二分法求方程的零點(diǎn)

1、2.523_+2.75+2.5625+區(qū)間長度區(qū)間長度0.5精確度精確度0.25精確度精確度0.125精確度精確度0.0625_2.5_+3_+2.52.752.625+_+2.5_+2.6252.53125_2.5+2.5625_精確度精確度0.031252.546875+精確度精確度0.015625_+2.5468752.531252.5390625+精確度精確度0.0078125所以方程的近似解為所以方程的近似解為.5390625. 2x精確度精確度0.5思考：這里達(dá)到精確度思考：這里達(dá)到精確度0.01所需分割的次數(shù)所需分割的次數(shù)n滿足怎樣的關(guān)系？等于多少？滿足怎樣的關(guān)系？等于多少？7,

2、100201.022-3:01.0nnnn滿滿足足得得到到分分割割次次數(shù)數(shù)由由精精確確度度不解方程，如何求方程不解方程，如何求方程 的一個正的近似解的一個正的近似解 . （精確到（精確到0.1）方法探究：利用二次函數(shù)圖象觀察正解所在一個區(qū)間（，）方法探究：利用二次函數(shù)圖象觀察正解所在一個區(qū)間（，）問題：問題： x2-2x-1=0- +2 3f(2)0 2x13- +2 2.5 3f(2)0 2x12.5- +2 2.25 2.5 3f(2.25)0 2.25x12.5- +2 2.375 2.5 3f(2.375)0 2.375x12.5- +2 2.375 2.475 3f(2.375)0

3、2.375x12.4375合作探究合作探究結(jié)論結(jié)論:方程方程 的根在區(qū)間的根在區(qū)間(0,1)內(nèi)內(nèi).310 xx , 解：記解：記 3( )1f xxx問：根是多少？問：根是多少？xy01(0)0,(1)0ff(0.5)f(0.75)f0,(0.75)0(0.625,0.75)fx(0.6875)f0(0.65625)0,(0.6875)0(0.65625,0.6875)ffx|0.6250.6875| 0.06250.1 0.6875x0,(1)0(0.5,1)fx00(0.5)0, (0.5,0.75)fx0(0.625)f00(0.625)0, (0.625,0.6875)fx0精確度為精

4、確度為0.2時時,近似解是近似解是?精確度為精確度為0.1時時,近似解是近似解是?|0.750.625| 0.1250.2. 0.75x0(0,1)x選初始區(qū)間選初始區(qū)間取區(qū)間中點(diǎn)取區(qū)間中點(diǎn)中點(diǎn)函中點(diǎn)函數(shù)值為零數(shù)值為零結(jié)束結(jié)束 是是 定新區(qū)間定新區(qū)間否否區(qū)間長度區(qū)間長度小于精確度小于精確度否否是是問題問題4:類比上述思想方法類比上述思想方法,如何列表求如何列表求函數(shù)函數(shù)f(x)=lnx+2x-6在區(qū)間在區(qū)間(2,3)內(nèi)內(nèi)零點(diǎn)的近似值零點(diǎn)的近似值? 求方程的近似解求方程的近似解區(qū)間區(qū)間中點(diǎn)的值中點(diǎn)的值中點(diǎn)函數(shù)近似值中點(diǎn)函數(shù)近似值區(qū)間長度區(qū)間長度(2,3)-0.0841(2.5,3)0.5120.

5、5(2.5,2.75)0.2150.25(2.5,2.625)0.0660.125(2.5,2.5625)-0.0090.0625(2.53125,2.5625)0.0290.03125(2.53125,2.546875)0.0100.015625(2.53125, 2.5390625)0.0010.0078125(精確度精確度0.01)這里這里|2.53125-2.5390625|0.01 取取x=?用用二分法二分法2.531252.52.752.6252.56252.531252.5468752.53906252.53515625如如何何確確定定初初始始區(qū)區(qū)間間解法解法:0(1)0,(2)

