不等式典型題目歸納

1、教學(xué)內(nèi)容:第三章：不等式1、ab 0= a b ； ab=0= a=b ； ab ：0= a . b.比較兩個數(shù)的大小可以用相減法；相除法；平方法；開方法；倒數(shù)法等等。2、不等式的性質(zhì)： a . b：= b . a : a b, b c= a c : a - b= a c b c ； a . b, c 0二 ac be， a . b, c ：. 0= ac ： be ； ® a . b, c . d 二 a c . b d ； a b . 0,c . d . 0= ac . bd : a b 0二 an bn nW ,n 1 ； a>b:>0n 皓> 暢(nN,n&

2、gt;1 ).3、 一元二次不等式：只含有一個未知數(shù)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)是2的不等式.4、二次函數(shù)的圖象、一元二次方程的根、一元二次不等式的解集間的關(guān)系:判別式厶=b2 -4ac二次函數(shù)y = ax2 bx ca - 0的圖象2一元二次方程axbx c = 0a - 0的根2ax bx c 0一元二次不a - 0等式的解集ax2 bx c： 0a 0有兩個相異實數(shù)根有兩個相等實數(shù)根-b 土伍x1,2 :'2aX2x X £ X1或x> x2 bXi = X2 =2a沒有實數(shù)根:X為 x x2 /2a(1)-1x和y的取值構(gòu)成有序數(shù)對x, y ,若三0，則"n

3、 C 0表示直線.-X BY 0上方的區(qū)域；.-.xC . 0表示直線x0下方的區(qū)域.若巳:0,則.-.x y C 0表示直線 二x0 C二0下方的區(qū)域；.-.x ：y C . 0表示直線x <iy0上方的區(qū)域.10、線性約束條件：由 x , y的不等式（或方程）組成的不等式組，是x , y的線性約束條件.目標(biāo)函數(shù)：欲達到最大值或最小值所涉及的變量x , y的解析式.線性目標(biāo)函數(shù)：目標(biāo)函數(shù)為 x , y的一次解析式.線性規(guī)劃問題：求線性目標(biāo)函數(shù)在線性約束條件下的最大值或最小值問題.可行解：滿足線性約束條件的解x,y .可行域：所有可行解組成的集合. 最優(yōu)解：使目標(biāo)函數(shù)取得最大值或最小值的

4、可行解.b的幾何11、設(shè)a、b是兩個正數(shù)，則 -b稱為正數(shù)a、b的算術(shù)平均數(shù)，.ab稱為正數(shù)a2平均數(shù).12、 均值不等式定理：若a 0 , b 0，則a b _ 2； ab，即-_ - . ab .213、常用的基本不等式： a2 b2 _2ab a,b R ；ab -a2 b2a,b R ;2a 0,b 0 :譏14、極值定理：設(shè) x、y都為正數(shù)，則有a2 b2a b2a,b R .S2若x y = s （和為定值），則當(dāng)x = y時，積xy取得最大值一.4 _若xy = p （積為定值），則當(dāng)x = y時，和x y取得最小值 2 p .一、一元二次不等式解法1、直接按步驟解2-3x x

5、-20注意x前面系數(shù)為正2、分式不等式轉(zhuǎn)化為整式不等式，右邊不為0要移項通分,還要注意，最后取值分母不為 02x13x 1-0(2)2 x3、高次不等式用穿根法：奇穿偶不穿（奇次方穿過x軸，偶次方不穿過）解不等式： X 2X<0x +5x6二、解含參不等式：討論根的大小，參數(shù)為 0等情況1、因式分解類討論解不等式：x2 -(a a2)x a30(a R)2、直接討論解不等式：(x -2)(ax -2) 0(a R)3、分式含參不等式：先轉(zhuǎn)化為整式不等式，再討論解不等式：心)-l(a 0)x -24、含參絕對值不等式：主要是零點分段題目解不等式：）x_3-x+1£1（ 2）（1）

6、x4+|3-x<a 的解集為 0，a 的取值范圍（2）使得|x+1-2-xZa恒成立，a的取值范圍三、一元二次不等式與韋達定理1、若一元二次不等式mx2+8mx+28<0,的解集為x -7<x<-1，求實數(shù)m的值2、(1)已知不等式 ax2+bx+c>0的解集為xa <x<B,( B >a >0),求cx2+bx+a<0的解集解：因為不等式ax24-bx+c>0 (aO)的鶴為口<：梵<“其中p>a>0.所以有口4滬亠一，aP=1且a<0 > c<0 »qa設(shè)方程cx?+b&#

