數(shù)學(xué)立體幾何復(fù)習(xí)

1、第一節(jié)第一節(jié) 空間幾何體的結(jié)構(gòu)及其三視圖和直觀圖空間幾何體的結(jié)構(gòu)及其三視圖和直觀圖基礎(chǔ)梳理基礎(chǔ)梳理1. 多面體(1)有兩個(gè)面互相平行,其余各面都是四邊形,并且每相鄰兩個(gè)四邊形的公共邊都互相平行,由這些面所圍成的多面體叫做棱柱.(2)有一個(gè)面是多邊形,其余各面都是有一個(gè)公共頂點(diǎn)的三角形,由這些面所圍成的多面體叫做棱錐.(3)用一個(gè)平行于棱錐底面的平面截棱錐,底面和截面之間的這部分多面體叫做棱臺(tái).2 旋轉(zhuǎn)(1)以矩形的一邊所在的直線為旋轉(zhuǎn)軸,其余三邊旋轉(zhuǎn)形成的面所圍成的旋轉(zhuǎn)體叫做圓柱.(2)以直角三角形的一條直角邊所在的直線為旋轉(zhuǎn)軸,其余兩邊旋轉(zhuǎn)形成的面所圍成的旋轉(zhuǎn)體體叫做圓錐.(3)以半圓的直徑

2、所在的直線為旋轉(zhuǎn)軸,將半圓旋轉(zhuǎn)一周形成的旋轉(zhuǎn)體叫做球體,簡(jiǎn)稱球.3. 三視圖和直觀圖(1)三視圖是從一個(gè)幾何體的正前方、正左方、正上方三個(gè)不同的方向看這個(gè)幾何體,描繪出的圖形,分別稱為正視圖、側(cè)視圖、俯視圖.(2)三視圖的排列順序:先畫正視圖,俯視圖放在正視圖的下方,側(cè)視圖放在正視圖的右方.(3)三視圖的三大原則:長(zhǎng)對(duì)正、高平齊、寬相等.(4)水平放置的平面圖形的直觀圖的斜二測(cè)畫法：在已知圖形中,取互相垂直的x軸和y軸,兩軸相交于點(diǎn)O,畫直觀圖時(shí),把它們畫成對(duì)應(yīng)的x軸和y軸,兩軸相交于O,且使xOy=45(或135),用它們確定的平面表示水平面.已知圖形中平行于x軸或y軸的線段,在直觀圖中,分

3、別畫成平行于x軸或y軸的線段.已知圖形中平行于x軸的線段,在直觀圖中保持原長(zhǎng)度不變；平行于y軸的線段,在直觀圖中長(zhǎng)度變?yōu)樵瓉?lái)的一半.典例分析典例分析題型一題型一 空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征【例1】根據(jù)下列對(duì)幾何體結(jié)構(gòu)特征的描述,說(shuō)出幾何體的名稱.(1)由八個(gè)面圍成,其中兩個(gè)面是互相平行且全等的正六邊形,其他各面都是矩形;(2)一個(gè)等腰梯形繞著兩底邊中點(diǎn)的連線所在的直線旋轉(zhuǎn)180形成的封閉曲面所圍成的圖形;(3)一個(gè)直角梯形繞較長(zhǎng)的底邊所在的直線旋轉(zhuǎn)一周形成的曲面所圍成的幾何體.分析分析 要判斷幾何體的類型,從各類幾何體的結(jié)構(gòu)特征入手，以柱、錐、臺(tái)的定義為依據(jù)，把復(fù)雜的幾何體分割成

4、幾個(gè)簡(jiǎn)單的幾何體.解解 (1)如圖1所示,該幾何體滿足有兩個(gè)面平行,其余六個(gè)面都是矩形,可使每相鄰兩個(gè)面的公共邊都互相平行,故該幾何體是正六棱柱.(2)如圖2所示,等腰梯形兩底邊中點(diǎn)的連線將梯形平分為兩個(gè)直角梯形,每個(gè)直角梯形旋轉(zhuǎn)180形成半個(gè)圓臺(tái),故該幾何體為圓臺(tái).(3)如圖3所示,由梯形ABCD的頂點(diǎn)A引AOCD于O點(diǎn),將直角梯形分為一個(gè)直角三角形AOD和矩形AOCB,繞CD旋轉(zhuǎn)一周形成一個(gè)組合體,該組合體由一個(gè)圓錐和一個(gè)圓柱組成.圖1 圖2 圖3學(xué)后反思學(xué)后反思 對(duì)于不規(guī)則的平面圖形繞軸旋轉(zhuǎn)問(wèn)題,要對(duì)原平面圖形作適當(dāng)?shù)姆指?再根據(jù)圓柱、圓錐、圓臺(tái)的結(jié)構(gòu)特征進(jìn)行判斷.舉一反三舉一反三. 1

5、 觀察如圖幾何體,分析它們是由哪些基本幾何體組成的,并說(shuō)出主要結(jié)構(gòu)特征.解析解析 (1)是一個(gè)四棱柱和一個(gè)四棱錐組成的,它有9個(gè)面,9個(gè)頂點(diǎn),16條棱.(2)是由一個(gè)四棱臺(tái)、一個(gè)四棱柱和一個(gè)球組成的,其主要結(jié)構(gòu)特征就是相應(yīng)四棱臺(tái)、四棱柱和球的結(jié)構(gòu)特征.題型二題型二 柱、錐、臺(tái)中的計(jì)算問(wèn)題柱、錐、臺(tái)中的計(jì)算問(wèn)題【例2】正四棱臺(tái)的高是17 cm,兩底面邊長(zhǎng)分別是4 cm和16 cm,求棱臺(tái)的側(cè)棱長(zhǎng)和斜高.分析分析 求棱臺(tái)的側(cè)棱長(zhǎng)和斜高的關(guān)鍵是找到相關(guān)的直角梯形,然后構(gòu)造直角三角形,解決問(wèn)題.解解 如圖所示,設(shè)棱臺(tái)的兩底面的中心分別是 、O, 和BC的中點(diǎn)分別是 和E,連接 、 、 、OB、 、OE

6、,則四邊形 和 都是直角梯形. =4 cm,AB=16 cm, =2 cm,OE=8 cm, =2 cm,OB=8 cm,=19 cm,棱臺(tái)的側(cè)棱長(zhǎng)為19 cm,斜高為 cm.11BC1O1E1OO1E E11O B11O E11OBBO11OEEO11AB11O E11O B22221111B BOOOBO B2211115 13E EOOOEO E5 13學(xué)后反思學(xué)后反思 （1）把空間問(wèn)題轉(zhuǎn)化為平面問(wèn)題去解是解決立體幾何問(wèn)題的常用方法.（2）找出相關(guān)的直角梯形，構(gòu)造直角三角形是解題的關(guān)鍵，正棱臺(tái)中許多元素都可以在直角梯形中求出.舉一反三舉一反三2. （2009上海）若等腰直角三角形的直角邊