6、0(1,2)ffx 0(1)0,(1.5)0(1,1.5),ffx0(1.25)0,(1.5)0(1.25,1.5)ffx00(1.375)0,(1.5)0(1.375,1.5),(1.375)0,(1.4375)0(1.375,1.4375),ffxffx|1.375 1.4375| 0.06250.1, 1.4375x記函數(shù)記函數(shù)( )237xf xx0(0)0,(2)0(0,2)ffx例例2、借助電子計算器或計算機(jī)用二分法求方程、借助電子計算器或計算機(jī)用二分法求方程 的近似解（精確到的近似解（精確到0.1）732 xx此時區(qū)間此時區(qū)間(1.375,1.4375)的兩個端點(diǎn)的兩個端點(diǎn)精確到

7、精確到0.1的近似值都是的近似值都是1.4，所以原方程所以原方程精確到精確到0.1的近似解為的近似解為1.4。方程方程f(xf(x)=0)=0有實(shí)數(shù)根有實(shí)數(shù)根等價關(guān)系等價關(guān)系:函數(shù)函數(shù)y=f(xy=f(x) ) 的圖象與的圖象與x x軸有交點(diǎn)軸有交點(diǎn)函數(shù)函數(shù)y=f(xy=f(x) )有零點(diǎn)有零點(diǎn)1:函數(shù)函數(shù)y=f(x)的零點(diǎn)與相應(yīng)方程的零點(diǎn)與相應(yīng)方程f(x)= 0的實(shí)的實(shí)數(shù)根有怎樣的關(guān)系數(shù)根有怎樣的關(guān)系?2:函數(shù)函數(shù)y=f(x)一定有零點(diǎn)嗎一定有零點(diǎn)嗎? 如果函數(shù)如果函數(shù)y=f(x)的圖象在的圖象在區(qū)間區(qū)間a,b上連續(xù)不斷、且上連續(xù)不斷、且f(a)f(b)0那么函數(shù)那么函數(shù)y=f(x)在區(qū)間在

8、區(qū)間a,b上必有零點(diǎn)上必有零點(diǎn).在怎樣的條件下函數(shù)在怎樣的條件下函數(shù)y=f(x)一定有零點(diǎn)一定有零點(diǎn)?函數(shù)函數(shù) 的圖象與的圖象與 軸有交點(diǎn)軸有交點(diǎn)( )y f xx函數(shù)函數(shù) 有零點(diǎn)有零點(diǎn)( )yf x能能確確定定它它的的范范圍圍嗎嗎？是是否否有有實(shí)實(shí)數(shù)數(shù)解解？：問問題題0123 xx8642-2-4-6-8-10-5510-2f x 3+x O1 113xxxf：構(gòu)造函數(shù)方法 有實(shí)根有實(shí)根回顧：方程回顧：方程0 xfx x1 1方法2：方程變形為x方法2：方程變形為x3 38642-2-4-6-8-10-5510-2gx f x 3O 1問題問題1:1: 判別式法0122 xx求方程的解：結(jié)論

9、結(jié)論:方程方程 的根在區(qū)間的根在區(qū)間(0,1)內(nèi)內(nèi).310 xx 強(qiáng)化概念強(qiáng)化概念: :零點(diǎn)存在定理零點(diǎn)存在定理、 根據(jù)表格中的數(shù)據(jù)根據(jù)表格中的數(shù)據(jù),可以斷定方程可以斷定方程 的一個根所在的區(qū)間的一個根所在的區(qū)間( )02 xexx11023xe2x37. 011234572. 239. 709.20 )0 , 1( . A ) 1 , 0( .B )2 , 1 ( . C)3 , 2( . DC2exx 在各點(diǎn)的符號變化在各點(diǎn)的符號變化確定確定2exxfx 02, 01, 00, 01ffff那如何找那如何找 符合精確度的解呢？符合精確度的解呢？有一個很直觀的想法有一個很直觀的想法： 如果能

10、將解所在區(qū)間的范圍縮小，那么在此精確度要求如果能將解所在區(qū)間的范圍縮小，那么在此精確度要求下，我們就可以得到解的近似值下，我們就可以得到解的近似值.例例:求方程求方程 的近似解的近似解062ln xx 現(xiàn)要在此區(qū)間內(nèi)現(xiàn)要在此區(qū)間內(nèi)找一個與準(zhǔn)確值之間的距離小于找一個與準(zhǔn)確值之間的距離小于0.01的數(shù)的數(shù).由前面的分析可知由前面的分析可知,方程的解在方程的解在(2,3)內(nèi)內(nèi),(誤差小于誤差小于0.01)(精確度精確度0.01)第一步第一步: 判斷方程根的初始區(qū)間（，），具體方法列表或畫圖判斷方程根的初始區(qū)間（，），具體方法列表或畫圖 4 1.30691.0986 3.3863 5.60947.79

