第五講：角動(dòng)量

1、高中物理競(jìng)賽基礎(chǔ)班高中物理競(jìng)賽基礎(chǔ)班補(bǔ)充補(bǔ)充：角動(dòng)量角動(dòng)量高中物理競(jìng)賽基礎(chǔ)班高中物理競(jìng)賽基礎(chǔ)班一、基本知識(shí)一、基本知識(shí)1.力矩力矩POFr（1）定義式：）定義式：FrM（2）大?。海┐笮。篸FdFrMsin（3）方向：）方向：右手螺旋定則右手螺旋定則M（4）單位：）單位：Nm高中物理競(jìng)賽基礎(chǔ)班高中物理競(jìng)賽基礎(chǔ)班2.質(zhì)點(diǎn)的質(zhì)點(diǎn)的角動(dòng)量（動(dòng)量矩）角動(dòng)量（動(dòng)量矩）POvr（1）定義式：）定義式：vmrPrL（2）大?。海┐笮。篸mvdpdrpLsin（3）方向：）方向：右手螺旋定則右手螺旋定則L（4）單位：）單位：skgm /2矢徑掃過的面積速度的二倍矢徑掃過的面積速度的二倍（5）幾何意義：）幾何意

2、義：高中物理競(jìng)賽基礎(chǔ)班高中物理競(jìng)賽基礎(chǔ)班3 3質(zhì)點(diǎn)的質(zhì)點(diǎn)的角動(dòng)量定理角動(dòng)量定理 質(zhì)點(diǎn)對(duì)固定點(diǎn)的角動(dòng)量對(duì)時(shí)間的微商或?qū)?shù)，等于作用于該質(zhì)點(diǎn)上的力對(duì)該點(diǎn)的力矩。（1）內(nèi)容：）內(nèi)容：（2）數(shù)學(xué)表達(dá)式：）數(shù)學(xué)表達(dá)式：dtLdtLMdtLddtpdrdtvdmrFrM請(qǐng)同學(xué)們推導(dǎo)！請(qǐng)同學(xué)們推導(dǎo)！4 4質(zhì)點(diǎn)的質(zhì)點(diǎn)的角動(dòng)量角動(dòng)量守恒守恒定律定律0M21LL 動(dòng)量定理與動(dòng)動(dòng)量定理與動(dòng)量守恒定律！量守恒定律！LtM或高中物理競(jìng)賽基礎(chǔ)班高中物理競(jìng)賽基礎(chǔ)班5 5質(zhì)點(diǎn)系的角動(dòng)量定理和角動(dòng)量守恒定律質(zhì)點(diǎn)系的角動(dòng)量定理和角動(dòng)量守恒定律0000()ttM ttLLMdtLLLdLMtdt0LL_質(zhì)點(diǎn)系質(zhì)點(diǎn)系的的角動(dòng)量守恒角

3、動(dòng)量守恒定律定律 質(zhì)點(diǎn)系質(zhì)點(diǎn)系或剛體對(duì)某點(diǎn)（或某軸）的角動(dòng)量等于其中或剛體對(duì)某點(diǎn)（或某軸）的角動(dòng)量等于其中各質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)量對(duì)該點(diǎn)各質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)量對(duì)該點(diǎn)( (或該軸）之矩的或該軸）之矩的矢量和矢量和。_質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)量定理質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)量定理高中物理競(jìng)賽基礎(chǔ)班高中物理競(jìng)賽基礎(chǔ)班補(bǔ)補(bǔ)例例1. 如圖，質(zhì)量為m的小球，拴于不可伸長(zhǎng)的輕繩上，在光滑水平桌面上作勻速圓周運(yùn)動(dòng)，其半徑為R，角速度為，繩的另一端通過光滑的豎直管用手拉住，如把繩向下拉R/2時(shí)角速度 為多少？FmR二、典型應(yīng)用二、典型應(yīng)用高中物理競(jìng)賽基礎(chǔ)班高中物理競(jìng)賽基礎(chǔ)班FmR點(diǎn)評(píng)：點(diǎn)評(píng)：受力分析；合力矩分析。受力分析；合力矩分析。解析：解析：2mRmvRL412

