第九章彎曲變形和剛度計算

1、2、撓曲線的近似微分方程、撓曲線的近似微分方程3 、用積分法求梁的變形、用積分法求梁的變形4 、用疊加法求梁的變形、用疊加法求梁的變形 第九章第九章 梁的彎曲變形與剛度計算梁的彎曲變形與剛度計算5、梁的剛度計算及提高梁的剛度的措施、梁的剛度計算及提高梁的剛度的措施1、工程中的彎曲變形問題、工程中的彎曲變形問題6、簡單超靜定梁、簡單超靜定梁7、梁的彎曲應(yīng)變能、梁的彎曲應(yīng)變能9.1 9.1 工程中的彎曲變形問題工程中的彎曲變形問題 彎曲構(gòu)件除了要滿彎曲構(gòu)件除了要滿足強(qiáng)度條件外足強(qiáng)度條件外, , 還需滿還需滿足剛度條件。如車床主足剛度條件。如車床主軸的變形過大會引起加軸的變形過大會引起加工零件的誤差

2、。工零件的誤差。 車間內(nèi)的吊車梁若車間內(nèi)的吊車梁若變形過大，將使吊車梁變形過大，將使吊車梁上的小車行走困難，出上的小車行走困難，出現(xiàn)爬坡現(xiàn)象?，F(xiàn)爬坡現(xiàn)象。4 汽車車架處的鋼板彈簧應(yīng)有較大的變汽車車架處的鋼板彈簧應(yīng)有較大的變形，才能更好地緩沖減振。形，才能更好地緩沖減振。 PAB9.2 9.2 撓曲線的近似微分方程撓曲線的近似微分方程一、彎曲變形的量度一、彎曲變形的量度yx1. 撓曲線：變形后梁的軸線。撓曲線：變形后梁的軸線。2. 撓度撓度：橫截面形心沿垂直：橫截面形心沿垂直于軸線方向的位移。向于軸線方向的位移。向上上為正。為正。x 撓曲線方程：撓曲線方程： xf 3. 轉(zhuǎn)角轉(zhuǎn)角：橫截面繞中性軸

3、轉(zhuǎn)過的角度，即：橫截面繞中性軸轉(zhuǎn)過的角度，即 y 軸與撓曲線法線軸與撓曲線法線的夾角，或的夾角，或 x 軸與撓曲線切線的夾角。軸與撓曲線切線的夾角。逆時針逆時針方方向為正。向為正。 xddtan 小變形：小變形： tan xfx dd 撓曲線撓曲線即即:截面轉(zhuǎn)角近似等于撓曲線在該截面處的斜率。截面轉(zhuǎn)角近似等于撓曲線在該截面處的斜率。 橫力彎曲時橫力彎曲時,如果是細(xì)長梁如果是細(xì)長梁,可略去剪力對梁可略去剪力對梁的變形的影響，但的變形的影響，但M和和 都是都是x的函數(shù)的函數(shù)：純彎曲時純彎曲時曲率曲率與彎矩的關(guān)系式為：與彎矩的關(guān)系式為： 由幾何關(guān)系知由幾何關(guān)系知, , 平平面曲線面曲線w=f(x)上

4、上任意一任意一點的曲率可寫作：點的曲率可寫作：EIM 1EIxMx)()(1 232221)(1dxddxdx8 由于撓曲線是一條非常平坦的由于撓曲線是一條非常平坦的曲線曲線, 2遠(yuǎn)比遠(yuǎn)比1小小, 可以略去不計可以略去不計, 于于是上式可寫成：是上式可寫成：稱為稱為梁的撓曲線近似微分方程梁的撓曲線近似微分方程232 )1 ()(1x 22)(1 dxdxEIxM)( 02 xd dd d2 2 M 0yxMM02 xd dd d2 2 M b時時, 右支座處截面的轉(zhuǎn)角絕對值為最大右支座處截面的轉(zhuǎn)角絕對值為最大:10()|6AxFab lblEI 2()|6Bx lFab lalEImax()6

5、BFab lalEI（4）確定最大轉(zhuǎn)角與最大撓度）確定最大轉(zhuǎn)角與最大撓度xlABFabFAFBDIII22221(2 )33lba abx 根據(jù)極值條件，在根據(jù)極值條件，在w0即即 =0處，處，w取得極值。取得極值。研究第一段梁研究第一段梁, 令令w10得：得：122 3max1()9 3x xFbww |lblEI 當(dāng)當(dāng)a b時時, x1 a, 最大撓度確實發(fā)生在第一段梁中，最大撓度確實發(fā)生在第一段梁中，該最大值為：該最大值為：222111 ()023FbwlbxlEIxlABFabFAFBDIII23122 3max1()9 3x xFbww |lblEI 221(2 )33lba abx

