圓錐曲線中軌跡問(wèn)題

1、錐曲線中軌跡問(wèn)題曲線軌跡方程的探求一直是髙考中的重點(diǎn)和熱點(diǎn)，涉及而廣，綜合性強(qiáng)。曲線軌跡方程的探 求有兩種類型，第一種類型是兒何關(guān)系已知，軌跡未知；第二種類型是1111線形狀已知，求方 程。類型一常用的方法有直接法、相關(guān)點(diǎn)法和參數(shù)法。類型二常用的方法有定義法和待定系 數(shù)法。(1) 直接法：如果題h中的條件有明顯的等量關(guān)系，或者可以利用平面幾何的基本知識(shí)推出 等量關(guān)系，求方程時(shí)便可利用直接法。(2) 定義法：如果所給兒何條件能夠確定符合i員【、橢惻、雙曲線、拋物線等曲線的定義，則 可宜接利川曲線定義寫(xiě)岀方程，這種方法稱為定義法。(3) 相關(guān)點(diǎn)法：如果動(dòng)點(diǎn)p (x, y)依賴于另一動(dòng)點(diǎn)q (a,

2、b)，而q (a, b)又在某一已知 曲線上運(yùn)動(dòng)，則可先列出關(guān)于x, y, a, b的方程組，利用x, y表示a, b,把a(bǔ), b代入已 知曲線方程便可得出動(dòng)點(diǎn)p的軌跡方程，又稱為代入法。(4) 參數(shù)法：求軌跡方程有時(shí)很難直接找出動(dòng)點(diǎn)的橫坐標(biāo)、縱朋標(biāo)z間的關(guān)系，則可借助中 間變量(參數(shù))，使x, y之間建立起聯(lián)系，然厲再?gòu)乃笫阶又邢?shù)，得出動(dòng)點(diǎn)的軌跡 方程。(5) 交軌法：求兩動(dòng)曲線交點(diǎn)軌跡時(shí)，可市方程直接消去參數(shù)，如求兩動(dòng)直線的交點(diǎn)時(shí)常用 這種方法，也可以引入?yún)?shù)來(lái)建立這些動(dòng)曲線的聯(lián)系，然后消去參數(shù)得到軌跡方程。(6) 幾何法：利用平血幾何或解析幾何的有關(guān)基礎(chǔ)知識(shí)去分析圖形性質(zhì)，發(fā)現(xiàn)動(dòng)

3、點(diǎn)運(yùn)動(dòng)規(guī)律 和動(dòng)點(diǎn)滿足的條件，然后求岀動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程。熱點(diǎn)透析 題型1：直接法【例1】已知定點(diǎn)a、b,且ab=2a。如果動(dòng)點(diǎn)p到點(diǎn)a的距離和到點(diǎn)b的距離之比為2： 1, 求點(diǎn)卩的軌跡方程，并說(shuō)明它表示什么曲線？【解】木題首先要建立坐標(biāo)系，建立坐標(biāo)系的要求是保持對(duì)稱性，以使所求方程簡(jiǎn)單，容易 看出方程農(nóng)示什么曲線。如圖，取m3所在的直線為x軸,從a到13為正方向，以a13的屮點(diǎn)0為原點(diǎn)，以ab的屮垂線為y軸，建立直角坐標(biāo)系,則 a (a, 0)、b (a, 0)。設(shè) p (x, y)ra_2 兩一1_2即 js_a)2+b化簡(jiǎn)整理，得3/+3八10m + 3/ = 0(“討+宀滬54c(q,o)

