必修五-基本不等式-教案

1、學(xué)習(xí)必備歡迎下載§3.4 基本不等式ab第1課時(shí)ab2授課類型： 新授課【教學(xué)目標(biāo)】1知識與技能：學(xué)會(huì)推導(dǎo)并掌握基本不等式，理解這個(gè)基本不等式的幾何意義，并掌握定理中的不等號“”取等號的條件是：當(dāng)且僅當(dāng)這兩個(gè)數(shù)相等；2過程與方法：通過實(shí)例探究抽象基本不等式；3情態(tài)與價(jià)值：通過本節(jié)的學(xué)習(xí)，體會(huì)數(shù)學(xué)來源于生活，提高學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣【教學(xué)重點(diǎn)】應(yīng)用數(shù)形結(jié)合的思想理解不等式，并從不同角度探索不等式abab的證明過程；2【教學(xué)難點(diǎn)】基本不等式 abab等號成立條件2【教學(xué)過程】1. 課題導(dǎo)入基本不等式abab的幾何背景：2如圖是在北京召開的第 24 界國際數(shù)學(xué)家大會(huì)的會(huì)標(biāo)， 會(huì)標(biāo)是根據(jù)中國古代數(shù)

2、學(xué)家趙爽的弦圖設(shè)計(jì)的， 顏色的明暗使它看上去象一個(gè)風(fēng)車， 代表中國人民熱情好客。你能在這個(gè)圖案中找出一些相等關(guān)系或不等關(guān)系嗎？教師引導(dǎo)學(xué)生從面積 的關(guān)系去找相等關(guān)系或不等關(guān)系。2. 講授新課1探究圖形中的不等關(guān)系將圖中的“風(fēng)車”抽象成如圖，在正方形ABCD中右個(gè)全等的直角三角形。設(shè)直角三角形的兩條直角邊長為a,b那么正方形的邊長為a2b2 。這樣， 4 個(gè)直角三角形的面積的和是 2ab，正方形的面積為a2b2 。由于 4個(gè)直角三角形的面積小于正方形的面積，我們就得到了一個(gè)不等式：a2b22ab 。當(dāng)直角三角形變?yōu)榈妊苯侨切危碼=b 時(shí)，正方形EFGH 縮為一個(gè)點(diǎn)，這時(shí)有a2b22ab 。

3、2得到結(jié)論：一般的，如果a,bR, 那么 a 2b 22ab(當(dāng)且僅當(dāng) a b時(shí)取 " " 號 )3思考證明：你能給出它的證明嗎？證明：因?yàn)閍 2b22ab(a b)2當(dāng)ab時(shí) ,( ab) 20,當(dāng) ab時(shí),( ab)20,學(xué)習(xí)必備歡迎下載所以， (ab) 20 ，即 ( a2b2 )2ab.4 1）從幾何圖形的面積關(guān)系認(rèn)識基本不等式abab2特別的，如果 a>0,b>0,我們用分別代替 a、 b ，可得 ab 2 ab ，通常我們把上式寫作：abab (a>0,b>0)2ab2 ）從不等式的性質(zhì)推導(dǎo)基本不等式ab2用分析法證明：要證abab(1)

4、2只要證a+b(2)要證（ 2），只要證a+b-0（ 3）要證（ 3），只要證（-） 2（4）顯然，（ 4）是成立的。當(dāng)且僅當(dāng)a=b 時(shí)，（ 4）中的等號成立。3）理解基本不等式a bab2的幾何意義探究： 課本第 110 頁的“探究”在右圖中， AB 是圓的直徑，點(diǎn)C 是 AB 上的一點(diǎn)， AC=a,BC=b。過點(diǎn) C作垂直于AB的弦 DE，連接 AD、 BD。你能利用這個(gè)圖形得出基本不等式abab的幾2何解釋嗎？易證 t A D t DB，那么 D2 A·B即 Dab .這個(gè)圓的半徑為ab ，顯然，它大于或等于CD，即 abab ，其中當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)C 與22圓心重合，即a b 時(shí)，

