--空間向量的正交分解及其坐標(biāo)表示坐標(biāo)運(yùn)算

1、3.1.4 3.1.4 空間向量的正交空間向量的正交分解及其坐標(biāo)表示分解及其坐標(biāo)表示1211122122e eae eaee 如如果果 ，是是同同一一平平面面內(nèi)內(nèi)的的兩兩個(gè)個(gè)向向量量，那那么么對(duì)對(duì)于于這這一一平平面面內(nèi)內(nèi)的的任任一一向向量量 ，有有且且只只有有一一對(duì)對(duì)實(shí)實(shí)數(shù)數(shù) ，使使。（ 、叫叫做做表表示示這這一一平平面面內(nèi)內(nèi)所所有有向向量量的的一一組組不不共共線線基基底底。）平面向量基本定理：平面向量的正交分解及坐標(biāo)表示平面向量的正交分解及坐標(biāo)表示xyoaijaxiy j(1,0),(0,1),0(0,0).ij【溫故知新】問(wèn)題：?jiǎn)栴}：p 我們知道，平面內(nèi)的任意一個(gè)向量我們知道，平面內(nèi)的任意

2、一個(gè)向量 都可以都可以用兩個(gè)不共線的向量用兩個(gè)不共線的向量 來(lái)表示（平面向量基本定來(lái)表示（平面向量基本定理）。對(duì)于空間任意一個(gè)向量，有沒(méi)有類似的結(jié)論呢？理）。對(duì)于空間任意一個(gè)向量，有沒(méi)有類似的結(jié)論呢？, a b xyzOijkQPp .OPOQzk .OQxiy j.OPOQzkxiy jzk 由此可知，如果由此可知，如果 是空間兩是空間兩兩垂直的向量，那么，對(duì)空間任一兩垂直的向量，那么，對(duì)空間任一向量向量 ，存在一個(gè)有序?qū)崝?shù)組，存在一個(gè)有序?qū)崝?shù)組 x,y,z使得使得 我們稱我們稱 為向量為向量 在在 上的分向量。上的分向量。, ,i j k p .pxiy jzk ,xi y j zk, ,

3、i j k p 探究：探究：在空間中，如果用任意三個(gè)不共面向量在空間中，如果用任意三個(gè)不共面向量 代替兩兩垂直的向量代替兩兩垂直的向量 ，你能得出類似的，你能得出類似的 結(jié)論嗎？結(jié)論嗎？, ,a b c , ,i j k 任意任意不共面不共面的三個(gè)向量都可做為空間的一個(gè)的三個(gè)向量都可做為空間的一個(gè)基底基底。一、空間向量基本定理：一、空間向量基本定理： 如果三個(gè)向量 不共面，那么對(duì)空間任一向量 ，存在一個(gè)唯一的有序?qū)崝?shù)組x,y,z，使, ,a b c p . pxaybzc都叫做都叫做基向量基向量, ,a b c （1）任意）任意不共面不共面的三個(gè)向量都可做為空間的一個(gè)基底。的三個(gè)向量都可做為空

4、間的一個(gè)基底。特別提示：特別提示：對(duì)于基底對(duì)于基底a,b,c,除了應(yīng)知道除了應(yīng)知道a,b,c不共面，不共面， 還應(yīng)明確：還應(yīng)明確： （2） 由于可視由于可視 為與任意一個(gè)非零向量共線，與任為與任意一個(gè)非零向量共線，與任意兩個(gè)非零向量共面，所以三個(gè)向量不共面，就隱含著意兩個(gè)非零向量共面，所以三個(gè)向量不共面，就隱含著它們都不是它們都不是 。00（3）一個(gè)基底是指一個(gè)向量組，一個(gè)基向量是指基）一個(gè)基底是指一個(gè)向量組，一個(gè)基向量是指基底中的某一個(gè)向量，二者是相關(guān)聯(lián)的不同概念。底中的某一個(gè)向量，二者是相關(guān)聯(lián)的不同概念。二、空間直角坐標(biāo)系二、空間直角坐標(biāo)系 單位正交基底：?jiǎn)挝徽换祝喝绻臻g的一個(gè)基底的

