線性代數(shù)重要知識點(diǎn)及典型例題答案

1、線性代數(shù)知識點(diǎn)總結(jié)第一章行列式二三階行列式N 階 行 列 式 ： 行 列 式 中 所 有 不 同 行 、 不 同 列 的 n 個 元 素 的 乘 積 的 和aij n( 1) ( j1 j2 . j n ) a1 j1 a2 j2 .anj nj1 j2 j n（奇偶）排列、逆序數(shù)、對換行列式的性質(zhì)： 行列式行列互換，其值不變。（轉(zhuǎn)置行列式DD T ） 行列式中某兩行（列）互換，行列式變號。推論：若行列式中某兩行（列）對應(yīng)元素相等，則行列式等于零。 常數(shù) k 乘以行列式的某一行（列），等于 k 乘以此行列式。推論：若行列式中兩行（列）成比例，則行列式值為零；推論：行列式中某一行（列）元素全為零

2、，行列式為零。 行列式具有分行（列）可加性 將行列式某一行（列）的k 倍加到另一行（列）上，值不變行列式依行（列）展開：余子式M ij 、代數(shù)余子式Aij( 1)i j M ij定理：行列式中某一行的元素與另一行元素對應(yīng)余子式乘積之和為零?？巳R姆法則：非齊次線性方程組：當(dāng)系數(shù)行列式D0時，有唯一解： x jD j ( j1、2n)D齊次線性方程組：當(dāng)系數(shù)行列式D10 時，則只有零解逆否：若方程組存在非零解，則D 等于零特殊行列式：a11a12a13a11a21a31轉(zhuǎn)置行列式： a21a22a23a12a22a32a31a32a33a13a23a33對稱行列式 : aija ji反對稱行列式

3、: aija ji奇數(shù)階的反對稱行列式值為零a11a12a13三線性行列式 :a21a220方法：用 k1a22 把 a21 化為零，?；癁槿切涡辛惺絘310a33上（下）三角形行列式:行列式運(yùn)算常用方法（主要）行列式定義法（二三階或零元素多的）化零法（比例）化三角形行列式法、降階法、升階法、歸納法、第二章矩陣矩陣的概念： Am* n （零矩陣、負(fù)矩陣、行矩陣、列矩陣、n 階方陣、相等矩陣 )矩陣的運(yùn)算：加法（同型矩陣）-交換、結(jié)合律數(shù)乘 kA (kaij ) m* n - 分配、結(jié)合律lA* B( aik )m*l * (bkj )l * n ( aik bkj ) m* n乘法1注意什么

4、時候有意義一般 AB=BA，不滿足消去律；由AB=0 ，不能得 A=0 或 B=0轉(zhuǎn)置 (AT)TA(A B)TATBT(kA)TkAT( AB)TBT AT (反序定理 )方冪： Ak1 Ak2Ak1 k2( Ak1 ) k2Ak1 k2幾種特殊的矩陣：對角矩陣 ：若AB都是 N 階對角陣，k 是數(shù)，則 kA 、 A+B 、AB 都是 n 階對角陣數(shù)量矩陣： 相當(dāng)于一個數(shù)（若）單位矩陣、上（下）三角形矩陣（若）對稱矩陣反對稱矩陣階梯型矩陣 ：每一非零行左數(shù)第一個非零元素所在列的下方都是 0分塊矩陣：加法，數(shù)乘，乘法：類似，轉(zhuǎn)置：每塊轉(zhuǎn)置并且每個子塊也要轉(zhuǎn)置注： 把分出來的小塊矩陣看成是元素逆

5、矩陣：設(shè)A 是 N 階方陣，若存在N 階矩陣 B 的 AB=BA=I 則稱 A 是可逆的，A 1B (非奇異矩陣、奇異矩陣|A|=0 、伴隨矩陣 )初等變換1、交換兩行（列）2.、非零 k 乘某一行（列）3、將某行（列）的K倍加到另一行（列） 初等變換不改變矩陣的可逆性初等矩陣都可逆初等矩陣：單位矩陣經(jīng)過一次初等變換得到的（對換陣倍乘陣 倍加陣）等價標(biāo)準(zhǔn)形矩陣 DrI rOOO矩陣的秩r(A) ：滿秩矩陣降秩矩陣若 A 可逆，則滿秩若 A 是非奇異矩陣，則r（ AB ） =r（ B）初等變換不改變矩陣的秩求法： 1 定義 2 轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)式或階梯形矩陣與行列式的聯(lián)系與區(qū)別：都是數(shù)表 ；行列式行數(shù)

