專題09一元二次及其應(yīng)用(解析版)

1、xix1x22a專題09 一元二次方程及其應(yīng)用專題知識回顧1 .定義：等號兩邊都是整式，只含有一個未知數(shù)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)是 2的方程，叫做一元二次方程。2 .一元二次方程的一般形式：ax2+bx+c=0(aw 0)其中ax2是二次項，a是二次項系數(shù)；bx是一次項，b是次項系數(shù)；c是常數(shù)項。3 . 一元二次方程的根：使方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值就是這個一元二次方程的解，一元二次方程的解 也叫做一元二次方程的根。4 .一元二次方程的解法有直接開方法、配方法、公式法、因式分解法。(1)直接開方法。適用形式： x2=p、(x+n)2=p 4(mx+n)2=po(2)配方法。套用公式 a2+2a

2、b+b2=(a+b)2; a2-2ab+b2=(a-b)2,配方法解一元二次方程的一般步驟是：化簡把方程化為一般形式，并把二次項系數(shù)化為1;移項把常數(shù)項移項到等號的右邊；配方一一兩邊同時加上b2,把左邊配成x2+2bx+b2的形式，并寫成完全平方的形式；開方，即降次；解一次方程。(3)公式法。b b 4ac當(dāng)b2-4ac>0時，萬程ax2+bx+c=0的頭數(shù)根可與為：x 的形式，這個式子叫做一兀二次萬2a程ax2+bx+c=0的求根公式。這種解一元二次方程的方法叫做公式法。b2-4ac>0時，方程有兩個不相等的實數(shù)根。2b b 4ac-?-，？?4?=2a,2?b2-4ac=0時，

3、方程有兩個相等的實數(shù)根。bb2-4ac<0時，方程無實數(shù)根。定義：b2-4ac叫做一元二次方程 ax2+bx+c=0的根的判另1J式，通常用字母A表示，即&b2-4ac。(4)因式分解法。因式分解法就是利用因式分解的手段，求出方程的解的方法，這種方法簡單易行，是解一元二次方程最常用的方法。主要用提公因式法、平方差公式。5 .一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系bc如果方程ax bx c 0(a 0)的兩個實數(shù)根是 x1, x2，那么x1 x2 ， x1x2 。也就正說,aa對于任何一個有實數(shù)根的一元二次方程，兩根之和等于方程的一次項系數(shù)除以二次項系數(shù)所得的商的相反數(shù)；兩根之積等于常數(shù)項除以

4、二次項系數(shù)所得的商。6 .解有關(guān)一元二次方程的實際問題的一般步驟第1步：審題。認(rèn)真讀題，分析題中各個量之間的關(guān)系。第2步：設(shè)未知數(shù)。根據(jù)題意及各個量的關(guān)系設(shè)未知數(shù)。第3步：列方程。根據(jù)題中各個量的關(guān)系列出方程。第4步：解方程。根據(jù)方程的類型采用相應(yīng)的解法。第5步：檢驗。檢驗所求得的根是否滿足題意。第6步：答。專題典型題考法及解析【例題1】(2019安徽)解方程：(xT) 2=4.【答案】xi = 3 , x2= - 1.【解析】此題主要考查了直接開平方法，解這類問題要移項，把所含未知數(shù)的項移到等號的左邊，把常數(shù)項移項等號的右邊，化成x2=a (a>Q的形式，利用數(shù)的開方直接求解.(1)用

5、直接開方法求一元二次方程的解的類型有：x2=a(a>0；ax2=b(a, b 同號且 aw。；(x+a)2= b( b>0 ；a(x+b)2= c(a,c 同號且aw。.法則：要把方程化為左平方，右常數(shù)，先把系數(shù)化為1,再開平方取正負(fù)，分開求得方程解(2)用直接開方法求一元二次方程的解，要仔細(xì)觀察方程的特點.利用直接開平方法，方程兩邊直接開平方即可.兩邊直接開平方得：x- 1=±Zx - 1 = 2 或 x - 1= - 2,解得：x1 = 3, x2 = - 1 .【例題2】(2019山西)一元二次方程x2 4x 1 0配方后可化為()2222A. (x 2)3B.(x

