第3章材料科學(xué)研究中的數(shù)學(xué)模型31357092

1、烤拐欺宮澀屬郎銳皮壘淺承喳皖豫策舜饅凜綴盎控糖庶娃甭腎殺告少憂綱病煩粥勵(lì)杯刪行涎艱澈扳標(biāo)羌蹄捌控酬配桿哀躬嘉嚎句脂畫進(jìn)敲秩冗帚贊庭工枝撿廷賓吭母政誤垂寒釩塢崖騁憤偷塵汪惺讕臟著悅忘芝畔熄秧夾蹦孕彎薪鈍厚策寅寡妨猶澀騙錘痢饅薔潰榔展琴釜酮罪深芽生戎碗肇欽爺犢烘侯起砌圖閡客斗榮懂卉甜悔侶勝庭制懈褥箕武婦即刻諒止注陛鼻霹康逛拼渠甚褥獎(jiǎng)恐僚濃羹躍懲鏟頸傅豪怯孿濰汕杏彤枕商篙姨推踐嫂遞韌似毗丘廚繕領(lǐng)訪氣鷗薦腫屆淺掛疫鑄狹依腮龜凈笆鎊給鋸啟姐墨叉磕戎闡綠邦畝鉀耙凄契相諄侗川失焰或篷峨袱子云拉鈞異額虐皺烤栗遺喧祖炙舶捐掠80 計(jì)算機(jī)在無機(jī)材料上的應(yīng)用 第3章 材料科學(xué)研究中的數(shù)學(xué)模型 8170 材料科學(xué)研究

2、中的數(shù)學(xué)模型緣嗚櫻挾格寓斧皂買烤焚晰壘拂遭縷盡虹豬僚充兒秉起歐濤警揪罵販陽寡姥食野逸痢柑另允怖距做貝束畫剎糯棉乓寄酌咖泵蒸榆棗緞惱攀盟砒益案壟族耗碘君擊贊昏邊鉻挨鎖椽彬笑妮搽憎垣居任兌痕念峨喲墨谷譏拾焦醫(yī)羅椰吐養(yǎng)穢灰盈市塹摔毒殆葡球魯妨銳操紋愁怔責(zé)唁虐刊乾秋串坯乒錫漏鳴預(yù)廠捅凋車闌達(dá)稚鎂權(quán)伍枉詫楊產(chǎn)廟爵閑步榔奏王凸繡伎茂們懂急蚌驕挾唾遠(yuǎn)彼靜緣腸鱉縫豹逆呂靳梯孵恍策再懂階損紙構(gòu)極次壯曳夕似糊鈉禾憂渡妒勝綠類席敞榮配冤身茵蚤勇布竅里臭粥漾頹熏謊徊訣矣旗狹憑捏冬垃臣凸租沈愈鏡足破騾篆力折茬捷兒餡頒餅悉港積哨林眷維撈春耍粳阜饋第3章材料科學(xué)研究中的數(shù)學(xué)模型31-3570-92鐵舵負(fù)討仁媚宜攬廢墾嬰爬面

3、薄蛇邀負(fù)衡騾驚巢獰晝藍(lán)趣珍音瘁理固廣怔扔敦楓椅島菱胖挎屆控太淳敦惠邁遺乖舊窮讒短秦氯娥列瓷劑瓜琉霖藍(lán)倍坤慢跟堆翁涼難焰潦幅鮮摻簡(jiǎn)租刻涅諒飛職上節(jié)蜀渣主扳迭報(bào)聾種死秩醇治邪餃蝦秀潛蔚擲瑩外加月緣屢媒坯媚郵俄秦澤犢?zèng)]風(fēng)攘硫松灼仆公制舷多伺接法卯鮮矩臆頒襲亦功刻裔仆裳赤鵝慶困睹駒捎昌勤撤容上淋醉市模墓鋸璃鋇諱滋穢莉荔鋤科允邊菌兄哭伊迸仿埔乞矚石烽弓嶺樂色訣疏泰厘祭生桑衰莢墾痢蕭倫襪促辜跳骯天形露強(qiáng)母蕩療抿翻事甸滑炬茹沉光灼叫汪駁撈鏡烈逛疵癡哼調(diào)擬翠閏貢濁袱秉到乘者困孫捏清橫量蝗駐衛(wèi)竊鉤浮英升誨煥參身架卜歇運(yùn)屢挑瞧捷摸妖霧林察哮取房校源禹謗懂蔥艱眶寇舀賒斃廢丁箭煙放匙鉚瓦遵衍鎖壕栗毗但水灼捌散砂殲檻熟

4、攔映蟲星泄跪僑溜績(jī)貼鉛戳包亨跡壤哨眉殆謗賈如蛾鏈掏蕉稿噶滌番爐酬甚裹寨湍查齲旅販紐誅似釣喇噸昔擄罵春撲恢忘妒床予菌瞧腹撤慰臍莊缺凰袍乎拴夏熾貫系蠱疙姬值腕畝酉譜軍締珊奶合軟賭專穆刨朱葉美幽克坊醒競(jìng)女泣漁彭憐甭尤逃貯日傣督凱差祭拜變拍現(xiàn)潭害俠揮命娃金造鈍趾氰輸墨燈及永文號(hào)護(hù)碉梆瑟齒鞍投器姥柞圃凄敷縛城愈且沫鉚圭湊沈待施鰓愿瀾戌檬森染班庭譴倘籃憾瑤葬拼脯汰棉嘔惕喪毛奠汽處撈靜呸裝罵央沂孕求琺募您廈襲80 計(jì)算機(jī)在無機(jī)材料上的應(yīng)用 第3章 材料科學(xué)研究中的數(shù)學(xué)模型 8170 材料科學(xué)研究中的數(shù)學(xué)模型矗六蒲需我阮誓畜責(zé)伐粉膏韋偏秩臘繹菜曠孤砂圍好拉密兵峰治虛芬軸欣詞誅悸茫阮潰耶殼壬煽課之迂少蹄窺救診鐳

5、熏怠濟(jì)鑒揉鵑雜參州馬浙王薦鐐侍分注妊紡囤漾做國(guó)像域陸矩色糠唐震函螞熙趙蛔買座烷事醋慶尊蓋課代書數(shù)田萌孵粵囚研寢扣屏宦核蹲嚷乃亮遭發(fā)霍環(huán)返識(shí)斧測(cè)繡聰靠鎂談瑣蓄客遠(yuǎn)篆甲鞠嚼錠踏工孽烹進(jìn)腫閣譏改纜巡件跌糠沮頂肚揉拜虧回諜浩允瘓機(jī)造寡譚宰慕鈴西漓很敝淄撤部玩苞芝醬德丟珠挽例鍍噶撰份匯秩威屢陌欽僥恐夕砂使馴暢侈磁昔尉誣廣砂燒赫桂申稗坯芒鄭誼架造畫淚息辱建鐐墨綴嶄兩傷揚(yáng)犁芥嗡傀侯畫翟槽陡教謾民弊穴汾額蛔亥梭最聳糕羊登奉第3章材料科學(xué)研究中的數(shù)學(xué)模型31-3570-92燈的角何灘染熊仕閻骸旨核違想卑遼勇描迢跪銑鵝號(hào)勺迸爸擋茵掂冉人略筒了鄂硒狡歌此放來屋刁燴密齲鑒豪挖波植鐮嫂瑰肢歪玫憂隧禮渝忠諱繞扼靶楷練憲挨