6、由討論討論: :上例中，梁中點撓度與最大撓度的關(guān)系？上例中，梁中點撓度與最大撓度的關(guān)系？ 則：當(dāng)則：當(dāng)F F從梁中點位置向從梁中點位置向B B支座支座移動時，移動時，b b值減小時值減小時，x1從從0.5L0.5L向向0.577L0.577L趨近（當(dāng)趨近（當(dāng)F F接近接近B B點時）；點時）； 此時最大撓度的位置離梁中點最遠(yuǎn)，梁中點撓度與最大此時最大撓度的位置離梁中點最遠(yuǎn)，梁中點撓度與最大撓度應(yīng)該差距較大。撓度應(yīng)該差距較大。 在極端情況下在極端情況下, 當(dāng)當(dāng)b非常小非常小, 以致以致b2與與l2項相比可以略去不計時：項相比可以略去不計時：22max0 06429 3FblFblw.EIlEI

7、xlABFabFAFBDIII24梁中點梁中點C處的撓度為：處的撓度為： 結(jié)論結(jié)論: 在簡支梁中在簡支梁中, 不論它受什么荷載作用不論它受什么荷載作用, 只要撓曲線上只要撓曲線上無拐點無拐點, 其最大撓度值都可用梁跨中點處的撓度值來代替其最大撓度值都可用梁跨中點處的撓度值來代替, 其精其精確度是能滿足工程要求的。確度是能滿足工程要求的。略去略去b2項項, 得得:2212|(34)48ClxFbwwlbEI 220.062516CFblFblwEIEI 22max0 06429 3FblFblw.EIlEI 111311121111 62DaxCaxPEICaxPEIaxPEI a例：用積分法求

8、例：用積分法求C截面的轉(zhuǎn)角和撓度，設(shè)截面的轉(zhuǎn)角和撓度，設(shè)EI為常量。為常量。lABPC解解：(1) 求支座反力，分段求支座反力，分段寫彎矩方程寫彎矩方程 lPaRllaPRBA(2) 分段建立撓曲線近似微分方程，并積分分段建立撓曲線近似微分方程，并積分 0 CA111 xaaxPM段段：RARB lxlxlPaM 2220 AB段段：xy 222322222222 62DlxClxlPaEIClxlPaEIlxlPaEI Pa 2223222222 62DlxClxlPaEIClxlPaEI 1113111211 62DaxCaxPEICaxPEI (3) 確定積分常數(shù)確定積分常數(shù)0 :021

9、 xABPCxy21 :0 x0 :2 lx邊界條件：邊界條件：連續(xù)性條件：連續(xù)性條件：02 D 21222CPalCPa 06622113 lCPalDaCPa62PalC 2321PaPalC laPaD 321(4) C截面的撓度和轉(zhuǎn)角截面的撓度和轉(zhuǎn)角 laEIPaalEIPaaxC 3 326 :2C 27條件條件：由于梁的變形微小由于梁的變形微小, , 梁變形后其跨長的梁變形后其跨長的改變可略去不計改變可略去不計, , 且且梁的材料在線彈性范圍內(nèi)梁的材料在線彈性范圍內(nèi)工作工作, , 因而梁的撓度和轉(zhuǎn)角均與作用在梁上的因而梁的撓度和轉(zhuǎn)角均與作用在梁上的載荷成線性關(guān)系。載荷成線性關(guān)系。

10、在這種情況下在這種情況下, , 梁在幾項載荷梁在幾項載荷 ( (如集中力、集如集中力、集中力偶或分布力中力偶或分布力) )同時作用下某一橫截面的撓度和同時作用下某一橫截面的撓度和轉(zhuǎn)角轉(zhuǎn)角, , 就分別等于每項載荷單獨(dú)作用下該截面的撓就分別等于每項載荷單獨(dú)作用下該截面的撓度和轉(zhuǎn)角的疊加度和轉(zhuǎn)角的疊加，此即為，此即為疊加原理疊加原理。 9.4 9.4 用疊加法求梁的變形用疊加法求梁的變形28例：一抗彎剛度為例：一抗彎剛度為EI的簡支梁受荷載如圖。試按疊加的簡支梁受荷載如圖。試按疊加原理求梁跨中點的撓度原理求梁跨中點的撓度wC 和支座處橫截面的轉(zhuǎn)角和支座處橫截面的轉(zhuǎn)角 A , B 。BAqlMeC解

