華中科技大學研究生矩陣論Matrix2-1

1、Jordan Canonical Form問題：問題：對線性空間中的線性變換對線性空間中的線性變換T，求一組基求一組基 1， 2 ， n 和矩陣和矩陣J ，使，使 T: 1， 2 ， n J 簡單性簡單性：矩陣：矩陣 J 盡可能簡單盡可能簡單 通用性通用性：矩陣：矩陣 J 的結構對任何變換可行的結構對任何變換可行思想：思想： 首選首選 J 為對角形為對角形 線性線性變換的對角化問題。變換的對角化問題。 建立建立 J 一般的結構一般的結構 Jordan標準形理論。標準形理論。 Jordan方法及其應用方法及其應用方法：方法： 矩陣的相似化簡問題矩陣的相似化簡問題 Jordan化方法化方法重點：重

2、點：背景：背景：求基求基 i，i=1n, 使得使得 T( 1 2 n) = ( 1 2 n)n21一、變換一、變換T的特征值與特征向量的特征值與特征向量1. 定義定義2.1 (eigenvalue and eigenvector) T( )= 2. 求解分析求解分析(p35 定理定理2.1) T( )= AX= X1. 1 2 n 線性無關線性無關2. L i是不變子空間是不變子空間: T i= i i A的特征值就是的特征值就是T的特征值的特征值 A的特征向量是的特征向量是T的特征向量的坐標的特征向量的坐標iiiinieT)(,()(21OIT)(OTI)(OXIA)(OXAI)(不同基下的

3、矩陣相似不同基下的矩陣相似(Th1.14)相似矩陣有相同的特征值，與基選擇無關，相似矩陣有相同的特征值，與基選擇無關，但特征向量一般不同但特征向量一般不同: 設設 AX = X，B=P-1AP，則有，則有PBP-1X= X，即即 B(P-1X)= (P-1X).T或或A的特征值與特征向量的求法：的特征值與特征向量的求法：(1) 選擇基及選擇基及T在此基下的矩陣在此基下的矩陣A；(2) 求求A的特征值：求的特征值：求特征多項式特征多項式的根的根 f ( ) = 0，其中，其中 f ( ) = | I-A |，設，設 1, 2 , n為全部特征值；為全部特征值；(3) 求求A關于關于 i的特征向量

4、：求方程的特征向量：求方程( iI-A)X=0的非零的非零解解X，它是，它是T的特征值對應的特征向量的坐標。的特征值對應的特征向量的坐標。例例1 求求Pnx上上微分變換微分變換d/dx的特征值與特征向量。的特征值與特征向量。00001000002000010nA(1) 自然基下的矩陣自然基下的矩陣(2) 由由0nAI知知021n(3) 解方程解方程0)0(XA得通解得通解, 032nxxxkx 1即即T)0 , , 0 , 1 (kX 于是，于是，A關于關于0的特征向量為的特征向量為, 0,)0 , , 0 , 1 (TkkX從而得從而得T=d/dx的特征向量為的特征向量為. 0,) , ,

5、1 (1kkXxxn-解解 分三步分三步：求變換在給定基下的矩陣：求變換在給定基下的矩陣A；求；求A的特的特征值；求征值；求A的特征向量。的特征向量。例例2 設設A、B分別為分別為mn和和nm階矩陣，證明階矩陣，證明AB和和BA有相同的有相同的非零特征值非零特征值。BABIBABInmnm0000BAIBIIBABInmnm00BAIABInmmn即即推出推出因此，因此， AB和和BA有相同的非零特征值。有相同的非零特征值。00BABBAB00證明證明 和和 相似，則相似，則特征向量的空間性質特征向量的空間性質1) 特征子空間：特征子空間：V = | T = = N(T- I)2) 特征子空間

6、的性質：特征子空間的性質：(p36，定理定理2.2) V i是不變子空間是不變子空間 i j，則，則 V i V j = 0 若若 i是是ki重特征值，則重特征值，則 1 dimV i ki 推論推論：1) 若若 i是單特征值，則是單特征值，則dimV i =12) V 1+V 2+V s= V 1 V 2V s 3) V 1 V 2V s Vn(F)定理定理2.3 T可以對角化可以對角化 T有有n個線性無關的特征向量。個線性無關的特征向量。 dimV i = n dimV i = ki , i=1, , s1212( )det() ()()skkksfIA定理定理2.4 T可以對角化可以對角