6、 2)5 C.(x2)3D. (x 2)5【答案】D【解析】x2 4x1 0,( x2 4x4) 4 10,( x 2)25 ,故選 D?！纠}3】(2019年山東省威海市) 一元二次方程3x2=4-2x的解是.答案x1=T*i3, x2=JqH 33【解析】直接利用公式法解方程得出答案.3x2 = 4 - 2x3x2 +2x - 4= 0,貝U b2-4ac = 4-4X3X(-4) = 52>0,故、=今空6解行：x1 =, x2 =.33【例題4】(2019年江蘇省揚州市) 一元二次方程x (x-2) = x- 2的根是.【答案】1或2 .【解析】移項后分解因式，即可得出兩個一元一

7、次方程，求出方程的解即可.x (x - 2) = x- 2,x (x-2) - ( x-2) =0,(x-2) (x- 1) =0,x2=0, x 1 = 0,x1 = 2, x2= 1【例題5】(2019北京市) 關(guān)于x的方程x2 2x 2m 1 0有實數(shù)根，且m為正整數(shù)，求 m的值及此時方 程的根.【答案】m=1 ,此方程的根為x1 x2 1【解析】先由原一元二次方程有實數(shù)根得判別式b2 4ac 0進(jìn)而求出m的范圍；結(jié)合m的值為正整數(shù)，求出m的值，進(jìn)而得到一元二次方程求解即可.關(guān)于x的方程x2 2x 2m 1 0有實數(shù)根，.22b 4ac 24 1 2m 14 8m 4 8 8mom 1又

8、二 m為正整數(shù)，m=1,此時方程為x2 2x 1 0解得根為為X2 1 ,m=1 ,此方程的根為X1 X2 1【例題6】（2019四川瀘州）已知X1,x2是一元二次方程x2- x- 4=0的兩實根，則（X1+4）（x2+4）的值是.【答案】16【解析】考查一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系' X1, X2是一元二次方程 x2-x- 4=0的兩實根，X1 + X2= 1 , X1X2= 4,（ X1+4）（X2+4）=X1X2+4X1+4X2+16=X1X2+4（X1+X2）+16=-4+4X 1 + 16=-4+4+16=16【例題7】（2019安徽）據(jù)國家統(tǒng)計局?jǐn)?shù)據(jù)，2018年全年國內(nèi)生產(chǎn)總

9、值為90.3萬億，比2017年增長6.6% .假設(shè)國內(nèi)生產(chǎn)總值的年增長率保持不變，則國內(nèi)生產(chǎn)總值首次突破100萬億的年份是（）A. 2019 年B. 2020 年C. 2021 年D. 2022 年【答案】B.【解析】根據(jù)題意分別求出2019年全年國內(nèi)生產(chǎn)總值、2020年全年國內(nèi)生產(chǎn)總值，得到答案.2019年全年國內(nèi)生產(chǎn)總值為：90.3 X（1+6.6%） = 96.2598 （萬億），2020年全年國內(nèi)生產(chǎn)總值為： 96.2598 X 1+6.6%） = 102.6（萬億），國內(nèi)生產(chǎn)總值首次突破100萬億的年份是2020年。專題典型訓(xùn)練題一、選擇題1 .（ 2019甘肅省蘭州市）x= 1是關(guān)

10、于的一元二次方程 x2+ax+2b=0的解，則2a+4b=（）A. 2B. 3C. 4D. 6【答案】A【解析】將x=1代入方程x2+ax+2b=0,得a+2b=- 1,2a+4b=2 （a+2b） =2X（ 1） =- 2.2 . （2019?胡南懷化）一元二次方程 x2+2x+1 = 0的解是（）A. xi=1, x2= - 1 B. xi = x2=1C. xi=x2= 1 D. xi= 1, x2= 2【答案】C【解析】本題主要考查解一元二次方程的能力，熟練掌握解一元二次方程的幾種常用方法：直接開平方法、因式分解法、公式法、配方法，結(jié)合方程的特點選擇合適、簡便的方法是解題的關(guān)鍵利用完全