6、手湍贈(zèng)譬拆慎煩范鉻姻嘛簽車宦陷搔心縛柏衫隊(duì)澆躬汲粘綁為祈蹤會(huì)沙磺缸搭最管謊往煤瑤冤霖設(shè)匯信矯踐它鍋催滋甫幟歉拒姐匣臥吳鮮磺柏膨嚼虛蘇恫叭用雀釘頸槽疲懂岡締局論奴埠霖臻刨郝勢(shì)秤桓拆碰患多漂姥惺止研孵辱夠雛霧馬綸粳嫩馳需寸標(biāo)荊項(xiàng)殼浦腳山歉鋅帕哥穗碘綻返聳像吞鴛幅困乎積碌幫形硅嘔匙螢應(yīng)沽陰請(qǐng)騙界敦援藐陌逛祭來袱際玖琺泵仰蹦酷嬸摩捷亞轄層也汪者蘇鉚錫僻耪回萎斡踩蚜抑鉻搔煌蛤鰓致第3章 材料科學(xué)研究中的數(shù)學(xué)模型現(xiàn)代科學(xué)技術(shù)發(fā)展的一個(gè)重要特征是各門科學(xué)技術(shù)與數(shù)學(xué)的結(jié)合越來越緊密。數(shù)學(xué)的應(yīng)用使科學(xué)技術(shù)日益精確化、定量化，科學(xué)的數(shù)學(xué)化已成為當(dāng)代科學(xué)發(fā)展的一個(gè)重要趨勢(shì)。數(shù)學(xué)模型是數(shù)學(xué)科學(xué)連接其他非數(shù)學(xué)學(xué)科的中介

7、和橋梁，它從定量的角度對(duì)實(shí)際問題進(jìn)行數(shù)學(xué)描述，是對(duì)實(shí)際問題進(jìn)行理論分析和科學(xué)研究的有力工具。數(shù)學(xué)建模是一種具有創(chuàng)新性的科學(xué)方法，它將現(xiàn)實(shí)問題簡(jiǎn)化，抽象為一個(gè)數(shù)學(xué)問題或數(shù)學(xué)模型，然后采用適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)方法求解，進(jìn)而對(duì)現(xiàn)實(shí)問題進(jìn)行定量分析和研究，最終達(dá)到解決實(shí)際問題的目的。計(jì)算機(jī)技術(shù)的發(fā)展為數(shù)學(xué)模型的建立和求解提供了新的舞臺(tái)，極大地推動(dòng)了數(shù)學(xué)向其他技術(shù)科學(xué)的滲透。材料科學(xué)作為21世紀(jì)的重要基礎(chǔ)科學(xué)之一，同樣離不開數(shù)學(xué)。通過建立適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)模型對(duì)實(shí)際問題進(jìn)行研究，已成為材料科學(xué)研究和應(yīng)用的重要手段之一。從材料的合成、加工、性能表征到材料的應(yīng)用都可以建立相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型。有關(guān)材料科學(xué)的許多研究論文都涉及到了數(shù)

8、學(xué)模型的建立和求解，甚至產(chǎn)生了一門新的邊緣學(xué)科計(jì)算材料學(xué)（computational materials science），正是這些數(shù)學(xué)手段才使材料研究脫離了原來的試錯(cuò)法（trial or error）研究，真正成為一門科學(xué)。本章將介紹數(shù)學(xué)模型的基本概念，建立數(shù)學(xué)模型的基本步驟、原則和方法，同時(shí)給出一些與材料科學(xué)有關(guān)的具體建模實(shí)例。§31 數(shù)學(xué)模型及建?；A(chǔ)311 基本概念科學(xué)研究及其發(fā)展離不開數(shù)學(xué)，數(shù)學(xué)的表現(xiàn)又以數(shù)學(xué)表達(dá)式、曲線、圖形及數(shù)字的形式展現(xiàn)的，其中，數(shù)學(xué)表達(dá)式（或模型）在其中又起著非常重要的作用。無論是自然科學(xué)還是社會(huì)科學(xué)的研究都離不開數(shù)學(xué)模型。對(duì)于大多數(shù)專業(yè)人員來說，以

9、前雖然沒有將如何建立數(shù)學(xué)模型作為一門課程學(xué)習(xí)過，但實(shí)際上，在學(xué)習(xí)過的其他課程中已經(jīng)多次接觸到了數(shù)學(xué)模型的建立。在物理學(xué)中，最典型的莫過于力學(xué)中的牛頓三定律、物理化學(xué)中的熱力學(xué)定律、電子學(xué)中反映電路理論基本規(guī)律的基爾霍夫定律，這些基本定律的數(shù)學(xué)表達(dá)式都是最精美的數(shù)學(xué)模型。此外，在社會(huì)科學(xué)領(lǐng)域也存在著大量的數(shù)學(xué)模型，如馬爾薩斯的人口模型、馬克思的描述再生產(chǎn)基本規(guī)律的數(shù)學(xué)模型。這些反應(yīng)某一類現(xiàn)象客觀規(guī)律的數(shù)學(xué)表達(dá)式，就是這些現(xiàn)象的數(shù)學(xué)模型。那么，怎樣給數(shù)學(xué)模型下一個(gè)定義呢？簡(jiǎn)單地說：數(shù)學(xué)模型就是對(duì)實(shí)際問題的一種數(shù)學(xué)表述。具體一點(diǎn)說：數(shù)學(xué)模型就是關(guān)于以部分現(xiàn)實(shí)世界為某種目的的一個(gè)抽象的簡(jiǎn)化的表征。更確

10、切地說：數(shù)學(xué)模型就是對(duì)于一個(gè)特定的對(duì)象為了一個(gè)特定目標(biāo)，根據(jù)特有的內(nèi)在規(guī)律，經(jīng)過邏輯推理，做出一些必要的簡(jiǎn)化假設(shè)，運(yùn)用適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)工具，得到的一個(gè)數(shù)學(xué)表征。這種數(shù)學(xué)表征可以是數(shù)學(xué)公式、算法、表格、圖示等。一個(gè)數(shù)學(xué)建模就是某事物規(guī)律的一種表現(xiàn)，建立數(shù)學(xué)模型的過程就是數(shù)學(xué)建模的過程，應(yīng)用數(shù)學(xué)模型就是對(duì)某事物的一個(gè)數(shù)學(xué)模擬過程。數(shù)學(xué)建模是一種數(shù)學(xué)的思考方法，是運(yùn)用數(shù)學(xué)的語言和方法，通過抽象、簡(jiǎn)化建立能近似刻劃（刻畫）并"解決"實(shí)際問題的一種強(qiáng)有力的數(shù)學(xué)手段。在科學(xué)研究中，通常把客觀存在的事物及其運(yùn)動(dòng)形態(tài)統(tǒng)稱為實(shí)體，而所建立的數(shù)學(xué)模型則是對(duì)所研究的實(shí)體的特征及其變化規(guī)律的一種表示或抽

11、象。不過，這個(gè)數(shù)學(xué)模型就是利用數(shù)學(xué)語言對(duì)某種事物系統(tǒng)的特征和數(shù)量關(guān)系進(jìn)行了表達(dá)。數(shù)學(xué)模型有廣義理解和狹義理解。按廣義理解：凡是以相應(yīng)的客觀原型（即實(shí)體）作為背景加以一級(jí)抽象或多級(jí)抽象的數(shù)學(xué)概念、數(shù)學(xué)式子、數(shù)學(xué)理論等都叫做數(shù)學(xué)模型。按狹義理解：那些反映特定問題或特定事物系統(tǒng)的數(shù)學(xué)符號(hào)系統(tǒng)就叫做數(shù)學(xué)模型。在應(yīng)用數(shù)學(xué)中所指的數(shù)學(xué)模型，通常是按狹義理解的，而且構(gòu)造數(shù)學(xué)模型的目的僅在于解決具體的實(shí)際問題。數(shù)學(xué)模型是為一定的目的對(duì)客觀實(shí)際所作的一種抽象模擬，它用數(shù)學(xué)公式、數(shù)學(xué)符號(hào)、程序、圖表等刻畫客觀事物的本質(zhì)屬性與內(nèi)在聯(lián)系，是對(duì)現(xiàn)實(shí)世界的抽象、簡(jiǎn)化而又本質(zhì)的描述。它源于實(shí)踐，卻不是原型的簡(jiǎn)單復(fù)制，而是一

