[摘要]本文討論概率統(tǒng)計(jì)在營銷、風(fēng)險(xiǎn)決策和商品生產(chǎn)與銷售等幾個(gè)

1、概率統(tǒng)計(jì)在風(fēng)險(xiǎn)決策中的應(yīng)用05級(jí)數(shù)學(xué)系四班王世鎧摘要近幾年來，我國的經(jīng)濟(jì)學(xué)界和經(jīng)濟(jì)部門越來越意識(shí)到用數(shù)學(xué)方法來解決經(jīng) 濟(jì)問題的重要性，正在探索經(jīng)濟(jì)問題中應(yīng)有數(shù)學(xué)的規(guī)律。實(shí)踐證明，概率統(tǒng)計(jì)是 對經(jīng)濟(jì)和經(jīng)濟(jì)管理問題進(jìn)行量的研究的冇效工具，為經(jīng)濟(jì)預(yù)測和決策捉供了新的 手段，有助于提高管理水平和經(jīng)濟(jì)效益。木文將利用概率統(tǒng)計(jì)方法解決一些經(jīng)濟(jì) 問題，分析研究怎樣進(jìn)行風(fēng)險(xiǎn)決策以及怎樣檢驗(yàn)產(chǎn)品質(zhì)量和確定產(chǎn)品進(jìn)貨量等。關(guān)鍵詞；概率統(tǒng)計(jì)；經(jīng)濟(jì)問題；風(fēng)險(xiǎn)決策abstractin recent years, china's economic and academic sectors of the econom

2、y becoming increasingly aware of the mathematical methods used to address the importance of economic issues, economic issues are being explored should be the law of mathematics. practice has proved that the statistical probability of the economy and economic management of an effective amount of the

3、research tool for economic forecasting and decision-making provides a new means to enhance the management level and economic benefits. in this paper, the probability of statistical methods will be used to solve some economic problems, how to conduct risk analysis in decision-making and how to test p

4、roduct quality and quantity of the product purchase.keywords : probability and statistics； economic issues； risk decisioaking第一章概率與風(fēng)險(xiǎn)決策1.1弓丨言1.2風(fēng)險(xiǎn)決策中的應(yīng)用1.2.1先驗(yàn)信息決策分析1.2.2后驗(yàn)信息決策分析第二章概率與保險(xiǎn)2.1概率與保險(xiǎn)第三章概率與人壽保險(xiǎn)問題3.1概率與人壽保險(xiǎn)問題第四章小結(jié)4.1小結(jié)參考文獻(xiàn)謝辭第一章概率與風(fēng)險(xiǎn)決策1.1引言隨著我國經(jīng)濟(jì)建設(shè)的發(fā)展，在企業(yè)管理工作中的人們越來越重視經(jīng)濟(jì)分析的 數(shù)量化，管理和決策的科學(xué)化，這就使

5、數(shù)理統(tǒng)計(jì)理論與方法逐步滲透到管理科學(xué) 的各個(gè)領(lǐng)域，且其重要性已為人們所公認(rèn)。這里將利用數(shù)理統(tǒng)計(jì)的理論和方法就 企業(yè)管理屮的一些問題進(jìn)行定量化的分析。決策理論是1939年由統(tǒng)計(jì)學(xué)家瓦特作為假設(shè)檢驗(yàn)和參數(shù)估計(jì)等經(jīng)典的統(tǒng)計(jì) 理論提出的。對于決策的制定包括四個(gè)步驟：找出指定決策的目標(biāo)；找到可行方 案;對諸多方案進(jìn)行抉擇；對已選的方案進(jìn)行評(píng)價(jià)。決策分析的一般模型為：c = f(a,0),a g o,c g c;v = g(c),ve v,c g c,其中g(shù))是狀態(tài)&的總體，通常指不受決策者主觀愿累和所決定影響的環(huán)境；a為方案a的總體；c為結(jié)果c的總體即得利或損失；v是評(píng)價(jià)v的總體，v表示 一定的

6、結(jié)果在決策者心目中符合目標(biāo)的程度。在決策過程中，如果根據(jù)經(jīng)驗(yàn)知道 了口然狀態(tài)&的概率分布，即獲得了先驗(yàn)概率，pj = p(0),jj2,m,則可根 據(jù)風(fēng)險(xiǎn)決策問題的屮心準(zhǔn)則期望值方法選出最由優(yōu)方案。即叫)=工(昭，皿 e(aj = eai = 1,2,.n、/=!以最優(yōu)方案/進(jìn)行實(shí)施。在最大期望值對應(yīng)多個(gè)方案時(shí)，還需考慮方案的分 散程度，一般應(yīng)選擇分散度較小的方案。方案q的分散度為m尸(勺)=工(c.-化)2) ，心1,2,.nj=l但是隨著信息公司和咨詢公司的出現(xiàn)，如果在決策時(shí)又進(jìn)行某種試驗(yàn)和調(diào)查 得到了關(guān)于狀態(tài)的補(bǔ)充信息和附加信息，就可以對先驗(yàn)概率加以修正而得到后驗(yàn) 概率。這種概率