11、189.9459 12.079414.1972123456789游戲規(guī)則：游戲規(guī)則： 給出一件商品，請你猜出它的準(zhǔn)確價格，我們給的提示只有“高了”和“低了”。給出的商品價格在0 100之間的整數(shù)，如果你能在規(guī)定的次數(shù)之內(nèi)猜中價格，這件商品就是你的了這件商品就是你的了。這能提供求方程近似解的思路嗎這能提供求方程近似解的思路嗎用用二分法二分法問題問題4:類比上述思想方法類比上述思想方法,如何求如何求函數(shù)函數(shù)f(x)=lnx+2x-6在區(qū)間在區(qū)間(2,3)內(nèi)內(nèi)零點(diǎn)的近似值零點(diǎn)的近似值? 求方程的近似解求方程的近似解(精確度精確度0.01)用用二分法二分法第一步第一步: 判斷方程根的初始區(qū)間（，）判斷

12、方程根的初始區(qū)間（，）第二步：快速有效縮小根所在的區(qū)間的方法第二步：快速有效縮小根所在的區(qū)間的方法取出中點(diǎn)，縮小區(qū)間取出中點(diǎn)，縮小區(qū)間的中點(diǎn)的中點(diǎn) 2baxba,叫做區(qū)間叫做區(qū)間取中點(diǎn)取中點(diǎn):一般地，我們把一般地，我們把我們先看下面直觀的分割：我們先看下面直觀的分割：2.523_+2.75+2.5625+區(qū)間長度區(qū)間長度0.5區(qū)間長度區(qū)間長度0.25區(qū)間長度區(qū)間長度0.125區(qū)間長度區(qū)間長度0.0625_2.5_+3_+2.52.752.625+_+2.5_+2.6252.53125_2.5+2.5625_區(qū)間長度區(qū)間長度0.031252.546875+區(qū)間長度區(qū)間長度0.015625_+2.

13、5468752.531252.5390625+區(qū)間長度區(qū)間長度0.0078125所以方程的近似解為所以方程的近似解為.5390625. 2x為什么為什么? ?零點(diǎn)存在定理零點(diǎn)存在定理精確度精確度0.5 所以我們可將此區(qū)間內(nèi)的所以我們可將此區(qū)間內(nèi)的任意一點(diǎn)任意一點(diǎn)作為函數(shù)零點(diǎn)的作為函數(shù)零點(diǎn)的近似值，近似值，特別地，可以將區(qū)間端點(diǎn)作為零點(diǎn)的近似值特別地，可以將區(qū)間端點(diǎn)作為零點(diǎn)的近似值. .,01. 00078125. 05390625. 253125. 2ba由于由于如圖如圖a設(shè)函數(shù)的零點(diǎn)為設(shè)函數(shù)的零點(diǎn)為 、0 x則則.0bxa=2.53125、 =2.5390625，b0 x.ab所以所以,01

14、. 0,01. 000babxabax 對于在區(qū)間對于在區(qū)間 上連續(xù)不斷且上連續(xù)不斷且 的函的函數(shù)數(shù) ,通過不斷地把函數(shù)通過不斷地把函數(shù) 的零點(diǎn)所在的區(qū)的零點(diǎn)所在的區(qū)間一分為二間一分為二,使區(qū)間的兩個端點(diǎn)逐步逼近零點(diǎn)使區(qū)間的兩個端點(diǎn)逐步逼近零點(diǎn),進(jìn)而得到進(jìn)而得到零點(diǎn)近似值的方法叫做二分法零點(diǎn)近似值的方法叫做二分法(bisection).ba, 0bfaf xfy xf二分法二分法xy0ab1、下列圖象中不能用二分法求函數(shù)的零點(diǎn)的是、下列圖象中不能用二分法求函數(shù)的零點(diǎn)的是 yx0（3）xy0(4)xy(2)(1) x y O (2),(4)強(qiáng)化概念強(qiáng)化概念: :方程方程x32x50在區(qū)間在區(qū)間2