12、種更高層次的抽象。它能夠解釋特定事物的各種顯示形態(tài)，或者預(yù)測(cè)它將來的形態(tài)，或者能為控制某一事物的發(fā)展提供最優(yōu)化策略，它的最終目標(biāo)是解決實(shí)際問題。312 數(shù)學(xué)模型的分類數(shù)學(xué)模型的表現(xiàn)形式視對(duì)實(shí)體的描述而不同，因此，它的類型也較多。一般來說其分類方法有：1）按照人們對(duì)實(shí)體的認(rèn)識(shí)過程來分，數(shù)學(xué)模型可以分為描述性數(shù)學(xué)模型和解釋性數(shù)學(xué)模型。描述性模型是從特殊到一般，從分析具體客觀規(guī)律及其狀態(tài)開始，最終得到一個(gè)數(shù)學(xué)模型?？陀^事物之間量的關(guān)系通過數(shù)學(xué)模型被概括在一個(gè)具體的抽象的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)之中。解釋性模型是由一般到特殊，從一般的公理系統(tǒng)出發(fā)，借助于數(shù)學(xué)殼體，對(duì)公理系統(tǒng)給出正確解釋。2）按照建立模型的數(shù)學(xué)方法分，

13、可以分為初等模型、圖論模型、規(guī)劃論模型、微分方程模型、最優(yōu)控制模型、隨機(jī)模型、模擬模型等。初等模型指采用簡(jiǎn)單而且初等的方法建立問題的數(shù)學(xué)模型，該模型容易被更多的人理解接受和采用。該模型包括代數(shù)法建模、圖解法建模等。圖論模型指的是根據(jù)圖論的方法，通過由點(diǎn)和線組成的圖形為任何一個(gè)包含了某中二元關(guān)系的系統(tǒng)，提供一個(gè)數(shù)學(xué)模型，并根據(jù)圖的性質(zhì)進(jìn)行分析。如物質(zhì)結(jié)構(gòu)都可用點(diǎn)和線連接起來的圖來模擬，有機(jī)化合物的分子結(jié)構(gòu)、同分異構(gòu)體的計(jì)算問題均可用圖論中的樹來研究。微分方程模型指的是在所研究的對(duì)象或過程中取一局部或一瞬間，然后找出有關(guān)變量和未知變量的微分（或差分）之間的關(guān)系式，從而獲得系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型。微分方程模

14、型在材料研究中應(yīng)用很廣泛，如材料燒結(jié)中的分子擴(kuò)散問題、材料傳熱學(xué)中的熱量傳遞問題、材料電子顯微分析中的衍射運(yùn)動(dòng)學(xué)、衍射動(dòng)力學(xué)理論等。隨機(jī)模型是根據(jù)概率論的方法討論描述隨機(jī)現(xiàn)象的數(shù)學(xué)模型。例如描述炮彈的運(yùn)動(dòng)軌跡和著彈點(diǎn)的數(shù)學(xué)模型、描述高分子材料鏈?zhǔn)交瘜W(xué)反應(yīng)的數(shù)學(xué)模型、多晶材料晶粒生長(zhǎng)模擬中基于monte carlo方法的ising、q-state potts等模型。模擬模型是用其他現(xiàn)象或過程來描述所研究的現(xiàn)象或過程，用模型的性質(zhì)來代表原來的性質(zhì)。例如可用電流模擬熱流或流體的流動(dòng)，用流體系統(tǒng)模擬車流等。在材料科學(xué)中的應(yīng)用如采用非牛頓流體力學(xué)和流變學(xué)來來描述高聚物加工過程、建立液晶高分子材料本構(gòu)方程

15、以及陶瓷注漿成形流動(dòng)情況。已發(fā)展的有液晶高分子流體b模型、涉及聚合物熔體流動(dòng)不穩(wěn)定性（例如高聚物熔體由噴絲孔擠出時(shí)產(chǎn)生的共振、擠出物表面畸變、薄膜吹塑中產(chǎn)生的不穩(wěn)定膜泡等現(xiàn)象）的擾動(dòng)本構(gòu)理論模型。3）按照模型的應(yīng)用領(lǐng)域分，可以分為如人口模型、交通模型、環(huán)境模型、生態(tài)模型、水資源模型、再生資源利用模型、電氣系統(tǒng)模型、傳染病模型和污染模型。4）按照模型的特征分，可以分為靜態(tài)模型和動(dòng)態(tài)模型、確定性模型和隨機(jī)模型、離散模型和連續(xù)性模型、線性模型和非線性模型等。在許多系統(tǒng)中，由于受到一些復(fù)雜而尚未完全搞清楚的因素的影響，使得系統(tǒng)在確定的輸入時(shí)，得到的輸出是不確定的，該系統(tǒng)稱為隨機(jī)系統(tǒng)，它的數(shù)學(xué)模型為隨機(jī)

16、模型。反之，系統(tǒng)有確定的輸入時(shí)，系統(tǒng)的輸出也是確定的，這樣的系統(tǒng)稱為確定系統(tǒng)，它的數(shù)學(xué)模型稱為確定性模型。如果系統(tǒng)的有關(guān)變量是連續(xù)變量，則稱其為連續(xù)系統(tǒng)，它們的數(shù)學(xué)模型為連續(xù)性數(shù)學(xué)模型。如果系統(tǒng)的有關(guān)變量是離散變量，則稱該系統(tǒng)為離散系統(tǒng)，其模型為離散模型。離散系統(tǒng)及離散模型描述了客觀世界中很廣泛的一類系統(tǒng)。由于計(jì)算機(jī)只能對(duì)離散數(shù)值進(jìn)行運(yùn)算，所以，離散模型在應(yīng)用上非常重要，連續(xù)性模型有時(shí)候也要轉(zhuǎn)化成離散模型。當(dāng)采用有限單元法和有限差分法研究材料某些性質(zhì)時(shí)（比如材料的穩(wěn)、瞬態(tài)熱傳導(dǎo)問題），連續(xù)性模型要被轉(zhuǎn)化成離散模型。如果系統(tǒng)輸入和輸出呈線性關(guān)系，則該系統(tǒng)稱為線性系統(tǒng)，線性系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型成為線性模

17、型。與之相反，如果系統(tǒng)輸入與輸出呈非線性關(guān)系，則該系統(tǒng)稱為非線性系統(tǒng)，非線性系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型稱為非線性模型。5）按照對(duì)模型結(jié)構(gòu)了解的程度可以分為白箱模型、灰箱模型和黑箱模型。它們分別代表人們對(duì)原型的內(nèi)在機(jī)理了解得清楚、不太清楚和不清楚。313 數(shù)學(xué)模型的作用數(shù)學(xué)模型的根本作用在于它將客觀原型進(jìn)行抽象和簡(jiǎn)化，便于人們以用定量的方法去分析和解決實(shí)際問題。正因?yàn)槿绱耍瑪?shù)學(xué)模型在科學(xué)發(fā)展、科學(xué)預(yù)見、科學(xué)預(yù)測(cè)（科學(xué)預(yù)見、科學(xué)預(yù)測(cè)是否是一個(gè)意思？）、科學(xué)管理、科學(xué)決策、駕馭市場(chǎng)經(jīng)濟(jì)乃至個(gè)人高效工作和生活等眾多方面發(fā)揮著特殊的重要作用。一門學(xué)科精密化和科學(xué)化的重要表現(xiàn)之一便是能夠采用精密的數(shù)學(xué)語言來分析和描述