4、a這就是動(dòng)點(diǎn)p的軌跡方程。它表示以 彳 為圓心，3為半徑的圓。熱身訓(xùn)練1已知久b為兩定點(diǎn),動(dòng)點(diǎn)到m與到3的距離比為常數(shù)化求點(diǎn)的軌跡方程, 并注明軌跡是什么曲線.解:建立坐標(biāo)系如圖所示,設(shè)|個(gè) 則水一0), b(a, 0).設(shè)mg y)是軌跡上任意一點(diǎn).ma£2心則由題設(shè),得呦二兒坐標(biāo)代入,得/“疔+九久，化簡(jiǎn)得(1-a2)a(1- a2) #+2自(1+ 巧屮(1 a2) 0當(dāng)人二1時(shí)，即|m| = |/®|時(shí),點(diǎn)於的軌跡方程是尸0,點(diǎn)廳的軌跡是直線(y軸).2a(l+ x)當(dāng)人工1時(shí)，點(diǎn)必的軌跡方程是,+#+1-九彳 卅晶0.a(l + f )2 忍點(diǎn)於的軌跡是以(一1一

5、疋，0)為圓心，卩一處丨為半徑的圓.熱身訓(xùn)練2、給定拋物線y*8(x+2),其焦點(diǎn)和準(zhǔn)線分別是橢圓的-個(gè)焦點(diǎn)和一條準(zhǔn)線，求橢 圓的短軸端點(diǎn)的軌跡方程。解：拋物線y2=8(x+2)的焦點(diǎn)為(0, 0)，準(zhǔn)線為x二-4,由題意知，x二-4必為橢圓的左準(zhǔn)線, 設(shè)橢圓短軸端點(diǎn)為b(x, y)若(0, 0)點(diǎn)為橢圓左焦點(diǎn),則c二x,b二惻化簡(jiǎn)得少2 = 4x(x > 0)由定義得 x+4c _x若(0, 0)點(diǎn)為橢圓右焦點(diǎn)，則c二-x, b二"le二& +» ，而左焦點(diǎn)為(2x, 0),j(x-2x)2 +尹2x + 4由定義得f :° 化簡(jiǎn)得0+1)2 +

6、二=1。工 o)拆+歹2題型2：定義法2 2【例2】己知°°方程為* +» =4 ,定點(diǎn)a (4, 0) o求過(guò)點(diǎn)a冃和。相切的動(dòng)圓圓心p 的軌跡。【分析】由于動(dòng)圓過(guò)a點(diǎn),所以|pa|是動(dòng)圓的半徑。當(dāng)動(dòng)圓p與圓0外切時(shí),|p0|=|pa|+2, 即|p0|-|pa|=2；當(dāng)動(dòng)圓p與圓0內(nèi)切時(shí),有|p0| = |pa|-2,所以有| |p0|-|pa| |二2?？梢钥闯?動(dòng)點(diǎn)p的運(yùn)動(dòng)滿足雙曲線的定義，因此可將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為用定義法求軌跡方程?！窘狻吭O(shè)動(dòng)圓圓心為p (x, y),因?yàn)閯?dòng)圓過(guò)定點(diǎn)a,所以|pa|是動(dòng)圓半徑。當(dāng)動(dòng)圓卩與°°外切時(shí),|p0|-

7、|pa|=2；當(dāng)動(dòng)圓卩與°°內(nèi)切時(shí),|pa|-|p0|=2；有| |p0卜|pa| |二2。p點(diǎn)的軌跡是以0、a為焦點(diǎn)，2為實(shí)軸長(zhǎng)的雙曲線，中心在0a的中點(diǎn)(2, 0),實(shí)半軸長(zhǎng)為a=l,半焦距c=2,虛半軸長(zhǎng)匕=羽°(2)2 丄=1所求點(diǎn)p的軌跡方程為彳 ?！纠?】已知雙曲線的虛軸長(zhǎng)、實(shí)軸長(zhǎng)、焦距成等差數(shù)列，且以y軸為右準(zhǔn)線，并過(guò)定點(diǎn)r(l,2)。(1) 求此雙1111線右焦點(diǎn)f的軌跡：(2) 過(guò)r與f的弦為右支交于q點(diǎn)、,求q點(diǎn)的軌跡方程。解(1) 2a = & + c=4a2 +c2 -aac ?= c2 - a25刁，設(shè)右焦點(diǎn)f (x, y),由雙

