數(shù)學物理方程學習指導書第8章貝塞爾函數(shù)

1、第8章 貝塞爾函數(shù)本章我們來討論貝塞爾方程的解法以及解的性質. 下面將要看到，在一般的情況下，貝塞爾方程的解不能用初等函數(shù)表出，從而就導入了一類特殊函數(shù)，稱之為貝塞爾函數(shù)，貝塞爾函數(shù)具有一系列性質，在求解數(shù)學物理問題時主要是引用正交性，這個正交性恰好是前面所述的施特姆-劉維爾理論的一個特例.81 貝塞爾方程的求解在7.1中，我們從解決圓盤的瞬時溫度分布問題引出了貝塞爾方程，以表示自變量，表示未知函數(shù)，則階貝塞爾方程為 (8.1)其中為任意實數(shù)或復數(shù). 由于方程的系數(shù)中出現(xiàn)的項，所以在討論時，不妨暫先假定設方程(8.1)有一個級數(shù)解，其形式為， (8.2)其中常數(shù)和可以通過把和它的導數(shù)代入(8.

2、1)來確定.將(8.2)及其導數(shù)代入(8.1)后得化簡后寫成要使上式成為恒等式，必須各個冪的系數(shù)全為零，從而得下列各式：由得，代入得.現(xiàn)暫取，代入得因為，由知而都可以用表示，即由此知(8.2)的一般項為是一個任意常數(shù)，取定后就得(8.1)式的一個特解.我們把取作，這樣選取可使一般項系數(shù)中2的次數(shù)與的次數(shù)相同，并可以運用下列恒等式使分母簡化，這樣選后，一般項的系數(shù)就整齊了 (8.3)以(8.3)代入(8.2)得到(8.1)的一個特解用級數(shù)的比值判別法（或稱達朗倍爾判別法）可以判定這個級數(shù)在整個數(shù)軸上收斂. 這個無窮級數(shù)所確定的函數(shù)，稱為階第一類貝塞爾函數(shù)，記作 (8.4)至此，我們就求出了貝塞爾

3、方程的一個特解當為正整數(shù)或零時，故有 (8.5)取時，用同樣方法可得(8.1)式另一特解 (8.6)比較(8.4)式與(8.6)式可見，只要在(8.4)的右端把換成，即可得到(8.6)式，因此不論是正數(shù)還是負數(shù)，總可以用(8.4)式統(tǒng)一地表達第一類貝塞爾函數(shù).當不為整數(shù)時，這兩個特解與是線性無關的，由齊次線性微分主程的通解的結構定理知道，(8.1)的通解為 (8.7)其中為兩個任意常數(shù).當然，在不為整數(shù)的情況，方程(8.1)的通解除了可以寫成(8.7)式以外還可寫成其他的形式，只要能夠找到該方程另一個與線性無關的特解，它與就可構成(8.1)的通解，這樣的特解是容易找到的. 例如，在(8.7)中

4、取則得到(8.1)的一個特解 整數(shù)） (8.8)顯然，與是線性無關的，因此，(8.1)的通解可寫成 (8.7)由(8.8)式所確定的函數(shù)稱為第二類貝塞爾函數(shù)，或稱牛曼函數(shù).82 當為整數(shù)時貝塞爾方程的通解上一節(jié)說明，當不為整數(shù)時，貝塞爾方程(8.1)的通解由(8.7)或(8.7)式確定，當為整數(shù)時，(8.1)的通解應該是什么樣子呢？首先，我們證明當為整數(shù)時，與是線性相關的，事實上，我們不妨設為正整數(shù)（這不失一般性，因為負整數(shù)時，會得到同樣的結果），則在(8.6)中，當時均為零，這時級數(shù)從起才開始出現(xiàn)非零項，于是(8.6)可以寫成即與線性相關，這時與已不能構成貝塞爾方程的通解了.為了求出貝塞爾方