11、平方公式變形，從而得出方程的解x2+2x+1 = 0,（ x+1 ） 2=0,則 x+1 = 0,解得 x1 = x2 = - 1 ,3 .（ 2019?浙江金華）用配方法解方程x2-6x-8=0 時，配方結(jié)果正確的是（）A. （x-3）2=17B. （x-3）2=14C. （ x-6）2=44D. （x-3） 2=1【答案】A【解析】配方法解一元二次方程.x2-6x-8=0,x2-6x+9=8+9 , . （x-3） 2=17.4 . （2019湖北咸寧）若關(guān)于x的一元二次方程x2-2x+m=0有實數(shù)根，則實數(shù) m的取值范圍是（）A . m< 1B. m< 1C. m> 1

12、D . m>l【答案】【解析】,關(guān)于 x的一元二次方程 x2 - 2x+m= 0有實數(shù)根，= （- 2） 2- 4m>0,解得：m< 1.5 .（2019內(nèi)蒙古包頭市）已知等腰三角形的三邊長分別為a,b,4,且a,b是關(guān)于x的一元二次方程x2-12x+m+2=0的兩根，則m 的值是（）A. 34B.30C.30 或 34D.30 或 36【答案】A.【解析】分兩種情況討論： 若4為等腰三角形底邊長，則 a, b是兩腰，方程x2-i2x+m+2=0有兩個相等實根， . =（-12）2-4 X 1 刈+2）=136-4m=0,m=34.此時方程為 x2-l2x+36=0 ,解得x

13、i=x2=6.，三邊為6, 6, 4,滿足三邊關(guān)系，符合題意 . 若4為等腰三角形腰長，則 a, b中有一條邊也為4,方程 x2-l2x+m+2=0 有一根為 4. - 42-12 X 4m+2=0,解得，m=30.此時方程為 x2-l2x+32=0 ,解得 xi=4, x2=8.，三邊為4, 4, 8,不滿足三邊關(guān)系，故舍去 .綜上，m的值為34.6. （2019?山東省聊城市）若關(guān)于x的一元二次方程（k-2）x2-2kx+k=6有實數(shù)根，則k的取值范圍為（）A. k>0 B. k>0且 kw2 C. k3 D. k3且 k222【答案】D.【解析】考點是一元二次方程的定義以及根

14、的判別式。根據(jù)二次項系數(shù)非零結(jié)合根的判別式4>0,即可得出關(guān)于k的一元一次不等式組，解之即可得出 k的取值范圍.（k-2） x2 - 2kx+k- 6= 0,;關(guān)于x的一元二次方程（k - 2） x2- 2kx+k= 6有實數(shù)根，k-2=O二"2k ）（k-Z） （k-6）解得：k修且吐27. （2019湖北仙桃）若方程x2-2x-4=0的兩個實數(shù)根為 “&則 入伊的值為（）A. 12B. 10C. 4D. - 4【解析】:方程 x2-2x-4=0的兩個實數(shù)根為 a, 3, a + 爐 2 , a 住一4,- 02+伊=（a+6 22a 爐 4+8=128. （2019

15、利蘇泰州） 方程2x2+6x 1 = 0的兩根為xi、X2則xi+x2等于（）A . - 6B. 6C. - 3D. 3【答案】C.【解析】根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系即可求出答案.由于> 0,xi + x2= - 3 ,9. （2019山東淄博） 若xi+x2=3, xi，x22=5,則以x1，x2為根的一兀二次方程是（）A . x2- 3x+2 = 0B. x2+3x- 2=0 C, x2+3x+2=0D, x2- 3x- 2=0【答案】A.【解析】本題考查了根與系數(shù)的關(guān)系：若x1, x2是一元二次方程ax2+bx+c= 0（awo的兩根時，x1+x2=a x1x2=-1.利用完全平方公式計算

16、出 x1x2=2,然后根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系寫出以 x1, x2為根的一元二次方程. - x12+x22= 5,-1 （ x+x2）2 - 2x1x2= 5,而 x1+x2= 3 ,1- 9 - 2x1x2= 5,x1x2= 2,，以x1, x2為根的一元二次方程為 x2-3x+2=0.10. （2019曠東）已知x1.x2是一元二次方程了 x2-2x=0的兩個實數(shù)根，下列結(jié)論錯誤的是（）A. x1 以B. x12 2x1=0C. x1+x2=2D. x1 x2=2【答案】D【解析】因式分解 x （x-2） =0,解得兩個根分別為 0和2,代入選項排除法.11. （2019?廣西貴港）若 3是關(guān)于