7、187;+a=O的兩根芮z 2且-d!liL+n=b a_a*P_11 r=_r=_=irpa - I 1 1Jnn=<? =-0=-'0 -c ap ct p a以可得“=匕 a P又因c <0 p不等Scx':+bx+a<0的解k >或工 P(2)已知不等式ax2+bx+c > 0的x的取值范圍是xv 1或x > 3,則滿足不等式 cx2+bx+a > 0的x的取值范圍是斛：丫不等式ax;+bx4-c >0的x的取值范圉是x<l或x>3，、不等式axz+bx+c >0可變形為不等式(x- 1 ) (x-3 )

8、 >Ch即”-4孟"不等式K：+bx+a>0可妄形為3k2-4z + 1 >0 * 即(3x- 1 ) ( z-1 > >0 * 解得idg或k >1 *二蔚足不等式cx+bs+a>0的x的取值范龜為飢弋舟或s>l -針對練習(xí)：若不等式ax2-bx+c > 0的解集是x|-2 v x v 3，求不等式cx2+bx+a > 0的解集四、恒成立問題1、當(dāng)a為何值時候，不等式(a2-1)x2 -(a-1)x-1 ： 0的解集為R變式練習(xí)：x2+x + 1y- 2士 0恒成立，求y的取值氾圍X +12、x2-8x+202mx +2(

9、m+1)+9m+4>0對任意實數(shù)x恒成立，求m的取值范圍3、二次函數(shù)恒成立已知函數(shù)y=x2+ax+3 當(dāng)xR,y_a恒成立，求a范圍當(dāng)x -2,2 , y_a恒成立，求a范圍4、分離變量法求恒成立問題：不等式mx2-2x+m-2<0 （1）若對x R,恒成立求m范圍,（2）對m込2切m都成立，求x范圍均值不等式a2 b2 二ab 二 口2I 2丿< a b a,b R+只要注意和為定值用積，積為定值用和，注意條件：一正、二定、三相等（一定驗算相等取值） 首先遇到均值不等式題目，把上面公式列在草稿紙上1、積為定值若 y =x(9 -3x)(0 : x < 3)求y的最值a

10、+b2、有根號的和為定值一般用到公式2(1)、已知 a+b=1 (a,bR+)，求 J0+4+Jb+4的最值(2)已知 a+b=1 ( a,b R+),求2a+1+、2b+1 的最值3、利用1,或變?yōu)?(1)已知 a+b+c=1 (a,b,c R+)，求丄+丄+丄_9a b c(2)已知 a+b+c=1 (a,b,c R+)，求+ + a+b b+c c+a1 1(3)已知x+y, + 其中一個求另一個類型題目x y+14已知x,y R ,且 + =1，求x+y最小值x yy 4x5114 x+y x y+ _) =x y 1010、1414變式：（1） x+y=10，求+一，二 一+ 二x

11、yx y(2)x+y =x(x+y) 1= (x+y)14 十+=10，求 x+y =x y14y 4x、+(5+ +)y =x y10104、構(gòu)造完全平方類型大于等于2 2a b_ 2ab a,b R ,2 2 2a +b +c >ab+bc+ca(2) a,b,c R ,求證 bc +-ac + -a _ a+b+c a b c5、均值定理邊形222+ 22 aa b _ 2ab a,b R = a - 2ab-b : 一 2a-b b2 2 2 2同理可得：-2a-c, _2c-b, _2b-a,b _ 2b-ccbac2 2 2(1) 設(shè) a,b,c R ,求證+ + 一 a+b

12、+c a b c1(2013 新課標(biāo) 1)設(shè) a,b,c R，且 a+b+c=1。證明ab+bc+ca <； (n)2 2 c a + - a b+ -16、分離變量法、換元法與不等式求最值(1) x>-1,求y二x 3x+1的最小值 x+1（2）求y=竺的最大值2x+57、雙勾函數(shù)求函數(shù)最值（1）求y=_x2：5的最小值Jx2+4線性規(guī)劃線性規(guī)劃（1）求目標(biāo)函數(shù)最大最小值：方法直接聯(lián)立成方程組解方程帶入，但是一定注意考到區(qū)域里面的整數(shù)解時候，要有不等號里有沒有等號即可不可以取邊 界1、求線性目標(biāo)函數(shù)的取值范圍x乞2例1、 若x、y滿足約束條件 y二2，則z=x+2y 的取值范圍是