7、長(zhǎng)為2，則以一直角邊所在的直線為軸旋轉(zhuǎn)一周所成的幾何體的體積是_.解析解析 如圖，等腰直角三角形旋轉(zhuǎn)而成的旋轉(zhuǎn)體為圓錐.V= Sh= h= 2= .13132R132283答案答案 83題型三題型三 三視圖與直觀圖三視圖與直觀圖【例3】螺栓是由棱柱和圓柱構(gòu)成的組合體,如下圖,畫出它的三視圖.分析分析 螺栓是棱柱、圓柱組合而成的，按照畫三視圖的三大原則“長(zhǎng)對(duì)正，高平齊，寬相等”畫出.解解 該物體是由一個(gè)正六棱柱和一個(gè)圓柱組合而成的,正視圖反映正六棱柱的三個(gè)側(cè)面和圓柱側(cè)面,側(cè)視圖反映正六棱柱的兩個(gè)側(cè)面和圓柱側(cè)面,俯視圖反映該物體投影后是一個(gè)正六邊形和一個(gè)圓(中心重合).它的三視圖如下圖:學(xué)后反思學(xué)

8、后反思 在繪制三視圖時(shí),若相鄰兩物體的表面相交,表面的交線是它們的分界線,在三視圖中,分界線和可見輪廓線都用實(shí)線畫出.例如上圖中,表示上面圓柱與下面棱柱的分界線是正視圖中的線段AB、側(cè)視圖中的線段CD以及俯視圖中的圓.舉一反三舉一反三3. (2008廣東)將正三棱柱截去三個(gè)角(如圖1所示,A、B、C分別是GHI三邊的中點(diǎn))得到幾何體如圖2,則該幾何體按圖2所示方向的側(cè)視圖為 ( )解析解析 由正三棱柱的性質(zhì)得,側(cè)面AED底面EFD,則側(cè)視圖必為直角梯形,且線段BE在梯形內(nèi)部.答案答案 A題型四幾何體的直觀圖題型四幾何體的直觀圖【例4】(12分)用斜二測(cè)法畫出水平放置的等腰梯形的直觀圖.分析分析

9、 畫水平放置的直觀圖應(yīng)遵循以下原則:(1)坐標(biāo)系中xOy=45;(2)橫線相等,即AB=AB,CD=CD;(3)豎線是原來(lái)的 ,即OE= OE.1212畫法畫法 (1)如圖1,取AB所在直線為x軸,AB中點(diǎn)O為原點(diǎn),建立直角坐標(biāo)系,.3畫對(duì)應(yīng)的坐標(biāo)系xOy,使xOy=45.5(2)以O(shè)為中點(diǎn)在x軸上取AB=AB,在y軸上取OE= OE,以E為中點(diǎn)畫CDx軸,并使CD=CD10(3)連接BC、DA,所得的四邊形ABCD就是水平放置的等腰梯形ABCD的直觀圖,如圖2.12 圖1 圖2 12學(xué)后反思學(xué)后反思 在原圖形中要建立適當(dāng)?shù)闹苯亲鴺?biāo)系，一般取圖形中的某一橫線為x軸，對(duì)稱軸為y軸，或取兩垂直的直

10、線為坐標(biāo)軸，原點(diǎn)可建在圖形的某一頂點(diǎn)或?qū)ΨQ中心、 中點(diǎn)等.坐標(biāo)系建得不同，但畫法規(guī)則不變，關(guān)鍵是畫出平面圖形中相對(duì)應(yīng)的頂點(diǎn).舉一反三舉一反三4. 如圖所示，矩形OABC是水平放置的一個(gè)平面圖形的直觀圖，其中OA=6 cm，OC=2 cm，則原圖形是 （）A. 正方形B. 矩形C. 菱形D. 一般的平行四邊形解析解析 在直觀圖中，平行于x軸的邊的長(zhǎng)度不變，平行于y軸的邊的長(zhǎng)度變?yōu)樵瓉?lái)的 ，原圖中，OA=6 cm,OD=4 cm，OC=6 cm,BC=AB=6 cm，原圖形為菱形.答案答案 C122易錯(cuò)警示易錯(cuò)警示【例】畫出如圖1所示零件的三視圖.錯(cuò)解錯(cuò)解 圖1的零件可看做是一個(gè)半圓柱、一個(gè)柱體、

11、一個(gè)圓柱的組合,其三視圖如圖2. 圖1 圖2錯(cuò)解分析錯(cuò)解分析 錯(cuò)誤原因是圖中各視圖都沒(méi)有畫出中間的柱體和圓柱的交線，畫圖時(shí)應(yīng)畫出其交線.正解正解考點(diǎn)演練考點(diǎn)演練10. （2010濰坊模擬）如圖，已知正四棱臺(tái)ABCD- 的上底面邊長(zhǎng)為1，下底面邊長(zhǎng)為2，高為1，則線段 的長(zhǎng)是_.1111ABC D1BC1B解析解析 連接上底面對(duì)角線 的中點(diǎn) 和下底面BD的中點(diǎn)O，得棱臺(tái)的高 ，過(guò)點(diǎn) 作 的平行線交BD于點(diǎn)E，連接CE.在BCE中，由BC=2，BE= ,CBE=45，利用余弦定理可得CE= ，故在Rt 中易得答案答案 11B D1O1OO1OO221021B EC2211014122BC14211

12、. 圓臺(tái)的兩底面半徑分別為5 cm和10 cm,高為8 cm,有一個(gè)過(guò)圓臺(tái)兩母線的截面,且上、下底面中心到截面與兩底面交線的距離分別為3 cm和6 cm,求截面面積.解析解析 如圖所示截面ABCD,取AB中點(diǎn)F,CD中點(diǎn)E,連接OF, ，EF, ,OA,則 為直角梯形,ABCD為等腰梯形,EF為梯形ABCD的高,在直角梯形 中, （cm），在Rt 中， （cm）,同理, （cm）,1O E1O D1O EFO1O EFO221173EFOOOFO E1O ED22114DEO DO E228AFOAOF212487312 732ABCDScm 梯形12. 圓臺(tái)的一個(gè)底面周長(zhǎng)是另一個(gè)底面周長(zhǎng)的3

13、倍,軸截面的面積等于392 ,母線與軸的夾角是45,求這個(gè)圓臺(tái)的高、母線長(zhǎng)和兩底面半徑.2cm解析解析 圓臺(tái)的軸截面如圖所示,設(shè)圓臺(tái)上、下底面半徑分別為x cm,3x cm.延長(zhǎng) 交 的延長(zhǎng)線于S,在RtSOA中,ASO=45,則SAO=45,SO=AO=3x, =x， =2x,又 ,x=7.故圓臺(tái)的高 =14 cm,母線長(zhǎng) = =14 cm,兩底面半徑分別為7 cm,21 cm.1AA1OO111SOAO1OO1=6223922Sxxx軸截面1OOl12OO2第二節(jié)第二節(jié) 空間幾何體的表面積與體積空間幾何體的表面積與體積基礎(chǔ)梳理基礎(chǔ)梳理1. 柱體、錐體、臺(tái)體的側(cè)面積,就是各側(cè)面面積之和；表面