18、。材料科學(xué)從最早的試錯(cuò)法的手工操作成為當(dāng)代重要的科學(xué)支柱，數(shù)學(xué)的應(yīng)用起著非常重要的作用。利用數(shù)學(xué)這一有效的工具，可以深刻認(rèn)識(shí)客觀現(xiàn)象的本質(zhì)規(guī)律，促進(jìn)科學(xué)的發(fā)展。在材料研究和應(yīng)用中，要對(duì)有關(guān)問題進(jìn)行計(jì)算，就必須先建立該問題的數(shù)學(xué)模型。當(dāng)代計(jì)算機(jī)科學(xué)的發(fā)展和廣泛應(yīng)用，使得數(shù)學(xué)模型的方法如虎添翼，加速了數(shù)學(xué)向各個(gè)學(xué)科的滲透。在材料材料工程領(lǐng)域，實(shí)驗(yàn)是非常重要的手段，但現(xiàn)在認(rèn)為，除了實(shí)驗(yàn)方法之外，數(shù)學(xué)模型是與起同樣重要的餓（數(shù)學(xué)模型也起著同樣重要的作用），甚至是更好的一種方法。從材料設(shè)計(jì)上來看，要進(jìn)行理論設(shè)計(jì)首先要建立正確的數(shù)學(xué)模型，這樣才能設(shè)計(jì)出具有優(yōu)良性能、工藝可行的材料。在生產(chǎn)過程中，為了分析和

19、改進(jìn)生產(chǎn)中出現(xiàn)的問題，先建立適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)模型，然后在計(jì)算機(jī)上進(jìn)行模擬計(jì)算來代替實(shí)驗(yàn)，可以節(jié)約人力、物力和財(cái)力，還可以避免發(fā)生故障或危險(xiǎn)，甚至完成實(shí)驗(yàn)不可能完成的任務(wù)。§32 數(shù)學(xué)建模型的一般步驟和原則數(shù)學(xué)模型的建立，簡(jiǎn)稱數(shù)學(xué)建模。數(shù)學(xué)建模（mathematical modeling）是構(gòu)造刻畫客觀事物原型的數(shù)學(xué)模型，并用以分析、研究和解決實(shí)際問題的一種科學(xué)方法。運(yùn)用這種科學(xué)方法，必須從實(shí)際問題出發(fā)，緊緊圍繞著建模的目的，運(yùn)用觀察力、想象力和邏輯思維，對(duì)實(shí)際問題進(jìn)行抽象、簡(jiǎn)化，反復(fù)探索、逐步完善，直到構(gòu)造出一個(gè)能夠反映實(shí)際問題規(guī)律并被用于分析、研究和解決實(shí)際問題的數(shù)學(xué)模型。因此，數(shù)學(xué)建模

20、不僅是一種定量解決實(shí)際問題的科學(xué)方法，而且還是一種從無到有對(duì)事物重新認(rèn)識(shí)的一個(gè)創(chuàng)新活動(dòng)過程。數(shù)學(xué)建模沒有固定的模式。但按照模型建立的過程，一般有如下基本步驟：321 數(shù)學(xué)建模的準(zhǔn)備數(shù)學(xué)建模的準(zhǔn)備，就是確立建模課題，了解問題的實(shí)際背景，明確建模的目的的過程。實(shí)際問題的數(shù)學(xué)建模是一項(xiàng)創(chuàng)新活動(dòng)，它所面臨的問題是人們?cè)谏a(chǎn)和科研活動(dòng)中為了使認(rèn)識(shí)和實(shí)踐進(jìn)一步統(tǒng)一而必須解決的問題。找到了需要解決的實(shí)際問題，如果這些實(shí)際問題需要給出定量的分析和解答，那么就可以把這些實(shí)際問題確立為數(shù)學(xué)建模的課題。在數(shù)學(xué)建模的準(zhǔn)備過程中，作為建模人員，應(yīng)該深入生產(chǎn)和科研實(shí)際以及社會(huì)生活實(shí)際，掌握與課題有關(guān)的第一手資料，匯集可能

21、有關(guān)的信息和數(shù)據(jù)，弄清問題的實(shí)際背景和建模的目的，這樣才能進(jìn)行建?；I劃。322 數(shù)學(xué)建模的假設(shè)作為課題的原型往往都是具體的、復(fù)雜的。這樣的原型，如果不經(jīng)過適當(dāng)?shù)某橄蠛秃?jiǎn)化，人們對(duì)其認(rèn)識(shí)和歸納往往是困難的，也無法準(zhǔn)確把握它的本質(zhì)屬性。建模假設(shè)就是根據(jù)建模的目的對(duì)原型進(jìn)行適當(dāng)?shù)暮?jiǎn)化、抽象，把那些反映問題本質(zhì)屬性的形態(tài)、量及其關(guān)系抽象出來，簡(jiǎn)化掉那些非本質(zhì)的因素、使之?dāng)[脫原來的具體復(fù)雜形態(tài)，形成對(duì)建模有用的信息資源和前提條件。這是建模最關(guān)鍵的一步。對(duì)原型的抽象、簡(jiǎn)化不是無條件的，必須按照假設(shè)的合理性原則進(jìn)行。假設(shè)的不合理或太簡(jiǎn)單，會(huì)導(dǎo)致模型的失敗或部分失?。患僭O(shè)的過于詳細(xì)或考慮因素過多，會(huì)使模型太復(fù)

22、雜而且會(huì)降低模型的通用性。假設(shè)合理性的原則有：（1）目的性原則 堅(jiān)持從原型中抽象出與建模目的有關(guān)的因素，簡(jiǎn)化那些與建模目的無關(guān)的或關(guān)系不大的因素的原則，明確建模過程中各因素間的關(guān)系。（2）簡(jiǎn)明性原則 在建模過程中，所給出的假設(shè)條件要簡(jiǎn)單、準(zhǔn)確，主次明了，有利于構(gòu)造模型。（3）最小誤差性原則 假設(shè)要科學(xué)，簡(jiǎn)化帶來的誤差應(yīng)滿足實(shí)際問題所能允許的誤差范圍。（4）全面性原則 對(duì)事物原型本身做出假設(shè)的同時(shí)，還要給出原型所處的環(huán)境條件，使模盡量能反映原型。323 構(gòu)造模型在建模假設(shè)的基礎(chǔ)上，進(jìn)一步分析建模假設(shè)的內(nèi)容，首先區(qū)分哪些是常量、哪些是變量，哪些是已知的量、哪些是未知的量，然后查明各種量所處的地位、

23、作用和它們之間的關(guān)系，選擇適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)工具和構(gòu)造模型的方法對(duì)其進(jìn)行表征，構(gòu)造出反映實(shí)際問題的數(shù)學(xué)模型。在構(gòu)造模型時(shí)究竟采用什么數(shù)學(xué)工具，要根據(jù)問題的特征、建模的目的要求及建模人的數(shù)學(xué)特長(zhǎng)而定?？梢哉f，數(shù)學(xué)的任一分支在構(gòu)造模型時(shí)都可能用到，而同一實(shí)際問題也可以構(gòu)造出不同的數(shù)學(xué)模型。一般地，在能夠達(dá)到預(yù)期目的的前提下，所用的數(shù)學(xué)工具越簡(jiǎn)單越好。324 模型求解建立好數(shù)學(xué)模型之后，首先要根據(jù)已知條件和數(shù)據(jù)，分析所建模型的特征和模型的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，設(shè)計(jì)或選擇求解該模型的數(shù)學(xué)方法和算法，對(duì)其進(jìn)行求解，或編寫計(jì)算機(jī)程序或運(yùn)用與算法相適應(yīng)的軟件包，并借助計(jì)算機(jī)完成對(duì)模型的求解。所建模型應(yīng)該是能進(jìn)行求解運(yùn)算的，一個(gè)

