齒輪減速器的優(yōu)化設計

1、.齒輪減速器的優(yōu)化設計南昌航空大學 機械工程專業(yè) 苑曉帥 齒輪傳動是現(xiàn)代機械中應用最廣的一種傳動形式。它的主要優(yōu)點是： 瞬時傳動比恒定、工作平穩(wěn)、傳動準確可靠可傳遞空間任意兩軸之間的運動和動力； 適用的功率和速度范圍廣； 傳動效率高，=0.92-0.98； 工作可靠、使用壽命長； 外輪廓尺寸小、結構緊湊。由齒輪、軸、軸承及箱體組成的齒輪減速器,用于原動機和工作機或執(zhí)行機構之間,起匹配轉速和傳遞轉矩的作用,在現(xiàn)代機械中應用極為廣泛。國內的減速器多以齒輪傳動、蝸桿傳動為主，但普遍存在著功率與重量比小，或者傳動比大而機械效率過低的問題。另外，材料品質和工藝水平上還有許多弱點，特別是大型的減速器問題更

2、突出，使用壽命不長。國外的減速器，以德國、丹麥和日本處于領先地位，特別在材料和制造工藝方面占據(jù)優(yōu)勢，減速器工作可靠性好，使用壽命長。但其傳動形式仍以定軸齒輪傳動為主，體積和重量問題，也未解決好。當今的減速器是向著大功率、大傳動比、小體積、高機械效率以及使用壽命長的方向發(fā)展。減速器與電動機的連體結構，也是大力開拓的形式，并已生產多種結構形式和多種功率型號的產品。近十幾年來,由于近代計算機技術與數(shù)控技術的發(fā)展，使得機械加工精度，加工效率大大提高，從而推動了機械傳動產品的多樣化，整機配套的模塊化，標準化，以及造型設計藝術化，使產品更加精致，美觀化。針對減速器存在的問題，本課題采用優(yōu)化設計的方法，力求

3、使減速器的體積達到最小，建立數(shù)學模型，并通過matlab語言編輯后，得到一組優(yōu)化數(shù)據(jù)，到達預期目標，使減速器的體積比傳統(tǒng)的經驗設計結果減小20%-30%。 關鍵字：減速器 1 優(yōu)化設計1.1 原始數(shù)據(jù)及優(yōu)化目標1、原始數(shù)據(jù)：高速軸輸入功率P1=44kW，高速軸轉速n1=1440r/min，用電動機驅動，長期工作，載荷有中等沖擊，總傳動比i=20，高速級和低速級齒輪的齒寬系數(shù)分別為和，高速級和低速級上小齒輪比大齒輪分別寬和，高速級與低速級的齒輪傳動誤差分別為和，大齒輪用20Cr滲碳淬火，齒面硬度為59HRC，小齒輪用20CrMnTi滲碳淬火，齒面硬度為59HRC，材料密度為。2、優(yōu)化目標：設計二

4、級斜齒圓柱齒輪減速器，要求在滿足強度、剛度和壽命等條件下，使體積小。1.2優(yōu)化方案的選擇 優(yōu)化方法可以選用多目標優(yōu)化方法，也可以采用單目標優(yōu)化方法,多目標優(yōu)化方法的特點是，在約束條件下，各個目標函數(shù)不是被同等的采用，而是按不同的優(yōu)先層次先后的進行優(yōu)化。由于這類問題要同時考慮多個指標，而且有時會碰到多個定性指標，且有時難于判斷說哪個決策好。這就造成多目標函數(shù)優(yōu)化問題的特殊性。多目標優(yōu)化設計問題要求各分量目標都達到最優(yōu)，如能獲得這樣的結果，當然是十分理想的。但是一般比較困難，尤其是各個目標的優(yōu)化互相矛盾時更是如此，例如本課題的體積小和轉動慣量大的要求互相矛盾。所以解決多目標優(yōu)化設計問題也是一個復雜

5、的問題，比起單目標優(yōu)化設計問題來，在理論上和計算方法上都還不夠完善，也不夠系統(tǒng)，多目標優(yōu)化問題與單目標優(yōu)化問題還有一個本質的不同點：多目標優(yōu)化是一個向量函數(shù)的優(yōu)化，即函數(shù)值大小的比較，而向量函數(shù)值大小的比較，要比標量值大小的比較復雜。在單目標優(yōu)化問題中，任何兩個解都可以比較其優(yōu)劣，因此是完全有序的?？墒菍τ诙嗄繕藘?yōu)化問題，任何兩個解不一定都可以比出其優(yōu)劣，因此只能是半有序的。單目標優(yōu)化方法可以選擇設計目標中的最重要因素作為優(yōu)化目標而達到最優(yōu),基于此，本課題采用單目標優(yōu)化方法。按照優(yōu)化目標要求，取體積最小作為最終優(yōu)化目標，它可以歸結為使減速器的總中心矩a為最小。1.3數(shù)學模型的建立1 變量的選取