8、曲線定義，得(7+3_2)2=16 o5雙曲線的右焦點(diǎn)f的軌跡是以（1, 2）為圓心，°為半徑的圓。（2）設(shè)q （x, y）,由雙曲線的定義得1 xrf + qf51 + x 49.j（x-1）2+3-2）2 =才（1 + 力即9/ 16b+82x + 64y 55=0熱身訓(xùn)練1如圖，某建筑工地要挖一個(gè)橫截面為半圓的柱形土坑，挖出的土只能沿ap、bp 運(yùn)到p處，其中ap=100m, bp=150m, zapb=60",問(wèn)怎能樣運(yùn)才能最省工？解：半圓上的點(diǎn)可分為三類:一是沿ap到p較近,二是沿bp到p較近,三是沿ap或bp 樣近。其中第三類的點(diǎn)位于前兩類的分界線上，設(shè)m為分界

9、線上的任一點(diǎn)，則有 maap=mb-bp即ma-mb pb-pa =50<ab = 5砧，故m在以人，b為焦點(diǎn)的雙曲線的右支 上。- = l（x> 25）建立如圖直角坐標(biāo)系，得邊界的方程為62刁3750，故運(yùn)土?xí)r為了省工，在雙曲線弧左側(cè)的土沿ap運(yùn)到p處，右側(cè)的土沿bp運(yùn)到p處，在曲線上而的土兩邊都可 坯。說(shuō)明：利用雙曲線的定義可直接寫(xiě)出雙曲線方程。熱身訓(xùn)練2、已知圓0的方程為x2+y2=100,點(diǎn)a的坐標(biāo)為(-6, 0) , m為圓0上任一點(diǎn),am 的垂直平分線交0m于點(diǎn)p,求點(diǎn)p的方程。解：由中垂線知，網(wǎng)t財(cái)故阿卜陽(yáng)+|旳=|如| =叫(x + 3)2 +疋=125即p點(diǎn)的軌跡

10、為以a、0為焦點(diǎn)的橢圓，中心為(-3,0),故p點(diǎn)的方程為2516熱身訓(xùn)練3某檢驗(yàn)員通常用一個(gè)宜徑為2. cm和一個(gè)直徑為1. cm的標(biāo)準(zhǔn)圓柱，檢測(cè)一個(gè)直徑 為3. cm的圓林，為保證質(zhì)量，有人建議再插入兩個(gè)合適的同號(hào)標(biāo)準(zhǔn)圓柱，問(wèn)這兩個(gè)標(biāo)準(zhǔn)圓林 的宜徑為多少？解:設(shè)直徑為3,2, 1的三圓圓心分別為0、a、，問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求兩等圓只«使它們與。相內(nèi)切，與o/l相外切建立如圖所示的處標(biāo)系，并設(shè)op的半徑為廠，則 |q4| + |p0|二(1+刃+(1. 5 刃二2. 5點(diǎn)尸在以m、0為焦點(diǎn)，長(zhǎng)軸長(zhǎng)2. 5的橢圓上，其方程為325=1同理戸也在以0、為焦點(diǎn)，長(zhǎng)軸長(zhǎng)為2的橢圜上，其方程為14(

11、% 2 )2+ 3 y?二山、可解得，一 j(即+(護(hù)打6故所求圓柱的直徑為亍cm.題型3：相關(guān)點(diǎn)法【例4】如圖所示，從雙曲線"一 =1上一點(diǎn)q引直線x+y二2的垂線，垂足為n,求線段qn的屮點(diǎn)p的軌跡方程?！痉治觥恳騽?dòng)點(diǎn)p隨動(dòng)點(diǎn)q的運(yùn)動(dòng)而運(yùn)動(dòng)，而動(dòng)點(diǎn)q在已知雙曲線上，故可用和關(guān)點(diǎn)法求解。 從尋求q點(diǎn)的坐標(biāo)與p點(diǎn)坐標(biāo)之間的關(guān)系入手?！窘狻吭O(shè)動(dòng)點(diǎn)p的坐標(biāo)為（x, y）,點(diǎn)q的坐標(biāo)為,則n點(diǎn)的坐標(biāo)為（2兀一可，2尹一1）。 因?yàn)辄c(diǎn)n在直線x+y二2上，所以+乃=2。乂因?yàn)閜q垂直于直線x+y二2,所以"xi ,即由.兩式聯(lián)立解得乂點(diǎn)q在雙曲線上，所以并-乃2 = 1。將式代入式