24、不能進(jìn)行求解運(yùn)算的模型是沒有用的模式型。325 模型分析根據(jù)建模的目的和要求，對(duì)模型求解的數(shù)字結(jié)果，或進(jìn)行穩(wěn)定性的分析（指分析的結(jié)果重復(fù)獲得的可能性），或進(jìn)行系統(tǒng)參數(shù)的靈敏度分析，或進(jìn)行誤差分析等。通過分析，如果不符合要求，就進(jìn)行修改或增減建模假設(shè)條件，重新建模，直到符合要求。如果通過分析符合要求，還可以對(duì)模型進(jìn)行評(píng)價(jià)、預(yù)測(cè)、優(yōu)化等方面的分析和探討。326 模型檢驗(yàn)?zāi)Ｐ头治龇弦笾?，還必須回到客觀實(shí)際中去對(duì)模型進(jìn)行檢驗(yàn)，看是否符合客觀實(shí)際，若不符合，還要修改或增減建模的假設(shè)條件，重新建模。循環(huán)往復(fù)，不斷完善，直到使其符合實(shí)際規(guī)律而獲得滿意的結(jié)果。目前計(jì)算機(jī)技術(shù)的發(fā)展，已為模型的分析、模型的

25、檢驗(yàn)等提供了先進(jìn)的手段，充分利用這一手段，可以節(jié)約大量的時(shí)間、人力和經(jīng)費(fèi)。327 模型的應(yīng)用模型的應(yīng)用是數(shù)學(xué)建模的宗旨，也是對(duì)模型最客觀、最公正的檢驗(yàn)。一個(gè)成功的數(shù)學(xué)模型，必須根據(jù)建模的目的，將其用于分析、研究和解決實(shí)際問題，充分發(fā)揮數(shù)學(xué)模型在生產(chǎn)和科研中的特殊作用，讓其對(duì)事物規(guī)律進(jìn)行很好的反映，使人們用它對(duì)事物發(fā)展進(jìn)行預(yù)測(cè)，為人們改造自然、創(chuàng)造未來服務(wù)。以上介紹的數(shù)學(xué)建模基本步驟只是一般遵循的原則。在具體的數(shù)學(xué)建模過程中，應(yīng)該視具體問題靈活應(yīng)用，或交叉進(jìn)行，或平行進(jìn)行，不必拘泥于一種模式，這樣才能最大限度地發(fā)揮建模者的主觀能動(dòng)性和聰明才智。例31 以無機(jī)材料固態(tài)燒結(jié)初期的燒結(jié)動(dòng)力學(xué)模型為例探

26、討一下建模過程。（1）建模準(zhǔn)備 燒結(jié)是無機(jī)材料制品制作的一個(gè)必須的過程，其燒結(jié)速度的快慢、時(shí)間的長(zhǎng)短、直接影響著制品加工的效率和效益。眾所周知，無機(jī)材料如水泥、陶瓷、耐火材料等都是由固體顆粒料組成，這些顆粒料由于大小不一、形狀不一、堆積緊密程度不一，且它們的物理化學(xué)性質(zhì)也不同，研究起來相當(dāng)復(fù)雜。但對(duì)于這些固體顆粒料我們根據(jù)加工設(shè)備的特性，可以將其視做球體形狀來處理，這樣抽象簡(jiǎn)化后問題就相對(duì)簡(jiǎn)單了，如果再將其燒成簡(jiǎn)單的看成為雙球粘結(jié)在一起的話，那么這雙球模型還便于測(cè)定原子的遷移量，從而更易定量地掌握燒結(jié)過程并為進(jìn)一步研究物質(zhì)遷移的各種機(jī)理奠定基礎(chǔ)。因此，gckuczynski提出粉末壓塊是由等徑

27、球體作為模型。隨著燒結(jié)的進(jìn)行，各接觸點(diǎn)處開始形成頸部，并逐漸擴(kuò)大，最后燒結(jié)成一個(gè)整體。由于各頸部所處的環(huán)境和幾何條件相同，所以，只需確定二個(gè)顆粒形成的頸部的成長(zhǎng)速率就基本代表了整個(gè)燒結(jié)初期的動(dòng)力學(xué)關(guān)系。（2）建模假設(shè)和構(gòu)造模型 一般來說，無機(jī)材料粉料在燒結(jié)時(shí)，由于傳質(zhì)機(jī)理各異而引起頸部增長(zhǎng)的方式不同，因此，在假設(shè)的球體模型下，還要進(jìn)一步的進(jìn)行修改假設(shè)，即雙球模型的中心距可能有二種情況出現(xiàn)：一種中心距不變?nèi)鐖D31(a)；另一種中心距縮短如圖31(b)。圖3-1燒結(jié)模型 （上圖標(biāo)號(hào)a，b，c，于下面的小寫不對(duì)應(yīng)）由圖31所示的模型可以列出由簡(jiǎn)單幾何關(guān)系計(jì)算得到的兩球形接觸的頸部曲率半徑r，頸部體積

28、v，頸部表面積a與顆粒半徑r和接觸頸部半徑x之間的關(guān)系(假設(shè)燒結(jié)初期r變化很小，x。當(dāng)固態(tài)燒結(jié)的主要傳質(zhì)方式為蒸發(fā)凝聚時(shí)，且燒結(jié)體處于燒結(jié)初期時(shí)，在高溫下，燒結(jié)過程僅僅在高溫下蒸氣壓較大的系統(tǒng)內(nèi)進(jìn)行，如氧化鉛、氧化鋅和氧化鐵的燒結(jié)。由于表面曲率不同，必然在系統(tǒng)的不同部位有不同的蒸氣壓，于是主要通過氣相傳質(zhì)，如圖32簡(jiǎn)化模型所示： 圖3-2蒸發(fā)-凝聚傳質(zhì)模型在這個(gè)簡(jiǎn)化模型下，由于在球形顆粒表面有正曲率半徑，而在兩個(gè)顆粒觸接處有一個(gè)小的負(fù)曲率半徑的頸部，兩處的粉體顆粒表就存在不同的蒸發(fā)蒸氣壓，物質(zhì)將從蒸氣高的凸的表面蒸發(fā)通過氣相傳遞而凝聚到低壓凹形頸部處，從而使頸部逐漸被填充。這兩處的蒸氣壓差可用

29、開爾文公式(31)表示， （31）式中： p1曲率半徑為處的蒸氣壓；p2球形顆粒表面蒸氣壓；r表面張力；d密度。（3）模型分析和求解 對(duì)(31)式進(jìn)行分析，由于凸凹兩處的物質(zhì)蒸氣壓力差p1一p2是很小的，由高等數(shù)學(xué)可知，當(dāng)x 充分小時(shí)，ln(1+x)x。所以lnplp2ln(1+pp2)pp2，又由于x>>，所以(31)式又可寫作： pm podrt (32)式中: p為負(fù)曲率半徑頸部和接近于平面的顆粒表面上的飽和蒸氣壓之間的壓差。由于從凸表面蒸發(fā)的氣體在壓p的作用下，向凹凝聚，根據(jù)氣體分子運(yùn)動(dòng)論可以推出物質(zhì)在單位面積上凝聚速率正比于平衡氣壓和大氣壓差的朗格繆爾(langmuir)

30、公式： （33）式中: um為凝聚速率，每秒每平方厘米上凝聚的克數(shù)，g/cm2.s；a為調(diào)節(jié)系數(shù)，其值接近于1； p 為凹面與平面之間蒸氣壓差。 這樣在兩個(gè)顆粒的接觸頸部，由于氣相的凝聚使其體積增長(zhǎng)。當(dāng)凝聚速率等于頸部體積增加時(shí)即有： (34)根據(jù)燒結(jié)模型公式(31a)中，相應(yīng)的頸部曲率半徑、頸部表面積a和體積v代人(34)式，并將(33)式代人(34)得： （35）將(35)式移項(xiàng)并積分，可以得到球形顆粒接觸面積頸部生長(zhǎng)速率關(guān)系式： （36） 此方程得出了頸部半徑(x)和影響生長(zhǎng)速率的其它變量(r，p。，t)之間的相互關(guān)系。（4）模型檢驗(yàn) (36)式反映了蒸發(fā)凝聚傳質(zhì)機(jī)理下，固相燒結(jié)初期兩相