4、2mRRmvL0M LL4高中物理競(jìng)賽基礎(chǔ)班高中物理競(jìng)賽基礎(chǔ)班補(bǔ)例補(bǔ)例2. 如圖所示，質(zhì)量為 m的小球 B放在光滑的水平槽內(nèi)，現(xiàn)以一長(zhǎng)為l的細(xì)繩連接另一質(zhì)量為m的小球A，開始時(shí)細(xì)繩處于松弛狀態(tài), A與B相距為l/2。球A以初速度v0在光滑的水平地面上向右運(yùn)動(dòng)。當(dāng)A運(yùn)動(dòng)到圖示某一位置時(shí)細(xì)繩被拉緊，試求B球開始運(yùn)動(dòng)時(shí)速度vB的大小。l/2lBAA300vAyvAxvBvA高中物理競(jìng)賽基礎(chǔ)班高中物理競(jìng)賽基礎(chǔ)班點(diǎn)評(píng)：點(diǎn)評(píng)：（1）繩張緊的時(shí)刻：xy對(duì)A、B： x方向，動(dòng)量守恒（2）繩張緊前后瞬間：對(duì)A：角動(dòng)量守恒000120sin30sin2AyAxmvlmvlmvAxBmvmvmv0（3）繩不能伸長(zhǎng)：

5、00030sin30cos30cosAyAxBvvv037Bvv高中物理競(jìng)賽基礎(chǔ)班高中物理競(jìng)賽基礎(chǔ)班補(bǔ)例補(bǔ)例3.如圖，質(zhì)量可忽略不計(jì)的剛性細(xì)桿可繞通過其中點(diǎn)O的光滑水平軸在豎直面內(nèi)自由轉(zhuǎn)動(dòng)。兩質(zhì)量分別為2m和m的小球1和2（可視為質(zhì)點(diǎn)）串在細(xì)桿上，它們與細(xì)桿之間的靜摩擦系數(shù)為 。開始時(shí)細(xì)桿靜止在水平位置，小球1和2分別位于緊靠細(xì)桿兩端點(diǎn)A和B的位置。系統(tǒng)自水平位置以零初速下擺。問小球1和2分別在什么位置脫離細(xì)桿？（分別求出小球1和2脫離細(xì)桿時(shí)細(xì)桿與水平線的夾角）。/635高中物理競(jìng)賽基礎(chǔ)班高中物理競(jìng)賽基礎(chǔ)班m2mlAOlBBA12點(diǎn)評(píng)點(diǎn)評(píng)：（1）設(shè)輕質(zhì)桿轉(zhuǎn)過時(shí)，系統(tǒng)的角速度和角加速度分別為和，

6、如何計(jì)算這兩個(gè)值？（2）受力分析，判斷哪個(gè)球先離開輕質(zhì)桿。如何計(jì)算彈力和靜摩擦力？mg2mgN1N2f1f2（3）一個(gè)球離開輕質(zhì)桿后，另一球的運(yùn)動(dòng)分析。高中物理競(jìng)賽基礎(chǔ)班高中物理競(jìng)賽基礎(chǔ)班點(diǎn)評(píng)點(diǎn)評(píng)：以系統(tǒng)為研究對(duì)象，小球離開輕質(zhì)桿前，機(jī)械能守恒2122221sin221sin0mvmglmvmgllvv21lg3sin2角動(dòng)量定理：tLmglmglcoscos222132mlmlvmlvL2233mltmltLlg3cosm2mlAOlBBA12mg2mgN1N2f1f2高中物理競(jìng)賽基礎(chǔ)班高中物理競(jìng)賽基礎(chǔ)班m2mlAOlBBA12mg2mgN1N2f1f2對(duì)小球?qū)π∏?：lmmaNmg22co

