實(shí)驗(yàn)一函數(shù)插值方法報告

1、實(shí)驗(yàn)一 函數(shù)插值方法報告一、問題提出 對于給定的一元函數(shù)的n+1個節(jié)點(diǎn)值。試用Lagrange公式求其插值多項(xiàng)式或分段二次Lagrange插值多項(xiàng)式。數(shù)據(jù)如下： （1） 0.4 0.55 0.65 0.80 0.95 1.05 0.41075 0.578150.696750.90 1.00 1.25382 求五次Lagrange多項(xiàng)式，和分段三次插值多項(xiàng)式，計算,的值。（提示：結(jié)果為, ） （2） 1 2 3 4 5 6 7 0.368 0.135 0.050 0.018 0.007 0.002 0.001 試構(gòu)造Lagrange多項(xiàng)式，計算的,值。（提示：結(jié)果為, ）二、要求 1、 利用La

2、grange插值公式 編寫出插值多項(xiàng)式程序； 2、 給出插值多項(xiàng)式或分段三次插值多項(xiàng)式的表達(dá)式； 3、 根據(jù)節(jié)點(diǎn)選取原則，對問題（2）用三點(diǎn)插值或二點(diǎn)插值，其結(jié)果如何； 4、 對此插值問題用Newton插值多項(xiàng)式其結(jié)果如何。Newton插值多項(xiàng)式如下： 其中： 三、目的和意義 1、 學(xué)會常用的插值方法，求函數(shù)的近似表達(dá)式，以解決其它實(shí)際問題； 2、 明確插值多項(xiàng)式和分段插值多項(xiàng)式各自的優(yōu)缺點(diǎn)； 3、 熟悉插值方法的程序編制； 4、 如果繪出插值函數(shù)的曲線，觀察其光滑性。 四、實(shí)驗(yàn)學(xué)時：2學(xué)時五、實(shí)驗(yàn)步驟： 1進(jìn)入C或matlab開發(fā)環(huán)境；2根據(jù)實(shí)驗(yàn)內(nèi)容和要求編寫程序；3調(diào)試程序；4運(yùn)行程序；5

3、撰寫報告,討論分析實(shí)驗(yàn)結(jié)果.解：一、編寫插值函數(shù)結(jié)構(gòu)程序Lagrange插值多項(xiàng)式M文件：lagrange1.mfunction A1,LN,L1,B1=lagrange1(X,Y)m=length(X); LN=ones(m,m);for k=1: m x1=1; for i=1:m if k=i x1=conv(x1,poly(X(i)/(X(k)-X(i); endendL1(k,:)=x1; B1(k,:)=poly2sym (x1)endA1=Y*L1;LN=Y*B1分段三次艾爾米特插值多項(xiàng)式的M文件：Hermite3.mfunction f,ff = Hermite3(x,y,y1

4、)syms t;f = 0.0;if(length(x) = length(y) if(length(y) = length(y1) n = length(x); else disp('y和y的導(dǎo)數(shù)的維數(shù)不相等'); return; endelse disp('x和y的維數(shù)不相等！ '); return;end for i=1:n h = 1.0; a = 0.0; for j=1:n if( j = i) h = h*(t-x(j)2/(x(i)-x(j)2); a = a + 1/(x(i)-x(j); end end f = f + h*(x(i)-t)*

5、(2*a*y(i)-y1(i)+y(i);end ff = subs(f,'t');（1）、求五次Lagrange多項(xiàng)式，和分段三次插值多項(xiàng)式。在主顯示區(qū)，輸入五次Lagrange多項(xiàng)式程序：>> X=0.4 0.55 0.65 0.80 0.95 1.05;>> Y=0.41075 0.57815 0.69675 0.90 1.00 1.25382;>> A1,LN,L1,B1=lagrange1(X,Y)>> plot(X,A1); >> F=poly2sym(A1) 運(yùn)行后，輸出五次Lagrange多項(xiàng)式的結(jié)果：