13、 （）x y _22、求非線性目標(biāo)函數(shù)的最值2x y - 2 _0例5、已知x、y滿足以下約束條件 x -2y 4 _ 0 ，貝U z=x 2+y2的最大值和最小3x - y -'3 一 0值分別是（)A、13， 1B、 13 ， 2C、13，-D、用，55解：如圖，作出可行域,x 2+y2是點（x， y）到原點的距離的平方，故最大值為點A （ 2,3 ）到原點的距離的平方，即 |A0| 2 =13，最小值為原點到直線2x + y 2=0的距離的平、4方，即為一，選C53x -y -3 = O-2= 03、比值問題轉(zhuǎn)化為兩個點組成直線斜率問題當(dāng)目標(biāo)函數(shù)形如z=- a時，可把z看作是動點

14、P(x,y)與定點Q(b,a)連線的斜率，這樣目x b標(biāo)函數(shù)的最值就轉(zhuǎn)化為 PQ連線斜率的最值。"x y+ 2 w o,v例 已知變量x, y滿足約束條件x> 1,則X的取值范圍是()、x+ y 7w 0,(B) ( m,| U 6 ,+R)9(A) 5, 6(C)(汽 3 U 6 ,+R)( D) 3 , 6解析y是可行域內(nèi)的點 M( x, y)與原點Ox5 9y(0, 0)連線的斜率，當(dāng)直線 OM過點(-,2)時，x取得2 2x最小值|;當(dāng)直線OM過點(1, 6)時，*取得最大值6.答案A5、應(yīng)用題課后作業(yè)：2 2.2 cab1、設(shè) a,b,c R，且 a+b+c=1。證明

15、(1)+1a b c2、求證1 <2x2+x+1x2+1211 163、已知x,y R+,且一+ =4,求x+y最小值x y/ 一 I5.若0 v av 1,則不等式(x-a) (x-)>0的解集是() 一4、已知a+b=1 (a,bR+)，求 弋+三+卞+勺的最值2 25、解不等式 x +2x1-a0(a R)測試卷一、選擇題1. a,b是任意實數(shù)，且 a b，則下列結(jié)論正確的是()b1A. aab2 B.1 C. Ig(a-b) lgD. 3：3 山aa -b2. 若點A(x, y)在第一象限且在2x 3y =6上移動，則log3 x log3 y ()2 2A、最大值為1 B

16、、最小值為1 C、最大值為2 D、沒有最大、小值3. 已知集合 S=R, A 二X|X2-2x-3 乞 0, B 二t|t-2卜：2，那么集合 Cs(A_. B)等于A. x|0 ：x_3 B . R C . x|x 遼 0,或 x 3 D . x|x 1,或x _ 44下列各一元二次不等式中，解集為空集的是()2 2A . (x+3)(x 1)>0 B . (x+4)(x 1)<0 C. x - 2x+3<0 D . 2x - 3x- 2>08.不等式x 1的解集是（)x +2a(Q_2)U(0,B、（：，-3）U（-2,0）c(-3,0)D （-：，-3）U（

17、76;，：）A- (a,)aB.(-,a)a1 、D .c.(-8 a) U (-,+8 )ay沁6.設(shè)變量x、y滿足約束條件 x y _ 2 ,y _ 3x6a.2B. 3C. 47.設(shè)x,y為正數(shù),則(x+y)( x4+ y）的最小值為A.6B.9C.12(-m, -) U (a, +8)a則目標(biāo)函數(shù)z=2x y的最小值為（）D . 9( )D.15二、填空題9.不等式 竺 v 1的解集為x| x v 1或x > 2,那么a的值為.x-110已知關(guān)于x的不等式亙戸 CO的解集為M,若5更M ,則實數(shù)a的取值范圍是 .x -a1411.已知兩個正實數(shù)x、y滿足x+y=4,則使不等式+m恒成立的實數(shù)m的取值范圍是x y三、解答題12.設(shè)全集為-1,R,集合 A=x I log1 (3- X) -2,B= x I2(1 )求 Cr(A - B).13.設(shè) f(x)二 ax2 (b-8)x-a-ab,不等式 f(x) 0 的解集是(3, 2)(1)