12、，得動(dòng)點(diǎn)p的軌跡方程是2x2-2/-2x + 2-1 = 0【評(píng)析】利用相關(guān)點(diǎn)法求動(dòng)點(diǎn)軌跡方程的關(guān)鍵是能用所求動(dòng)點(diǎn)的坐標(biāo)x、y表示出c知曲線上 動(dòng)點(diǎn)q的朋標(biāo)可、乃。熱身訓(xùn)練1己知戶(4, 0)是圓/+/=36內(nèi)的一點(diǎn)，a. 是圓上兩動(dòng)點(diǎn)，且滿足zapa90。, 求矩形竹0的頂點(diǎn)0的軌跡方程.解：設(shè)力的中點(diǎn)為斤，坐標(biāo)為d,y),則在r仏abp中，|力川二|/刃又因?yàn)閞是弦初的中點(diǎn),依垂徑定理:在rt伽中，|個(gè)2二|肋|2一|曲2二36一(#+卩2)乂ar = 吩j(x-4)2 + y2所以有(4)2+y2=36 (%+y2),即 x2+y24x10=0因此點(diǎn)斤在一個(gè)圓上，而當(dāng)斤在此圓上運(yùn)動(dòng)時(shí)，q

13、點(diǎn)即在所求的軌跡上運(yùn)動(dòng).設(shè)心y), 心 yj,因?yàn)榻锸且虻闹悬c(diǎn)x+4所以山二丁小一代入方程/+/-4-10=0,得整理得:/+y=56,這就是所求的軌跡方程.錯(cuò)解分析:欲求0的軌跡方程，應(yīng)先求斤的軌跡方程，若學(xué)生思考不深刻，發(fā)現(xiàn)不了問(wèn)題的 實(shí)質(zhì)，很難解決此題.技巧與方法:對(duì)某些較復(fù)雜的探求軌跡方程的問(wèn)題，可先確定一個(gè)較易于求得的點(diǎn)的軌跡方 程，再以此點(diǎn)作為主動(dòng)點(diǎn)，所求的軌跡上的點(diǎn)為相關(guān)點(diǎn)，求得軌跡方程.題型4：參數(shù)法【例5】如圖3所示，過(guò)雙曲線c：3的左焦點(diǎn)f作直線1與雙曲線交于p、q,以op、oq為鄰邊作平行四邊形0pmq,求點(diǎn)m的軌跡方程。(蘭上)【解】設(shè)所求點(diǎn)m的朋標(biāo)為(x, y),則平

14、行四邊形中心n的朋標(biāo)為2 2。而雙曲線左焦點(diǎn)f為(-2, 0),當(dāng)直線1不垂直x軸時(shí)，斜率存在，設(shè)1： y=k(x+2)o與雙曲線方程聯(lián)立消去y,得g-處_42_3 = 0。_ 4， 乂設(shè)p、q的坐標(biāo)分別為(31)心必)，由韋達(dá)定理知123-疋otn為pq的中點(diǎn),x _ 2k22 3-k2消去參數(shù)k得這就是點(diǎn)m的軌跡。當(dāng)直線1垂直于x軸時(shí)，此時(shí)m為(-4, 0)仍滿足上述方程。(x + 2故點(diǎn)m的軌跡方程為 412熱身訓(xùn)練1設(shè)點(diǎn)力和為拋物線.y=4px(p>0)±原點(diǎn)以外的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，己知0a10b, 0mlab, 求點(diǎn)必的軌跡方程，并說(shuō)明它表示什么曲線.解法一:設(shè) a (xi,