6、 一個設計方案可以用一組基本參數(shù)的數(shù)值來表示.這些基本參數(shù)可以是構件長度,截面尺寸,某些點的坐標值等幾何量,也可以是重量,慣性矩力等物理量,還可以是應力,變形,固有頻率,效率等代表工作性能的導出量。但是，對一個具體的優(yōu)化設計問題，并不是要求對所有的基本參都用優(yōu)化方法進行調整。例如，對某個機械結構進行優(yōu)化設計，一些工藝，結構布置等方面的參數(shù)，或者某些工作性能的參數(shù)，可以根據(jù)已有的經驗預先取為定值。這樣，對這個設計方案來說，它們就成為設計常數(shù)。而除此之外的基本參數(shù)，則需要在優(yōu)化設計過程中不斷進行修改，調整，一直處于變化的狀態(tài)，這些基本參數(shù)稱為設計變量，又叫做優(yōu)化參數(shù)。 二級斜齒圓柱齒輪減速器由兩對

7、斜齒圓柱齒輪傳動共四個齒輪組成，它們的齒數(shù)分別為相應的齒數(shù)比分別為,和,兩組傳動齒輪的法向模數(shù)分別設為Mn1和Mn2；齒輪的螺旋叫角為。這里都是設計參數(shù)，但由于設計時已給定總傳動比i，且有所以從而四個齒輪的齒數(shù)只要能確定兩個即可，定兩個小齒輪的齒數(shù)Z1和Z3位設計變量，因此這個優(yōu)化設計問題的獨立設計變量為:六個。2 目標函數(shù) 在所有的可行設計中，有些設計比另一些要“好些”，如果確實是這樣，則“較好”的設計比“較差”的設計必定具備某些更好的性質。倘若這種性質可以表示為設計變量的一個可計算函數(shù)，則我們可以考慮優(yōu)化這個函數(shù)，以得到更好的設計。這個用來使設計得以優(yōu)化的函數(shù)稱作目標函數(shù)。用它可以評價設計

8、方案的好壞，所以它又被稱作評價函數(shù)，計作f(x),用以強調它對設計變量的依賴性。 上面提到，本課題的優(yōu)化目標選為體積最小，并歸結為使減速器的總中心距a最小，寫成 (1-1) 3 約束函數(shù) 設計空間是所有設計方案的集合，但這些設計方案有些是工程上所不能接受的。如果一個設計滿足所有對它提出的要求，就稱為可行設計，反之則稱為不可行設計。一個可行設計必須滿足某些設計限制條件，這些限制條件稱為約束條件。在工程問題中，根據(jù)約束的性質可以把它們區(qū)分成性能約束和側面約束兩大類，針對性能要求而提出的限制條件稱作性能約束，不針對性能要求，只是對設計變量的取值范圍加以限制的約束稱作側面約束，也稱作邊界約束。 本課題

9、保證總中心距a為最小時應滿足的條件是本優(yōu)化設計問題的約束條件，性能約束有：齒面的接觸強度和齒根的彎曲強度以及中間軸上的大齒輪不與低速軸發(fā)生干涉。 (1) 齒面接觸強度計算給出 (1-2)和 (1-3)式中-需用接觸應力；高速軸的轉矩；中間軸的轉矩；載荷系數(shù)； -尺寬系數(shù)。（2）齒根彎曲強度計算給出 高速級小大齒輪的齒根彎曲強度條件為 (1-4) (1-5) 低速級小大齒輪的齒根彎曲強度條件為 (1-6) (1-7)式中 ，分別是齒輪的許用彎曲應力；分別是齒輪的齒形系數(shù)。（3）根據(jù)不干涉條件 (1-8)邊界約束條件有： （1）不跟切條件 (1-9) (1-10) （2） 動力傳動模數(shù) (1-11