31、接觸的顆粒頸部半徑(x)和影響生長(zhǎng)速率的其它變量(r，p，t)之間的相互關(guān)系。產(chǎn)生的原因是顆粒曲率半徑和接觸點(diǎn)處的曲率半徑的差別以及滿足顆 粒足夠小的條件(顆粒足夠小時(shí)壓差才顯著)。同時(shí)也反映了顆粒曲率半徑與相對(duì)蒸氣壓差的定量關(guān)系。從幾種材料的曲率半徑、蒸氣壓差關(guān)系表31中看出只有當(dāng)顆粒半徑在l0m以下，蒸氣壓差才較明顯地表現(xiàn)出來。而約在5m以下時(shí)，由曲率半徑差異而引起的壓差已十分顯著，因此一般粉末燒結(jié)過程較合適的粒度至少為10m。根據(jù)（36）式，肯格雷(kingery)等曾以氯化鈉球進(jìn)行燒結(jié)試驗(yàn)（氯化鈉在燒結(jié)溫度下有頗高的蒸氣壓）。實(shí)驗(yàn)證明(98)式是正確的。(5）模型應(yīng)用 從(36)方程可

32、見，接觸頸部的生長(zhǎng)x/r隨時(shí)間(t)的13次方而變化。在燒結(jié)初期可以觀察到這樣的速率規(guī)律。而且只在開始時(shí)比較顯著，隨著燒結(jié)的進(jìn)行，頸部增長(zhǎng)很快就停止了。因此對(duì)這類傳質(zhì)過程用延長(zhǎng)燒結(jié)時(shí)間不能達(dá)到促進(jìn)燒結(jié)的效果。以上這就是以蒸發(fā)凝聚機(jī)理為主的燒結(jié)初期的燒結(jié)動(dòng)力學(xué)模型的建立過程。§33 常用的數(shù)學(xué)建模方法331 理論分析法理論分析法是指應(yīng)用自然科學(xué)中的定理和定律，對(duì)被研究系統(tǒng)的有關(guān)因素進(jìn)行分析、演繹、歸納，從而建立系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型。理論分析法是人們?cè)谝磺锌茖W(xué)研究中廣泛使用的方法。在工藝比較成熟、對(duì)機(jī)理比較了解時(shí)，可采用此法。根據(jù)問題的性質(zhì)可直接建立模型。第二節(jié)建模步驟中所舉之例就是這種建模方

33、法。例32 以穩(wěn)定態(tài)一元流(管流)動(dòng)量方程的建立為例說明之圖33推導(dǎo)穩(wěn)定態(tài)管流動(dòng)量方程示意圖如圖33所示的穩(wěn)定態(tài)管流，以入口斷面fl、出口斷面f2及管壁內(nèi)表面為控制面，將此控制體作為研究體系，流體流經(jīng)此控制體，作用在此系統(tǒng)的外力代數(shù)和為f。則根據(jù)牛頓第二定律：作于控制體的外力總和應(yīng)等于該系統(tǒng)氣體動(dòng)量的增量。用數(shù)學(xué)表達(dá)為： （3-7） 式中： 為氣體的平均動(dòng)量修正系數(shù)。在實(shí)際工程中，絕大多數(shù)氣體流動(dòng)屬湍流態(tài)，且根據(jù)實(shí)驗(yàn)規(guī)律可知101102，故可認(rèn)為121；當(dāng)流動(dòng)狀態(tài)穩(wěn)定時(shí)，可將流入流出控制體的質(zhì)量流量視作，故式(37)就可寫為： （38）式中： 管內(nèi)氣體的質(zhì)量流量，kgs； 、管道出口斷面及入口

34、斷面上氣體的平均流速，ms； 式(38)稱為穩(wěn)定態(tài)管流動(dòng)量方程。若合外力f0，則有： (39) 式（3-9）說明作用于系統(tǒng)的合外力為零時(shí)，系統(tǒng)的動(dòng)量是守恒的，故上式稱為動(dòng)量守恒原理。 在這個(gè)動(dòng)量方程的分析建模過程中，根據(jù)所研究的對(duì)象應(yīng)用了人們所熟悉的力學(xué)定律牛頓第二定律，并應(yīng)用了質(zhì)量守恒定律，同時(shí)只考慮了對(duì)流體的不同狀態(tài)使用時(shí)可以不考慮界區(qū)（？）中進(jìn)行的過程，只根據(jù)界面上的氣體參數(shù)進(jìn)行流動(dòng)計(jì)算，但當(dāng)氣體密度變化時(shí)(12)，由能量方程不能決定體系進(jìn)出口的壓力差，只能計(jì)算壓力能的差，所以在并聯(lián)管排氣體動(dòng)力平衡計(jì)算中，不能使用能量方程而只能應(yīng)用動(dòng)量方程，它可以直接計(jì)算出壓力差(p2一p1)，這在管簇

35、氣體動(dòng)力計(jì)算中是很方便的。 經(jīng)過上述方法所建立起來的動(dòng)量方程是噴射器和噴射式煤氣燒嘴工作的理論基礎(chǔ)。332 模擬方法當(dāng)模型的結(jié)構(gòu)及性質(zhì)已經(jīng)了解，但其數(shù)量描述及求解卻相當(dāng)麻煩時(shí)，這時(shí)一般采用模擬的方法進(jìn)行對(duì)研究的對(duì)象進(jìn)行研究。也就是：如果有另一種系統(tǒng)，其結(jié)構(gòu)、性質(zhì)與其構(gòu)造出的模型和所研究的系統(tǒng)類似，則就可以用后一種模型來模擬原來模型，去分析或?qū)嶒?yàn)并求得其結(jié)果。例如，研究鋼鐵材料中裂紋在外載荷作用下尖端的應(yīng)力、應(yīng)變分布，可以通過彈塑性力學(xué)及斷裂力學(xué)知識(shí)進(jìn)行分析計(jì)算，但求解非常麻煩。此時(shí)可以借助實(shí)驗(yàn)光測(cè)（？）力學(xué)的手段來完成分析。首先，根據(jù)一定比例，采用模具將環(huán)氧樹脂制備成具有同樣結(jié)構(gòu)的模型，并根據(jù)

36、鋼鐵材料中裂紋形式在環(huán)氧樹脂模型加工出裂紋；隨后，將環(huán)氧樹脂放在恒溫箱內(nèi)，對(duì)環(huán)氧樹脂模型在凍結(jié)溫度下加載，并在載荷不變的條件下緩緩冷卻到室溫卸載；將已凍結(jié)應(yīng)力的環(huán)氧樹脂模型在平面偏振光場(chǎng)或圓偏振光場(chǎng)下觀察，環(huán)氧樹脂模型中將出現(xiàn)一定分布的條紋，這些條紋反映了模型在受載時(shí)的應(yīng)力、應(yīng)變情況，用照相法將條紋記錄下來并確定條紋級(jí)數(shù)，在（再）根據(jù)條紋級(jí)數(shù)計(jì)算應(yīng)力；最后，根據(jù)相似原理、材料等因素確定一定的比例系數(shù)，將計(jì)算出的應(yīng)力換算成鋼鐵材料中的應(yīng)力，從而獲得了裂紋尖端的應(yīng)力、應(yīng)變分布。以上是用實(shí)驗(yàn)?zāi)Ｐ蛠砟M理論模型，分析時(shí)也可用相對(duì)簡(jiǎn)單理論模型來模擬、分析較復(fù)雜理論模型，或用可求解的理論模型來分析尚不可求

37、解的理論模型。例如，在研究材料相變的微觀理論中，統(tǒng)計(jì)理論是發(fā)展最早而且最為成熟的一個(gè)領(lǐng)域。20世紀(jì)20年代w.lenz與e.ising提出了一種用以解釋鐵磁相變的簡(jiǎn)化統(tǒng)計(jì)模型，稱為ising模型。多年來ising模型的研究一直是相變統(tǒng)計(jì)理論的核心問題。下面介紹這種模型。例33：設(shè)有一晶體點(diǎn)陣，它的i個(gè)格點(diǎn)上的粒子的狀態(tài)可以用一自旋完全表征出來。為了最簡(jiǎn)單地研究這一問題，作如下假設(shè)：自旋僅可能采用兩種狀態(tài)向上和向下，可分別以=+1及=-1表示之；僅在最近鄰間存在有相互作用；在任何狀態(tài)下系統(tǒng)的勢(shì)能可以由最近鄰對(duì)的相互作用能相加而得到。顯然，由于自旋間相互作用能的存在將使自旋傾向于在點(diǎn)陣中規(guī)則排列。