7、即概描了原先的知識(shí)和經(jīng)驗(yàn)，乂吸收了當(dāng)時(shí)試驗(yàn)和調(diào)查的信息， 可以更準(zhǔn)確地決策，捉高決策的期望收益。以表示可能的附加信息集合，概率分 布表示在狀態(tài)下的似然分布，p(0)表示決策者事先由過去的知識(shí)和經(jīng) 驗(yàn)所知的先驗(yàn)分布,p表示附加信息的邊緣概率分布，即m/心)=工 p(z0 )p(0),心 1,2,nz=1根據(jù)貝葉斯公式，后驗(yàn)概率分布p(0|zjp(0)(0|zj二一，心尸(厶丿因此,對于同一個(gè)z, ( / = 1,2,.,7v )和每個(gè)方案色的期望收益mc(s4)= ec(ss0) =c(g%.,0)“(0|zj 使c(z"j最大的方案滿足;=1c(zj = c(zi9a) = maxc

8、o，i = 1,2,n.則總期望收益nf=l其中/就是在條件z下的最佳方案，c(z)稱為在z條件下的最大期望收益，c*稱為模型的最大受益。當(dāng)然，從經(jīng)濟(jì)效益的角度來看，最優(yōu)方案/下，先驗(yàn)概率和后驗(yàn)概率所獲得 的期望收益e(a)和c*之差(即提高的效益)應(yīng)人于收集信息所支付的費(fèi)用，否 則，在經(jīng)濟(jì)上是不合理的。1.2風(fēng)險(xiǎn)決策中的應(yīng)用進(jìn)行決策之前，往往存在不確定的隨機(jī)因素，此時(shí)所作的決策有一定的風(fēng)險(xiǎn), 謂之風(fēng)險(xiǎn)烈決策。只冇正確、科學(xué)的決策才能達(dá)到以最小的成本獲得最大的安全 保障的總冃標(biāo)，由概率統(tǒng)計(jì)知識(shí)對風(fēng)險(xiǎn)系統(tǒng)進(jìn)行分析可以直接獲得風(fēng)險(xiǎn)決策。風(fēng)險(xiǎn)型決策一般冇兩種分析方法：先驗(yàn)信息決策分析與后驗(yàn)信息決策分

9、析， 這就需要針對具體實(shí)際情況，選擇恰當(dāng)?shù)姆治龇椒?，以保證選擇最優(yōu)化方案。1.2.1先驗(yàn)信息決策分析凡是來口過的記錄，經(jīng)驗(yàn)或主觀判斷的信息，都是先驗(yàn)信息，在先驗(yàn)信 息的條件下進(jìn)行決策。下例子將根據(jù)付酬表，計(jì)算各行動(dòng)方案的期累值，最后從 各期望值選擇期望收益最大（或期望損益最?。┑姆桨笧樽顑?yōu)方案。例1假如已知某廠預(yù)計(jì)h產(chǎn)量的機(jī)會(huì)虧損與未來各種需求量發(fā)生的概率。 試就此質(zhì)料進(jìn)行期望機(jī)會(huì)虧損決策。某廠預(yù)計(jì)fi產(chǎn)量的機(jī)會(huì)虧損表-生 童產(chǎn)t jsxnjn二后 花悔 t值概率t狀態(tài)t市場需求箱壘4p100211012021300230. 3p0.30. 21003g50021000215009110330

10、00q500q1000312036003300p0q500313039004600230003解：設(shè)a1為日產(chǎn)100箱;a2為日產(chǎn)110箱；a3為口產(chǎn)120箱；a4為日產(chǎn)130 箱。則有:e(al) =0. 2x0+0. 4x500+0. 3x 1000+0. 1 x 1500=650 (箱)e (a2) =0. 2 x 300+0. 4x 0+0. 3 x 500+0. 1 x 1000=320 (箱)e (a3) =0. 2 x 600+0. 4x 300+0. 3 x 0+0. 1 x 500=290 (箱)e (a4)二0. 2 x 900+0. 4 x 600+0. 3 x 300+