6、A1 = 121.6264 -422.7503 572.5667 -377.2549 121.9718 -15.0845F = (2139673480305281*x5)/17592186044416 - (1859275536318005*x4)/4398046511104 + (9836621836743*x3)- (414796119737013*x2)/1099511627776 + (2145751274873259*x)/17592186044416 - 1061478972867847/70368744177664拉格朗日插值多項(xiàng)式的圖如下：在主顯示區(qū)，

7、輸入分段三次艾爾米特插值多項(xiàng)式的程序：>> x=0.4 0.55 0.65 0.80 0.95 1.05;>> y=0.41075 0.57815 0.69675 0.90 1.00 1.25382;>> y1=2.3440 0.9032 1.4329 0.9903 0.9170 5.1439;>> f,ff = Hermite3(x,y,y1);>> ff運(yùn)行后，分段三次艾爾米特插值多項(xiàng)式的輸出結(jié)果：ff = (6400000000*(t - 4/5)2*(t - 11/20)2*(t - 13/20)2*(t - 19/20)2*

8、(t - 21/20)2*(2240245151070481*t)/140737488355328 - 52393133567890089/8796093022208000)/184041 - (16000000*(6348013345609171*t)/140737488355328 - 85523418631741336287/1759218604441600000)*(t - 2/5)2*(t - 4/5)2*(t - 11/20)2*(t - 13/20)2*(t - 19/20)2)/169 + (16000000*(4105617466549689*t)/2814749767106

9、56 - 5238387122042657959/703687441776640000)*(t - 2/5)2*(t - 4/5)2*(t - 13/20)2*(t - 19/20)2*(t - 21/20)2)/9 - (256000000*(35097*t)/10000 - 46347/12500)*(t - 2/5)2*(t - 11/20)2*(t - 13/20)2*(t - 19/20)2*(t - 21/20)2)/81 - (400000000*(13147*t)/20000 - 449611/400000)*(t - 2/5)2*(t - 4/5)2*(t - 11/20)2

10、*(t - 19/20)2*(t - 21/20)2)/81 - (10000000000*(84913*t)/11000 - 1833347/220000)*(t - 2/5)2*(t - 4/5)2*(t - 11/20)2*(t - 13/20)2*(t - 21/20)2)/9801分段三次艾爾米特插值多項(xiàng)式的圖如下： (2)、試構(gòu)造Lagrange多項(xiàng)式。結(jié)果為, 在主顯示區(qū)，輸入程序：>> X=1 2 3 4 5 6 7;>> Y=0.368 0.135 0.050 0.018 0.007 0.002 0.001;>> A1,LN,L1,B1=l

11、agrange1(X,Y)>> plot(X,A1);>> F=poly2sym(A1)運(yùn)行后，輸出結(jié)果的Lagrange多項(xiàng)式的結(jié)果：A1 =0.0001 -0.0016 0.0186 -0.1175 0.4419 -0.9683 0.9950F = (4304240283865561*x6)/73786976294838206464 - (7417128346304051*x5)/4611686018427387904 + (223*x4)/12000 - (2821*x3)/24000 + (994976512675275*x2)/2251799813685248

12、 - (19367*x)/20000 + 199/200Lagrange多項(xiàng)式的圖如下： 二、計算函數(shù)值計算函數(shù)值的主程序：lagrangezhi.mfunction y,R=lagrangezhi(X,Y,x,M)n=length(X); m=length(x);for i=1:m z=x(i);s=0.0; for k=1:n p=1.0; q1=1.0; c1=1.0;for j=1:n if j=kp=p*(z-X(j)/(X(k)-X(j); end q1=abs(q1*(z-X(j);c1=c1*j; end s=p*Y(k)+s; end y(i)=s;endR=M*q1/c1;

13、（1）、計算、 的值。在主顯示區(qū)，輸入程序：>> x=0.596; M=1; X=0.4,0.55,0.65,0.80,0.95,1.05;>> Y=0.41075,0.57815,0.69675,0.90,1.00,1.25382; >> y,R=lagrangezhi(X,Y,x,M)運(yùn)行結(jié)果：y = 0.6257R = 2.2170e-008在主顯示區(qū)，輸入程序：>> x=0.99; M=1; X=0.4,0.55,0.65,0.80,0.95,1.05;>> Y=0.41075,0.57815,0.69675,0.90,1.0