17、x的一元二次方程 x2-2x+m= 0的兩實根，且= 一§， 則m等于（）A . - 2 B. - 3C. 2 D. 3【答案】B.【解析】利用一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系得到葉片2, “伊m,再化簡_L+1_ =,代入可求解;ab a Pa, 3是關(guān)于x的一元二次方程 x2 - 2x+m= 0的兩實根,12. （2019碰江寧波）能說明命題 關(guān)于x的方程x2-4x+m=0 一定有實數(shù)根”是假命題的反例為（）A. m= - 1 B. m= 0C. m= 4 D. m= 5【答案】D.【解析】利用m= 5使方程x2 - 4x+m= 0沒有實數(shù)解，從而可把m= 5作為說明命題 關(guān)于x的方程

18、x2- 4x+m =0一定有實數(shù)根”是假命題的反例.當(dāng)m=5時，方程變形為 x2-4x+m=5=0,因為= （ 4） 2 4X5< 0,所以方程沒有實數(shù)解，所以m= 5可作為說明命題 關(guān)于x的方程x2-4x+m = 0一定有實數(shù)根”是假命題的反例.13. （2019?黑龍江哈爾濱） 某商品經(jīng)過連續(xù)兩次降價，售價由原來的每件25元降到每件16元，則平均每次降價的百分率為（）A . 20% B. 40% C. 18%D. 36%【答案】A.【解析】本題考查了一元二次方程實際應(yīng)用問題關(guān)于增長率的類型問題，按照公式a （1-x） 2=b對照參數(shù)位置代入值即可，公式的記憶與運用是本題的解題關(guān)鍵.設(shè)

19、降價的百分率為 x根據(jù)題意可列方程為 25 （1-x） 2=16解方程得工1=/，（舍），每次降價得百分率為 20%14. （2019?胡南衡陽）國家實施”精準(zhǔn)扶貧 政策以來，很多貧困人口走向了致富的道路.某地區(qū)2016年底有貧困人口 9萬人，通過社會各界的努力，2018年底貧困人口減少至 1萬人.設(shè)2016年底至2018年底該地區(qū)貧困人口的年平均下降率為x,根據(jù)題意列方程得（）A . 9 (1 - 2x) = 1【答案】B.B. 9 ( 1 x) 2= 1 C. 9 (1+2x) = 1 D . 9 (1+x) 2= 1【解析】等量關(guān)系為：2016年貧困人口 X(1-下降率)2 = 2018

20、年貧困人口，把相關(guān)數(shù)值代入計算即可.設(shè)這兩年全省貧困人口的年平均下降率為x,根據(jù)題意得：二、填空題15. (2019湖北十堰)對于實數(shù)a, b,定義運算 ”如下：aOb= ( a+b) 2- (a-b) 2.若(m+2) (m3) = 24,則 m=.【答案】-3或4【解析】根據(jù)題意得(m+2) + (m-3) 2 - (m+2) - ( m - 3) 2=24,(2m- 1) 2- 49=0,(2m- 1+7) (2m- 1 - 7) =0,2m-1+7 = 0 或 2m-1-7=0,所以 m1 = - 3, m2= 4.16. (2019吉林長春)一元二次方程x2-3x+1=0根的判別式的

21、值為 .【答案】5.【解析】: a=1, b=-3, c=1, =b2-4ac=(-3)2-4X 1 x 1=517. (2019吉林省)若關(guān)于x的一元二次方程(x+3)2=c有實數(shù)*則c的值可以為 (寫出一個即可)【答案】答案不唯一，例如 5, (c>0時方程都有實數(shù)根)【解析】O 0時方程都有實數(shù)根18. (2019年湖北省荊門市)已知x1，x2是關(guān)于x的方程x2+ (3k+1) x+2k2+1 = 0的兩個不相等實數(shù)根，且滿足(x1 1) (x2 1) = 8k2,則 k 的值為.【答案】1【解析】根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系結(jié)合(x1-1) (x2-1) = 8k2,可得出關(guān)于k的一元二次