5、程的通解，還要求出一個與線性無關的特解.取哪一個特解？自然我們想到第二類貝塞爾函數(shù).不過當為整數(shù)時(8.8)的右端沒有意義，要想把整數(shù)階貝塞爾方程的通解也寫成(8.7)的形式，必須先修改第二類貝塞爾函數(shù)的定義. 在為整數(shù)的情況，我們定義第二類貝塞爾函數(shù)為 （=整數(shù)）. （8.9）由于當為整數(shù)時，所以上式右端的極限是形式的不定型的極限，應用洛必塔法則并經(jīng)過冗長的推導（可參閱A.薩波洛夫斯基著特殊函數(shù)，魏執(zhí)權等譯，中國工業(yè)出版社出版），最后得到 (8.10)其中稱為歐拉常數(shù).根據(jù)這個函數(shù)的定義，它確是貝塞爾方程的一個特解，而且與是線性無關的（因為當時，為有限值，而為無窮大）.綜合上面所述，不論是否

6、為整數(shù)，貝塞爾方程(8.1)的通解都可表示為，其中為任意常數(shù)，為任意實數(shù).83 貝塞爾函數(shù)的遞推公式不同階的貝塞爾函數(shù)之間不是彼此孤立的，而是有一定的聯(lián)系，本節(jié)我們來建立反映這種聯(lián)系的遞推公式.首先考察零階與一階貝塞爾函數(shù)之間的關系.在(8.5)中令及得：取出第一個級數(shù)的第項求導數(shù)，得 這個式子正好是中含這一項的負值，且知的第一項導數(shù)為零，故得關系式 (8.11)將乘以并求導數(shù)，又得 即 (8.12)以上結果可以推廣，現(xiàn)將乘以求導數(shù)，得 即 (8.13)同理可得 (8.14)將(8.13)和(8.14)兩式展開，并經(jīng)過化簡，則分別得及將這兩式相減及相加，分別得到 (8.15) (8.16)以上

7、幾式便是貝塞爾函數(shù)的遞推公式.它們在有關貝塞爾函數(shù)的分析運算中甚為有用.特別值得一提的是，應有(8.15)式可以用較低階的貝塞爾函數(shù)把較高階的貝塞爾函數(shù)表示出來.因此如果我們已有零階與一階貝塞爾函數(shù)表，則利用此表和(8.15)，即可計算任意正整數(shù)階的貝塞爾函數(shù)的數(shù)值.第二類貝塞爾函數(shù)也滿足與第一類貝塞爾函數(shù)相類似的遞推公式. (8.17)作為遞推公式的一個應用，我們來考慮半奇數(shù)階的貝塞爾函數(shù)，先計算由(8.4)可得而 從而 (8.18)同理，可求得 (8.19)利用遞推公式(8.15)得到.同理可得一般言之，有 (8.20)從(8.20)可能看出，半奇數(shù)階的貝塞爾函數(shù)都是初等函數(shù).84 貝塞爾

8、函數(shù)的零點與模值貝塞爾方程的固有值與固有函數(shù)都與貝塞爾函數(shù)的零點有密切關系.同時，為了將一個函數(shù)按貝塞爾函數(shù)展開，需要用到貝塞爾函數(shù)的模值.本節(jié)我們來敘述貝塞爾函數(shù)零點的有關結論并計算貝塞爾函數(shù)的模值.6.4.1 貝塞爾函數(shù)的零點第一類貝塞爾函數(shù)的零點的幾個重要結論：有無窮多個單重實零點，且這無窮多個零點在軸上關于原點是對稱分布著的.因而必有無窮多個正的零點；的零點與的零點是彼此相間分布的，即的任意兩個相鄰零點之間必存在一個且僅有一個的零點；圖8-1以表示的正零點，則時無限地接近于，即幾乎是以為周期的周期函數(shù). 與的圖形見圖8-1.為了便于工程技術上的應用，貝塞爾函數(shù)零點的數(shù)值已被詳細計算出來