7、化 T可以對角化可以對角化：存在一組基，使得：存在一組基，使得T在此基下的矩在此基下的矩陣是對角陣。陣是對角陣。這等價于這等價于T的變換矩陣可以對角化的變換矩陣可以對角化（因（因不同基下的矩陣相似不同基下的矩陣相似）。）。1siiknV 1 V 2V s =Vn(F)例題例題 已知已知 1， 2， 3 是線性空間是線性空間V3(F)的基，的基，T是是V3上如下定義的線性變換，上如下定義的線性變換， T( 1) = 1 T( 2) = 2 2 T( 3) = 1 + t 2 + 2 3討論：討論：t 為何值，為何值，T 有對角矩陣表示有對角矩陣表示例題例題 設設 ，求，求R3上正交投影上正交投影

8、P(x) = x- (x, u) u 的特征值和特征向量。的特征值和特征向量。01121u例例3 n1時，時，Pnx上上微分變換微分變換d/dx沒有對角矩陣表示。沒有對角矩陣表示。例例4 冪等矩陣和乘方矩陣的冪等矩陣和乘方矩陣的對角表示特性對角表示特性。目標：目標：發(fā)展一個所有方陣都能與之相似的矩發(fā)展一個所有方陣都能與之相似的矩陣結構陣結構 - Jordan矩陣。矩陣。一、一、 Jordan 矩陣矩陣1.Jordan 塊塊(p40，定義定義2.3) 1.形式形式：2.確定因素：確定因素：3.Jordan 塊矩陣的例子：塊矩陣的例子：111)(J2012201140004001400010001

9、0例題例題1 下列矩陣哪些是下列矩陣哪些是Jordan 21) 形式形式: 由由Jordan塊構成塊構成2) Jordan矩陣矩陣舉例舉例3) 特點特點 元素的結構元素的結構 Jordan矩陣是上三角矩陣矩陣是上三角矩陣 對角矩陣是對角矩陣是Jordan 矩陣矩陣)()()(2211mmJJJ2 Jordan 矩陣矩陣3 Jordan 標準形標準形定理定理2.5 (存在定理存在定理) 在復數(shù)域上，每個方陣在復數(shù)域上，每個方陣A都相似于都相似于一個一個Jordan陣陣JA。 含義：含義：Jordan 矩陣可以作為相似標準形。矩陣可以作為相似標準形。 惟一性：惟一性：Jordan 子塊的集合惟一。

10、子塊的集合惟一。 A相似于相似于B JA 相似于相似于JB目標：目標：求可逆矩陣求可逆矩陣P和和Jordan矩陣矩陣JA ，使，使AP=PJA分析方法：分析方法： 在在定理定理 2.5 的基礎上逆向分析矩陣的基礎上逆向分析矩陣JA和和P的構成。的構成。求法與步驟：求法與步驟：skskkAIf)()()()(2121矩陣矩陣A和和JA的特征值相等的特征值相等)()()(2211ssAJJJJ)(iiiiJPAPsiJJJdiagJiitiiiiiii , , 2 , 1 ),( , ),( ),()(21為為ki階階Jordan陣。陣。iiijtjJ , , 2 , 1 ),(為為nij階階Jo

11、rdan塊。塊。Jordan鏈條鏈條Pij = ，y2，ynj ，確定，確定Pij及其及其列數(shù)，即列數(shù)，即Jordan塊塊Jij的階數(shù)的階數(shù)nj1)()()(0)(232jjnniiiiyyIAyyIAyIAIA特征向量特征向量廣義特征向量廣義特征向量再細分矩陣再細分矩陣Pi 和和 Ji，在，在Jordan塊上，有塊上，有iiijijijtjJPAP, 2 , 1),(Jordan標準型的計算步驟（標準型的計算步驟（Jordan化方法）：化方法）：求求A的特征值，由特征值的特征值，由特征值 i 的的代數(shù)重數(shù)代數(shù)重數(shù)ki確定主對角確定主對角線元素是的線元素是的 i 的的 Jordan 矩陣矩陣J

12、( i) 的的階數(shù)階數(shù)；解方程解方程(A iI)X = 0，求，求A關于關于 i的線性無關特征向的線性無關特征向量（量（解空間的基解空間的基），由特征值），由特征值 i 對應的線性無關的對應的線性無關的特特征向量的個數(shù)征向量的個數(shù)ti （即（即幾何重數(shù)幾何重數(shù)dimV i ）確定）確定 J( i) 中中Jordan 塊的塊的個數(shù)個數(shù)；由特征向量求得的由特征向量求得的Jordan 鏈條的長度確定鏈條的長度確定Jordan塊塊的的階數(shù)階數(shù)；鏈條中的向量合起來構成可逆矩陣鏈條中的向量合起來構成可逆矩陣P，Jordan塊構塊構成成JA 。例題例題1, 2 (p44，例題例題5；p45，例題例題6) 給