15、 yi),72), mg y). (xho)直線/的方程為x=my+ay山如丄初，得i】f_xrfl y=4px 及 xmya,消去 x、得 /4/w-4pa=02)l.c22 _ &所以戸必=4皿.畑2二(切) 所以，由創(chuàng)丄得山曲二一口必 所以 = 4pa=>a = 4py故 xmy4py 用fx 代入，得 #+y2 4sf0(xh0)故動(dòng)點(diǎn)財(cái)?shù)能壽E方程為#+/4刀尸0匕工0),它表示以(2a 0)為闘心，以2”為半徑的|員|, 去掉處標(biāo)原點(diǎn)._占(絲，空)解法二:設(shè)0a的方程為y = kx ,代入$=&px得 x_丄則ob的方程為* ,代入yjpx得32戸卩廠2pq

16、ab的方程/ 1-疋""i ,過(guò)定點(diǎn)nqp,® ,由omjab,得m在以0n為直徑的圓上(0點(diǎn)除外)故動(dòng)點(diǎn)m的軌跡方程為 ay-4p0(0),它衣示以(2p, 0)為圓心，以2”為半徑的圓, 去掉處標(biāo)原點(diǎn)._皿空，空)解法三：設(shè)md,y).(xh0), 0a的方程為y = kx f代入畑px得 訃，k則0b的方程為二,代入ynpx得廠2p梢由創(chuàng)丄個(gè)，得m既在以0a為直徑的圓：花 k上,又在以0b為直徑的|員|:"+b 一 $點(diǎn)x + 2松=0上(°點(diǎn)除外)，x” + 得./+y2-4z?a=0(0)故動(dòng)點(diǎn)冊(cè)的軌跡方程為#+y一4刃=0匕工0),

17、它表示以(2p, 0)為圓心，以2p為半徑的圓，去 掉坐標(biāo)原點(diǎn).錯(cuò)解分析:當(dāng)設(shè)久兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為3,/),(疑，乃)時(shí),注意對(duì)“乍匕”的討論.技巧與方法:將動(dòng)點(diǎn)的地標(biāo)八y用其他相關(guān)的量表示出來(lái)，然府再消掉這些量，從而就建 立了關(guān)于x、f的關(guān)系.熱身訓(xùn)練2經(jīng)過(guò)拋物線y2p(x+2p) (p>0)的頂點(diǎn)a作互相垂立的兩立線分別交拋物線于b、 c兩點(diǎn),求線段bc的中點(diǎn)m軌跡方程。解：a (- 2p,0)，設(shè)直線 ab 的方程為 y二k (x+2p) (k= 0).、? 22p字)與拋物線方程聯(lián)立方程組可解得b點(diǎn)的坐標(biāo)為丘去，由于ac與ab垂直,y = -(x + 2p)則ac的方程為花,拋物線

18、方程聯(lián)立方稈組可解得c點(diǎn)的處標(biāo)為(2k2p _ 2p-2kp)x = -r+k2p-2p< k2又m為bc中點(diǎn)，設(shè)m (x,y),則l 忙,消去k得yjpx,即點(diǎn)m的軌跡是拋物線。題型5：幾何法zaob = - pnn【例6】如圖所示，p、q分別是0b兩邊上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，若3 , 皿征的而積等于8,求線段pq中點(diǎn)m的軌跡方程?！痉治觥磕绢}由于mob的對(duì)稱性及p、q關(guān)于屮點(diǎn)的對(duì)稱性可以判斷屮點(diǎn)m的軌跡一定關(guān) 于"ob的平分線對(duì)稱。山此我們以08的平分線所在直線為x軸建立坐標(biāo)系，得到的 曲線方程較簡(jiǎn)也?！窘狻恳缘钠椒志€所在直線為x軸，頂點(diǎn)0為處標(biāo)原點(diǎn)建立直角處標(biāo)系。則射線0a的方程為