15、，3內(nèi)有實(shí)根，內(nèi)有實(shí)根， 取區(qū)間中點(diǎn)取區(qū)間中點(diǎn)x02.5，那么下一個有根區(qū)間，那么下一個有根區(qū)間 是是_ 2 , 2.53( )25f xxx分析：記(2)84510f (2.5)15.625555.6250f (3)2765160f 求方程的近似解求方程的近似解問題問題:類比上述思想方法類比上述思想方法,如何列表求如何列表求函數(shù)函數(shù)f(x)=lnx+2x-6在區(qū)間在區(qū)間(2,3)內(nèi)內(nèi)零點(diǎn)的近似值零點(diǎn)的近似值?區(qū)間區(qū)間中點(diǎn)的值中點(diǎn)的值中點(diǎn)函數(shù)近似值中點(diǎn)函數(shù)近似值(2,3)2.5-0.084(2.5,3)2.750.512(2.5,2.75)2.6250.215(2.5,2.625)2.5625

16、0.066(精確度精確度0.2)區(qū)間長度區(qū)間長度10.50.250.125這里這里|2.625-2.5|=0.1250.2 取取x=?2.625問題問題4:類比上述思想方法類比上述思想方法,如何列表求如何列表求函數(shù)函數(shù)f(x)=lnx+2x-6在區(qū)間在區(qū)間(2,3)內(nèi)內(nèi)零點(diǎn)的近似值零點(diǎn)的近似值? 求方程的近似解求方程的近似解區(qū)間區(qū)間中點(diǎn)的值中點(diǎn)的值中點(diǎn)函數(shù)近似值中點(diǎn)函數(shù)近似值區(qū)間長度區(qū)間長度(2,3)2.5-0.0841(2.5,3)2.750.5120.5(2.5,2.75)2.6250.2150.25(2.5,2.625)2.56250.0660.125(2.5,2.5625)2.5312

17、5-0.0090.0625(2.53125,2.5625)2.5468750.0290.03125(2.53125,2.546875)2.53906250.0100.015625(2.53125, 2.5390625)2.535156250.0010.0078125(精確度精確度0.01)這里這里|2.53125-2.5390625|0（1，1.5）1.25f(1.25)0（1.25，1.375） 1.3125f(1.3125)0（1.3125，1.375）探一探求函數(shù)求函數(shù) 零點(diǎn)零點(diǎn)(精確度精確度0.1). .1)(3 xxxf0)2(, 0)1( ff解解:1 . 00625. 0|312

18、5. 1375. 1| (精確度精確度0.01)歸納用二分法求方程近似解的步驟歸納用二分法求方程近似解的步驟2.523_+2.75+2.5625+區(qū)間長度區(qū)間長度0.5區(qū)間長度區(qū)間長度0.25區(qū)間長度區(qū)間長度0.125區(qū)間長度區(qū)間長度0.0625_2.5_+3_+2.52.752.625+_+2.5_+2.6252.53125_2.5+2.5625_區(qū)間長度區(qū)間長度0.031252.546875+區(qū)間長度區(qū)間長度0.015625_+2.5468752.531252.5390625+區(qū)間長度區(qū)間長度0.0078125所以方程的近似解為所以方程的近似解為.5390625. 2x第一步第一步: 判斷

19、方程根的初始區(qū)間判斷方程根的初始區(qū)間如何求方程如何求方程 的一個近似解的一個近似解? （精確度（精確度0.1）0623 xx222222129129666627276 6-3-3-6-66 65 54 43 32 21 10 0 x xxf )(第二步：快速有效縮小根所在的區(qū)間第二步：快速有效縮小根所在的區(qū)間取出中點(diǎn)，縮小區(qū)間取出中點(diǎn)，縮小區(qū)間的中點(diǎn)的中點(diǎn) 2baxba,叫做區(qū)間叫做區(qū)間取中點(diǎn)取中點(diǎn):一般地，我們把一般地，我們把如何求方程如何求方程 的一個近似解的一個近似解? （精確度（精確度0.1）0623xx0.375+第三步：選擇零點(diǎn)所在的區(qū)間第三步：選擇零點(diǎn)所在的區(qū)間 中點(diǎn)的函數(shù)近中點(diǎn)