11、：將梁上荷載分解為荷載解：將梁上荷載分解為荷載q和和Me單獨(dú)作用的簡支梁。單獨(dú)作用的簡支梁。CCqCMwww24e538416M lqlEIEI AAqAM3e243M lqlEIEI BBqBM3e246M lqlEIEI表表9.3第第9、5欄欄29例：懸臂梁受力如圖所示，梁的抗彎剛度為例：懸臂梁受力如圖所示，梁的抗彎剛度為EI。求梁自由端求梁自由端B的轉(zhuǎn)角的轉(zhuǎn)角B和撓度和撓度yB 。alPBC CyCyB解：解：EIPacB22)(tanalyyCCB)3 (6)(23)(223alEIPaalEIPaEIPaalyCC查表查表9.39.3第第2 2欄：欄：結(jié)果第結(jié)果第3 3欄欄30=+P

12、L1L2ABCBCPL2w1w2等價等價等價等價PL1L2ABC剛化剛化AC段段PL1L2ABC剛化剛化BC段段PL1L2ABCM例：疊加法例：疊加法（逐段剛化法（逐段剛化法)梁梁抗彎剛度為抗彎剛度為EI，求，求B處的處的撓度與轉(zhuǎn)角、撓度與轉(zhuǎn)角、C處的轉(zhuǎn)角。處的轉(zhuǎn)角。31w2PL1L2ABCMPL1L2ABCBCPL2w12122223BCPL LwLEI 3213BPLwEI 221212()3BBBPLLLwwwEI21223CBPL LEI 21212(23)6BBBPLLLEI 212112033CCCPL LPL LEIEI 1222BPLEI 10C例：等截面平面剛架求自由端例：等

13、截面平面剛架求自由端A的水的水平位移平位移xA 和豎直位移和豎直位移yA。abEICEIPAB剛化ABABPC2Ay剛化BCPCABABC1Ax1AyPaP等價等價PAB解解：(1) 剛化剛化AB段：段：(2) 剛化剛化BC段：段：剛化剛化AB: 21EIbpaayBA 剛化剛化BC: 332EIpayAA 2221EIpabxxxAAA(3) 疊加：疊加： 221EIPabxBA 02 Ax2AyABC1Ax1AyPaPPAB 3 3221abEIpayyyAAA*逐段剛化法逐段剛化法34例例: :試?yán)茂B加法試?yán)茂B加法, 求圖示抗彎剛度為求圖示抗彎剛度為EI的簡支梁跨的簡支梁跨中點的撓度

14、中點的撓度wC。Bql/2ACl/2Bq/2ACBACq/2q/2解解：該荷載可視為：該荷載可視為正對稱載荷正對稱載荷與與反稱對載荷反稱對載荷兩種情況的疊加。兩種情況的疊加。(1) 正對稱載荷作用下正對稱載荷作用下4415(2)5384768CqlqlwEIEI (2) 反對稱荷載作用下，跨中撓度反對稱荷載作用下，跨中撓度wC2等于零。等于零。20Cw(3) 將相應(yīng)的位移進(jìn)行疊加將相應(yīng)的位移進(jìn)行疊加4125768CCCqlwwwEI 35例：懸臂梁受力如圖所示，梁的抗彎剛度為例：懸臂梁受力如圖所示，梁的抗彎剛度為EI。求梁。求梁自由端自由端B的轉(zhuǎn)角的轉(zhuǎn)角B和撓度和撓度yB 。yB解：（解：（1

15、）載荷分解：）載荷分解： （2）分別計算：）分別計算： （a）y11（b）y2（c）y33EIqaEIaqB346)2(331 (a)EIqaEIaqyB44128)2(EIqaCB632 (b)ayyCCBtan2EIqaaEIqaEIqaayCC2476833436（3）疊加：）疊加： EIqaEIqaEIqaEIqaBBBB63146343333321EIqaEIqaEIqaEIqayyyyBBBB24137424724444321EIqaEIaqaB3234)2(2 (c)EIqaEIaqayB422342)2(2（c）y332aABq例：用疊加法求梁中點例：用疊加法求梁中點C撓度和梁