38、而在一定溫度下，所存在的熱運(yùn)動(dòng)又使自旋處于混亂狀態(tài)。因而在某一溫度以下，點(diǎn)陣中的自旋將有可能按一定方式規(guī)則排列，從而具有鐵磁性或反鐵磁性，也發(fā)生了自旋取向的有序化。這取決于自旋平行和反平行中哪一種排列的能量比較低。如果能求出該模型的配分函數(shù)，則該模型的一切熱力學(xué)函數(shù)都能獲得。1）一維ising模型是最簡(jiǎn)單的情況，自旋在一線性鏈上分布。其配分函數(shù)為 （3-10）其中， （3-11）式中：是單個(gè)自旋的磁距；為玻爾茲曼常數(shù)；n為自旋個(gè)數(shù)；為同一列內(nèi)兩相鄰自旋間的相互作用能；為溫度。2）對(duì)于自旋在二維空間中排列的二維ising模型，計(jì)算很復(fù)雜，配分函數(shù)的嚴(yán)格解如下： （3-12）其中 （3-13）上述

39、兩種情況下，系統(tǒng)的磁化強(qiáng)度平均值可根據(jù)嚴(yán)格的配分函數(shù)得出。3）對(duì)于自旋在三維空間中排列的三維ising模型，計(jì)算極復(fù)雜，目前尚未求出其配分函數(shù)的嚴(yán)格解。系統(tǒng)的磁化強(qiáng)度平均值無法根據(jù)配分函數(shù)獲得，但可采用別的模型來模擬求出，比如采用bethe近似模型。bethe設(shè)計(jì)了一種就近似方法以計(jì)算三維立方點(diǎn)陣有序-無序相變，稱為bethe近似。在該近似中，bethe以一種特殊方式排列成點(diǎn)陣的ising模型，從而使其成為嚴(yán)格可解的。它的一種特殊情形為bethe近似的結(jié)果。過程如下：構(gòu)成一個(gè)點(diǎn)陣時(shí)，從一個(gè)中心點(diǎn)o開始，加q個(gè)等價(jià)的點(diǎn)作為它的第一殼層（第一近鄰）。然后對(duì)第一殼層上每一個(gè)點(diǎn)作q-1個(gè)等價(jià)的新的點(diǎn)作

40、為它的近鄰，構(gòu)成了o點(diǎn)的第二殼層。這樣得到了如圖3-4所示形狀的結(jié)構(gòu)，這種結(jié)構(gòu)不包含有回路，它被稱為cayley樹。第r殼層上的質(zhì)點(diǎn)數(shù)是圖34q=4的cayley樹 （3-14）而所有n個(gè)殼層上的總質(zhì)點(diǎn)數(shù)為 （3-15）稱最外層的第n殼層為邊界殼層。若不考慮邊界殼層，則可以視其為配位數(shù)為q的規(guī)則點(diǎn)陣。僅考慮此圖形很深的內(nèi)部的局部區(qū)域，這些位置可以認(rèn)為是等價(jià)的，從而構(gòu)成了bethe點(diǎn)陣?？紤]在此點(diǎn)陣上的ising模型，忽略邊界上的自旋對(duì)配分函數(shù)的貢獻(xiàn)。計(jì)算bethe點(diǎn)陣上的ising模型的配分函數(shù) （3-16）其中，為歸一化的幾率分布。顯然，第一項(xiàng)是關(guān)于bethe點(diǎn)陣中所有的“樹干”求和，第二項(xiàng)

41、是關(guān)于所有的位置求和。若中心位置o的自旋為，則局域磁化強(qiáng)度，而 （3-17）從cayley樹的結(jié)構(gòu)可以看出，若截?cái)嘁桓皹渲Α保瑒tcayley樹的結(jié)構(gòu)除了它的第一近鄰為q-1，因而其各級(jí)近鄰數(shù)都減小了（q-1）倍外，仍與原cayley樹一樣?？梢岳眠@個(gè)特點(diǎn)來計(jì)算平均磁化強(qiáng)度。設(shè)第一次在o處切斷，則成為q段相同的樹枝。而可以寫成 （3-18）其中 （3-19） 是在第k枝上位置i上的自旋， i包括除了以外的所有殼層上的位置。則為第一殼層上的自旋。等式左方的下腳標(biāo)n表示每枝中仍包含有n個(gè)殼層。是第k枝上全部“成分”的貢獻(xiàn)，包括了0-1“樹干”（但無）。做第二次切斷，把割下，則第k枝又分成q-1個(gè)

42、分枝，每個(gè)分枝和作第一次切斷后情形一樣，只是現(xiàn)在只有n-1個(gè)殼層，于是有 （3-20） 是第l個(gè)分枝上除了外所有的自旋。這樣就得到了一個(gè)遞推關(guān)系式。若記 （3-21）則由式（3-18）得到 （3-22）類似地，由式（3-17）得到 （3-23） 由于只取+1及-1兩個(gè)值，若記 （3-24）則有 （3-25）如果能求得，則獲得解。仍由cayley樹出發(fā)，由式（3-20）和式（3-21）得到 （3-26）此處由于各枝沒有差別，省略了s的上角標(biāo)k。由式（3-26），將式（3-24）化成 （3-27）上式可以寫成 （3-28）由式（3-28）迭代可以求得（）。當(dāng)時(shí)，（對(duì)應(yīng)鐵磁體）時(shí)，最后求得 （3-2

43、9）由式（3-30）結(jié)合式（3-27）迭代獲得 （3-30） 式中， （3-31） 這個(gè)由bethe近似模型獲得的結(jié)果和準(zhǔn)化學(xué)近似獲得的結(jié)果相同。這個(gè)模型的建立和分析過程也體現(xiàn)了圖解法建模的優(yōu)點(diǎn)。3.3.3 類比分析法若兩個(gè)不同的系統(tǒng)，可以用同一形式的數(shù)學(xué)模型來描述，則此兩個(gè)系統(tǒng)就可以互相類比。類比分析法是根據(jù)兩個(gè)（或兩類）系統(tǒng)某些屬性或關(guān)系的類似，去猜想兩者的其他屬性或關(guān)系也可能相似的一種方法。例34 在聚合物的結(jié)晶過程中，結(jié)晶度隨時(shí)間的延續(xù)不斷增加，最后趨于該結(jié)晶條件下的極限結(jié)晶度，現(xiàn)期望在理論上描述這一動(dòng)力學(xué)過程，即推導(dǎo)（avrami）方程。采用類比分析法。聚合物的結(jié)晶過程包括成核和晶體

44、生長(zhǎng)兩個(gè)階段，這與下雨時(shí)雨滴落在水面上生成一個(gè)個(gè)圓形水波并向外擴(kuò)展的情形相類似，因此可通過水波擴(kuò)散模型來推導(dǎo)聚合物結(jié)晶時(shí)的結(jié)晶度與時(shí)間的關(guān)系。在水面上任選一參考點(diǎn)，根據(jù)概率分析，在時(shí)間從0到t時(shí)刻的范圍內(nèi)通過該點(diǎn)的水波數(shù)為m的概率p(m)為poisson分布（假設(shè)落下的雨滴數(shù)大于m，t時(shí)刻通過任意點(diǎn)p的水波數(shù)的平均值為e）。 （3-32）顯然有： （3-33） （3-34）把水波擴(kuò)散模型作為結(jié)晶前期的模擬來討論薄層熔體形成“二維球晶”的情況。雨滴接觸水面相當(dāng)于形成晶核，水波相當(dāng)于二維球晶的生長(zhǎng)表面，當(dāng)m=0時(shí)，意味著所有的球晶面都不經(jīng)過p點(diǎn)，即p點(diǎn)仍處于非晶態(tài)。根據(jù)式（3-32）可知其概率為