10、) (1-12)(3) 圓柱齒輪傳動比 (1-13)4 標準數(shù)學模型 將以上物理模型轉化為標準數(shù)學模型 (1) 設計變量 (1-14) (2)目標函數(shù) (1-15)(3)約束函數(shù) st （高速級齒輪接觸強度條件） (1-16)（低速級齒輪接觸強度條件） (1-17)（高速級小齒輪彎曲強度條件） (1-18)（高速級大齒輪彎曲強度條件(1-19) （低速級小齒輪彎曲強度條件）(1-20) （低速級大齒輪彎曲強度條件）(1-21)（大齒輪與軸不干涉條件） (1-22)（高速級齒輪副模數(shù)的下限） (1-23)（高速級齒輪副模數(shù)的上限） (1-24)（低速級齒輪副模數(shù)的下限） (1-25)（低速級齒輪

11、副模數(shù)的上限） (1-26)（高速級小齒輪齒數(shù)的下限） (1-27)（高速級小齒輪齒數(shù)的上限） (1-28)（低速級小齒輪齒數(shù)的下限） (1-29)（低速級小齒輪齒數(shù)的上限） (1-30)（高速級傳動比的下限） (1-31)（高速級傳動比的上限） (1-32)（齒輪副螺旋角的下限） (1-33)（齒輪副螺旋角的上限） (1-34)1.4算法的選取與建立 由目標函數(shù)和約束函數(shù)的形式知選擇外點懲罰函數(shù)進行計算較為合理。懲罰函數(shù)法是一種使用很廣泛，很有效的間接算法。它的基本原理是將約束優(yōu)化問題中的不等式和等式約束函數(shù)經過加權轉化后，和原目標函數(shù)結合成新的目標函數(shù)-懲罰函數(shù)，求解該新目標函數(shù)的無約束極

12、小值，以期得到原問題的約束最優(yōu)解。為此，按一定的法則改變加權因子的值，構成一系列的無約束優(yōu)化問題，求得一系列的無約束最優(yōu)解，并不斷地逼近原約束優(yōu)化問題的最優(yōu)解。外點懲罰函數(shù)法簡稱外點法，新目標函數(shù)定義在可行域之外，序列迭代點從可行域之外逐漸逼近約束邊界上的最優(yōu)點。外點法可以用來求解含不等式和等式約束的優(yōu)化問題。算法方框圖如圖1： 圖11.5 matlab語言程序編輯1 Matlab 簡介 在科學研究和工程應用中，往往要進行大量的數(shù)學計算，其中包括矩陣運算。這些運算一般來說難以用手工精確和快捷地進行，而要借助計算機編制相應的程序做近似計算。美國Mathwork公司于1967年推出了“Matrix

13、 Laboratory”（縮寫為Matlab）軟件包，并不斷更新和擴充。目前最新的5.x版本（windows環(huán)境）是一種功能強、效率高便于進行科學和工程計算的交互式軟件包。其中包括：一般數(shù)值分析、矩陣運算、數(shù)字信號處理、建模和系統(tǒng)控制和優(yōu)化等應用程序，并集應用程序和圖形于一便于使用的集成環(huán)境中。在此環(huán)境下所解問題的Matlab語言表述形式和其數(shù)學表達形式相同，不需要按傳統(tǒng)的方法編程。不過，Matlab作為一種新的計算機語言，要想運用自如，充分發(fā)揮它的威力，也需先系統(tǒng)地學習它。但由于使用Matlab編程運算與人進行科學計算的思路和表達方式完全一致，所以不象學習其它高級語言-如Basic、Fort

14、ran和C等那樣難于掌握。實踐證明，你可在幾十分鐘的時間內學會Matlab的基礎知識，在短短幾個小時的使用中就能初步掌握它.從而使你能夠進行高效率和富有創(chuàng)造性的計算。 Matlab大大降低了對使用者的數(shù)學基礎和計算機語言知識的要求，而且編程效率和計算效率極高，還可在計算機上直接輸出結果和精美的圖形拷貝，所以它的確為一高效的科研助手。自推出后即風行美國，流傳世界。 綜上所述，Matlab語言有如下特點：1編程效率高 2用戶使用方便 3擴充能力強 4語句簡單，內涵豐富 5高效方便的矩陣和數(shù)組運算 6方便的繪圖功能2 matlab編程 本課題調用函數(shù)為多維約束優(yōu)化命令fmincon,及子函數(shù)目標函數(shù)