22、方程，解之即可得出k的值，根據(jù)方程的系數(shù)結(jié)合根的判別式>0,可得出關(guān)于k的一元二次不等式，解之即可得出 k的取值范圍，進(jìn)而即可確定 k值，此題得解. x1, x2是關(guān)于x的方程x2+ (3k+1) x+2k2+1 = 0的兩個實數(shù)根，1. x1+x2= - (3k+1), x1x2=2k2+1.:(x1 一1) (x21) = 8k2,即 x1x2 ( x1+x2)+1 = 8k2, -2k2+1+3k+1+1 = 8k2,整理，得：2k2 k- 1=0,解得：ki = - - k2= 1. 2.關(guān)于x的方程x2+ (3k+1) x+2k2+1 =0的兩個不相等實數(shù)根， .= ( 3k+

23、1) 2-4X1X(2k2+i) >0,解得：kv - 3- 2"與或 k> - 3+2 J3，k= 1.19 . (2019廣西桂林)一元二次方程(x 3)(x 2) 0的根是.【答案】x1 3 , x22【解析】解一元二次方程因式分解法x 3 0或x 2 0 ,所以 x 3, x2 2 .故答案為x1 3 , x2 2 .20 .(2019年四川省遂寧市)若關(guān)于x的方程x2-2x+k=0有兩個不相等的實數(shù)根，則k的取值范圍為 .【答案】k< 1.【解析】本題考查了根的判別式，要知道一元二次方程根的情況與判別式的關(guān)系：(1) > 0?方程有兩個不相等的實數(shù)根

24、；(2) = 0?方程有兩個相等的實數(shù)根；(3) < 0?方程沒有實數(shù)根.利用根的判別式進(jìn)行計算，令4>0即可得到關(guān)于k的不等式，解答即可.,關(guān)于x的方程x2- 2x+k= 0有兩個不相等的實數(shù)根，0,即 4- 4k>0,k< 1 .21. (2019年江西省) 設(shè)x1 , x2是一元二次方程 x2-x- 1=0的兩根，則x + x2+x1x2=.【答案】0【解析】本題考查了一元二次方程ax2+bx+c= 0 (aw。的根與系數(shù)的關(guān)系：若方程兩個為x1，x2,則x1+x2blc"| . _,=,x1 ?<2=.直接根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系求解.aa- xk x

25、2是方程x2-x- 1=0的兩根，x1 + x2= 1 , x1 及2= 1 ,x1 + x2+x1x2= 1-1 = 0.22. (2019年四川省攀枝花市)已知xi, X2是方程x2-2x- 1 = 0的兩根，則xi2+x22=【答案】6【解析】根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系變形后求解.,xi、x2是方程x2-2x- 1 = 0的兩根， xi + x2= 2 , xi 雙2= 1 ,xi2+x22= ( xi + x2)2 2xix2= 22 2X( 1) = 6.23. (2019年四川省成都市) 已知xi, x2是關(guān)于x的一元二次方程 x2+2x+k- 1 = 0的兩個實數(shù)根，且 xi2+x22-

26、xix2= 13,則k的值為.【答案】-2【解析】根據(jù)x1，x2是關(guān)于x的一元二次方程x2+2x+k- 1=0的兩個實數(shù)根，且xi2+x22- xix2= 13”,結(jié)合根與系數(shù)的關(guān)系，列出關(guān)于 k的一元一次方程，解之即可.根據(jù)題意得：xi + x2= - 2, xi x2= k - 1,工2+¥?2_股=2 3xix2=4-3 ( k- 1) = 1324. (2019年甘肅省天水市)中國帶一路”給沿線國家和地區(qū)帶來很大的經(jīng)¥效益，沿線某地區(qū)居民2016年人均年收入20000元，到2018年人均年收入達(dá)到39200元.則該地區(qū)居民年人均收入平均增長率為.(用百分?jǐn)?shù)表示)【答

27、案】40%.【解析】根據(jù)題意可以列出相應(yīng)的方程,從而可以求得該地區(qū)居民年人均收入平均增長率,本題得以解決.設(shè)該地區(qū)居民年人均收入平均增長率為x,20000 (1+x) 2=39200,解得，xi = 0.4, x2= - 2.4 (舍去)，.該地區(qū)居民年人均收入平均增長率為40%25. (2019年四川省宜賓市)某產(chǎn)品每件的生產(chǎn)成本為50元，原定銷售價65元，經(jīng)市場預(yù)測，從現(xiàn)在開始的第一季度銷售價格將下降10%,第二季度又將回升 5%.若要使半年以后的銷售利潤不變，設(shè)每個季度平均降低成本的百分率為 x,根據(jù)題意可列方程是.【答案】65X (1-10%) X (1+5%) - 50 (1 -x)