6、列數(shù)一樣，矩陣不一樣 ；行列式最終是一個數(shù)，只要值相等，就 相 等 ， 矩 陣 是 一 個 數(shù) 表 ， 對 應(yīng) 元 素 相 等 才 相 等 ； 矩 陣 ( kaij ) nk (aij ) n ， 行 列 式kaijnkn aijn逆矩陣注 ： AB=BA=I則A與B一定是方陣 BA=AB=I 則 A 與 B 一定互逆；不是所有的方陣都存在逆矩陣；若A 可逆，則其逆矩陣是唯一的。矩陣的逆矩陣滿足的 運(yùn)算律 ：1、可逆矩陣 A 的逆矩陣也是可逆的，且 ( A 1 ) 1A2、可逆矩陣 A 的數(shù)乘矩陣 kA 也是可逆的，且(kA) 1 1 A 1k3、可逆矩陣 A 的轉(zhuǎn)置 AT 也是可逆的，且 (

7、 AT )1(A 1)T4、兩個可逆矩陣 A 與 B 的乘積 AB 也是可逆的，且 ( AB ) 1B1A1但是兩個可逆矩陣A 與 B 的和 A+B 不一定可逆， 即使可逆， 但 ( A B) A 1B 1A 為 N 階方陣，若 |A|=0，則稱 A 為奇異矩陣 ，否則為 非奇異矩陣 。5、若 A 可逆，則 A 11A伴隨矩陣： A 為 N 階方陣，伴隨矩陣： A*A11A12（代數(shù)余子式）A21A22特殊矩陣的逆矩陣：（對 1 和 2，前提是每個矩陣都可逆）1、分塊矩陣2、準(zhǔn)對角矩陣AB1111AA BCD則 DOCOC 1A1A111A2A2A， 則 A1A31A3A41A43、AA*A*

8、AAI4、 A*AA 1（A 可逆）5、 A*n 16、 A*1A 1*1A （A 可逆）AA7、 A*TAT *8、 AB*B* A*判斷矩陣是否可逆：充要條件是 A0，此時 A1 1 A*A求逆矩陣的方法：定義法 AA 1I伴隨矩陣法 A 1A*A初等變換法A | I nI n | A 1只能是行變換初等矩陣與矩陣乘法的關(guān)系：設(shè) Aaijm* n是m*n階矩陣，則對A 的行實行一次初等變換得到的矩陣，等于用同等的m 階初等矩陣左乘以A ：對 A 的列實行一次初等變換得到的矩陣，等于用同種n 階初等矩陣右乘以A（行變左乘，列變右乘）第三章線性方程組消元法非齊次線性方程組：增廣矩陣 簡化階梯型

9、矩陣r(AB)=r(B)=r當(dāng) r=n 時，有唯一解；當(dāng)rn 時，有無窮多解r(AB)r(B) ，無解齊次線性方程組：僅有零解充要r(A)=n 有非零解充要r(A)<n當(dāng)齊次線性方程組方程個數(shù)<未知量個數(shù)，一定有非零解當(dāng)齊次線性方程組方程個數(shù)=未知量個數(shù)，有非零解充要|A|=0齊次線性方程組若有零解，一定是無窮多個N 維向量：由n 個實數(shù)組成的n 元有序數(shù)組。希臘字母表示（加法數(shù)乘）特殊的向量：行（列）向量，零向量 ，負(fù)向量，相等向量，轉(zhuǎn)置向量向量間的線性關(guān)系 : 線性組合或線性表示向量組間的線性相關(guān)（無）：定義 P179向量組的秩： 極大無關(guān)組（定義P188）定理 ：如果 j ,