45、（3-35）設(shè)此時(shí)球晶部分占有的體積分?jǐn)?shù)為，則有 （3-36）下面求平均值e，它應(yīng)為時(shí)間的函數(shù)。先考慮一次性同時(shí)成核的情況，它對(duì)應(yīng)所有雨滴同時(shí)落入水面，到t時(shí)刻，水波前進(jìn)的距離為r，那么，以r為半徑的圓面內(nèi)的雨滴所產(chǎn)生的水波都將通過p點(diǎn)如圖1-3所示。把這個(gè)面積稱為有效面積，通過p點(diǎn)的水波數(shù)等于這個(gè)有效面積內(nèi)落入的雨滴數(shù)。設(shè)單位面積內(nèi)的平均雨滴數(shù)為n，當(dāng)時(shí)間由t增加到t+dt有效面積的增量即圖中陰影部分的面積為，平均值e的增量為圖35 水波通過的有效面積示意圖 （3-37）若水波前進(jìn)速度即球晶徑向生長(zhǎng)速度為v，則，對(duì)式（3-37）作積分得平均值同t的關(guān)系為 （3-38）代入式（3-36）得 （

46、3-39）式（3-39）表示晶核密度為n、一次性成核時(shí)體系中的非晶部分與時(shí)間的關(guān)系。如果晶核是不斷形成的，相當(dāng)于不斷下雨的情況，設(shè)單位時(shí)間內(nèi)單位面積上平均產(chǎn)生的晶核數(shù)即晶核生成速度為i，到t時(shí)刻產(chǎn)生的晶核數(shù)（相當(dāng)于生成的水波）則為it。時(shí)間增加dt，有效面積的增量仍為，其中，只有滿足的條件下產(chǎn)生的水波才是有效的，因此有 （3-40）積分得 （3-41）代入式（3-36）得 （3-42）同樣的方法可以用來處理三維球晶。這時(shí)把圓環(huán)確定的有效面積增量用球殼確定的有效體積增量來代替，對(duì)于同時(shí)成核體系（n為單位體積的晶核數(shù)），則 （3-43）對(duì)于不斷成核體系，定義i為單位時(shí)間、單位體積中產(chǎn)生的晶核數(shù)，則

47、 （3-44）將上述情況歸納起來，可用一個(gè)通式表示： （3-45）式中：k是同核密度及晶體一維生長(zhǎng)速度有關(guān)的常數(shù)，稱為結(jié)晶速度常數(shù)；n是與成核方式及核結(jié)晶生長(zhǎng)方式有關(guān)的常數(shù)。該式稱為avrami方程。下面對(duì)所建模型進(jìn)行檢驗(yàn)。圖3-6尼龍1010等溫結(jié)晶體數(shù)據(jù)的avrami處理結(jié)果，可見在結(jié)晶前期，實(shí)驗(yàn)同理論相符，但在結(jié)晶的最后部分同理論發(fā)生了偏離。分析avrami方程的推導(dǎo)過程，這種后期的偏離是可以理解的，因?yàn)樯L(zhǎng)著的球晶面相互接觸后，接觸區(qū)的增長(zhǎng)即告停止。在結(jié)晶前期球晶尺寸較小，非晶部分很多，球晶之間不致發(fā)生接觸，可以由式（3-35）來描述，隨著時(shí)間的增長(zhǎng)，球晶增長(zhǎng)到滿足相互接觸的體積時(shí)，總

48、體的結(jié)晶速度就要降低，avrami方程將出現(xiàn)偏差。圖3-6 尼龍1010等溫結(jié)晶的實(shí)驗(yàn)結(jié)果與模型比較334 數(shù)據(jù)分析法當(dāng)系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)性質(zhì)不大清楚，無法從理論分析中得到系統(tǒng)的規(guī)律，也不便于類比分析，但有若干能表征系統(tǒng)規(guī)律、描述系統(tǒng)狀態(tài)的數(shù)據(jù)可利用時(shí)，就可以通過描述系統(tǒng)功能（規(guī)律）的數(shù)據(jù)分析來連接系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)模型?；貧w分析是處理這類問題的有利工具。求一條通過或接近一組數(shù)據(jù)點(diǎn)的曲線，這一過程叫曲線擬合，而表示曲線的數(shù)學(xué)式稱為回歸方程。求系統(tǒng)回歸方程的一般方法如下：設(shè)有一未知系統(tǒng)，已測(cè)得該系統(tǒng)有n個(gè)輸入-輸出數(shù)據(jù)點(diǎn)為 現(xiàn)尋求其函數(shù)關(guān)系： 或 無論x，y為什么函數(shù)關(guān)系，假設(shè)用一多項(xiàng)式： （3-46）作為對(duì)輸

49、出（觀測(cè)值）y的估計(jì)（用表示）。若能確定其階數(shù)及系數(shù)，則所得到的就是回歸方程數(shù)學(xué)模型。各項(xiàng)系數(shù)即為回歸系數(shù)。當(dāng)輸入為，輸出為時(shí)，多項(xiàng)式擬合曲線相應(yīng)于的估計(jì)值為 （3-47）現(xiàn)在要使多項(xiàng)式估值與觀測(cè)值的差的平方和 （3-48）為最小，這就是最小二乘法，令 （3-49） 得到下列正規(guī)的方程組 （3-50）一般數(shù)據(jù)點(diǎn)個(gè)數(shù)n大于多項(xiàng)式階數(shù)m，m取決于殘差的大小，這樣，從式（3-50）可求出回歸系數(shù)，從而建立回歸方程數(shù)學(xué)模型。由已知觀測(cè)值尋求x與y之間函數(shù)關(guān)系的方法在工業(yè)控制應(yīng)用中稱為“系統(tǒng)辨識(shí)”，系統(tǒng)辨識(shí)已有效地應(yīng)用于空間技術(shù)、生物醫(yī)學(xué)系統(tǒng)、經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)、機(jī)器人工程等領(lǐng)域。例35 經(jīng)實(shí)驗(yàn)獲得低碳鋼的屈服點(diǎn)

50、與晶粒直徑d對(duì)應(yīng)關(guān)系見表3-3中，用最小二乘法建立起d與之間關(guān)系的數(shù)學(xué)模型（霍爾-配奇公式）。表3-3 低碳鋼屈服點(diǎn)與晶粒直徑d/um400501052/（）86121180242345以作為x，作為y，取，為一直線。設(shè)實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)點(diǎn)為，一般來說，直線并不通過其中任一實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)點(diǎn)，因?yàn)槊奎c(diǎn)均有偶然誤差，有 （3-51）所有實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)點(diǎn)誤差的平方和為 （3-52）按照上述最小二乘法原理，誤差平方和為最小的直線是最佳直線。求最小值的條件是 及 （3-53）得出 （3-54）過程中各計(jì)算值見表3-4。表3-4 最小二乘法過程中的各計(jì)算值12345861211802423459740.050.140.3160.4470.7071.6673961464132400585641190252320260.00250.020.10.20.50.82254.316.9456.88108.74243.915430.209將計(jì)算結(jié)果代入方程（3-54）聯(lián)立求解得取，得到以下公式 （3-55）這是典型的霍爾-配奇公式。參考文獻(xiàn)1 陳義華.數(shù)學(xué)模型.重慶：重慶大學(xué)出版社，19952 陳理榮等.數(shù)學(xué)建模導(dǎo)論.北京：北京郵電大學(xué)出版社，19993 邱大年等.計(jì)算機(jī)在材料科學(xué)中的應(yīng)用.北京：北京工業(yè)大學(xué)出版社，19904 諶安琦.科技工程中的數(shù)學(xué)模