20、的函數(shù)近似值似值 區(qū)間中點(diǎn)的值區(qū)間中點(diǎn)的值 區(qū)間長度區(qū)間長度 區(qū)間區(qū)間(1,2)10.50.25 0.125 0.0625121.5 1.5+_1.251.25-1.54688_1.375 1.375-0.650391 _1.4375 1.4375-0.154541 _(1,1.5)(1.25,1.5) (1.375,1.5) (1.4375,1.5) 1.46875 0.105927 (1.4375,1.46875) 0.03125 1.453125 -0.0253716 (1.453125,1.46875) 0.015625 1.46093750.04001 (1.453125,1.460

21、9375) 0.007825 第四步：終止二分法的操作第四步：終止二分法的操作（1）如果取得的中點(diǎn)就是方程的根，馬上終止運(yùn)算）如果取得的中點(diǎn)就是方程的根，馬上終止運(yùn)算（2）如果運(yùn)算只能得到方程的近似解，那就要受預(yù)）如果運(yùn)算只能得到方程的近似解，那就要受預(yù) 定精確度的限制。定精確度的限制。如何求方程如何求方程 的一個近似解的一個近似解? （精確度（精確度0.1）0623xx23232.5_+_+2.25_+_2.375 2.52.375_+2.4375+2.5_+區(qū)間長度區(qū)間長度1區(qū)間長度區(qū)間長度0.5區(qū)間長度區(qū)間長度0.25區(qū)間長度區(qū)間長度0.125區(qū)間長度區(qū)間長度0.0625所以方程的近似解

22、為所以方程的近似解為.4375. 2x諸葛亮妙算諸葛亮妙算 相傳有一天相傳有一天, ,諸葛亮把將士們召集在一起諸葛亮把將士們召集在一起, ,說說: : “你們中間不論誰你們中間不論誰, ,從從1 1 10241024中中, ,任意選出一個整數(shù)任意選出一個整數(shù), ,記記在心里在心里, ,我最多提我最多提1010個問題個問題, ,只要求回答只要求回答是是或或不不是是。1010個問題全答完以后，我就會個問題全答完以后，我就會算算出你心里出你心里記的是哪個數(shù)。記的是哪個數(shù)?！?” 諸葛亮剛說完，一個謀士站起來說，他已經(jīng)選諸葛亮剛說完，一個謀士站起來說，他已經(jīng)選好了一個數(shù)。諸葛亮問道：好了一個數(shù)。諸葛亮

23、問道：“你這個數(shù)大于你這個數(shù)大于512512？” 謀士答道：謀士答道： “ “不是。不是。 ” ”諸葛亮又接連向這位謀士提諸葛亮又接連向這位謀士提了了9 9個問題，這位謀士都一一如實(shí)做了回答。諸葛亮個問題，這位謀士都一一如實(shí)做了回答。諸葛亮聽了，最后說聽了，最后說:“:“你記的那個數(shù)是你記的那個數(shù)是1 1。” 你知道諸葛亮是怎樣進(jìn)行妙算的嗎？你知道諸葛亮是怎樣進(jìn)行妙算的嗎？ 對于在區(qū)間對于在區(qū)間 上連續(xù)不斷且上連續(xù)不斷且 的函的函數(shù)數(shù) ,通過不斷地把函數(shù)通過不斷地把函數(shù) 的零點(diǎn)所在的區(qū)的零點(diǎn)所在的區(qū)間一分為二間一分為二,使區(qū)間的兩個端點(diǎn)逐步逼近零點(diǎn)使區(qū)間的兩個端點(diǎn)逐步逼近零點(diǎn),進(jìn)而得到進(jìn)而得到零點(diǎn)近似值的方法叫做二分法零點(diǎn)近似值的方法叫做二分法(bisection).ba, 0bfaf xfy xf1.二分法二分法xy0ab小小 結(jié)結(jié) 這節(jié)課你學(xué)到什么這節(jié)課你學(xué)到什