19、x(x>0)y=-x（x>0）射線0b的方程為3設(shè) p( , -£),。(屈 fu)(l>0fu>0)fm(xty)x = f o+f)，尹=扣_$)，丄= &2 2<2尹=以_爲(wèi)熱身訓(xùn)練1拋物線= apx（p > 0）的頂點(diǎn)作互相垂直的兩弦oa、0b,求拋物線的頂點(diǎn)0在 直線ab上的射影m的軌跡。2解1 （交軌法）：點(diǎn)a、b在拋物線a => °）上，設(shè)a (2, b (仔所以 k°a二兀1kob= ,rtl 0a 垂直 0b 得 koa k()b = -1,得 yjb二-16p2 ,七-寫(xiě)v） 兒1 xb 4去又

20、ab方程可求得ap 4p9即(旳+yb)y_4pxyayb=o,把 yy二 t6p，代入得 ab 方程(ya+yb) y-4px+16p 二0 又0m的方程為一 °戸由消去得力+y”即得戲+b 一伽=0,即得（x-2p）2+y2 =4比2 2 2所以點(diǎn)m的軌跡方程為（x2刃+y =4p f其軌跡是以（2去，°）為圓心，半徑為2戸的圓，除去點(diǎn)（0, 0）。說(shuō)明：川交軌法求交點(diǎn)的軌跡方程時(shí)，不一定非要求出交點(diǎn)坐標(biāo)，只要能消去參數(shù)，得到交 點(diǎn)的兩個(gè)處標(biāo)間的關(guān)系即可。交軌法實(shí)際上是參數(shù)法中的一種特殊情況。解2 （幾何法）：由解1中ab方程（ya+yb） y4px+16p2 =0可得

21、ab過(guò)定點(diǎn)（4p,0）而om垂 直ab,所以山圓的兒法性質(zhì)可知：m點(diǎn)的軌跡是以（勿，°）為圓心，半徑為勿的圓。所以方 程為（x-2p）2+b=4p2,除去點(diǎn)（0, 0）。最新考題探究曲線的軌跡是解析兒何中非常重要的內(nèi)容之一，是最能體現(xiàn)解析兒何特色的內(nèi)容，因而成為 高考的熱點(diǎn)，曲線方程問(wèn)題幾乎年年考，-般為中等難度以上題目。它是考杳我們根據(jù)曲線 的兒何特征熟練運(yùn)川解析兒何知識(shí)將其轉(zhuǎn)化為數(shù)量關(guān)系，再運(yùn)川代數(shù)知識(shí)作答的能力?！究碱}】（2006年高考廣東卷）設(shè)函數(shù)/（x）=/ + 3x + 2分別在咼，兀2處取得極小值、 極大值，xoy平面上點(diǎn)a、b的坐標(biāo)分別為（耳/（可），（乃（花）,該平面上動(dòng)點(diǎn)p滿足 可而=4，點(diǎn)q是點(diǎn)p關(guān)丁直線y=2（x-4）的對(duì)稱點(diǎn)。求：（t）點(diǎn)a、b的坐標(biāo)；（tt）動(dòng)點(diǎn)q的軌跡方程。【分析】考杏函數(shù)的導(dǎo)數(shù)、極值的概念；向量的坐標(biāo)運(yùn)算、點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱等知識(shí)以及“動(dòng) 點(diǎn)轉(zhuǎn)移”求軌跡方程的方法，綜合考查學(xué)生應(yīng)川知識(shí)的能力。首先求/'（x）,令了'（兀）=°,求出石冰2的值，得到a、b兩點(diǎn)的坐標(biāo)。利用向量的數(shù)量積可 求得動(dòng)點(diǎn)卩的軌跡方程。根據(jù)卩、q對(duì)稱性求出卩、q兩點(diǎn)坐標(biāo)的關(guān)系，利用“動(dòng)點(diǎn)轉(zhuǎn)移”法 將動(dòng)點(diǎn)