11、0. 1x0=510 (箱)min(650, 320, 290, 510)=290于是應(yīng)選擇日產(chǎn)量120箱的方案。對于同一資料，根據(jù)期望損益值進(jìn)行抉擇的結(jié)果，根據(jù)期望機(jī)會(huì)虧損值的抉擇結(jié) 果是一致的。從上例可以發(fā)現(xiàn)，即期與值收益與期與機(jī)會(huì)虧損互余。即期槊收益 越大吋，期望機(jī)會(huì)虧損值必小。這就是說一個(gè)方案若期望獲利最大，哪么執(zhí)行該 方案后悔值必然最小。因此，按兩種法則擇優(yōu)的結(jié)果必定相同。1.2. 2后驗(yàn)信息決策分析后驗(yàn)概率就是經(jīng)過試驗(yàn)進(jìn)一步捕獲信息(即后驗(yàn)信息)，并對先驗(yàn)概率作出修 正后的概率，利用后驗(yàn)信息作出的決策分析稱為后驗(yàn)分析。例2如某企業(yè)公司準(zhǔn)備生產(chǎn)一種新產(chǎn)品，在本地推銷價(jià)格低，但乂把握獲

12、 純利40萬元，對外地推銷有風(fēng)險(xiǎn)，若推銷成功，則可獲純利100萬元;若推銷失 敗，則將損失10萬元。問決策者應(yīng)作何決策？公司利用過去在外地試銷其他商 品的經(jīng)驗(yàn)對此新產(chǎn)品在外地的推銷經(jīng)驗(yàn)預(yù)測，推銷成功的概率p (s) =0. 6,推銷 失敗的概率p(f)二0. 4 ,這樣對外地推銷的收益期望值為 0.6x100+0. 4x(-10)二56(力元)，應(yīng)用先驗(yàn)概率，單從收益期望值來看，應(yīng)向外地 銷售，但是由于風(fēng)險(xiǎn)較大，公司派專業(yè)人員去外地作市場調(diào)查，其結(jié)果表：a二 “對外地推銷有利”，b二“對外地推銷不利”，其調(diào)杳把握性為：“在推銷成功” 和“推銷失敗”的條件下，調(diào)查為“對推銷冇利”和“對推銷不利”

13、的概率分別 為：p(a/s)二0. 7, p(b/s)=0. 3, p(a/f)二0. 2, p(b/f)二0. 8。利用貝葉斯公式可得在“對推銷有利”或“對推銷不利”的條件下，“推銷成功”和“推銷失敗”的概率分別為:p(s/a) =p(s)p(a/s)p(s)p(a/s) + p(f)p(a/f)= 0.84_0.6x0.70.6 x 0.7 + 0.4 x 0.2w爲(wèi)s)0,4x020.4x0.2 + 0.6x0.7= 0.16p(s/b) =p(s)p(b/s)p(s) p(b / s) + p(f) p(b / f)0.6x0.30.6x03 + 0.4x0.8= 0.36z"

14、;總)us)0.4x0.804x0.8 + 0.6x0.3= 0.64如果調(diào)杳的結(jié)杲是：該產(chǎn)甜在外地“推銷有利”，那么“推銷成功”的概率 從0. 6提高到0. 84； “推銷失敗”的概率就從0. 4降低為0.16,因而對外地推銷 的收益期望為：0. 84x100+0. 16x(-10=82.4 (萬元),其值遠(yuǎn)遠(yuǎn)高于在本地銷售 的利潤，這一結(jié)論將加強(qiáng)決策者對外地推銷的信心，而采取對外地推銷的方案。若調(diào)查結(jié)果是：該產(chǎn)品對外“推銷不利”，那么“推銷成功”的概率就從0.6 降至0. 36, “推銷失敗”的概率就從0. 4提高到0. 64,因而對外銷售的收益期望 為:0. 36x100+0. 64x

15、(-10)=29. 6 (萬元),低于在本地銷售的利潤，故決策者應(yīng) 采取對木地推銷的方案。當(dāng)然具休的實(shí)際問題還涉及很多其他情況的影響，但作為決策者一定要采用“使利潤值盡可能大，損失盡可能小”的原則，作出行動(dòng)方案。第二章概率與商品生產(chǎn)和銷售利用概率分布確定商品進(jìn)貨量。在商品銷售過程中，商品的進(jìn)貨量是一個(gè)很 重要的因素，因?yàn)樯唐焚u不出去，要支付銀行的借款利息和支付商品的保管費(fèi)用, 既要保證商晶不脫銷，乂要保證商品不積壓，因此商品銷售者控制好進(jìn)貨量是至 關(guān)重耍的。例3 一家商店采用科學(xué)管理，為此在每一個(gè)月的月底耍制定出下一個(gè)月的商 品進(jìn)貨計(jì)劃，為了不使商店的流動(dòng)資金積壓，月底的進(jìn)貨不宜過多，但使為了