5、等號成立 .因此：基本不等式abab幾何意義是“ 半徑不小于半弦 ”2評述： 1. 如果把 ab 看作是正數(shù) a、 b 的等差中項(xiàng)，ab 看作是正數(shù)a、 b 的等比中項(xiàng)，2那么該定理可以敘述為：兩個(gè)正數(shù)的等差中項(xiàng)不小于它們的等比中項(xiàng).2. 在數(shù)學(xué)中，我們稱ab 為 a、b 的算術(shù)平均數(shù)，稱ab 為 a、 b 的幾何平均數(shù) . 本2節(jié)定理還可敘述為：兩個(gè)正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù). 補(bǔ)充例題 例 1 已知 x、 y 都是正數(shù)，求證：y x(1) 2；xy學(xué)習(xí)必備歡迎下載(2) （ x y）（ x2y2）（ x3y3） x3y3.分析：在運(yùn)用定理：abab 時(shí)，注意條件a、b 均為正數(shù)

6、，結(jié)合不等式的性質(zhì)( 把2握好每條性質(zhì)成立的條件) ，進(jìn)行變形 .解： x， y 都是正數(shù) x 0， y 0，x20， y2 0，x3 0， y3 0yx(1)xy2 xy 2即 xy 2.yxyxyx(2)x y 2xy 0x2 y2 2x2 y2 0x3 y3 2 x3 y3 0（ x y）（ x2y2）（ x3 y3） 2 xy · 2 x2 y2 ·2 x3 y 3 x3y3 即（ x y）（ x2y2）（ x3 y3） x3y3.3. 隨堂練習(xí)1. 已知 a、b、 c 都是正數(shù)，求證（ a b）（ b c）（ c a） abc分析：對于此類題目，選擇定理：a ba

7、b （ a 0， b 0）靈活變形，可求得結(jié)2果.解： a， b， c 都是正數(shù) a b 2ab 0b c2bc 0c a2ac 0（ a b）（ b c）（ c a） 2 ab · 2bc ·2 ac abc即（ ）（b）（）.a bccaabc4. 課時(shí)小結(jié)本節(jié)課，我們學(xué)習(xí)了重要不等式a2b2 2ab；兩正數(shù) a、b 的算術(shù)平均數(shù)（a b ），幾何平均數(shù) （ ab ）及它們的關(guān)系 （ ab ab ）. 它們成立的條件不同，2前者只要求a、2b 都是實(shí)數(shù)，而后者要求a、 b 都是正數(shù) . 它們既是不等式變形的基本工具，又是求函數(shù)最值的重要工具( 下一節(jié)我們將學(xué)習(xí)它們的應(yīng)用

8、). 我們還可以用它們下面的等價(jià)變形來解決問22題： ab ab， ab（ ab ） 2.225. 評價(jià)設(shè)計(jì)學(xué)習(xí)必備歡迎下載課本第 113 頁習(xí)題 A 組的第 1 題課題 : §3.4基本不等式abab2第2課時(shí)授課類型： 新授課【教學(xué)目標(biāo)】1知識與技能： 進(jìn)一步掌握基本不等式a b；會(huì)應(yīng)用此不等式求某些函數(shù)的最值；ab2能夠解決一些簡單的實(shí)際問題2過程與方法：通過兩個(gè)例題的研究，進(jìn)一步掌握基本不等式abab，并會(huì)用此定2理求某些函數(shù)的最大、最小值。3情態(tài)與價(jià)值：引發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)和使用數(shù)學(xué)知識的興趣，發(fā)展創(chuàng)新精神，培養(yǎng)實(shí)事求是、理論與實(shí)際相結(jié)合的科學(xué)態(tài)度和科學(xué)道德。【教學(xué)重點(diǎn)】基本不等式

9、abab的應(yīng)用2【教學(xué)難點(diǎn)】利用基本不等式 aba b求最大值、最小值。2【教學(xué)過程】1. 課題導(dǎo)入1重要不等式：如果 a,bR, 那么 a 2b 22ab(當(dāng)且僅當(dāng) ab時(shí)取 ""號 )2基本不等式：如果abab(當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取" "號).a,b 是正數(shù)，那么2a b我們稱 a b 為 a, b 的算術(shù)平均數(shù)，稱ab為 a, b 的幾何平均數(shù)2a 2b22ab和 a bab 成立的條件是不同的：前者只要求a,b 都是實(shí)數(shù)，而后者2要求 a,b 都是正數(shù)。2. 講授新課例 1（ 1）用籬笆圍成一個(gè)面積為100m 2 的矩形菜園，問這個(gè)矩形的長、寬各為多少時(shí)

