繪制根軌跡的基本法則ppt課件

1、目的要求：經(jīng)過(guò)本次課程掌握繪制根軌跡的根本法那么知識(shí)要點(diǎn)：1. 根軌跡的延續(xù)性 2. 根軌跡的對(duì)稱性 3. 根軌跡的分支數(shù) 4. 根軌跡的起點(diǎn)和終點(diǎn) 5. 實(shí)軸上的根軌跡 6. 根軌跡的漸近線 7. 根軌跡的分別點(diǎn)和會(huì)合點(diǎn) 8. 根軌跡的出射角和入射角 9. 根軌跡與虛軸的交點(diǎn) 10. 閉環(huán)極點(diǎn)的和與積教學(xué)步驟：首先引見(jiàn)根軌跡圖及根軌跡方程，然后引見(jiàn)幅值條件方程和相角條件方程和幅值條件方程和相角條件方程。教具及教學(xué)手段：多媒體教學(xué)課后作業(yè)：4 - 1 第二節(jié) 繪制根軌跡的根本法那么或其他參數(shù)的延續(xù)函數(shù)，當(dāng)Kg0)(1sGk由于閉環(huán)特征方程的根是根軌跡增益Kg 在0至無(wú)窮大區(qū)間延續(xù)變化時(shí)，閉環(huán)特

2、征方程的根必然延續(xù)變化，即根軌跡是延續(xù)變化的曲線或直線。一、根軌跡的延續(xù)性 二、根軌跡的對(duì)稱性 由于線性特征方程的系數(shù)均為實(shí)數(shù)，所以系統(tǒng)的特征方程根必為實(shí)數(shù)或共軛復(fù)數(shù)。因此根軌跡必然對(duì)稱于實(shí)軸。 根據(jù)這一法那么，繪制根軌跡時(shí)只需畫出s平面上半部和實(shí)軸上的根軌跡即可，下半部的根軌跡可用鏡象原理求得。這樣即可省一半功夫。三、根軌跡的分支數(shù) 由n階微分方程所描畫的n階系統(tǒng)，對(duì)于任一增益值都有n個(gè)特征方程的根。當(dāng)增益由0變化到無(wú)窮大時(shí)，n個(gè)根在復(fù)平面的延續(xù)變化就構(gòu)成了n支根軌跡。結(jié)論：根軌跡的分支數(shù)等于系統(tǒng)的階數(shù)。四、根軌跡的起點(diǎn)和終點(diǎn)由幅值條件方程可得：gnjjmiikpszs1)(11根軌跡的起點(diǎn)

3、是指Kg =0時(shí)根軌跡的點(diǎn)。), 2 , 1(njpsjKg=0時(shí)，上式的右邊為，而左邊只需當(dāng)), 2 , 1(njpj時(shí)才是，使式4-12得以成立。這里的是開環(huán)傳送函數(shù)的極點(diǎn)。所以根軌跡的起點(diǎn)位于開環(huán)傳送函數(shù)的的極點(diǎn)處。 五、實(shí)軸上的根軌跡五、實(shí)軸上的根軌跡 按照相角條件，假設(shè)實(shí)軸上某實(shí)驗(yàn)點(diǎn)s1右方的實(shí)數(shù)極點(diǎn)和實(shí)數(shù)零點(diǎn)的總和為奇數(shù)時(shí)，那么該實(shí)驗(yàn)點(diǎn)s1 就在根軌跡上。 六、根軌跡的漸近線六、根軌跡的漸近線mnzpmjjnii11假設(shè)系統(tǒng)的開環(huán)極點(diǎn)數(shù)n大于開環(huán)零點(diǎn)數(shù)m，那么當(dāng) gk時(shí)， 有n - m條根軌跡分支沿著與實(shí)軸正方向的夾角為，截距為-的一組漸進(jìn)線趨向無(wú)窮遠(yuǎn)處。 漸進(jìn)線與實(shí)軸正方向的夾角