14、積是各個(gè)面的面積之和,即側(cè)面積與底面積之和.2. 把柱體、錐體、臺(tái)體的面展開成一個(gè)平面圖形,稱為它的展開圖,它的表面積就是展開圖的面積.3. 圓柱、圓錐、圓臺(tái)的側(cè)面積及表面積22S=2,=2;=,=;,.rl Sr rlSrl Sr rlSrr l Srrr lrl圓柱側(cè)柱圓錐側(cè)錐圓臺(tái)側(cè)臺(tái)4. 柱、錐、臺(tái)體的體積這是柱體、錐體、臺(tái)體統(tǒng)一計(jì)算公式,特別地，圓柱、圓錐、圓臺(tái)還可以分別寫成: 5. 球的體積及球的表面積設(shè)球的半徑為R, 222211= r,=r,33Vh Vh Vh rr rr圓柱圓錐圓臺(tái)324=RS =4 R3V球球，31=,=a ,=,V =Sh31=3Vabc VVShVSSS

15、Sh長(zhǎng)方體正方體柱錐臺(tái)典例分析典例分析題型一題型一 幾何體的表面積問(wèn)題幾何體的表面積問(wèn)題【例1】已知一個(gè)正三棱臺(tái)的兩底面邊長(zhǎng)分別為30 cm和20 cm,且其側(cè)面積等于兩底面面積之和,求棱臺(tái)的高.分析分析 要求正棱臺(tái)的高，首先要畫出正棱臺(tái)的高，使其包含在某一個(gè)特征直角梯形中，轉(zhuǎn)化為平面問(wèn)題，由已知條件列出方程，求解所需的幾何元素.解解 如圖所示,正三棱臺(tái)ABC- 中,O、 分別為兩底面中心,D、 分別為BC和 中點(diǎn),則 為棱臺(tái)的斜高.設(shè) =20,AB=30,則OD=5 , = ,由 ,得在直角梯形 中,棱臺(tái)的高為4 cm.111ABC1O11BC1D1DD11AB11O D310 33=+SS

16、S下側(cè)上2211320+303 DD =20 +3024 113DD =3311O ODD221111O O= DD -4 3ODO D3學(xué)后反思學(xué)后反思 (1)求解有關(guān)多面體表面積的問(wèn)題,關(guān)鍵是找到其特征幾何圖形,解決旋轉(zhuǎn)體的表面積問(wèn)題,要利用好旋轉(zhuǎn)體的軸截面及側(cè)面展開圖.（2）借助于平面幾何知識(shí),利用已知條件求得所需幾何要素.舉一反三舉一反三1. 圓臺(tái)側(cè)面的母線長(zhǎng)為2a,母線與軸的夾角為30,一個(gè)底面的半徑是另一個(gè)底面半徑的2倍.求兩底面的半徑與兩底面面積之和.解析解析 如圖,設(shè)圓臺(tái)上底面半徑為r,則下底面半徑為2r,ASO=30,在RtSOA中, =sin 30,SA=2r.在RtSOA

17、中, =sin 30,SA=4r.SA-SA=AA,即4r-2r=2a,r=a.圓臺(tái)上底面半徑為a,下底面半徑為2a,兩底面面積之和為 .rSA2rSA222212255SSSrrra25 a題型二題型二 幾何體的體積問(wèn)題幾何體的體積問(wèn)題【例2】已知四棱臺(tái)兩底面均為正方形，邊長(zhǎng)分別為4 cm，8 cm，側(cè)棱長(zhǎng)為8 cm，求它的側(cè)面積和體積.分析分析 由題意知,需求側(cè)面等腰梯形的高和四棱臺(tái)的高,然后利用平面圖形面積公式和臺(tái)體體積公式求得結(jié)論.解解 如圖,設(shè)四棱臺(tái)的側(cè)棱延長(zhǎng)后交于點(diǎn)P,則PBC為等腰三角形,取BC中點(diǎn)E,連接PE交 于點(diǎn) ,則PEBC, E為側(cè)面等腰梯形的高,作PO底面ABCD交上

18、底面于點(diǎn) ,連接 、OE.在P 和PBC中, , 為PB的中點(diǎn), 為PE的中點(diǎn).在RtPEB中,11BC1E1E1O11O E11BC1114182PBBCPBBC118PBB B1B1E22221644 15PEPBBE112 152E EPE在RtPOE中,1 111111111222212P-ABCDP A B C D1ABCDA B C D2224 1544 1412 14.21=4S4482 1548 152=V11SPOSPO3311224 1484 1442 14333BCC BPOPEOEcmOOPOcmScmVVcm四棱臺(tái)側(cè)梯形四棱臺(tái)四棱錐四棱錐四邊形四邊形學(xué)后反思學(xué)后反思

19、（1）求棱臺(tái)的側(cè)面積與體積要注意利用公式以及正棱臺(tái)中的“特征直角三角形”和“特征直角梯形”，它們是架起“求積”關(guān)系式中的未知量與滿足題設(shè)條件中幾何圖形元素間關(guān)系的“橋梁”.（2）平行于棱臺(tái)底面的截面分棱臺(tái)的側(cè)面積與體積比的問(wèn)題，通常是“還臺(tái)為錐”，而后利用平行于棱錐底面的截面性質(zhì)去解.“還臺(tái)為錐”借助于軸截面，將空間問(wèn)題轉(zhuǎn)化為平面問(wèn)題，求出相關(guān)數(shù)據(jù)，進(jìn)行計(jì)算.“還臺(tái)為錐”是解決棱臺(tái)問(wèn)題的重要方法和手段.舉一反三舉一反三2. 如圖,在多面體ABCDEF中,已知四邊形ABCD是邊長(zhǎng)為1的正方形,且ADE、BCF均為正三角形,EFAB,EF=2,則該多面體的體積為 .解析解析 如圖,分別過(guò)A、B作E

20、F的垂線,垂足分別為G、H,連接DG、CH,易求得EG=HF= ,AG=GD=BH=HC= ,答案答案 12321221,22412112121342342423AGDBHCE ADGF BHCAGD BHCSSVVVV 23題型三題型三 組合體的體積和表面積問(wèn)題組合體的體積和表面積問(wèn)題【例3】(12分)如圖,在等腰梯形ABCD中,AB=2DC=2,DAB=60,E為AB的中點(diǎn),將ADE與BEC分別沿ED、EC向上折起,使A、B重合,求形成三棱錐的外接球的體積.分析分析 易知折疊成的幾何體為棱長(zhǎng)為1的正四面體,欲求外接球的體積，求其外接球半徑即可.解解 由已知條件知,在平面圖形中,AE=EB=

21、BC=CD=DA=DE=EC=1.1所以折疊后得到一個(gè)正四面體.方法一:如圖，作AF面DEC,垂足為F,F即為DEC的中心3取EC中點(diǎn)G,連接DG、AG,過(guò)外接球球心O作OH面AEC,則垂足H為AEC的中心.5外接球半徑可利用OHAGFA求得.AG= ,AH= AG= ，AF= , 7322333236133在AFG和AHO中,根據(jù)三角形相似可知, .10外接球體積為 .12方法二:如圖,把正四面體放在正方體中.顯然,正四面體的外接球就是正方體的外接球.4正四面體棱長(zhǎng)為1,正方體棱長(zhǎng)為 ,.6外接球直徑2R= ,10R= ,體積為 1233623463AG AHOAAF33446 663348