10、，所用籬笆最短。最短的籬笆是多少？（ 2）段長為 36 m 的籬笆圍成一個(gè)一邊靠墻的矩形菜園，問這個(gè)矩形的長、寬各為多少時(shí)，菜園的面積最大，最大面積是多少?解：（ 1）設(shè)矩形菜園的長為x m ，寬為 y m，則 xy=100 ，籬笆的長為2（ x+y ） m。由xy2xy ，可得xy2 100 ，2( xy)40 。等號當(dāng)且僅當(dāng)x=y 時(shí)成立，此時(shí) x=y=10.學(xué)習(xí)必備歡迎下載因此，這個(gè)矩形的長、寬都為10m時(shí)，所用的籬笆最短，最短的籬笆是40m.（2）解法一：設(shè)矩形菜園的寬為x m，則長為（ 36 2x）m，其中0 x 1 ，其2面積 S x（ 36 2x） 1 · 2x（36

11、2x） 1 ( 2x 36 2x )2 36 22228當(dāng)且僅當(dāng) 2x36 2x，即 x 9 時(shí)菜園面積最大，即菜園長9m，寬為9 m 時(shí)菜園面積最大為 81 m2解法二：設(shè)矩形菜園的長為x m.,寬為 y m , 則 2(x+y)=36,x+y=18, 矩形菜園的面積為 xym2 。由x y18，可得xy 81xy922當(dāng)且僅當(dāng) x=y, 即 x=y=9時(shí)，等號成立。因此，這個(gè)矩形的長、寬都為9m 時(shí)，菜園的面積最大，最大面積是81m 2歸納： 1. 兩個(gè)正數(shù)的和為定值時(shí)，它們的積有最大值，即若a， bR，且 a bM， M為定值，則 M2，等號當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)成立 .aba b42. 兩個(gè)正數(shù)的

12、積為定值時(shí)，它們的和有最小值，即若a，b R，且 ab P，P 為定值，則 a b 2P ，等號當(dāng)且僅當(dāng)a b 時(shí)成立 .例 2某工廠要建造一個(gè)長方體無蓋貯水池，其容積為4800m3,深為 3m，如果池底每 1m2的造價(jià)為150 元，池壁每 1m2 的造價(jià)為 120 元，問怎樣設(shè)計(jì)水池能使總造價(jià)最低，最低總造價(jià)是多少元？分析：此題首先需要由實(shí)際問題向數(shù)學(xué)問題轉(zhuǎn)化，即建立函數(shù)關(guān)系式， 然后求函數(shù)的最值，其中用到了均值不等式定理。解：設(shè)水池底面一邊的長度為xm，水池的總造價(jià)為l 元，根據(jù)題意，得l1600)240000 720(x2400007202xx1600x24000072024029760

13、0當(dāng) x1600 ,即 x40時(shí),l 有最小值 2976000.x因此，當(dāng)水池的底面是邊長為40m 的正方形時(shí)，水池的總造價(jià)最低，最低總造價(jià)是297600元評述 ：此題既是不等式性質(zhì)在實(shí)際中的應(yīng)用，應(yīng)注意數(shù)學(xué)語言的應(yīng)用即函數(shù)解析式的建立，學(xué)習(xí)必備歡迎下載又是不等式性質(zhì)在求最值中的應(yīng)用，應(yīng)注意不等式性質(zhì)的適用條件。歸納： 用均值不等式解決此類問題時(shí)，應(yīng)按如下步驟進(jìn)行：(1) 先理解題意，設(shè)變量，設(shè)變量時(shí)一般把要求最大值或最小值的變量定為函數(shù)；(2) 建立相應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式，把實(shí)際問題抽象為函數(shù)的最大值或最小值問題；(3) 在定義域內(nèi)，求出函數(shù)的最大值或最小值；(4) 正確寫出答案 .3. 隨堂練習(xí)