16、保 證人們的生活需求和完成每月的營業(yè)額，進(jìn)貨又不應(yīng)該太少。由該商店過去的銷 售記錄知道，某種商品毎刀的銷售數(shù)可以用參數(shù)為2二10的普松分布來描述，為 了以95%以上的把握保證不脫銷，問商居在月底至少應(yīng)進(jìn)這種商品多少件？設(shè)該商店每月銷售某種商品£件，月底的進(jìn)貨為a件，則當(dāng)(<a)時(shí)就不 會(huì)脫銷。因而按題意要求為p(<a) >0.95, 6 (10)上式即為>0.9查表得 a>15o于是，這家商丿占只要在月底進(jìn)貨某種商品15件(假定上月沒冇存貨)，就可 以95%以上的概率保證這種商品在卜個(gè)月內(nèi)不會(huì)脫銷。例4某商店由多年的經(jīng)驗(yàn)發(fā)現(xiàn)木店每月出售某種商品的件數(shù)d是

17、一個(gè)隨機(jī) 變量，由以往的統(tǒng)計(jì)資料可知，它近似的服從區(qū)間0,上的均勻分布，設(shè)毎出 售這種商品一件，可獲利300元，如果不能出售，將造成積壓，則每件需付庫存 費(fèi)100元。問該商場月初購進(jìn)多少件該商甜才能使月平均收益最大。解設(shè)該商品月初購進(jìn)數(shù)量為，月收益為。則是隨機(jī)變量的函數(shù)隨機(jī)變量d的密度函數(shù)為e|j根據(jù)隨機(jī)變量函數(shù)的數(shù)學(xué)期望公式令，解得又故當(dāng)時(shí)，e(r)取得最大值。即該商場月初購進(jìn)9件該產(chǎn)品收 益最大。第三章概率與保險(xiǎn)3. 1概率與保險(xiǎn)保險(xiǎn)屬于經(jīng)濟(jì)范疇，是集合同類風(fēng)險(xiǎn)單位以分?jǐn)倱p失的一種經(jīng)濟(jì)制度。其手 段是集合大量同類風(fēng)險(xiǎn)單-位，其作用是損失的分?jǐn)偅淇诘氖茄a(bǔ)償風(fēng)險(xiǎn)事故造成 的損失以確保經(jīng)濟(jì)?；?/p>

18、的安定。保險(xiǎn)業(yè)越來越多的走進(jìn)人們的生活，如乘車，船 及飛機(jī)出行時(shí)，在車票屮含冇保險(xiǎn)，述冇人壽保險(xiǎn)，汽車保險(xiǎn)等等，殊不知保險(xiǎn) 是靠概率獲利的。例5已知一個(gè)危險(xiǎn)單位萬元以上的某項(xiàng)保險(xiǎn)發(fā)生事故的概率為p=l/100,保 險(xiǎn)公司開辦一年期萬元以上該保險(xiǎn)。參加者需要交保險(xiǎn)費(fèi)100元。若在-年內(nèi)該 項(xiàng)保險(xiǎn)發(fā)生，保險(xiǎn)公司賠償a(a>100)元。為使保險(xiǎn)公司收益的期望值不低于a 的百分z七，問最大的賠償值應(yīng)為多少？解 設(shè) 表示保險(xiǎn)公司在參保單位的收益，則二100和=100-且p ()保險(xiǎn)公司獲益的期望值為要使保險(xiǎn)公司收益的期望值不低于3的百分之七，即，解得即最大的賠償值為1250元例6在保險(xiǎn)公司里有25

19、00個(gè)同一年齡和同一社會(huì)階層的人參加了人壽保 險(xiǎn)，己知在一年里每個(gè)人死亡的概率為0. 002,毎個(gè)參加保險(xiǎn)的人在一月一日付 12元保險(xiǎn)費(fèi)，而在死廣時(shí)家屈可從保險(xiǎn)公司領(lǐng)取2000元，問(1)保險(xiǎn)公司虧 木的概率是多少？ (2)保險(xiǎn)公司獲利不少于10000元的概率是多少？設(shè)一年中死亡的人數(shù)為則(2500, 0. 002 )o在一年的一月一口，保 險(xiǎn)公司收入2500x12=30000元。若在一年內(nèi)死亡的人數(shù)為則保險(xiǎn)公司這一年 應(yīng)付出2000(元)(1)若20003000,即歹>15 (人)，則保險(xiǎn)公司虧本，于是，保險(xiǎn)公 司弓本的概率2500二p (>15)=工 c爲(wèi)(0.002)氣0.998嚴(yán)以k=16151-zk=0=0.000069(2500 x0.00