22、OA22232643466()348學(xué)后反思學(xué)后反思 (1)折疊問(wèn)題是高考經(jīng)?？疾榈膬?nèi)容之一,解決這類問(wèn)題要注意對(duì)翻折前后線線、線面的位置關(guān)系，所成角及距離加以比較.一般來(lái)說(shuō)，位于棱的兩側(cè)的同一半平面內(nèi)的元素其相對(duì)位置的關(guān)系和數(shù)量關(guān)系在翻折前后不發(fā)生變化，分別位于兩個(gè)半平面內(nèi)的元素其相對(duì)位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系則發(fā)生變化;不變量可結(jié)合原圖形求證，變化量應(yīng)在折后立體圖形中求證.對(duì)某些翻折不易看清的元素，可結(jié)合原圖形去分析、計(jì)算，即將空間問(wèn)題轉(zhuǎn)化為平面問(wèn)題.（2）由方法二可知，有關(guān)柱、錐、臺(tái)、球的組合體，經(jīng)常是把正方體、長(zhǎng)方體、球作為載體，去求某些量.解決這類問(wèn)題，首先要把這些載體圖形的形狀、特點(diǎn)及性質(zhì)

23、掌握熟練，把問(wèn)題進(jìn)行轉(zhuǎn)化，使運(yùn)算和推理變得更簡(jiǎn)單，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化思想是立體幾何中一個(gè)非常重要的思想方法.舉一反三舉一反三3. 已知正四棱錐的底面邊長(zhǎng)為a,側(cè)棱長(zhǎng)為 a.求它的外接球的體積.2解析解析 設(shè)外接球的半徑為R,球心為O,則OA=OC=OS,所以O(shè)為SAC的外心,即SAC的外接圓半徑就是外接球的半徑,AB=BC=a,AC= a,SA=SC=AC= a,SAC為正三角形.由正弦定理,得2203322 62sinsin603648 6,R3327ACaRaASCaRVa球易錯(cuò)警示易錯(cuò)警示涉及組合體問(wèn)題，關(guān)鍵是正確地作出截面圖形，把立體幾何問(wèn)題轉(zhuǎn)化為平面問(wèn)題進(jìn)行解決，解此類問(wèn)題時(shí)往往因不能正確地

24、作出截面圖形而導(dǎo)致錯(cuò)誤.【例】已知球的內(nèi)接正方體的體積為V，求球的表面積.錯(cuò)解分析錯(cuò)解分析 過(guò)球內(nèi)接正方體的一個(gè)對(duì)角面作球的大圓截面，得到一個(gè)矩形，矩形的對(duì)角線長(zhǎng)為 x，不是 x.32錯(cuò)解錯(cuò)解 如圖所示，作圓的內(nèi)接正方形表示正方體的截面，設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為x，球半徑為R，則有 =V, x=2R，解得3x232232,422RVSRV球正解正解 如圖所示，過(guò)正方體的對(duì)角面作球的大圓截面，設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為x，球半徑為R,則有 =V, x=2R，解得3x332233,4 R3V2RVS球考點(diǎn)演練考點(diǎn)演練10. （2009遼寧）設(shè)某幾何體的三視圖如下（長(zhǎng)度單位為m）：求該幾何體的體積.解析解析 三視圖所

25、對(duì)應(yīng)的立體圖形如圖所示.由題意可得平面PAC平面ABC，V= 432=4( ).11323m11. 如圖，一個(gè)三棱柱形容器中盛有水，且側(cè)棱 =8.若側(cè)面 水平放置時(shí)，液面恰好過(guò)AC、BC、 、 的中點(diǎn).當(dāng)?shù)酌鍭BC水平放置時(shí)，液面高為多少？1AA11AAB B11AC11BC解析解析 當(dāng)側(cè)面 水平放置時(shí)，水的形狀為四棱柱形，底面ABFE為梯形，設(shè)ABC的面積為S，則11AAB B34ABFESS 當(dāng)?shù)酌鍭BC水平放置時(shí)，水的形狀為三棱柱形，設(shè)水面高為h，則有 =Sh，6S=Sh,h=6.故當(dāng)?shù)酌鍭BC水平放置時(shí)，液面高為6.1364VS AAS水V水12. （2009廣東改編）某高速公路收費(fèi)站

26、入口處的安全標(biāo)識(shí)墩如圖1所示.墩的上半部分是正四棱錐P-EFGH,下半部分是長(zhǎng)方體ABCD-EFGH.圖2、圖3分別是該標(biāo)識(shí)墩的正視圖和俯視圖.（1）請(qǐng)畫出該安全標(biāo)識(shí)墩的側(cè)視圖；（2）求該安全標(biāo)識(shí)墩的體積. 圖1 圖2 圖3 解析解析 （1）側(cè)視圖同正視圖，如圖2所示.（2）該安全標(biāo)識(shí)墩的體積為2231V406040203320003200064000()P EFGHABCD EFGHVVcm第三節(jié)第三節(jié) 空間點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系空間點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系基礎(chǔ)梳理基礎(chǔ)梳理1. 平面的基本性質(zhì)名稱 圖形 文字語(yǔ)言 符號(hào)語(yǔ)言公理1如果一條直線上有兩個(gè)點(diǎn)在一個(gè)平面內(nèi),那么這條直線在這個(gè)

27、平面內(nèi) 公理2經(jīng)過(guò)不在同一條直線上的三個(gè)點(diǎn)確定一個(gè)平面 A、B、C不共線A、B、C平面且是唯一的 公理3如果不重合的兩個(gè)平面有一個(gè)公共點(diǎn),那么它們有且只有一條過(guò)這個(gè)點(diǎn)的公共直線 若P,P,則=a,且Pa ,Al Bl ABl 公理4 平行于同一條直線的兩條直線互相平行 若ab,bc,則ac 公理2的推論 推論1 經(jīng)過(guò)一條直線和直線外一點(diǎn),有且只有一個(gè)平面 若點(diǎn)A直線a,則A和a確定一個(gè)平面 推論2兩條相交直線確定一個(gè)平面 ab=P 有且只有一個(gè)平面,使a,b 推論3兩條平行直線確定一個(gè)平面 ab 有且只有一個(gè)平面,使a,b2. 空間直線與直線的位置關(guān)系(1)位置關(guān)系 相交 共面 共面與否 平行

28、 異面 一個(gè)公共點(diǎn):相交公共點(diǎn)個(gè)數(shù) 平行 無(wú)公共點(diǎn) 異面(2)公理4(平行公理):平行于同一直線的兩條直線互相平行.(3)定理:空間中如果兩個(gè)角的兩邊分別對(duì)應(yīng)平行,那么這兩個(gè)角相等或互補(bǔ).（4）異面直線的夾角定義：已知兩條異面直線a、b，經(jīng)過(guò)空間任意一點(diǎn)O作直線aa,bb，我們把兩相交直線a、b所成的角叫做異面直線a、b所成的角（或夾角）.范圍：（0, .特別地，如果兩異面直線所成的角是 ，我們就稱這兩條直線垂直，記作ab.3. 空間中的直線與平面的位置關(guān)系 直線在平面內(nèi)有無(wú)數(shù)個(gè)公共點(diǎn) 直線與平面相交有且只有一個(gè)公共點(diǎn) 直線在平面外 直線與平面平行無(wú)公共點(diǎn)4. 平面與平面的位置關(guān)系平行無(wú)公共點(diǎn)