9、，并列成表格.下表給出了的前9個正零點的近似值. nm01234512.4053.8325.1366.3807.5888.77125.5207.0168.4179.76111.06512.33938.65410.17311.62013.01514.37315.700411.79213.32414.79616.22317.61618.980514.93116.47117.96019.40920.82722.218618.07119.61621.11722.58324.01925.430721.21222.76024.27025.74827.19928.627824.35225.90427.421

10、28.90830.37131.812927.49329.04730.56932.06533.53734.9896.4.2 貝塞爾函數(shù)的模值所謂貝塞爾函數(shù)的模值就是指定積分的平方根，其中是的正零點，a為一正常數(shù).為了計算這個積分，以，分別表示下列函數(shù)， 為任意參數(shù)）.則，分別滿足方程以乘第一個方程減去以乘第二個方程，然后對從0到a積分，得由此可得當時，上式右端是型，利用洛必塔法則計算這個極限，得這個公式在下節(jié)計算傅里葉-貝塞爾級數(shù)的系數(shù)時就要用到.85 貝塞爾方程的邊值問題在7.1中，我們已將求解圓盤的溫度分布問題通過分離變量法轉化成求解貝塞爾方程的固有值問題.方程(8.21)的通解為由條件(8

11、.23)可得 ，即利用條件(8.22)得即應該是的零點，以的正零點，則方程(8.21)的固有值為 （），與這些固有值相對應的邊值問題（8.21）（8.23）的固有函數(shù)是根據(jù)施特姆-劉維爾理論，關于權函數(shù)是正交的，即同時，下述展開定理成立：任何一個下兩次可微的函數(shù)，若在處有界，而且在處等于零，則它可以展開為絕對一致收斂的傅里葉-貝塞爾級數(shù)： （8.25）其中系數(shù)可用下述方法確定：在展開式(8.25)的兩端同乘以并對從0到a積分，由正交關系式(8.24)得利用前面計算過的貝塞爾函數(shù)的模值公式得到 （8.26）下面我們舉兩個例子，說明用貝塞爾函數(shù)求解定解問題的全過程.例1 設有半徑為1的薄均勻圓盤，

12、邊界上溫度為零，初始時刻圓盤內溫度分布為，其中是圓盤內任一點的極半徑，求圓內溫度分布規(guī)律.解 根據(jù)問題的要求，即可歸結為求解下列定解問題： 采用極坐標系，并考慮到定解條件與無關，所以溫度只能是的函數(shù)，于是上述問題可寫為 此外，由物理意義，還有條件令 代入方程(8.27)得或 由此得 (8.30) (8.31)方程(8.31)的解為，因為，時只能小于零，令則此時方程(8.30)的通解為由的有界性，可知，再由(8.28)得，即是的零點，以表示的正零點，則綜合以上結果可得從而 利用疊加原理，可得原問題的解為由條件(8.29)從而 因 即 故得 另外 從而 所以，所求定解問題的解為 (8.32)其中是

13、的正零點.例2 求下列定解問題 的解.解 用分離變量法來解，令采用例1中同樣的運算，可以得到 (8.36) (8.37)由在處的有界性，可知即 (8.38)再根據(jù)邊界條件(8.34)中第一式，得因不能為零，故有利用貝塞爾函數(shù)的遞推公式(8.11)可得即是的正零點，以表示的所有正零點，則即 (8.39)將(8.39)分別代入(8.38),(8.37)，得從而 利用疊加原理可得原定解問題的解為將條件(8.35)代入上式得 (8.40) (8.41)由(8.40)得 由(8.41)并利用下面的結果（見習題八第14題）：如果是的正零點，則得到所以最后得到定解問題的解為 (8.42)習 題 八1、當為正整數(shù)時，討論的收斂范圍.2、寫出是正整數(shù)）的組數(shù)表示式的前5項.3、證明其中.4、.5、6、證明為方程的解.7、證明8、試證是方程的一個解.9、試證是方程的一個解.10、設是方程的正根，將函數(shù)展開成貝塞爾函數(shù)的級數(shù).11、設是的正根，將函數(shù)展開成