5、如果空間的一個(gè)基底的三個(gè)基向量互相垂直，且長(zhǎng)都為三個(gè)基向量互相垂直，且長(zhǎng)都為1，則這個(gè)，則這個(gè)基底叫做基底叫做單位正交基底單位正交基底,常用常用 e1 , e2 , e3 表示表示 空間直角坐標(biāo)系：空間直角坐標(biāo)系：在空間選定一點(diǎn)在空間選定一點(diǎn)O和一和一個(gè)單位正交基底個(gè)單位正交基底 e1,e2,e3 ,以點(diǎn)以點(diǎn)O為原點(diǎn)，分別為原點(diǎn)，分別以以e1,e2,e3的正方向建立三條數(shù)軸：的正方向建立三條數(shù)軸：x軸、軸、y軸、軸、z軸，它們都叫做坐標(biāo)軸軸，它們都叫做坐標(biāo)軸.這樣就建立了一個(gè)這樣就建立了一個(gè)空間直角坐標(biāo)系空間直角坐標(biāo)系O-xyz 點(diǎn)點(diǎn)O叫做原點(diǎn)，向量叫做原點(diǎn)，向量e1,e2,e3都叫做都叫做坐

6、標(biāo)向量坐標(biāo)向量.通過(guò)每?jī)蓚€(gè)坐通過(guò)每?jī)蓚€(gè)坐標(biāo)軸的平面叫做標(biāo)軸的平面叫做坐標(biāo)平面坐標(biāo)平面。xyzOe1e2e3 給定一個(gè)空間坐標(biāo)系和向給定一個(gè)空間坐標(biāo)系和向量量 ,且設(shè)且設(shè)e1,e2,e3為坐標(biāo)向量，為坐標(biāo)向量，由空間向量基本定理，存在唯由空間向量基本定理，存在唯一的有序?qū)崝?shù)組一的有序?qū)崝?shù)組(x,y, z)使使 p = xe1+ye2+ze3 有序數(shù)組有序數(shù)組( x, y, z)叫做叫做p在空間在空間直角坐標(biāo)系直角坐標(biāo)系O-xyz中的坐標(biāo)，中的坐標(biāo)，記作記作.P=(x,y,z)三、空間向量的直角坐標(biāo)系三、空間向量的直角坐標(biāo)系pxyzOe1e2e3p例例1 1平行六面體中平行六面體中, ,點(diǎn)點(diǎn)MC=

7、2=2AM, ,A1 1N=2=2ND, ,設(shè)設(shè)AB= =a, ,AD= =b, ,AA1 1= =c, ,試用試用a, ,b, ,c表示表示MN. .分析分析: :要用要用a, ,b, ,c表示表示MN, ,只要結(jié)合圖形只要結(jié)合圖形, ,充充分運(yùn)用空間向量加法分運(yùn)用空間向量加法和數(shù)乘的運(yùn)算律即可和數(shù)乘的運(yùn)算律即可. .ABCDA1B1D1C1MN解解: :ABCDA1B1D1C1MN連連AN, , 則則MN=MA+ANMN=MA+ANMA=MA= AC =AC = ( (a+ +b) )1313AN=AD+DN=ADAN=AD+DN=ADNDND= = （2 2 b + + c ) )13=

8、 = （ a + + b + + c ) )13MN= MA+ANMN= MA+AN例例1 1平行六面體中平行六面體中, ,點(diǎn)點(diǎn)MC=2=2AM, ,A1 1N=2=2ND, ,設(shè)設(shè)AB= =a, ,AD= =b, ,AA1 1= =c, ,試用試用a, ,b, ,c表示表示MN. .例題例題已知空間四邊形OABC，其對(duì)角線為OB，AC，M，N，分別是對(duì)邊OA，BC的中點(diǎn)，點(diǎn)P，Q是線段MN三等分點(diǎn)，用基向量OA，OB，OC表示向量OP,OQ.BOACPNMQ練習(xí)練習(xí) . .空間四邊形空間四邊形OABCOABC中中,OA=,OA=a,OB=,OB=b,OC=,OC=c點(diǎn)點(diǎn)M M在在OAOA上上