14、0,1.25382; >> y,R=lagrangezhi(X,Y,x,M)運(yùn)行結(jié)果：y = 1.0542R = 5.5901e-008（2）、計算、的值在主顯示區(qū)，輸入程序：>> x=1.8; M=1; X=1,2,3,4,5,6,7;>> Y=0.368,0.135,0.050,0.018,0.007,0.002,0.001;>> y,R=lagrangezhi(X,Y,x,M)運(yùn)行結(jié)果：y = 0.1648R =0.0059在主顯示區(qū)，輸入程序：>> x=6.15; M=1; X=1,2,3,4,5,6,7;>> Y

15、=0.368,0.135,0.050,0.018,0.007,0.002,0.001;>> y,R=lagrangezhi(X,Y,x,M)運(yùn)行結(jié)果：y = 0.0013R =0.0042三、Newton插值多項(xiàng)式Newton插值多項(xiàng)式主程序M文件：Newton.mfunction A,C,L,wcgs,Cw= Newton(X,Y)n=length(X); A=zeros(n,n); A(:,1)=Y's=0.0; p=1.0; q=1.0; c1=1.0;for j=2:nfor i=j:nA(i,j)=(A(i,j-1)- A(i-1,j-1)/(X(i)-X(i-j

16、+1);endb=poly(X(j-1);q1=conv(q,b); c1=c1*j; q=q1;endC=A(n,n); b=poly(X(n); q1=conv(q1,b);for k=(n-1):-1:1C=conv(C,poly(X(k); d=length(C); C(d)=C(d)+A(k,k);endL(k,:)=poly2sym(C); Q=poly2sym(q1);syms Mwcgs=M*Q/c1; Cw=q1/c1;在主顯示區(qū)，輸入的程序:>> x=0.4 0.55 0.65 0.80 0.95 1.05;>> y=0.41075 0.57815

17、0.69675 0.90 1.00 1.25382;>> A,C,L,wcgs,Cw= Newton(x,y)>> syms x;>> ezplot(L,0 1.1);運(yùn)行結(jié)果如下，得到A = 0.4108 0 0 0 0 0 0.5782 1.1160 0 0 0 0 0.6967 1.1860 0.2800 0 0 0 0.9000 1.3550 0.6760 0.9900 0 0 1.0000 0.6667 -2.2944 -7.4261 -15.3020 0 1.2538 2.5382 7.4861 24.4514 63.7551 121.6264C

18、 = 121.6264 -422.7503 572.5667 -377.2549 121.9718 -15.0845 L = (8558693921221117*x5)/70368744177664 - (3718551072636019*x4)/8796093022208 + (5036350380412441*x3)/8796093022208 - (3318368957896111*x2)/8796093022208 + (536437818718315*x)/4398046511104 - 8491831782942691/562949953421312 wcgs = (M*(x6 -

19、 (22*x5)/5 + (1583*x4)/200 - (3721*x3)/500 + (542206127247039*x2)/140737488355328 - (4682696525551953*x)/4503599627370496 + 4111390143022055/36028797018963968)/720 Cw =0.0014 -0.0061 0.0110 -0.0103 0.0054 -0.0014 0.0002牛頓插值多項(xiàng)式的圖如下：在主顯示區(qū)，輸入的程序:>> x=1 2 3 4 5 6 7;>> y=0.368 0.135 0.050 0.0

20、18 0.007 0.002 0.001;>> A,C,L,wcgs,Cw= Newton(x,y)>> syms x;>> ezplot(L,0 8);運(yùn)行結(jié)果如下，得到：A = 0.3680 0 0 0 0 0 0 0.1350 -0.2330 0 0 0 0 0 0.0500 -0.0850 0.0740 0 0 0 0 0.0180 -0.0320 0.0265 -0.0158 0 0 0 0.0070 -0.0110 0.0105 -0.0053 0.0026 0 0 0.0020 -0.0050 0.0030 -0.0025 0.0007 -0.0004 0 0.0010 -0.0010 0.0020 -0.0003 0.0005 -0.0000