29、相交有且只有一條公共直線22典例分析典例分析題型一題型一 點(diǎn)、線、面的位置關(guān)系點(diǎn)、線、面的位置關(guān)系【例1】下列命題:空間不同三點(diǎn)確定一個(gè)平面;有三個(gè)公共點(diǎn)的兩個(gè)平面必重合;空間兩兩相交的三條直線確定一個(gè)平面;三角形是平面圖形;平行四邊形、梯形、四邊形都是平面圖形;垂直于同一直線的兩直線平行;一條直線和兩平行線中的一條相交,也必和另一條相交;兩組對(duì)邊相等的四邊形是平行四邊形.其中正確的命題是_.分析分析 根據(jù)公理及推論作判斷.解解 由公理2知,不共線的三點(diǎn)才能確定一個(gè)平面,所以命題、均錯(cuò),中有可能出現(xiàn)兩平面只有一條公共線(當(dāng)這三個(gè)公共點(diǎn)共線時(shí));空間兩兩相交的三條直線有三個(gè)交點(diǎn)或一個(gè)交點(diǎn),若為三

30、個(gè)交點(diǎn),則這三線共面,若只有一個(gè)交點(diǎn),則可能確定一個(gè)平面或三個(gè)平面;正確;中平行四邊形及梯形由公理2的推論及公理1可得必為平面圖形,而四邊形有可能是空間四邊形;如圖,在正方體ABCD-ABCD中,直線BBAB,BBBC,但AB與BC不平行,所以錯(cuò);ABCD,BBAB=B,但BB與CD不相交,所以錯(cuò);四邊形ADBC中,AD=DB=BC=CA,但它不是平行四邊形,所以也錯(cuò).學(xué)后反思學(xué)后反思 平面性質(zhì)的三個(gè)公理及其推論是論證線面關(guān)系的依據(jù),在判斷過(guò)程中要注意反例和圖形的應(yīng)用.舉一反三舉一反三1. 給出下列命題：如果平面與平面相交,那么它們只有有限個(gè)公共點(diǎn);經(jīng)過(guò)空間任意三點(diǎn)的平面有且只有一個(gè);如果兩個(gè)

31、平面有三個(gè)不共線的公共點(diǎn),那么這兩個(gè)平面重合為一個(gè)平面;不平行的兩直線必相交.其中正確命題的序號(hào)為_.解析解析 由公理3知，錯(cuò);由公理2知，錯(cuò);對(duì);不平行的兩直線可能異面，故錯(cuò).答案答案 題型二題型二 證明三點(diǎn)共線證明三點(diǎn)共線【例2】已知ABC的三個(gè)頂點(diǎn)都不在平面內(nèi),它的三邊AB、BC、AC延長(zhǎng)后分別交平面于點(diǎn)P、Q、R.求證:P、Q、R三點(diǎn)在同一條直線上.分析分析 要證明P、Q、R三點(diǎn)共線,只需證明這三點(diǎn)都在ABC所在的平面和平面的交線上即可.證明證明 由已知條件易知,平面與平面ABC相交.設(shè)交線為 ,即 =面ABC.PAB,P面ABC.又PAB,P,即P為平面與面ABC的公共點(diǎn),P .同理

32、可證,點(diǎn)R和Q也在交線 上.故P、Q、R三點(diǎn)共線于 .lllll學(xué)后反思學(xué)后反思 證明多點(diǎn)共線的方法是：以公理3為依據(jù)，先找出兩個(gè)平面的交線，再證明各個(gè)點(diǎn)都是這兩個(gè)面的公共點(diǎn)，即在交線上，則多點(diǎn)共線.或者，先證明過(guò)其中兩點(diǎn)的直線是這兩個(gè)平面的交線，然后證明第三個(gè)點(diǎn)也在交線上.同理，其他的點(diǎn)都在交線上，即多點(diǎn)共線.舉一反三舉一反三2. 如圖，已知E、F、G、H分別是空間四邊形ABCD(四條線段首尾相接,且連接點(diǎn)不在同一平面內(nèi),所組成的空間圖形叫空間四邊形)各邊AB、AD、CB、CD上的點(diǎn),且直線EF和GH交于點(diǎn)P,如圖所示.求證:點(diǎn)B、D、P在同一條直線上.證明證明 由于直線EF和GH交于點(diǎn)P,

33、PEF,又EF平面ABD,P平面ABD.同理,P平面CBD.P在平面ABD與平面CBD的交線BD上,即B、D、P三點(diǎn)在同一條直線上.題型三題型三 證明點(diǎn)線共面證明點(diǎn)線共面【例3】求證:兩兩相交且不共點(diǎn)的四條直線在同一平面內(nèi).分析分析 由題知，四條直線兩兩相交且不共點(diǎn)，故有兩種情況：一種是三條交于一點(diǎn)，另一種是任何三條都不共點(diǎn)，故分兩種情況證明.要證明四線共面，先根據(jù)公理2的推論證兩條直線共面，然后再證第三條直線在這個(gè)平面內(nèi)，同理第四條直線也在這個(gè)平面內(nèi)，故四線共面.證明證明 (1)如圖,設(shè)直線a,b,c相交于點(diǎn)O,直線d和a,b,c分別相交于A,B,C三點(diǎn),直線d和點(diǎn)O確定平面,由O平面,A平

34、面,O直線a,A直線a,知直線a平面.同理b平面,c平面,故直線a,b,c,d共面于.(2)如圖,設(shè)直線a,b,c,d兩兩相交,且任何三線不共點(diǎn),交點(diǎn)分別是M,N,P,Q,R,G,由直線ab=M,知直線a和b確定平面.由ac=N,bc=Q,知點(diǎn)N、Q都在平面內(nèi),故c.同理可證d,故直線a,b,c,d共面于.由(1)、(2)可知,兩兩相交且不共點(diǎn)的四條直線必在同一平面內(nèi).學(xué)后反思學(xué)后反思 證多線共面的方法：（1）以公理、推論為依據(jù)先證兩直線共面，然后再由公理1證第三條也在這個(gè)平面內(nèi).同理其他直線都在這個(gè)平面內(nèi).（2）先由部分直線確定平面，再由其他直線確定平面,然后證明這些平面重合.舉一反三舉一反

35、三3. 在正方體ABCD- 中,E是AB的中點(diǎn),F是 的中點(diǎn).求證:E、F、 、C四點(diǎn)共面.1111ABC D1AA1D證明證明 如圖，連接 ,EF, .E是AB的中點(diǎn),F是 的中點(diǎn),EF . ,EF .故E、F、 、C四點(diǎn)共面.1AB1CD1AA1AB1CD1AB1CD1D題型四題型四 異面直線及其所成角的問(wèn)題異面直線及其所成角的問(wèn)題【例4】(2008全國(guó))已知正四棱錐S-ABCD的側(cè)棱長(zhǎng)與底面邊長(zhǎng)都相等，E是SB的中點(diǎn)，則AE、SD所成的角的余弦值為 （）A. B. C. D. 13233323分析分析 通過(guò)作平行線找到AE與SD所成的角，再利用三角形求解.解解 如圖，連接AC、BD交于點(diǎn)