14、1. 已知 x0，當(dāng) x 取什么值時(shí)， x2 81 的值最小 ?最小值是多少 ?x 22課本第113 頁的練習(xí)1、 2、 3、 44. 課時(shí)小結(jié)本節(jié)課我們用兩個(gè)正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)與幾何平均數(shù)的關(guān)系順利解決了函數(shù)的一些最值問題。 在用均值不等式求函數(shù)的最值，是值得重視的一種方法，但在具體求解時(shí)，應(yīng)注意考查下列三個(gè)條件：(1) 函數(shù)的解析式中，各項(xiàng)均為正數(shù)；(2) 函數(shù)的解析式中，含變數(shù)的各項(xiàng)的和或積必須有一個(gè)為定值；(3) 函數(shù)的解析式中，含變數(shù)的各項(xiàng)均相等，取得最值即用均值不等式求某些函數(shù)的最值時(shí)，應(yīng)具備三個(gè)條件：一正二定三取 等。5. 評價(jià)設(shè)計(jì)課本第 113 頁習(xí)題 A 組的第 2、 4 題課

15、題 : §3.4基本不等式a bab2第3課時(shí)授課類型： 習(xí)題課【教學(xué)目標(biāo)】1知識與技能： 進(jìn)一步掌握基本不等式a b；會(huì)用此不等式證明不等式, 會(huì)應(yīng)用此ab2不等式求某些函數(shù)的最值, 能夠解決一些簡單的實(shí)際問題；2過程與方法：通過例題的研究，進(jìn)一步掌握基本不等式abab，并會(huì)用此定理求2某些函數(shù)的最大、最小值。3情態(tài)與價(jià)值：引發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)和使用數(shù)學(xué)知識的興趣，發(fā)展創(chuàng)新精神，培養(yǎng)實(shí)事求是、理論與實(shí)際相結(jié)合的科學(xué)態(tài)度和科學(xué)道德。【教學(xué)重點(diǎn)】ab掌握基本不等式ab，會(huì)用此不等式證明不等式，會(huì)用此不等式求某些函數(shù)的最值2【教學(xué)難點(diǎn)】利用此不等式求函數(shù)的最大、最小值。【教學(xué)過程】1. 課題導(dǎo)入

16、1基本不等式：如果a,b 是正數(shù)，那么a b(當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取" "號).a bab2學(xué)習(xí)必備歡迎下載2用基本不等式ab求最大（小）值的步驟。ab22. 講授新課1）利用基本不等式證明不等式例 1 已知 m>0,求證 246m24 。m24 和 6m 分別看作基本不等式中的 思維切入 因?yàn)?m>0,所以可把a(bǔ) 和 b,直接利用基本不m等式。 證明 因?yàn)?m>0, ，由基本不等式得246m2246m224621224mm當(dāng)且僅當(dāng)24 = 6m ，即 m=2時(shí)，取等號。m規(guī)律技巧總結(jié)注意： m>0 這一前提條件和3. 隨堂練習(xí) 1246m =144 為定值的

17、前提條件。m 思維拓展1已知 a,b,c,d都是正數(shù)，求證(abcd )( acbd )4abcd . 思維拓展2求證 (a2b2 )(c2d 2 )(acbd ) 2 .例2 求證:4a7 .a 3 思維切入 由于不等式左邊含有字母a,右邊無字母 , 直接使用基本不等式, 無法約掉字母a, 而左邊4a43 . 這樣變形后 , 在用基本不等式即可得證 .a(a 3)a33證明4344a(a 3) 3 2( a 3) 3 2 4 3 7a33a 3當(dāng)且僅當(dāng)4=a-3即 a=5 時(shí) , 等號成立 .a3規(guī)律技巧總結(jié)通過加減項(xiàng)的方法配湊成基本不等式的形式.2) 利用不等式求最值例 3 (1) 若 x>0, 求(2) 若 x<0, 求f ( x)4x9的最小值 ;xf (x)4x9的最大值 .x學(xué)習(xí)必備歡迎下載 思維切入 本題 (1)x>0和 4x9中 x<0, 可以用 -x>0 來轉(zhuǎn)化 .=36 兩個(gè)前提條件 ;(2)x解 1)因?yàn)?x>0由基本不等式得f ( x)4x924x92 3612 , 當(dāng)且僅當(dāng) 4x9 即 x=3 時(shí) , f (x) 4x9 取xxx2x最小值 12.(2) 因?yàn)閤<0,所以 -x>0,由基本不等式得 :f ( x)(4 x9) ( 4x) ( 9 ) 2 (