周期信號的頻譜分析——傅里葉級數(shù)1

1、主要內(nèi)容三角函數(shù)形式的傅氏級數(shù)三角函數(shù)形式的傅氏級數(shù) 指數(shù)函數(shù)形式的傅氏級數(shù)指數(shù)函數(shù)形式的傅氏級數(shù)兩種傅氏級數(shù)的關(guān)系兩種傅氏級數(shù)的關(guān)系 頻譜圖頻譜圖函數(shù)的對稱性與傅里葉級數(shù)的關(guān)系函數(shù)的對稱性與傅里葉級數(shù)的關(guān)系周期信號的功率周期信號的功率傅里葉有限級數(shù)與最小方均誤差傅里葉有限級數(shù)與最小方均誤差一三角函數(shù)形式的傅里葉級數(shù) tntn11sin,cos 是一個完備的正交函數(shù)集是一個完備的正交函數(shù)集t在一個周期內(nèi)，在一個周期內(nèi)，n=0,1,. 0sincos2211TTdttmtnnmnmTdttmtnTT, 0,2coscos2211nmnmTdttmtnTT, 0,2sinsin2211由積分可知由

2、積分可知1.三角函數(shù)集 1112 , , TTtf 基波角頻率為基波角頻率為周期為周期為周期信號周期信號在滿足在滿足狄氏條件狄氏條件時，可展成時，可展成 1 sincos)(1110 nnntnbtnaatf 直流分量直流分量100d)(110TttttfTa余弦分量的幅度余弦分量的幅度100dcos)(211TttnttntfTa正弦分量的幅度正弦分量的幅度100dsin)(211TttnttntfTb稱為三角形式的傅里葉級數(shù)，其系數(shù)稱為三角形式的傅里葉級數(shù)，其系數(shù)2級數(shù)形式狄利克雷（Dirichlet）條件條件條件3:3:在一周期內(nèi)，信號絕對可積。在一周期內(nèi)，信號絕對可積。條件條件2 2：

3、在一周期內(nèi)，極大值和極小值的數(shù)目應(yīng)是有在一周期內(nèi)，極大值和極小值的數(shù)目應(yīng)是有限個。限個。條件條件1 1：在一周期內(nèi)，如果有間斷點存在，則間斷點的在一周期內(nèi)，如果有間斷點存在，則間斷點的數(shù)目應(yīng)是有限個。數(shù)目應(yīng)是有限個。例3-2-1求周期鋸齒波的三角函數(shù)形式的傅里葉級數(shù)展開式。求周期鋸齒波的三角函數(shù)形式的傅里葉級數(shù)展開式。 22110110d1TTttTATa 22111110dcos2TTnttntTATa 2211111dsin2TTnttntTATb 3 , 2 , 1 )1(1 nnAn周期鋸齒波的傅里葉級數(shù)展開式為周期鋸齒波的傅里葉級數(shù)展開式為 tAtAtf112sin2sin0 22

4、)(111TtTtTAtf直流直流基波基波諧波諧波t tfA/2/221T21T 112T 其他形式00ac 22nnnbac nnnabarctannnnca cos nnncb sin 余弦形式余弦形式正弦形式正弦形式00ad nnnbaarctannnnda sin nnndb cos 110sin)(nnntnddtf 22nnnbad 2 cos)(110 nnntncctf 關(guān)系曲線稱為幅度頻譜圖；關(guān)系曲線稱為幅度頻譜圖；關(guān)系曲線稱為相位頻譜圖。關(guān)系曲線稱為相位頻譜圖?？僧嫵隹僧嫵鲱l譜圖。頻譜圖。周期信號頻譜具有周期信號頻譜具有離散性、諧波性、收斂性離散性、諧波性、收斂性 。 nc

5、 n幅度頻率特性和相位頻率特性的線性組合。的線性組合?；ń穷l率的整數(shù)倍）基波角頻率的整數(shù)倍）（）和各次諧波）和各次諧波，基波（，基波（周期信號可分解為直流周期信號可分解為直流:11 n二指數(shù)函數(shù)形式的傅里葉級數(shù)1 1復(fù)指數(shù)正交函數(shù)集復(fù)指數(shù)正交函數(shù)集 2, 1, 0 e1j ntn 2 2級數(shù)形式級數(shù)形式3 3系數(shù)系數(shù) 111110jj0j1deede)()(TtntnTtntttfnF 4 e)()(1j1tnnnFtf 5 de )(1110j1TtnttfT利用利用復(fù)變函數(shù)的正交特性復(fù)變函數(shù)的正交特性nF 也可寫為也可寫為說明 變換對。變換對。式是一對式是一對、惟一確定，惟一確定，則，則

6、如給出如給出)5()4()(1tfnF 的線性組合。的線性組合。區(qū)間上的指數(shù)信號區(qū)間上的指數(shù)信號周期信號可分解為周期信號可分解為tn1je, 4 e)()(1j1tnnnFtf 5 de)(1110j11TtnttfTnF三兩種系數(shù)之間的關(guān)系110j11de )(1)(TtnttfTnF11011011dsin)(1jdcos)(1TTttntfTttntfT nnbaj21 110110111dsin)(1jdcos)(1)(TTttntfTttntfTnF nnbaj21 nnFnF j11e)( 是復(fù)數(shù)是復(fù)數(shù))(),(11 nFnF nnncbanF2121)(221 相頻特性相頻特性

7、nnnabarctan 幅頻特性和相頻特性幅頻特性幅頻特性五函數(shù)的對稱性與傅里葉級數(shù)的關(guān)系偶函數(shù)偶函數(shù)奇函數(shù)奇函數(shù)奇諧函數(shù)奇諧函數(shù)偶諧函數(shù)偶諧函數(shù)注：指交流分量注：指交流分量1偶函數(shù)為實函數(shù)。為實函數(shù)。項。項。項，只含直流項和余弦項，只含直流項和余弦傅里葉級數(shù)中不含正弦傅里葉級數(shù)中不含正弦)(1 nF信號波形相對于縱軸是對稱的信號波形相對于縱軸是對稱的)()(tftf )(tfOtTET 0 nb 2010dcos)(4TnttntfTa nnnnabanFF21j21)(1 0 n 2奇函數(shù))()(tftf 對對稱稱的的：波波形形相相對對于于縱縱坐坐標(biāo)標(biāo)是是反反)(tfOtTT 11 為虛函

8、數(shù)。為虛函數(shù)。量，量，傅里葉級數(shù)中無余弦分傅里葉級數(shù)中無余弦分)(1 nF 0= d)(1 220 TTttfTa 0dcos)(2221 TTnttntfTa TnttntfTb01dsin)(2 nnnnbbanFFj21j21)(1 2010dsin)(4TttntfT 六周期信號的功率這是這是帕塞瓦爾定理帕塞瓦爾定理在傅里葉級數(shù)情況下的具體體現(xiàn)在傅里葉級數(shù)情況下的具體體現(xiàn); ;表明：表明： 周期信號平均功率周期信號平均功率= =直流、基波及各次諧波分直流、基波及各次諧波分量有效值的平方和；量有效值的平方和； 也就是說，也就是說，時域和頻域的能量是守恒時域和頻域的能量是守恒的。的。 繪成的線狀圖形，表示繪成的線狀圖形，表示 各次諧波的平均功各次諧波的平均功率隨頻率分布的情況，稱為率隨頻率分布的情況，稱為功率譜系數(shù)功率譜系數(shù)。 2nF nnnnnnnFcabaa21220122202121 TttfTP02d)(1人有了知識，就會具備各種分析能力，明辨是非的能力。所以我們要勤懇