9、, ,且且OM=2MA,NOM=2MA,N為為BCBC的中點(diǎn)的中點(diǎn), ,則則MN=( ).MN=( ).OABCMN(A) a b + c 122312(B) a + b + c 122312(C) a + b c 122312(D) a + b c 1223233.1.5 空間向量運(yùn)算的坐標(biāo)表示一、向量的直角坐標(biāo)運(yùn)算一、向量的直角坐標(biāo)運(yùn)算則設(shè)),(),(321321bbbbaaaa;ab;ab;a;a b/;.ab;ab112233(,)ab ab ab112233(,)ab ab ab123(,),()aaaR1 12233a ba ba b112233,()ab ab abR112233

10、/ababab1 122330a ba ba b二、距離與夾角二、距離與夾角1. 1.距離公式距離公式（1 1）向量的長(zhǎng)度（模）公式）向量的長(zhǎng)度（模）公式222123| aa aaaa| ABABAB AB212121(,)xxyyzz222212121()()()xxyyzz222,212121()()()A Bdxxyyzz在空間直角坐標(biāo)系中，已知、在空間直角坐標(biāo)系中，已知、，則，則111(,)A xyz222(,)B xyz（2）空間兩點(diǎn)間的距離公式）空間兩點(diǎn)間的距離公式cos,| | a ba bab1 1223 3222222123123;a ba ba baaabbb2.2.兩個(gè)向

11、量夾角公式兩個(gè)向量夾角公式注意：注意：（1）當(dāng)）當(dāng) 時(shí)，同向；時(shí)，同向；（2）當(dāng)）當(dāng) 時(shí)，反向；時(shí)，反向；（3）當(dāng)）當(dāng) 時(shí)，。時(shí)，。cos,1 a b與 abcos,1 a b與 abcos,0 a bab思考：當(dāng)思考：當(dāng) 及及 時(shí)，時(shí)，夾角在什么范圍內(nèi)？夾角在什么范圍內(nèi)？1cos,0 a b,10cos a b練習(xí)：練習(xí)：1.求下列兩個(gè)向量的夾角的余弦：求下列兩個(gè)向量的夾角的余弦：(1)(2,3,3),(1,0,0) ;ab(2)( 1,1,1),( 1,0,1) ; ab2.求下列兩點(diǎn)間的距離：求下列兩點(diǎn)間的距離：(1)(1,1,0) ,(1,1,1) ;AB(2)( 3,1,5) ,(0

12、,2,3) .CD例例5如圖，在正方體中，如圖，在正方體中，求與所成的角的余弦值。，求與所成的角的余弦值。1111ABCDA BC D11B E11114A BD F1BE1DFF1E1C1B1A1D1DABCyzxO解：設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為解：設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為1，如圖建，如圖建立空間直角坐標(biāo)系，則立空間直角坐標(biāo)系，則Oxyz13(1,1,0) ,1,1 ,4BE11(0,0,0) ,0, 1 .4，DF1311,1(1,1,0)0,1 ,44BE 例例5如圖，在正方體中，如圖，在正方體中，求與所成的角的余弦值。，求與所成的角的余弦值。1111ABCDA BC D11B E11114A BD F1

13、BE1DFF1E1C1B1A1D1DABCxyzO1110, 1(0,0,0)0, 1 .44 ，DF111115001 1,4416 BE DF111717|, |.44 BEDF111111151516cos,.17| |171744 BE DFBEDFBEDF例 6如圖，正方體1111ABCDA B C D 中，E，F(xiàn)分別是1BB，11D B中點(diǎn)，求證：1EFDA 練習(xí)：練習(xí)：。求證：的值；求的長(zhǎng)；求的中點(diǎn)，、分別為、，棱，中，底面：直三棱柱如圖MCBA3)CB,cos2)BN1)AABANM2AA90BCA1CBCAABC, 11111111o111BACBAABCBCC1A1B1ANM思考題：。的面積方法求用向量（、（已知SABC),5 , 1, 1 (),6 , 1 , 2B) 3 , 2 , 0AC四、課堂小結(jié)