10、j,. j是向量組1, 2 ,. s 的線性無關(guān)的部分組，則它是12r極大無關(guān)組的充要條件是：1,2 ,. s 中的每一個向量都可由j1 , j 2 ,. jr 線性表出。秩 :極大無關(guān)組中所含的向量個數(shù)。定理：設(shè) A 為 m*n 矩陣，則 r ( A)r 的充要條件是：A 的列（行）秩為r?，F(xiàn)性方程組解的結(jié)構(gòu)：齊次非齊次、基礎(chǔ)解系線性組合或線性表示注：兩個向量，若k則 是 線性組合單位向量組任意向量都是單位向量組的線性組合零向量是任意向量組的線性組合任意向量組中的一個都是他本身的線性組合向量組間的線性相關(guān)（無）注： n 個 n 維單位向量組 一定是線性無關(guān)一個非零向量是線性無關(guān)，零向量是線性

11、相關(guān)含有零向量的向量組一定是線性相關(guān)若兩個向量成比例，則他們一定線性相關(guān)1 ,2 ,. n 線性表示的充要條件是 r (TTT)r (TT.TT )向量 可由12 .n12n判斷是否為線性相關(guān)的方法 ：1、定義法：設(shè)k1 k2 .kn ，求 k1k2.kn （適合維數(shù)低的）2、向量間關(guān)系法P183 ：部分相關(guān)則整體相關(guān)，整體無關(guān)則部分無關(guān)3、分量法（ n 個 m 維向量組） P180TTT) n：線性相關(guān)（充要）r ( 12. n線性無關(guān)（充要）r (TTT12. n ) n推論當(dāng) m=n 時，相關(guān)，則TTT0TTT123；無關(guān)，則 1 230當(dāng) m<n 時，線性相關(guān)推廣：若向量1 ,

12、2 ,. s 組線性無關(guān)，則當(dāng)s 為奇數(shù)時，向量組12, 2 3 ,. s 1也線性無關(guān)；當(dāng)s 為偶數(shù)時，向量組也線性相關(guān)。定理：如果向量組 1 , 2 ,. s ,線性相關(guān)，則向量可由向量組1, 2 ,. s 線性表出，且表示法唯一的充分必要條件是1 , 2 ,. s 線性無關(guān)。極大無關(guān)組 注：向量組的極大無關(guān)組不是唯一的，但他們所含向量的個數(shù)是確定的；不全為零的向量組的極大無關(guān)組一定存在；無關(guān)的向量組的極大無關(guān)組是其本身；向量組與其極大無關(guān)組是等價的。齊次線性方程組（I ）解的結(jié)構(gòu) ：解為1 , 2 .（ I）的兩個解的和12 仍是它的解；（ I）解的任意倍數(shù)k還是它的解；（ I）解的線性

13、組合c11c22 .cs s 也是它的解， c1,c2 ,.cs 是任意常數(shù)。非齊次線性方程組（II ）解的結(jié)構(gòu) ：解為 1,2 .（ II ）的兩個解的差12 仍是它的解；若 是非齊次線性方程組AX=B的一個解， v 是其導(dǎo)出組 AX=O 的一個解，則 u+v 是（II ）的一個解。定理 ：如果齊次線性方程組的系數(shù)矩陣A 的秩 r ( A) r n ，則該方程組的基礎(chǔ)解系存在，且在每個基礎(chǔ)解系中，恰含有n-r 個解。若是非齊次線性方程組AX=B是（ II ）的全部解。的一個解，v 是其導(dǎo)出組AX=O的全部解，則u+v第四章向量空間向量的內(nèi)積實向量定義：（ ， ） =Ta1b1a2 b2. a

14、n bn性質(zhì)：非負(fù)性、對稱性、線性性(,k)=k( ,);(k,k)= k 2 (,);(+,)=( ,)+( ,)+( , )+( ,);rsrs, , ,Rn ,(kii ,l jj )kil j ( i , j )i1j1i 1j1向量的長度( ,)0 的充要條件是=0 ； 是單位向量的充要條件是（， ） =1單位化向量的夾角正交向量： 是正交向量的充要條件是（， ） =0正交的向量組必定線性無關(guān)正交矩陣：階矩陣AATATAI性質(zhì)： 1、若 A 為正交矩陣，則可逆，且A 1AT ，且 A 1 也是正交矩陣；、若A 為正交矩陣，則A1；、若 A 、為同階正交矩陣，則也是正交矩陣；、階矩陣（