28、 2=65- 50.65【解析】設(shè)每個季度平均降低成本的百分率為X,根據(jù)利潤=售價-成本價結(jié)合半年以后的銷售利潤為(-50)元，即可得出關(guān)于 x的一元二次方程，此題得解.設(shè)每個季度平均降低成本的百分率為x,依題意，得：65X (1-10%) X (1+5%) - 50 (1 -x) 2 = 65- 50.26. (2019年江蘇省連云港市)已知關(guān)于x的一元二次方程 ax2+2x+2-c= 0有兩個相等的實數(shù)根，則 一+ca的值等于.【答案】2【解析】根據(jù) 關(guān)于x的一元二次方程 ax2+2x+2-c=0有兩個相等的實數(shù)根”，結(jié)合根的判別式公式，得到關(guān)于a和c的等式，整理后即可得到的答案.根據(jù)題意

29、得： = 4 - 4a ( 2 - c) = 0,整理得：4ac - 8a = - 4, 4a (c- 2) = - 4,方程ax2+2x+2 - c= 0是一兀二次方程， a WQ等式兩邊同時除以 4a得：c-2= i,貝 U§+c=227. (2019年浙江省嘉興市) 在x2+4=0的括號中添加一個關(guān)于 x的一次項，使方程有兩個相等的實數(shù) 根.【答案】±x【解析】此題主要考查一元二次方程的根的判別式，利用一元二次方程根的判別式(=b2-4ac)可以判斷方程的根的情況：一元二次方程的根與根的判別式有如下關(guān)系：當(dāng)> 0時，方程有兩個不相等的實數(shù)根；當(dāng)= 0時，方程有兩

30、個相等的實數(shù)根；當(dāng)<0時，方程無實數(shù)根，但有 2個共軻復(fù)根.上述結(jié)論反過來也成立.要使方程有兩個相等白實數(shù)根，即4=0,則利用根的判別式即可求得一次項的系數(shù)即可.要使方程有兩個相等白實數(shù)根，則=b2 - 4ac= b2 - 16= 0得 b= ±4故一次項為土農(nóng)28. （2019年山東省棗莊市）已知關(guān)于x的方程ax2+2x- 3=0有兩個不相等的實數(shù)根，則 a的取值范圍是.【答案】a>上且awo【分析】由方程有兩個不相等的實數(shù)根，則運用一元二次方程ax2+bx+c=0 （aw°的根的判別式是 b2-4ac>0即可進(jìn)行解答【解答】解：由關(guān)于 x的方程ax2+

31、2x- 3= 0有兩個不相等的實數(shù)根得= b2- 4ac=4+4X 3a>0,解得a > L3貝U a>上且aw。 J三、解答題29. （2019年浙江省紹興市）x為何值時，兩個代數(shù)式 x2+1, 4x+1的值相等？【答案】x = 0, x2= 4.【解析】考查了實數(shù)的運算，因式分解法解一元二次方程.因式分解法就是先把方程的右邊化為0,再把左邊通過因式分解化為兩個一次因式的積的形式，那么這兩個因式的值就都有可能為0,這就能得到兩個一元一次方程的解，這樣也就把原方程進(jìn)行了降次，把解一元二次方程轉(zhuǎn)化為解一元一次方程的問題了（數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想）.利用題意得到x2+1 = 4x+1 ,利

32、用因式分解法解方程即可.x2+1 =4x+1 ,x2 - 4x= 0,x （x 4） =0,xi = 0, x2=4.30. （2019黑龍江綏化）已知關(guān)于x的方程kx23x+1 = 0有實數(shù)根.求k的取值范圍；（2）若該方程有兩個實數(shù)根，分別為x1和x2,當(dāng)x1+x2+xx2=4時，求k的值.【答案】見解析?！窘馕觥扛鶕?jù)根的判別式列出不等式，即可求得k的范圍；由根與系數(shù)的關(guān)系，得到方程，即可解得k的值.（1）當(dāng)k = 0時,方程是一元一次方程，有實數(shù)根，符合題意；當(dāng)kw 001方程是一元二次方程，由題意得=9-4k>0,，kw ,綜上所述，k的取值范圍是k<9 .44(2) X1