15、jsqyh_f和非線性約束函數(shù)jsqyh_g.fmincon函數(shù)的基本形式為x = fmincon(fun,x0,A,b,Aeq,beq,lb,ub,nonlcon，options)其中fun為你要求最小值的函數(shù)，可以單寫一個文件設置函數(shù)。（1）.如果fun中有N個變量，如x y z, 或者是X1, X2,X3, 什么的，自己排順序，在fun中統(tǒng)一都是用x(1),x(2）.x(n) 表示的。（2）. x0, 表示初始的猜測值，大小要與變量數(shù)目相同(3). A b 為線性不等約束，A*x <= b， A應為n*n階矩陣，學過線性代數(shù)應不難寫出A和b(4) Aeq beq為線性相等約束，Ae

16、q*x = beq。 Aeq beq同上可求(5) lb ub為變量的上下邊界， 正負無窮用 -Inf和Inf表示， lb ub應為N階數(shù)組(6) nonlcon 為非線性約束，可分為兩部分，非線性不等約束 c，非線性相等約束ceq 。程序如下編制優(yōu)化設計的M 文件（main.m） % 1-減速器中心距優(yōu)化設計主程序% 設計變量的初始值x0=3;19;5;19;5;14; % 設計變量的下界與上界lb=2;14;2;14;3;8; ub=6;22;6;22;6;20; % 使用多維約束優(yōu)化命令fmincon(調用目標函數(shù)jsqyh_f 和非線性約束函數(shù)jsqyh_g) % 不定義線性不等式約束

17、中設計變量的系數(shù)矩陣a=和常數(shù)項向量b= % 沒有等式約束,則參數(shù)：系數(shù)矩陣Aeq=和常數(shù)項向量beq= x,fn=fmincon(jsqyh_f,x0,lb,ub,jsqyh_g); disp ' * 兩級斜齒輪傳動中心距優(yōu)化設計最優(yōu)解 *' fprintf (1,' 高速級齒輪副模數(shù) Mn1 = %3.4f mm n',x(1) fprintf (1,' 低速級齒輪副模數(shù) Mn2 = %3.4f mm n',x(3) fprintf (1,' 高速級小齒輪齒數(shù) z1 = %3.4f n',x(2) fprintf (1,

18、9; 低速級小齒輪齒數(shù) z3 = %3.4f n',x(4) fprintf (1,' 高速級齒輪副傳動比 i1 = %3.4f n',x(5) fprintf (1,' 齒輪副螺旋角 beta = %3.4f 度 n',x(6) fprintf (1,' 減速器總中心距 a12 = %3.4f mm n',fn) % 調用多維約束優(yōu)化非線性約束函數(shù)(jsqyh_g)計算最優(yōu)點x*的性能約束函數(shù)值g=jsqyh_g(x); disp ' = 最優(yōu)點的性能約束函數(shù)值 =' fprintf (1,' 高速級齒輪副接觸疲

19、勞強度約束函數(shù)值 g1 = %3.4f n',g(1) fprintf (1,' 低速級齒輪副接觸疲勞強度約束函數(shù)值 g2 = %3.4f n',g(2) fprintf (1,' 高速級小齒輪齒根彎曲強度約束函數(shù)值 g3 = %3.4f n',g(3) fprintf (1,' 高速級大齒輪齒根彎曲強度約束函數(shù)值 g4 = %3.4f n',g(4) fprintf (1,' 低速級小齒輪齒根彎曲強度約束函數(shù)值 g5 = %3.4f n',g(4) fprintf (1,' 低速級大齒輪齒根彎曲強度約束函數(shù)值 g

20、6 = %3.4f n',g(4) fprintf (1,' 大齒輪齒頂與軸不干涉幾何約束函數(shù)值 g7 = %3.4f n',g(5) （jsqyh_f.m） % 2-兩級斜齒輪減速器總中心距的目標函數(shù)(jsqyh_f) function f=jsqyh_f(x); hd=pi/180; a1=x(1)*x(2)*(1+x(5); % 3-兩級斜齒輪減速器優(yōu)化設計的非線性不等式約束函數(shù)(jsqyh_g) function g,ceq=jsqyh_g(x); hd=pi/180; g(1)=cos(x(6)*hd)3-3.4e-8*x(1)3*x(2)3*x(5); g(2)=x(5)2*cos(x(6)*hd)3-834e-7*x(3)3*x(4)3; g(3)=cos(x(6)*hd)2-3e-4*(1+x(5)*x(1)3*x(2)2; g(4)=cos(x(6)*hd)2-2.39e-4*(1+x(5)*x(1)3*x(2)2; g(5)=x(5)2.*cos(x(6)*hd)2-3.67e-4*(20+x(5)*x(3)3*x(4)2;g(6)=x(5)cos(x(6)*hd)2-2.9e-4*(1+20/x(5)*x(3)3*x(4