13、定給定A，求可逆，求可逆陣陣P和和JA使使 P-1AP = JA。例題例題3 將矩陣將矩陣A化為化為Jordan 矩陣。矩陣。0100120000110043A解解 1. 得四重根得四重根1000110000100011AJ, 0) 1(4AI. 1 2. 解方程解方程 得通解得通解, 0)(XAI.) 1 , 1, 0 , 0()0 , 0 , 1 , 2(21TTllX1000110001100001 or 知有兩個知有兩個Jordan塊！塊！2)(4 AIrt;)0 , 0 , 0 , 1()0 , 0 , 1 , 2(11TT).,(,)0 , 1, 0 , 0() 1 , 1, 0

14、, 0(221122PTT (可推知可推知JA)！例題例題4 (p46，例題例題7) 設設P3x上線性變換上線性變換T在自在自然基下的矩陣為然基下的矩陣為A，求，求P3x的基使得的基使得T在此基在此基下的矩陣為下的矩陣為Jordan矩陣。其中矩陣。其中.211212112A解解 分析：因分析：因P-1AP=JA, 故故由由Th1.14知，知，P為自然基到待求基的過渡矩為自然基到待求基的過渡矩陣。求得陣。求得P，便可得到所求！，便可得到所求！2)(3 ; 0) 1(3AIrtAI.100110001AJ的通解：的通解：0)(XAI.) 1 , 0 , 1 ()0 , 1 , 1 (21TTllX

15、此例，分別以兩個特解出發(fā)均無解！此例，分別以兩個特解出發(fā)均無解！故而需以通解代入，再求得一個廣義特征值。故而需以通解代入，再求得一個廣義特征值。例題例題5(p47，例題例題8) 設設A為階方陣，證明矩陣為階方陣，證明矩陣A和和AT 相似。相似。證明思想：證明思想： 證明證明A和和AT 相似相似 證明證明 Jordan 矩陣矩陣JA和和JAT相似，相似， 證明證明 JA和和JAT的的Jordan 塊塊J和和JT相似。相似。證明方法：證明方法： 取逆向（反）單位矩陣取逆向（反）單位矩陣S，證明：證明：S-1=S，SJS=JT （backward identity）111S2.3 最小多項式最小多項

16、式 (minimal polynomials) 討論討論 n 階階矩陣多項式矩陣多項式的相關問題：的相關問題： 矩陣多項式（重點是矩陣多項式（重點是計算計算） 矩陣的化零多項式（矩陣的化零多項式（Cayley 定理）定理） 最小多項式最小多項式 Jordan標準形的應用（標準形的應用（簡化計算簡化計算） 相似不變性相似不變性 Jordan化的方法化的方法一、矩陣多項式一、矩陣多項式1. 定義定義0111)(aaaagmmmmIaAaAaAaAgmmmm0111)(kAAAA21)()()()(21kAgAgAgAg性質性質（定理（定理2.6）AX = 0 X g(A)X = g( 0 )XP

17、-1 AP = B P -1 g(A)P = g(B)3 矩陣多項式矩陣多項式 g(A) 的計算的計算rrJ111)( )()(! 2)()()()()!1()(! 2)()()()() 1(ggggggrggggJgrmrg(J) 的結構特點：的結構特點： 由第一行的元素生成由第一行的元素生成1 2211) () () ( PJJJPAnnkk1 21)( )( )( ) ( PJgJgJgPAgnnkJordan塊塊3 矩陣多項式矩陣多項式 g(A) 的計算的計算rrrrUIJ111)(mkkkJaJg0)(kiiikikkrrkUCUIJ0)( mkkiiikikkUCa00mimiki

18、ikikkUCa0)(mimikiikkUikkai0)!(!(!1)!( !ikikCikmimikikkiiUaddi0)(!1miiiUgi0)()(!13 矩陣多項式矩陣多項式 g(A) 的計算的計算mkkkJaJg0)(miiiUgi0)()(!1rriiU1001010000100 )()(! 2)()()()()!1()(! 2)()()()() 1(ggggggrggggJgr例題例題1 設設對對P44，例例5中的矩陣中的矩陣A，計算計算g(A)。解解154)(23g12121211367233PPA111523151)2()2()2()1 ()(PPPggggPAg代入代入P