15、aij ）是正交矩陣的充要條件是的列（行）向量組是標(biāo)準(zhǔn)正交向量；第五章矩陣的特征值和特征向量特征值、特征向量A 是 N 階方陣，若數(shù)使 AX=X ，即（I-A ） =0 有非零解，則稱為A的一個特征值，此時，非零解稱為A 的屬于特征值的特征向量。|A|=1 * 2 * . n注：1、 AX= X2、求特征值、特征向量的方法I A0求 i將i 代入（I-A ） X=0 求出所有非零解3、對于不同的矩陣，有重根、單根、復(fù)根、實根（主要學(xué)習(xí)的）c1特殊： ( I ) n 的特征向量為任意N 階非零向量或c2 (ci 不全為零 )cn4、特征值：若(0) 是 A 的特征值則 A 1 -1則 Am -m

16、則 kA -k若 A2 =A 則 -=0或1若 A2 =I 則-=-1或1若 Ak =O 則 -=0跡 tr(A ) ：跡（ A ）= a11 a22ann性質(zhì)：1、 N 階方陣可逆的充要條件是A 的特征值全是非零的2、 A 與 A 1 有相同的特征值3、 N 階方陣 A 的不同特征值所對應(yīng)的特征向量線性無關(guān)4、 5、 P281相似矩陣定義 P283： A 、 B 是 N 階矩陣，若存在可逆矩陣P，滿足 P 1APB，則矩陣 A與B相似，記作 AB性質(zhì) 1、自身性： AA,P=I、對稱性：若AB則BAP1AP BAPBP 1( P1)1BP1A23、傳遞性：若AB 、 BC則 ACP11 AP

17、1BP21 BP2C - ( P1P2) 1A(P1P2) C4、若 AB ，則 A 與 B 同（不）可逆111兩邊同取逆，111、若AB，則A BPAPBPAPB56、若 AB ，則它們有相同的特征值。（特征值相同的矩陣不一定相似）7、若 AB ，則 r ( A)r ( B)初等變換不改變矩陣的秩例子： P 1APB 則 A100PB100P 1P 1APOA=OP 1APIA=IP 1APIA=I矩陣對角化定理：N 階矩陣 A 與 N 階對角形矩陣相似的充要條件是A 有 N 個線性無關(guān)的特征向量注： 1、 P 與 中的 xi 與 i 順序一致2、 A, 則 與 P 不是唯一的推論：若n 階

18、方陣 A 有 n 個互異的特征值，則A （ P281）定 理 ： n階 方 陣A 的 充 要 條 件 是 對 于 每 一 個 Ki 重 特 征 根i， 都 有r ( i IA)nK i注：三角形矩陣、數(shù)量矩陣I 的特征值為主對角線。約當(dāng)形矩陣11約當(dāng)塊：形如J的 n 階矩陣稱為n 階約當(dāng)塊；1J1約當(dāng)形矩陣： 由若干個約當(dāng)塊組成的對角分塊矩陣JJ2（ Ji 是約當(dāng)塊）Jn稱為約當(dāng)形矩陣。定理：任何矩陣A 都相似于一個約當(dāng)形矩陣，即存在n 階可逆矩陣P 1 APJ 。第六章二次型二次型與對稱矩陣只含有二次項的n 元多項式f() 稱為一個n 元二次型，簡稱二次型。標(biāo)準(zhǔn)型：形如的二次型，稱為標(biāo)準(zhǔn)型。

19、規(guī)范型：形如的二次型，稱為規(guī)范型。線性變換矩陣的合同：設(shè)AB 是 n 階方陣，若存在一個n 階可逆矩陣C，使得的，記作 AB。合同的性質(zhì)：反身性、對稱性、傳遞性、秩、化二次型為標(biāo)準(zhǔn)型：配方法、做變換（二次型中不含有平方項）則稱A 與B 是合同第一章行列式一行列式的定義和性質(zhì)1. 余子式 M ij 和代數(shù)余子式 Aij 的定義0111例1行列式1011 第二行第一列元素的代數(shù)余子式A21 （）11011110A 2B 1C 1D 2測試點(diǎn)余子式和代數(shù)余子式的概念01111111111011, A21 ( 1)2 1M21解析1 01012111011100011110答案 B2行列式按一行或一列