7、s211lmmamgfn21122sin2cos341mgN sin3101mgf 對(duì)對(duì)小球小球2：lmmamgN22coslmmafmgn222sincos342mgN sin312mgf 高中物理競(jìng)賽基礎(chǔ)班高中物理競(jìng)賽基礎(chǔ)班m2mlAOlBBA12mg2mgN1N2f1f2小球1與桿之間的摩擦力先達(dá)到最大靜摩擦力，故小球1先滑動(dòng)。設(shè)球1開始滑動(dòng)時(shí)，細(xì)桿與水平線夾角為1 ，則)()(1111Nf11cos34sin310mgmg0130由于球1的初始位置在桿的末端，故此時(shí)輕質(zhì)桿與水平線夾角為300。高中物理競(jìng)賽基礎(chǔ)班高中物理競(jìng)賽基礎(chǔ)班因輕桿沒有質(zhì)量，球1一旦脫離輕桿，球2與輕桿間的相互作用立

8、即消失，此后球2只受重力作用而作斜拋運(yùn)動(dòng)，其初速度：初速度的方向與水平線的夾角： 得任意 t 時(shí)刻球2的位置坐標(biāo)： 333sin210gllglv3210tglltvlx6323coscos001220012122121sinsingtgllgttvly高中物理競(jìng)賽基礎(chǔ)班高中物理競(jìng)賽基礎(chǔ)班15(1)3ltg球2脫離細(xì)桿時(shí)，幾何關(guān)系 222lxy222(2)03lltttgg2 3562156xlyl 22 35cos6xl278.2高中物理競(jìng)賽基礎(chǔ)班高中物理競(jìng)賽基礎(chǔ)班補(bǔ)例補(bǔ)例4. 如圖，一剛性螺旋環(huán)質(zhì)量為m（質(zhì)量均勻分布），半徑為R，螺距 ，可繞豎直的對(duì)稱軸OO無摩擦地轉(zhuǎn)動(dòng)，連接螺旋環(huán)與轉(zhuǎn)軸的

9、兩支撐桿的質(zhì)量可忽略不計(jì)。一質(zhì)量為m的小球穿在螺旋環(huán)上并可沿螺旋環(huán)無摩擦地滑動(dòng)。扶住小球使其靜止于螺旋環(huán)上的某一點(diǎn)A，這時(shí)螺旋環(huán)也處于靜止?fàn)顟B(tài)。然后放開小球，讓小球沿螺旋環(huán)下滑，同時(shí)螺旋環(huán)便繞轉(zhuǎn)軸 轉(zhuǎn)動(dòng)。求：（1）當(dāng)小球下滑高度為h時(shí)，螺旋環(huán)轉(zhuǎn)過的角度。（2）此時(shí)螺旋環(huán)轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度。RH高中物理競(jìng)賽基礎(chǔ)班高中物理競(jìng)賽基礎(chǔ)班點(diǎn)評(píng)點(diǎn)評(píng)：（1）立體問題平面化：HR2（2）螺旋環(huán)的角動(dòng)量：200iiLmv Rmv RmR（3）系統(tǒng)角動(dòng)量是否守恒？（4）系統(tǒng)機(jī)械能是否守恒？高中物理競(jìng)賽基礎(chǔ)班高中物理競(jìng)賽基礎(chǔ)班解解：（1）設(shè)小球下滑高度為h時(shí)，球相對(duì)于螺旋環(huán)的速率為v，環(huán)的速率為v0。如圖所示。212tanRR55sin552cos螺旋環(huán)的角動(dòng)量：200iiLmv Rmv RmR系統(tǒng)水平面內(nèi)，合外力為零，角動(dòng)量守恒：20RmRmvIIRvvIIcoscos ,cos22vvRR 0coscoscot222vtshhtRRRR 高中物理競(jìng)賽基礎(chǔ)班高中物理競(jìng)賽基礎(chǔ)班（2）由機(jī)械能守恒定律2221021 sin31cos121 sin3ghghvghghRR 22)(2121Rmmvmgh222vvvIIRvvIIcossinvv由角動(dòng)量守恒定律有：20RmRmvII高中