn)在同一個(gè)球面上,則此球的表面積為()A.3B.4C.3D.6答案:A以四面體的棱長(zhǎng)為正方體的面對(duì)角線構(gòu)造正方體,則正方體內(nèi)接于球,正方體棱長(zhǎng)為1,則體對(duì)角線長(zhǎng)等于球的直徑,即2R=,所以S球=4R2=3.3.在半球內(nèi)有一個(gè)內(nèi)接正方體,試求這個(gè)半球的體積與正方體的體積之比.解

7、：將半球補(bǔ)成整個(gè)的球（見(jiàn)題中的圖）,同時(shí)把原半球的內(nèi)接正方體再補(bǔ)接一個(gè)同樣的正方體,構(gòu)成的長(zhǎng)方體剛好是這個(gè)球的內(nèi)接長(zhǎng)方體,那么這個(gè)長(zhǎng)方體的體對(duì)角線便是它的外接球的直徑.設(shè)原正方體棱長(zhǎng)為a,球的半徑為R,則根據(jù)長(zhǎng)方體的對(duì)角線性質(zhì),得(2R)2=a2+a2+(2a)2,即4R2=6a2.所以R=a.從而V半球=R3=a3,V正方體=a3.因此V半球V正方體=a3a3=2.4.一個(gè)正四面體的所有棱長(zhǎng)都為,四個(gè)頂點(diǎn)在同一個(gè)球面上,則此球的表面積為()A.3B.4C.3D.6答案:A解析:以PA,PB,PC為棱作長(zhǎng)方體,則該長(zhǎng)方體的外接球就是三棱錐P-ABC的外接球,所以球的半徑R=2,所以球的表面積是

8、S=4R2=16.5.過(guò)球表面上一點(diǎn)引三條長(zhǎng)度相等的弦、，且兩兩夾角都為，若球半徑為，求弦的長(zhǎng)度解：由條件可抓住是正四面體，、為球上四點(diǎn)，則球心在正四面體中心，設(shè)，則截面與球心的距離，過(guò)點(diǎn)、的截面圓半徑，所以得6.一個(gè)正三棱錐的四個(gè)頂點(diǎn)都在半徑為1的球面上，其中底面的三個(gè)頂點(diǎn)在該球的一個(gè)大圓上，則該正三棱錐的體積是（ B ）A B C D 7. 直三棱柱的各頂點(diǎn)都在同一球面上，若,，則此球的表面積等于 。 解:在中,可得,由正弦定理,可得外接圓半徑r=2,設(shè)此圓圓心為，球心為，在中，易得球半徑，故此球的表面積為. 8正三棱柱內(nèi)接于半徑為的球，若兩點(diǎn)的球面距離為，則正三棱柱的體積為 答案 89.

9、表面積為 的正八面體的各個(gè)頂點(diǎn)都在同一個(gè)球面上，則此球的體積為A B C D答案 A【解析】此正八面體是每個(gè)面的邊長(zhǎng)均為的正三角形，所以由知，則此球的直徑為，故選A。10.已知正方體外接球的體積是，那么正方體的棱長(zhǎng)等于（ D ）A.2 B. C. D.11.正方體的內(nèi)切球與其外接球的體積之比為 ( C )A. 1 B. 13 C. 13 D. 1912.一個(gè)六棱柱的底面是正六邊形，其側(cè)棱垂直底面已知該六棱柱的頂點(diǎn)都在同一個(gè)球面上，且該六棱柱的體積為，底面周長(zhǎng)為3，則這個(gè)球的體積為()13.一個(gè)長(zhǎng)方體的各頂點(diǎn)均在同一球的球面上，且一個(gè)頂點(diǎn)上的三條棱的長(zhǎng)分別為1，2，3，則此球的表面積為ABCPDEF14.一個(gè)正四棱柱的各個(gè)頂點(diǎn)在一個(gè)直徑為2 cm的球面上。如果正四棱柱的底面邊長(zhǎng)為1 cm，那么該棱柱的表面積為 cm2. 15.如圖，半徑為2的半球內(nèi)有一內(nèi)接正六棱錐，則此正六棱錐的側(cè)面積是_16.棱長(zhǎng)為2的正四面體的四個(gè)頂點(diǎn)都在同一個(gè)球面上，若過(guò)該球球心的一個(gè)截面如圖，則圖中三角形(正四面體的截面)的面積是 . 16.一個(gè)幾何體的三視圖如右圖所示，則該幾何體外接球的表面積為（ C ）ABCD以上都不對(duì)17.設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為，則它的外接球的表面積為（ C