20、展開的公式nn1） Aaijnaij Aij , j1,2,n;( Aaijnaij Aij , i 1,2,n)i1j 1nAkjnAkiaij AikaijAkj2）0k;0kii1jj 1例 2設(shè) 某3階行列式的第二行元素分別為1,2,3, 對應(yīng)的余子式分別為3,2,1則此行列式的值為.測試點(diǎn)行列式按行 ( 列 ) 展開的定理解 D(1)A212 A223A23( 1)(1)2 1M212( 1)22M 22 3(1)23 M2334310例 3 已知行列式的第一列的元素為1,4,3,2，第二列元素的代數(shù)余子式為2,3,4,x 問 x.測試點(diǎn)行列式的任意一行( 列 ) 與另一行 ( 列

21、) 元素的代數(shù)余子式的乘積之和為零.解 因第一列的元素為1,4,3,2 ，第二列元素的代數(shù)余子式為2,3,4, x, 故 12 43(3) 4 2x 0所以 x13行列式的性質(zhì)1） ATA.2）用數(shù) k 乘行列式的某一行（列）所得新行列式原行列式的k 倍 . 推論3）互換行列式的任意兩行（列）所得新行列式等于原行列式的相反數(shù).推論4）如果行列式中兩行（列）對應(yīng)元素成比例，則行列式值為0.5）行列式可以按任一行（列）拆開.6）行列式的某一行（列）的k 倍加到另一行（列）上，所得新行列式與原行列式的值相等.a11a12a132a112a122a13例 4 已知 a21a22a233 ，那么 a21

22、a22a23（）a31a32a332a312a322a33A.24B. 12C.6D. 12測試點(diǎn)行列式的性質(zhì)2a112a122a13a11a12a13解析a21a22a232( 2) a21a22a2312.2a312a322a33a31a32a33答案 B例 5 設(shè)行列式 a1b1=1， a1c1 =2，則 a1b1c1 =（）a 2b2a 2c2a 2b2c2A 3B 1C 1D 3測試點(diǎn)行列式的性質(zhì)a1b1c1a1b1a1c13解b2c2a2b2a2c2a2故應(yīng)選D答案 D二行列式的計算1二階行列式和三角形行列式的計算.2. 對一般數(shù)字行列式，利用行列式的性質(zhì)將其降階以化成二階行列式或

23、三角形行列式的計算.3對行列式中有一行或一列中只有一個或兩個非零元的情況，用這一行或一列展開.4行列式中各行元素之和為一個常數(shù)的類型.5. 范德蒙行列式的計算公式1114例6求4階行列式 1131 的值.12111111測試點(diǎn)行列式的計算111411140231131002302103 (6解121101033)0003111110003123233例 7 計算 3階行列式249499 .367677123233100233100203解249499(1) (1)(2)200499(2)2004090.( 1)(3)367677300677300607xaaa例 8計算行列式：axaaaaxa

24、aaax測試點(diǎn)各行元素之和為常數(shù)的行列式的計算技巧.x a a a x3a a a a x 3aaaaa x a a x3a x a a0x a00解 D3a a x a00x a0a a x a xa a a x x3a a a x000x a( x 3a)( x a) 3.ab0000ab0000a00例 9 計算行列式 D n000abb000a測試點(diǎn)行列式中有一行只有兩個元素不為零的行列式的計算和三角形行列式的計算ab0000ab00解 Dn00a00=aA11 bAn1 =aM 11+ b( 1)n 1M n1 an( 1)n 1 bn000abb000a00010020例 10 計

25、算行列式 D6050060000001100000200200解 D 6(1)(1)36!(6)0500 (2)(5)0050600(3)(4)000601xx2x3例 11 設(shè) D (x)124813927141664問（ 1） D ( x) 中， x3 項的系數(shù)？（2）方程 D (x)0 有幾個根？試寫出所有的根。測試點(diǎn) 1. 范德蒙行列式的判別和計算公式;2. 行列式按行 ( 列 ) 展開的定理 .124解（ 1） x3 項的系數(shù)A14( 1)5139(32)(4 2)(4 3) 21416(2) 因為 D ( x)(2x)(3x)(4x)(32)(42)(43)所以方程 D ( x)0