19、可得所求?？傻盟蟆６?、矩陣的化零多項式二、矩陣的化零多項式 (Annihilating polynomials of Matrices)問題：問題：設設A Fnn ，A 0，問是否存在非零多項式問是否存在非零多項式g( )，使得使得 g(A) = 0 ？1.化零多項式化零多項式（P.52） 如果如果 g(A) = 0，則稱則稱g( )為矩陣為矩陣A的的化零多項式?；愣囗検健?要點：要點：若若A有化零多項式，則有無窮多化零多項式；有化零多項式，則有無窮多化零多項式；g(A) = 0 的決定因素和存在性問題。的決定因素和存在性問題。 Cayley-Hamilton 定理定理（P.52， 定理定

20、理 2.7）： 設設 A Fnn，f ( ) = det( IA)，則則 f (A) = 0。證明：證明：Jordan化方法推知，對任意化方法推知，對任意Jordan塊均有塊均有 f(Ji) = 0，從而有，從而有 f(A) = 0。二、矩陣的化零多項式二、矩陣的化零多項式 (Annihilating polynomials of Matrices)Cayley 定理的應用舉例：定理的應用舉例：使使Ak ( k n)降階至不超過降階至不超過n-1次的多項式次的多項式(除除法余項法余項)。由由 f (A) = 0, 知知A的逆矩陣可以用多項式表示。的逆矩陣可以用多項式表示。對線性變換對線性變換T

21、，f (T) = 0，即即 f (T) 為零變換。為零變換。g( ) = q( )f( )+r( )0)(0111IaAaAaAAfnnn)(0111IaAaAaAnnn0)(11221101IaAaAaAaAnnnIaIaAaAAannn012110)(0三、最小多項式三、最小多項式1 定義定義(P.54，定義定義2.5) mA( ) 是最小多項式是最小多項式mA(A) = 0 mA( ) 在化零多項式中次數(shù)最低在化零多項式中次數(shù)最低 mA( ) 最高次項系數(shù)是最高次項系數(shù)是1 mA( ) 整除任何化零多項式整除任何化零多項式mA( )的結構：的結構： 設設 f ( ) = IA =srsr

22、r)()()(2121定理定理2.8 mA( ) = ststt)()()(2121iirt 1定理定理2.9 mA( ) = 是是 i對應的對應的Jordan塊的塊的指數(shù)指數(shù)(最高階數(shù)最高階數(shù))。snsnn)()()(2121inf ( )與與mA( )譜相同譜相同 3 線性變換有對角矩陣表示的條件線性變換有對角矩陣表示的條件討論線性變換的最小多項式討論線性變換的最小多項式 定理定理2.10：線性變換線性變換T可以對角化的充要條件可以對角化的充要條件是是T的最小多項式是的最小多項式是一次因子的乘積一次因子的乘積。 推論：推論：若若A有一個化零多項式由一次因子構有一個化零多項式由一次因子構成，

23、則成，則A可對角化?？蓪腔?。例題例題1 設設A R44 ，mA( ) =2)2)(1(求矩陣求矩陣A的所有可能的的所有可能的Jordan矩陣。矩陣。例題例題2 設設是矩陣是矩陣A的化零多項式，證明：的化零多項式，證明：A相似于對角矩陣。相似于對角矩陣。)4)(2)(1()(g2 , 121nn因因mA( )整除整除g( )，故，故mA( )的因子均為一次！得證。的因子均為一次！得證。不可對角化！不可對角化！ 3 線性變換有對角矩陣表示的條件線性變換有對角矩陣表示的條件討論線性變換的最小多項式討論線性變換的最小多項式例題例題3 （P.56，例例10）求求mA( )。 解解2)2)(1()(AI

24、f2)2)(1( )2)(1()(ormT2)2)(1()( 0)2)(TmIAIA例題例題4 （P.56，例例11）求求mA( )。 解解2)2)(1)(1(AI134)2(IArn23 n2)2)(1)(1( )(TmA不可對角化！不可對角化！A不可對角化！不可對角化！121nn矩陣相似問題中的一些結果矩陣相似問題中的一些結果矩陣具有：矩陣具有：相同的特征值和特征多項式；相同的特征值和特征多項式；相同的化零多項式和最小多項式相同的化零多項式和最小多項式相同的行列式、跡和秩；相同的行列式、跡和秩；.)( ;2121nnAtrA. ,1BAPPRBAnn).()(1BgPAgP)2( )()(1nmggaAIniii的階niinnnnnii1111) 1()()(022111)(aaaannnnnn矩陣相似問題中的一些結果矩陣相似問題中的一些結果冪等矩陣冪等矩陣、冪零矩陣和乘方矩陣冪零矩陣和乘方矩陣冪等矩陣（冪等矩陣（idempotent）：）：A2 = A冪零矩陣（冪零矩陣（nilpotent）：）