36、O，連接OE.因?yàn)镺ESD，所以AEO為所求.設(shè)側(cè)棱長(zhǎng)與底面邊長(zhǎng)都等于2，則在AEO中，OE=1，AO= ，AE= ，于是cosAEO= .故選C.232223123323 1學(xué)后反思學(xué)后反思 求異面直線所成的角的方法：（1）根據(jù)平行線定義，作出異面直線所成的角.（2）證明作出的角是異面直線所成的角.（3）在三角形內(nèi)求得直線所成角的某個(gè)三角函數(shù)值.舉一反三舉一反三4. 在四面體A-BCD中，AB=CD，且其所成的角是60，點(diǎn)M，N分別是BC，AD的中點(diǎn).求直線AB與MN所成的角的大小.解析解析 如圖，取BD中點(diǎn)E，連接NE，EM，則EN AB,EM CD,故EMN為等腰三角形，由條件MEN=6

37、0，EMN為等邊三角形，且ENM即為AB與MN所成的角，ENM=60./ /12/ /12題型五題型五 證明三線共點(diǎn)證明三線共點(diǎn)【例5】(12分)已知四面體A-BCD中,E、F分別是AB、AD的中點(diǎn),G、H分別是BC、CD上的點(diǎn),且 .求證:直線EG、FH、AC相交于同一點(diǎn)P.2BGDHGCHC分析分析 先證E、F、G、H四點(diǎn)共面，再證EG、FH交于一點(diǎn)，然后證明這一點(diǎn)在AC上.證明E、F分別是AB、AD的中點(diǎn),EFBD且EF= BD.2又 ,GHBD且GH= BD,EFGH且EFGH,4四邊形EFHG是梯形,其兩腰所在直線必相交,設(shè)兩腰EG、FH的延長(zhǎng)線相交于一點(diǎn)P,.6EG平面ABC,FH

38、平面ACD,P平面ABC,P平面ACD.8又平面ABC平面ACD=AC,PAC,10故直線EG、FH、AC相交于同一點(diǎn)P12122BGDHGCHC13學(xué)后反思學(xué)后反思 證明三線共點(diǎn)的方法:首先證明其中的兩條直線交于一點(diǎn)，然后證明第三條直線是經(jīng)過(guò)這兩條直線的兩個(gè)平面的交線；由公理3可知，兩個(gè)平面的公共點(diǎn)必在這兩個(gè)平面的交線上，即三條直線交于一點(diǎn).舉一反三舉一反三5. 如圖所示,已知空間四邊形ABCD,點(diǎn)E,F,G,H,M,N分別是AB,BC,CD,DA,AC,BD的中點(diǎn).求證:三線段EG,FH,MN交于一點(diǎn),且被該點(diǎn)平分.證明證明 如圖所示,連接EF,FG,GH,HE,MF,FN,NH,MH.E

39、,F,G,H分別為AB,BC,CD,DA的中點(diǎn),EFGH,EHFG，四邊形EFGH是平行四邊形.設(shè)EGFH=O,則O平分EG,FH.同理,四邊形MFNH是平行四邊形.設(shè)MNFH=O,則O平分MN,FH.點(diǎn)O,O都平分線段FH,O與O兩點(diǎn)重合，MN過(guò)EG和FH的交點(diǎn),即三線段共點(diǎn)且被該點(diǎn)平分.易錯(cuò)警示易錯(cuò)警示【例】過(guò)已知直線a外一點(diǎn)P,與直線a上的四個(gè)點(diǎn)A、B、C、D分別畫四條直線.求證:這四條直線在同一平面內(nèi).錯(cuò)解錯(cuò)解 P、A、B三點(diǎn)不共線,P、A、B共面,即PA、PB、AB共面,同理,PB、PC、BC共面;PC、PD、CD共面.A、B、C、D均在直線a上,PA、PB、PC、PD四條直線在同一

40、平面內(nèi).錯(cuò)解分析錯(cuò)解分析 錯(cuò)解在證明了四條直線分別在三個(gè)平面(平面PAB、平面PBC、平面PCD)內(nèi)后,通過(guò)A、B、C、D均在a上,而認(rèn)為三個(gè)平面重合在同一個(gè)平面內(nèi),這種方法是錯(cuò)誤的.錯(cuò)誤在于沒(méi)有根據(jù)地用一條直線來(lái)保證三個(gè)平面重合.正解正解 過(guò)直線a及點(diǎn)P作一平面,A、B、C、D均在a上,A、B、C、D均在內(nèi).直線PA、PB、PC、PD上各有兩點(diǎn)在內(nèi),由公理1可知,直線PA、PB、PC、PD均在平面內(nèi),即四直線共面.考點(diǎn)連接考點(diǎn)連接10. 已知a、b為異面直線，則經(jīng)過(guò)直線a,存在唯一平面，使b；經(jīng)過(guò)直線a，若存在平面使ba,則唯一；經(jīng)過(guò)直線a、b外任意一點(diǎn)，存在平面，使a且b.上述命題中，真命

41、題是_.（寫出真命題的序號(hào)）解析解析 平移b到b，使b、a交于點(diǎn)O，則a與b確定平面為，b，唯一，故正確.a、b為異面直線，故無(wú)法確定a是否垂直于b.如圖，a平移到a，b平移到b，a、b交于點(diǎn)O，則a、b確定的平面唯一.答案答案 11. （2010濱州質(zhì)檢）已知正方體ABCD- 的棱長(zhǎng)為a，求異面直線 和 所成的角.1111ABC D11B D1C A解析解析 如圖所示，連接 , 異面直線 和 所成角為90.11AC11111111111B DACB DA AACA AA1111B D 面A C A111111B DAC面A C A，C A11B D1C A12. 已知直線abc,直線 a=A

42、, b=B, c=C.求證:a、b、c、 共面.llll證明證明 如圖，ab,a、b可以確定一個(gè)平面.又 a=A, b=B,Aa,Bb,A,B,AB;又A ,B , .另一方面,bc,b、c可以確定一個(gè)平面.同理可證, .平面、均經(jīng)過(guò)直線b、,且b和 是兩條相交直線,它們確定的平面是唯一的,平面與是同一個(gè)平面,a、b、c、共面.lllllllll第四節(jié)第四節(jié) 直線、平面平行的判定及其性質(zhì)直線、平面平行的判定及其性質(zhì)1. 平行直線(1)定義:同一平面內(nèi)不相交的兩條直線叫做平行線.(2)公理4:平行于同一條直線的兩條直線互相平行.(3)線面平行的性質(zhì)定理:如果一條直線和一個(gè)平面平行,經(jīng)過(guò)這條直線的

43、平面和這個(gè)平面相交,那么這條直線就和兩平面的交線平行.(4)面面平行的性質(zhì)定理:如果兩個(gè)平行平面同時(shí)與第三個(gè)平面相交,那么它們的交線平行.(5)線面垂直的性質(zhì)定理:如果兩條直線垂直于同一平面,那么這兩條直線平行.2. 直線與平面平行(1)定義:直線a和平面沒(méi)有公共點(diǎn),叫做直線與平面平行.(2)線面平行的判定定理:如果不在一個(gè)平面內(nèi)的一條直線和平面內(nèi)的一條直線平行,那么這條直線和這個(gè)平面平行.基礎(chǔ)梳理基礎(chǔ)梳理(3)面面平行的性質(zhì):如果兩平面互相平行,那么一個(gè)平面內(nèi)的任意一條直線平行于另一個(gè)平面. 3. 平面與平面平行(1)定義:如果兩個(gè)平面沒(méi)有公共點(diǎn),那么這兩個(gè)平面叫做平行平面.(2)面面平行的