16、端截面撓度和梁端截面B的轉(zhuǎn)角。的轉(zhuǎn)角。CDE2lEIqalBR22解：荷載對跨中解：荷載對跨中C對稱，對稱，故故C截面的轉(zhuǎn)角為截面的轉(zhuǎn)角為0。表表9.3第第2欄欄在在RB作用下：作用下：EIqalBR33EIqaEqBq63表表9.3第第4欄欄在在 q 作用下：作用下：EIlqaEIqaalEIqaEIqaalBqEqBq624683434Eq Bq qaRB qaRA BEqCBEqaRB ClqBEaqaRB C 9.5 9.5 梁的剛度計算及提高梁的剛度的措施梁的剛度計算及提高梁的剛度的措施一、剛度條件：一、剛度條件： max max疊加：疊加： laalEIqaBqBRBC233482

17、4 2236alEIqaBqBRB 二、應(yīng)用三種剛度計算：二、應(yīng)用三種剛度計算：2 設(shè)計截面設(shè)計截面1 剛度校核剛度校核3 確定許可載荷確定許可載荷 例：一空心圓梁，內(nèi)外徑分別為：例：一空心圓梁，內(nèi)外徑分別為：d=40mm、D=80mm，梁的，梁的E=210GPa，工程規(guī)定，工程規(guī)定C點的點的w=0.00001m,B點的點的 =0.001弧度弧度,試校試校核此梁的剛度核此梁的剛度.P P2 2A AB BC CD DP P2 2A AB BC CD DP P2 2B BL L 2 2C CA AB BL L 1 1L L 2 2C CMP P2 2A AB BC CP P1 1D D=+=P

18、P2 2= =2 2K KN NA AB BL L= =4 40 00 0m mm ma a= =0 0. .1 1m mC CP P1 1= =1 1K KN ND D2 20 00 0m mm mA AB BC CP P1 1D D=+圖圖1 1圖圖2 2解：解：結(jié)構(gòu)變換，查表求簡結(jié)構(gòu)變換，查表求簡單荷載下的變形。單荷載下的變形。fxP P2 2= =2 2K KN NA AB BL L= =4 40 00 0m mm ma a= =0 0. .1 1m mC CP P1 1= =1 1K KN ND D2 20 00 0m mm mP P2 2B Ba aC CA AB BL La aC

19、 CMP P2 2疊加求復(fù)雜載荷下的變形疊加求復(fù)雜載荷下的變形211116CBPL awaEI EILPB16211 222()3CPa aLwEI223BPaLEI2321221633CPL aP aP a LwEIEIEI 212163BP LP LaEIEI 23261225.19 10 m1633CPL aPaPa LwEIEIEI )(10423. 0)320016400(18802104 . 03164221弧度EILaPEILPB481244441018810)4080(6414. 3)(64mdDI 4B0.423 100.001 弧度655 .1 91 01 0mCwmw校核

20、剛度校核剛度所以剛度是足夠。所以剛度是足夠?？招膱A梁空心圓梁Iz:提高彎曲剛度的措施提高彎曲剛度的措施 由表由表9-3可見可見, 梁的位移梁的位移(撓度和轉(zhuǎn)角撓度和轉(zhuǎn)角)除了與除了與梁的支承梁的支承和和荷載情況荷載情況有關(guān)外有關(guān)外, 還取決于以下三個因素還取決于以下三個因素, 即即材料材料梁的位移與材料的彈性模量梁的位移與材料的彈性模量E成反比；成反比；截面截面梁的位移與截面的慣性矩梁的位移與截面的慣性矩I成反比；成反比；跨長跨長梁的位移與跨長梁的位移與跨長l的的n次冪成正比次冪成正比(在各種不同在各種不同荷載形式下荷載形式下, n分別等于分別等于1, 2, 3或或4)。znEIl 系系數(shù)數(shù)荷