26、 有三個根 : x2, x23, x4.13第二章矩陣一、矩陣的概念1. 要弄清矩陣與行列式的區(qū)別2. 兩個矩陣相等的概念3. 幾種特殊矩陣（ 0 矩陣，單位陣，三角陣，對角陣，數(shù)量陣）二、矩陣的運(yùn)算1 矩陣 A, B 的加、減、乘有意義的充分必要條件例 1 設(shè)矩陣 A (1,2)12123, B， C45，則下列矩陣運(yùn)算中有意義的是（）346A ACBB ABCC BACD CAB測試點(diǎn) :矩陣相乘有意義的充分必要條件答案: B120100例2設(shè)矩陣 A210， B021，則 A 2B =_.001013測試點(diǎn) :矩陣運(yùn)算的定義120200320解A2B210042252 .00102602

27、7例3設(shè)矩陣 A1， B2，則 ATB_.23測試點(diǎn) :矩陣運(yùn)算的定義解 AT B (1,2)28.32矩陣運(yùn)算的性質(zhì)比較矩陣運(yùn)算（包括加、減、數(shù)乘、乘法等）的性質(zhì)與數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)的相同點(diǎn)和不同點(diǎn)（加法的交換律和結(jié)合律；乘法關(guān)于加法的分配律；）重點(diǎn)是矩陣乘法沒有交換律（由此產(chǎn)生了矩陣運(yùn)算公式與數(shù)的運(yùn)算的公式的不同點(diǎn) .A B2A2+AB BA B2; A BA2AB2;()(B A+BA-B( AB)kABAB ABAk Bk ;( AE)2A22 AE如果 ABO，可能 AO, B1122O.例如 A, B2都不為零，但 AB O .1123轉(zhuǎn)置對稱陣和反對稱陣1）轉(zhuǎn)置的性質(zhì)(A B)TATB

28、T ;( A)TAT ;( ABC)TCT BT AT2）若TTAA AAA 為對稱（反對稱）陣() ，則稱例 4 矩陣 A, B,C 為同階方陣，則( ABC)T =（）A AT BTCTB CT BT ATC CT AT BTD ATCT BT答案: B例 5 設(shè)(1,2,3),(1, 1,1),令 AT,試求 A5.測試點(diǎn)矩陣乘法的一個常用技巧解因為AT1 1 12 22,所以3 3 3A5TTTTTT (T )(T )(T )(T )11111111(T )5T(1,1,1)25 2(1,1,1)25222 32222 .33333333111答案32222 .333例 6A 為任意

29、n 階矩陣，下列矩陣中為反對稱矩陣的是（）AA ATB AATC AATD ATA解析( AAT )TAT(AT)TATAAAT.故AAT 為對稱陣 .( AAT )TATA( AAT ).故 AAT 為反對稱陣 .( AAT )TAAT . 故 AAT 為對稱陣 . 同理 AT A 也為對稱陣 .答案 B例 7已知矩陣 A11E為2階單位矩陣 ,令BA23A2E,求B,23測試點(diǎn)方陣多項式的概念;B A23A2E11111110232333212014332021876902204. 方陣的行列式的性質(zhì)ATA;AnA;ABAB;AkA; A11 ; AA .kn 1A例7設(shè) A為n階方陣，為

30、實數(shù)，則A =）（AABAnAnCAD答案: C例8矩陣 A12, B12，則行列式 AT B 1_.3445解析ATB 1AT B1A 1( 2)12 .B( 3)3答案2.35. 逆矩陣1）方陣A 可逆 ( 也稱非異， A 滿秩 ) 的充分必要條件是A0.當(dāng) A可逆時，A 11A .AA11A21An1其中方陣 A的伴隨陣 A 的定義 AA12A22An2。A1nA2 nAnna11db特別 當(dāng) adbcb0 時，dad bccac重要公式AAA AAE； An 1A 與A1的關(guān)系A(chǔ) ；2）重要結(jié)論：若n 階方陣 A, B 滿足 AB E ，則 A, B 都可逆，且 A 1B,B 1A .3）逆矩陣的性質(zhì)：(A1)1A; 當(dāng)0時，( A)11 A1;(AB)1B 1A 1；(AT) 1(A1)T; A1 1.A4）消去律：設(shè)方陣A 可逆，且 ABAC( BAC