44、判定定理:如果一個(gè)平面內(nèi)有兩條相交直線平行于另一個(gè)平面,那么這兩個(gè)平面平行.(3)判定定理的推論:如果一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線分別平行于另一個(gè)平面內(nèi)的兩條直線,則這兩個(gè)平面平行.(4)線面垂直的性質(zhì):如果兩平面垂直于同一直線,則這兩個(gè)平面平行.(5)平行公理:如果兩平面平行于同一平面,則這兩個(gè)平面平行.典例分析典例分析題型一題型一 線線平行線線平行【例1】已知四邊形ABCD是空間四邊形,E、F、G、H分別是邊AB、BC、CD、DA的中點(diǎn).求證:四邊形EFGH是平行四邊形.分析分析 若證四邊形是平行四邊形,只需證一組對(duì)邊平行且相等或兩組對(duì)邊分別平行即可. 證明證明 如圖,連接BD.EH是ABD的

45、中位線,EHBD,EH= BD.又FG是CBD的中位線,FGBD,FG= BD.FGEH,且FG=EH,四邊形EFGH是平行四邊形.2121學(xué)后反思學(xué)后反思 若證明四邊形EFGH是平行四邊形,可有兩條途徑：一是證明兩組對(duì)邊分別平行,二是證明一組對(duì)邊平行且相等.舉一反三舉一反三1. 已知E、 分別是正方體ABCD- 的棱AD、 的中點(diǎn).求證:BEC= .1111DCBA11DA111B EC1E證明證明 如圖,連接 . ,E分別為 ,AD的中點(diǎn),四邊形 為平行四邊形，四邊形 是平行四邊形， EB.同理 EC.又 與CEB方向相同， =CEB.1EE1E11DA11/ /AEAE11AE EA11

46、1111/ / /,/ /A AE EA AB BE EB B11E EBB11E B11EC111C E B111C E B題型二題型二 線面平行線面平行【例2】如圖,正方體ABCD- 中,側(cè)面對(duì)角線 上分別有兩點(diǎn)E,F,且 .求證:EF平面ABCD.1111DCBA11,AB BC11B EC F分析分析 要證EF平面ABCD,方法有兩種:一是利用線面平行的判定定理,即在平面ABCD內(nèi)確定EF的平行線;二是利用面面平行的性質(zhì)定理,即過(guò)EF作與平面ABCD平行的平面.證明證明 方法一:過(guò)E作EMAB于M,過(guò)F作FNBC于N,連接MN(如圖)，則EM ,FN ,EMFN. AE=BF,1BB1

47、BB1111,ABBC B EC FEM=FN,四邊形EMNF是平行四邊形,EFMN.又EF平面ABCD,MN平面ABCD,EF平面ABCD.111111111,EMAEBFAEFNBBABBCABCCEMFNBBCCBBCC方法二:連接 ,并延長(zhǎng)交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)P,連接AP(如圖). PFB,1B F1111/ /,BPBCB FC1111111111.,/ /B FC FFPBFABBC B EC FC FB EAEBFBFEAB EB FEFAPEAFP又EF平面ABCD,AP平面ABCD,EF平面ABCD.方法三:過(guò)點(diǎn)E作EH 于點(diǎn)H,連接FH(如圖)，則EHAB,EHFH=H,平面

48、EFH平面ABCD.EF平面EFH,EF平面ABCD.1BB11111111111111111111B E.,B E,/ /./ /,/ /.B HB AB BABBC B EC FC FB AC BB HC FFHBCB BC BBCBCFHBC學(xué)后反思學(xué)后反思 判斷或證明線面平行的常用方法有:(1)利用線面平行的定義(無(wú)公共點(diǎn));(2)利用線面平行的判定定理(a,b,aba);(3)利用面面平行的性質(zhì)定理(,aa);(4)利用面面平行的性質(zhì)(,a,a,aa).舉一反三舉一反三2. 如圖,在四棱錐P-ABCD中,底面ABCD為正方形,E為PC中點(diǎn).求證:PA平面EDB.證明證明 如圖，連接A

49、C交BD于O,連接EO.四邊形ABCD為正方形,O為AC中點(diǎn).E為PC中點(diǎn),OE為PAC的中位線,故EOPA.又EO平面EDB,PA平面EDB,PA平面EDB.題型三題型三 面面平行面面平行【例3】如圖,正方體ABCD- 的棱長(zhǎng)為1.求證:平面 平面1111ABC D1ABC11AC D分析分析 要證明平面 平面 ,根據(jù)面面平行的判定定理或推論，只要證明AC平面 ， 平面 ,且AC =A即可.1ABC11AC D11AC D1AB11AC D1AB證明證明 方法一: 四邊形 為平行四邊形1111111111/ / / /AABBAABBAACCBBCCBBCC11AAC C1111111111

50、1111111/ /A C DACA C D/ /A C DAB / /A C DACABAAB C/A C DACACACAC平面平面平面同理平面平面平面方法二:易知 和確定一個(gè) 平面 ,于是,1AA1CC1AC11111111111111111111111111ACA C =A CACAC=ACA C / /ACA C / / /AB CAB CA D/AB CA DACAB CAB C/A CACACACACAD平面平面平面平面平面平面平面平面同理平面平面平面平面學(xué)后反思學(xué)后反思 證明平面與平面相互平行,一般利用面面平行的判定定理或其推論,將面面平行轉(zhuǎn)化為線面平行或線線平行來(lái)證明.具體方

51、法有:(1)面面平行的定義;(2)面面平行的判定定理：如果一個(gè)平面內(nèi)有兩條相交直線都平行于另一個(gè)平面,那么這兩個(gè)平面平行;(3)利用垂直于同一條直線的兩個(gè)平面平行;(4)兩個(gè)平面同時(shí)平行于第三個(gè)平面,那么這兩個(gè)平面平行;(5)利用“線線平行”、“線面平行”、“面面平行”的相互轉(zhuǎn)化.舉一反三舉一反三3. 在正方體ABCD- 中,M、N、E、F分別是棱的中點(diǎn).求證:平面AMN平面EFDB.1111DCBA11111111,A DB CC DAB，證明證明 如圖，連接MF,M、F分別是 的中點(diǎn),且四邊形 為正方形,又四邊形ADFM為平行四邊形,AMDF.又AM平面EFDB,DF平面EFDB,AM平面

52、EFDB.同理可證AN平面EFDB.AM,AN平面AMN,AMAN=A,平面AMN平面EFDB.1111,AB C D1111DCBA11/ /MFAD11/ /,/ /,ADADMFAD題型四題型四 平行的探究問(wèn)題平行的探究問(wèn)題【例4】（2009銀川模擬）如圖，在四棱錐S-ABCD中，SA=AB=2，SB=SD=2 ，底面ABCD是菱形，且ABC=60，E為CD的中點(diǎn).(1)求證：CD平面SAE；(2)側(cè)棱SB上是否存在點(diǎn)F，使得CF平面SAE？并證明你的結(jié)論.2分析分析 （1）先利用勾股定理和線面垂直判定定理證明直線SA底面ABCD，再證明直線SACD，證明直線與平面垂直時(shí)，必須證明直線與