4、為mnk）（12180漸進(jìn)線與實(shí)軸交點(diǎn)的坐標(biāo)以a表示，那么 漸近線與正實(shí)軸的夾角為 ) 1, 2 , 1 , 0(12mnkmnk七、根軌跡的分別和會(huì)合點(diǎn) 兩條根軌跡分支在s 平面上的某點(diǎn)相遇，然后又立刻分開點(diǎn)，叫做根軌跡的分別點(diǎn)或會(huì)合點(diǎn)。這個(gè)點(diǎn)對(duì)應(yīng)于特征方程的二重根。由于根軌跡具有共軛對(duì)稱性，故分別點(diǎn)與會(huì)合點(diǎn)必然是實(shí)數(shù)或共軛復(fù)數(shù)對(duì)。在普通情況下，分別點(diǎn)與會(huì)合點(diǎn)多出現(xiàn)于實(shí)軸上。 求取分別點(diǎn)的方法較多，常見(jiàn)的有重根法、極值法、試探法等幾種。1.重根法 由于根軌跡上的分別點(diǎn)或會(huì)合點(diǎn)就是特征方程的重根點(diǎn)，因此可用求重根的方法確定它們的位置。 2.極值法 對(duì)于某些較復(fù)雜的系統(tǒng)，最終得出的方程能夠是三階

5、、四階或更高階的方程，求解比較困難。假設(shè)出現(xiàn)這種情況，可改用試探法或用牛頓余數(shù)定理去求解分別點(diǎn)。 3. 牛頓余數(shù)定理的用法 從繪制根軌跡的角度出發(fā)，只需作一次試探求出s2就曾經(jīng)充分滿足要求了。 八、根軌跡的出射角和入射角 根軌跡的出射角是指起始于開環(huán)極點(diǎn)的根軌跡在起點(diǎn)處的切線與正實(shí)軸的夾角。而根軌跡的餓入射角，是指終止于開環(huán)零點(diǎn)的根軌跡在終點(diǎn)處的切線與正實(shí)軸的夾角。出射角和入射角又分別稱為起始角和終止角。它們分別描畫了根軌跡以什么姿態(tài)分開極點(diǎn)和以什么姿態(tài)進(jìn)入零點(diǎn)。a設(shè)根軌跡分開某開環(huán)極點(diǎn)-Pa時(shí)的出射角為；跟軌跡進(jìn)入某 時(shí)的入射角為，那么、之值如下：abbzb開環(huán)零點(diǎn) najjmiiak11)

6、 12(180mbiinjjbk11) 12(180九、根軌跡與虛軸的交點(diǎn) 隨著Kg的增大，根軌跡能夠由左半S平面跨越虛軸而進(jìn)入右半S平面。這時(shí)，系統(tǒng)由穩(wěn)定變成不穩(wěn)定。為了將虛軸附近的根軌跡畫得比較準(zhǔn)確，有必要求出根軌跡與虛軸的交點(diǎn)坐標(biāo)及其相應(yīng)的Kg值。 根軌跡與虛軸相交，意味著閉環(huán)特征方程出現(xiàn)純虛根。故可在閉環(huán)特征方程中令s=j ，然后令其實(shí)部和虛部分別等于零，從中求得交點(diǎn)的坐標(biāo)值及相應(yīng)的Kg值。此外，根軌跡與虛軸相交闡明系統(tǒng)正處于臨界穩(wěn)定形狀，故亦可用勞斯穩(wěn)定判據(jù)去求出交點(diǎn)坐標(biāo)及其相應(yīng) 的Kg值。此處的增益稱為臨界根軌跡增益，常用Kg表示之。 十、閉環(huán)極點(diǎn)的和與積設(shè)系統(tǒng)的開環(huán)傳送函數(shù)為 0111011111)()()(asasasbsbsbskpszsksGnnnmmmgnjjmiigk由)(sGk求得系統(tǒng)的閉環(huán)特征方程為 0)()(01110111bsbsbskasasassFmmmgnnn上述n階方程可表示為 0)(0111cscscssFnnn 本節(jié)引見(jiàn)了10條繪制根軌跡的法那么。只需牢記這10條法那么的結(jié)論，就可以迅速地繪制出系統(tǒng)Kg =時(shí)根軌跡的大致外形即所謂根軌跡草圖，從而可以