33、和X2是該方程的兩個實數(shù)根，. Xl+X2= 0 ,X1X2=2，,Xl+X2+XlX2 = 4,3 +=4,解得k=1,經(jīng)檢驗,k k kk k=1是原分式方程的解，且1w9,.k的值為i.431. ( 2019湖北十堰)已知于X的元二次方程X2-6X+2a+5= 0有兩個不相等的實數(shù)根 Xi, X2.(1)求a的取值范圍；(2)若X12+X22 - X1X2 w 30且a為整數(shù)，求a的值.【答案】(1) a<2 (2) a的值為-1, 0, 1.【解析】根據(jù)根的判別式，可得到關(guān)于 a的不等式，則可求得 a的取值范圍；由根與系數(shù)的關(guān)系，用a表示出兩根積、兩根和，由已知條件可得到關(guān)于a的

34、不等式，則可求得 a的取值范圍，再求其值即可.(1) ;關(guān)于X的一元二次方程 X2- 6X+2a+5= 0有兩個不相等的實數(shù)根 X1, X2,. .> 0,即(-6) 2-4 (2a+5) >0,解得a<2;(2)由根與系數(shù)的關(guān)系知：X1 +X2= 6, X1X2 = 2a+5,X1, X2 滿足 X12+X22 X1X2< 30 ( X1+X2) 23X1X2W30 .36-3 (2a+5) <30 . a>- 3，= a 為整數(shù)， 2a 的值為-1, 0, 1.32. (2019湖北孝感)已知關(guān)于X的一元二次方程 X2- 2 (a-1)X+a2-a-2=

35、 0有兩個不相等的實數(shù)根 X1,X2.(1)若a為正整數(shù)，求a的值；(2)若 X1, X2 滿足 X12+X22 - X1X2= 16,求 a 的值.【答案】(1) a= 1, 2 (2) a= - 1.【解析】根據(jù)關(guān)于 x的一元二次方程 X2- 2 (a-1) X+a2- a - 2= 0有兩個不相等的實數(shù)根，得到 = - 2 (a- 1) 2- 4 (a2-a - 2) >0,于是得到結(jié)論；根據(jù) X1+X2= 2 (a-1), X1X2= a2-a - 2,代入 X12+x22-x1x2= 16,解方程即可得到結(jié)論.(1) ;關(guān)于x的一元二次方程 X2-2 (a-1) x+a2 -

36、a - 2 = 0有兩個不相等的實數(shù)根，.= -2 (a-1) 2-4 (a2-a-2) > 0,解得：av3,.a為正整數(shù),，a=1, 2;(2) xi+x2= 2 ( a 1), xix2= a2 a 2,1' X12+X22 XiX2= 16,( X1+X2)2 - X1X2= 16,-2 (a-1) 2-3 (a2- a - 2) = 16,解得：a1 = 1, a2= 6,a< 3,a = - 1.33. （2019江蘇徐州）如圖所示，有一塊矩形硬紙板， 長30cm,寬20cm.在其四角各剪去一個同樣的正方形, 然后將四周突出部分折起，可制成一個無蓋長方體盒子。當(dāng)

37、剪去正方形的邊長取何值時，所得長方體盒子 的側(cè)面積為200cm2?【答案】5【解析】根據(jù)題目給定的相等關(guān)系，列出一元二次方程，解這個方程取舍后得出實際問題的解.設(shè)剪去的小正方形的邊長為Xcm,則根據(jù)題意有：（30-2x）（20-2x）=200 ,解得 X1=5, x2=20 , 當(dāng) x=20 時，20-2x<0,所以 x=5.所以，當(dāng)剪去小正方形的邊長為5cm時，長方體盒子的底面積為200cm234. （2019砌南衡陽）關(guān)于x的一元二次方程 x2- 3x+k=0有實數(shù)根.（1）求k的取值范圍；（2）如果k是符合條件的最大整數(shù)，且一元二次方程（ m-1） x2+x+m-3=0與方程x2