53、平面內(nèi)的兩條相交直線垂直.（2）先回答問(wèn)題，再證明充分條件.探究的點(diǎn)往往是特殊點(diǎn)（中點(diǎn)）.證明證明 （1）ABCD是菱形，ABC=60，AB=AC=AD=2,ACD為正三角形.又E為CD的中點(diǎn)，CDAE.SA=AB=AD=2,SB=SD=2 ,2則有SAAB,SAAD.又ABAD=A,SA底面ABCD,SACD.由CDAE,SACD,AESA=A,CD平面SAE.222222,SBSAABSDSAAD (2)側(cè)棱SB上存在點(diǎn)F，當(dāng)F為SB的中點(diǎn)時(shí)，使得CF平面SAE.證明證明 假設(shè)側(cè)棱SB上存在點(diǎn)F，使得CF平面SAE.不妨取SA的中點(diǎn)N，連接EN，過(guò)點(diǎn)N作NFAB,交SB于F點(diǎn)，連接CF.則

54、作圖知NF AB,點(diǎn)F為SB的中點(diǎn).又CE AB，NF CE，四邊形CENF為平行四邊形,CFEN.1/ /21/ /2/ /又EN平面SAE，CF平面SAE，CF平面SAE.即當(dāng)F為側(cè)棱SB的中點(diǎn)時(shí)，CF平面SAE.學(xué)后反思學(xué)后反思 定理、定義是做題的依據(jù)，具備了條件，便可得到結(jié)論；條件不足，要通過(guò)題設(shè)和圖形的結(jié)構(gòu)特征、性質(zhì)去尋求，增添輔助線是解決問(wèn)題的關(guān)鍵.舉一反三舉一反三4. 長(zhǎng)方體ABCD-ABCD，點(diǎn)PBB（不與B、B重合），PABA=M,PCBC=N,求證：MN平面AC.證明證明 如圖，連接AC,AC,ABCD-ABCD為長(zhǎng)方體，ACAC.AC平面ACB,AC平面ACB,AC平面A

55、CB.又平面PAC過(guò)AC與平面ACB交于MN，MNAC.MN平面AC，AC平面AC，MN平面AC.題型五題型五 平行關(guān)系的綜合應(yīng)用平行關(guān)系的綜合應(yīng)用【例5】(12分)求證:若一條直線分別和兩個(gè)相交平面平行,則這條直線必與它們的交線平行.分析分析 此題可先過(guò)直線作平面分別與已知兩平面相交,由線面平行的性質(zhì)定理及公理4,可證得兩交線平行,從而進(jìn)一步證得一條交線與另一平面平行,進(jìn)而可證得結(jié)論.證明證明 , ,=a.過(guò) 作平面交于b,過(guò) 作平面交于c,.3 , ,=b, b.(線面平行的性質(zhì)定理)同理 c.5bc.6又c,b,b.(線面平行的判定定理).8又b,=a,ba.(線面平行的性質(zhì)定理)10

56、a.(公理4).12lllllllll學(xué)后反思學(xué)后反思 把文字語(yǔ)言轉(zhuǎn)化成符號(hào)語(yǔ)言和圖形語(yǔ)言，過(guò) 作平面和與、得到兩條交線，利用線面平行的性質(zhì)定理及公理4可證得交線平行，從而進(jìn)一步證明一條交線與另一個(gè)平面平行，進(jìn)而可證得結(jié)論.l舉一反三舉一反三5. 如圖所示,在四面體A-BCD中,截面EFGH平行于對(duì)棱AB和CD.試問(wèn):截面在什么位置時(shí),截面的面積最大?解析解析 AB平面EFGH,平面EFGH與平面ABC和平面ABD分別交于FG、EH,ABFG,ABEH,FGEH.同理可證,EFGH.四邊形EFGH是平行四邊形.設(shè)AB=a,CD=b,FGH=(a、b、均為定值,其中為異面直線AB與CD所成的角)

57、,又設(shè)FG=x,GH=y,由平面幾何知識(shí),得兩式相加,得 ,即,xCG yBGaCB bBC1xyabbyaxasinsinsin.EFGHbSFG GHxaxabx axax0,a-x0,且x+(a-x)=a(定值)，當(dāng)且僅當(dāng)x=a-x,即x= 時(shí),故當(dāng)截面EFGH的頂點(diǎn)E、F、G、H分別為棱AD、AC、BC、BD的中點(diǎn)時(shí),截面面積最大.2amaxsin.4EFGHabS易錯(cuò)警示易錯(cuò)警示【例】如圖所示，平面平面，點(diǎn)A,C，點(diǎn)B，D，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在線段AB，CD上，且AEEB=CFFD.求證：EF.錯(cuò)解錯(cuò)解 ，ACBD.又AEEB=CFFD，EFBD.又EF，BD，EF.錯(cuò)解分析錯(cuò)解分析 上述

58、解法的錯(cuò)誤在于未討論AB與CD是否共面，而直接把AB、CD作為共面處理，忽視異面的情況.本題中對(duì)AB、CD位置關(guān)系的討論具有一定的代表性，可見分類討論的思想在立體幾何中也多有體現(xiàn).正解正解 當(dāng)AB，CD在同一平面內(nèi)時(shí)，由，平面ABDC=AC，平面ABDC=BD，ACBD,AEEB=CFFD,EFBD,又EF，BD，EF.當(dāng)AB與CD異面時(shí)，如右圖所示，設(shè)平面ACD=DH，且DH=AC.，平面ACDH=AC，ACDH,四邊形ACDH是平行四邊形.在AH上取一點(diǎn)G，使AGGH=CFFD，又AEEB=CFFD，GFHD,EGBH，又EGGF=G，BH平面，DH平面，平面EFG平面.EF平面EFG，E

59、F.綜上，EF.考點(diǎn)演練考點(diǎn)演練10. 如圖,下列四個(gè)正方體圖形中,A、B為正方體的兩個(gè)頂點(diǎn),M、N、P分別為其所在棱的中點(diǎn),能得出AB面MNP的圖形的序號(hào)是.(寫出所有符合要求的圖形序號(hào))解析解析圖中,MNAD,NPAC,平面MNP平面AB，AB平面MNP.圖中,AB不平行于平面MNP(反證法).連接BE,分別交CD、MP于R、Q,若AB平面MNP,則ABNQ.又由N為AE中點(diǎn),R為BE中點(diǎn)，得ABNR.在平面ABE中過(guò)點(diǎn)N有兩條直線平行于AB,與平行公理矛盾.故AB不平行于平面MNP.圖中,AD BC,四邊形ABCD為平行四邊形，ABCD.又MPCD,ABMP，故AB平面MNP.圖中,AB

60、不平行于面MNP(反證法).若AB平面MNP,則ABDM.又由AD BC,得四邊形ABCD是平行四邊形,故ABCD.在平面ABCD中過(guò)點(diǎn)D有兩條直線平行于AB,與平行公理矛盾.故AB不平行于平面MNP./ / /答案答案 11. 已知正方體ABCD-ABCD，求證：平面ACD平面ABC.證明證明 正方體ABCD-ABCD中,ADBC,CDAB,又ADCD=D,BCAB=B,平面ACD平面ABC.12. （2009揚(yáng)州模擬）如圖所示，已知四邊形ABCD是平行四邊形，點(diǎn)P是平面ABCD外一點(diǎn)，M是PC的中點(diǎn)，在DM上取一點(diǎn)G，過(guò)G和AP作平面交平面BDM于GH.求證：APGH.證明證明 連接AC，