21、荷載載w 梁的彎曲剛度條件：梁的彎曲剛度條件： wwmax max由此可見由此可見, 為了減小梁的位移為了減小梁的位移, 可以采取下列措施：可以采取下列措施：一、選擇合理的截面，增大梁的彎曲剛度一、選擇合理的截面，增大梁的彎曲剛度EIEI若若IZ對于面積相等的不同形狀的截面，對于面積相等的不同形狀的截面，則則、梁的抗彎剛度提高。梁的抗彎剛度提高。工字形、槽形、工字形、槽形、T形截面比面積相等的矩形截面有更高的形截面比面積相等的矩形截面有更高的彎曲剛度。彎曲剛度。說明：說明：各種鋼材的彈性模量各種鋼材的彈性模量E大致相同，故采用高強(qiáng)度鋼材不大致相同，故采用高強(qiáng)度鋼材不能提高彎曲剛度。能提高彎曲剛

22、度。IZA選擇選擇較大的截面較大的截面44截面形狀截面形狀截面面積截面面積(cm2) 截面尺寸截面尺寸(cm)I (cm4)圓 形35.5D=6.72101.3矩形35.5B=4.21H=8.43210.56工字形35.520a 237045(b)(d)(a)(c)圖7-252 2調(diào)整跨長和改變結(jié)構(gòu)調(diào)整跨長和改變結(jié)構(gòu)46lABq 要求解如圖所示的超靜定梁，可以以要求解如圖所示的超靜定梁，可以以B端的活動端的活動鉸支座為多余約束，將其撤除后而形成的懸臂梁即為鉸支座為多余約束，將其撤除后而形成的懸臂梁即為原超靜定梁的原超靜定梁的基本靜定梁基本靜定梁。 ABqFB 為使基本靜定梁的受力為使基本靜定梁

23、的受力及變形情況與原靜不定梁及變形情況與原靜不定梁完全一致，完全一致，還要求基本靜還要求基本靜定梁滿足一定的變形協(xié)調(diào)定梁滿足一定的變形協(xié)調(diào)條件。條件。 9.6 9.6 簡單超靜定梁簡單超靜定梁0Bw 此即應(yīng)滿足的此即應(yīng)滿足的變形協(xié)調(diào)條件變形協(xié)調(diào)條件( (或變形相容條件或變形相容條件) ) 47ABq建立補(bǔ)充方程建立補(bǔ)充方程0BBqBFwwwABFBwBFwBqABqFB 由圖可見，由圖可見，B端的撓度端的撓度為零，可將其視為均布載荷為零，可將其視為均布載荷引起的撓度引起的撓度wBq與未知支座與未知支座反力反力FB引起的撓度引起的撓度wBF的疊的疊加結(jié)果，即加結(jié)果，即:48ABqABFBwBFw

24、Bq48BqqlwEI 由由表表9.39.3查得力與查得力與變形間的物理關(guān)系：變形間的物理關(guān)系： 33BBFF lwEI34083BF lqlEIEI將其代入前式得：將其代入前式得： 即得補(bǔ)充方程即得補(bǔ)充方程 ABqFB4938BFql由此解出多余約束反力：由此解出多余約束反力： 34083BF lqlEIEIlABq 再利用平衡方程求得再利用平衡方程求得其它支座反力。其它支座反力。 0,0 xAxFF0,0yAyBFFqlFABqFBFAyMAFAx58AyFql2()0,02AABqlMMF lF218AMql501、選取適當(dāng)?shù)亩嘤嗉s束，得到基本靜定梁；、選取適當(dāng)?shù)亩嘤嗉s束，得到基本靜定梁

25、；2、利用相應(yīng)的變形協(xié)調(diào)條件和物理關(guān)系建立補(bǔ)充方程；、利用相應(yīng)的變形協(xié)調(diào)條件和物理關(guān)系建立補(bǔ)充方程；3、與平衡方程聯(lián)立解出所有的支座反力、與平衡方程聯(lián)立解出所有的支座反力 解靜不定梁時，解靜不定梁時，選擇哪個約束為多余約束并不選擇哪個約束為多余約束并不是固定的是固定的，可根據(jù)解題時的方便而定。，可根據(jù)解題時的方便而定。解靜不定梁的步驟解靜不定梁的步驟 這種解靜不定梁的方法，稱為這種解靜不定梁的方法，稱為變形比較法變形比較法。求解。求解靜不定問題的方法還有多種，以力為未知量的方法稱靜不定問題的方法還有多種，以力為未知量的方法稱為為力法力法，變形比較法屬于力法中的一種。，變形比較法屬于力法中的一種。51 這時要求此梁滿足的這時要求此梁滿足的變形條件為：變形條件為： ABqlABqMA0AAqAM 由表查得，因由表查得，因q和和MA而