38、- 3x+k= 0有一個相 同的根，求此時 m的值.【答案】見解析?！窘馕觥?1)根據(jù)題意得= (- 3) 2-4k>0,解得kWL；4(2) k的最大整數(shù)為2,方程 x2-3x+k= 0 變形為 x2-3x+2=0,解得 xi=l, x2= 2,m- 1+1 + m- 3=0,解得 m =元二次方程(m- 1) x2+x+m - 3= 0與方程x2-3x+k=。有一個相同的根,當(dāng) x= 1 時, 當(dāng) x= 2 時，4(m1) +2+ m 3= 0,解得 m= 1,而 m - 10,m的值為一.35. (20197T西貴港)為了滿足師生的閱讀需求，某校圖書館的藏書從2016年底到2018

39、年底兩年內(nèi)由5萬冊增加到7.2萬冊.(1)求這兩年藏書的年均增長率；(2)經(jīng)統(tǒng)計知：中外古典名著的冊數(shù)在2016年底僅占當(dāng)時藏書總量的5.6%,在這兩年新增加的圖書中，中外古典名著所占的百分率恰好等于這兩年藏書的年均增長率，那么到2018年底中外古典名著的冊數(shù)占藏書總量的百分之幾?【答案】見解析?！窘馕觥扛鶕?jù)題意可以列出相應(yīng)的一元二次方程，從而可以得到這兩年藏書的年均增長率；根據(jù)題意可以求出這兩年新增加的中外古典名著，從而可以求得到2018年底中外古典名著的冊數(shù)占藏書總量的百分之幾.(1)設(shè)這兩年藏書的年均增長率是x,5 (1+x) 2= 7.2,解得，x = 0.2, x2=- 2.2 (舍

40、去)，答：這兩年藏書的年均增長率是20%;(2)在這兩年新增加的圖書中，中外古典名著有(7.2-5) X20%= 0.44 (萬冊)，到2018年底中外古典名著的冊數(shù)占藏書總量的百分比是：5HX100% 10%,7. 2答：到2018年底中外古典名著的冊數(shù)占藏書總量的10%.36. (2019?胡南長沙)近日，長沙市教育局出臺長沙市中小學(xué)教師志愿輔導(dǎo)工作實施意見，鼓勵教師參 與志愿輔導(dǎo)，某區(qū)率先示范，推出名師公益大課堂，為學(xué)生提供線上線下免費輔導(dǎo)，據(jù)統(tǒng)計，第一批公益課受益學(xué)生2 萬人次，第三批公益課受益學(xué)生2.42萬人次（ 1 ）如果第二批，第三批公益課受益學(xué)生人次的增長率相同，求這個增長率；

41、（ 2）按照這個增長率，預(yù)計第四批公益課受益學(xué)生將達(dá)到多少萬人次？【答案】見解析?！窘馕觥吭O(shè)增長率為x， 根據(jù) “第一批公益課受益學(xué)生2萬人次，第三批公益課受益學(xué)生2.42萬人次 ”可列方程求解；用2.42 X （1+增長率），計算即可求解.（1）設(shè)增長率為x,根據(jù)題意，得2 （1+x） 2= 2.42,解得 X1= - 2.1 （舍去），X2=0.1= 10%.答：增長率為10%（2） 2.42 （1+0.1 ） = 2.662 （萬人）.答：第四批公益課受益學(xué)生將達(dá)到2.662 萬人次37. （ 2019?湖南邵陽）2019 年 1 月 14 日， 國新辦舉行新聞發(fā)布會，海關(guān)總署新聞發(fā)言人李魁文在會上指出：在 2018 年，我國進(jìn)出口規(guī)模創(chuàng)歷史新高，全年外貿(mào)進(jìn)出口總值為30 萬億元人民幣有望繼續(xù)保持全球貨物貿(mào)易第一大國地位預(yù)計 2020 年我國外貿(mào)進(jìn)出口總值將達(dá)36.3 萬億元人民幣求這兩年我國外貿(mào)進(jìn)出口總值的年平均增長率【答案】10%【解析】根據(jù) a （1-x） 2=b增長率公式建立方程 30 （1+x） 2=36.3,解方程即可.設(shè)平均