理論力學動能定理

1、 13-1力的功力的功時，正功；2時，功為零；2時，負功。2WF S一恒力的功一恒力的功單位：焦耳（J）：1J = 1N 1m力的功是代數(shù)量。二變力的功二變力的功 dWFr元功：變力 F 在曲線路程 中作功為21MM21dMMWFrcosFSxyzFF iF jF k在直角坐標系中，知ddddrx iy jzk變力 F 在曲線路程 中作功為21MM21dMMWFr三合力的功三合力的功221112d() dMMnMMWRrFFFr22211112dddMMMnMMMFrFrFrnWWW 21即在任一路程上，合力的功等于各分力功的代數(shù)和。21dddMxyzMF xF yF z1重力的功重力的功21

2、12()dzzWmgz對于質(zhì)點系，重力作功為1212iWW 故質(zhì)點系重力的功，等于質(zhì)點系的重量與其在始末位置質(zhì)點系重力的功，等于質(zhì)點系的重量與其在始末位置重心的高度差的乘積，而與各質(zhì)點的運動路徑無關。重心的高度差的乘積，而與各質(zhì)點的運動路徑無關。0, 0, xyzFFFmg 取 z 軸鉛垂向上，則：四幾種常見力的功四幾種常見力的功12()iiim g zz12()CCMg zz12()mg zz設彈簧原長為l0，在彈性極限內(nèi)，彈簧的剛度系數(shù)為k（使彈簧發(fā)生單位變形所需的力，單位：N/m），變形后長為r，沿矢徑的單位矢量為0()rFk rl e /rerr2112dMMWFrddrrerrr21

3、120()drrWk rlr 221212()2 kW則故彈性力的功只與彈簧在始末位置的變形有關，與力作用點彈性力的功只與彈簧在始末位置的變形有關，與力作用點的路徑無關。的路徑無關。2彈性力的功彈性力的功則110220, rlrl令：210()dMrMk rl er 1d()2r rr2120d()2rrkrl 221020()()2krlrl21d()2rrdrdWFr2112dzWM作用于轉(zhuǎn)動剛體上力的功等于力矩的功。作用于轉(zhuǎn)動剛體上力的功等于力矩的功。若Mz = 常量， 則1221()zWM 如果剛體上作用的是力偶，則力偶所作的功仍可用上式計算，其中Mz為力偶對 z 軸的矩。設剛體繞 z

4、 軸轉(zhuǎn)動，在其上 M 點作用有力 F，則3定軸轉(zhuǎn)動剛體上作用力的功定軸轉(zhuǎn)動剛體上作用力的功其中Ft 為力 F 在作用點 M 處的軌跡切線上的投影。dFRt于是力 F 在剛體從角 1轉(zhuǎn)到角 2過程中作的功為dcosF RdzMddRCCWFrM 平面運動剛體上力系的功，等于力系向質(zhì)心簡化所得的平面運動剛體上力系的功，等于力系向質(zhì)心簡化所得的力（主矢）與力偶（主矩）作功之和。力（主矢）與力偶（主矩）作功之和。4平面運動剛體上力系的功平面運動剛體上力系的功首先可以證明，剛體上力系的全部力所作的元功之和為則剛體質(zhì)心C由C1移到C2，同時剛體又由角 1轉(zhuǎn)到角 2時，力系所作的功為221112ddCRCC

5、CWFrM注意：注意：以上結論也適用于作一般運動的剛體作一般運動的剛體，基點也可以是剛體上任意一點任意一點（不一定取在質(zhì)心）。 例例11 質(zhì)量為m = 10 kg的物體，放在傾角為 = 30 的斜面上，用剛度系數(shù)為 k = 100 N/m 的彈簧系住，如圖示。斜面與物體間的動摩擦系數(shù)為f = 0.2，試求物體由彈簧原長位置 M0 沿斜面運動到 M1 時，作用于物體上的各力在路程 s = 0.5 m 上的功及合力的功。0.2 (10 9.8 0.866) 0.58.5J (10 9.8) 0.5 0.524.5J解：解：我們?nèi)∥矬wM為研究對象，作用于M上的力有重力mg，斜面法向反力FN，斜面摩擦

6、力F和彈簧力F，各力所作的功為2212()2FkW合力的功為iWW osin30GWmg s N0FWFWFs 2100(00.5 )12.5J2 24.508.5 12.53.5Jocos30f mgs 對任一質(zhì)點系，若記 vir 為第 i 個質(zhì)點相對質(zhì)心的速度，則可證明有13-2質(zhì)點和質(zhì)點系的動能質(zhì)點和質(zhì)點系的動能221mvT 動能是一個瞬時的、與速度方向無關的正標量，具有與功相同的量綱，單位也是焦耳（J）。212iiTmv221122CiirTMvmv稱為柯尼希定理柯尼希定理 物體的動能是由于物體運動而具有的能量，是機械運動強弱的又一種度量。一質(zhì)點的動能一質(zhì)點的動能二質(zhì)點系的動能二質(zhì)點系

7、的動能212PTJ記剛體平面運動某瞬時的速度瞬心為P，質(zhì)心為C，則2211()22CJM d212iiTmv212iiTmv3平面運動剛體平面運動剛體三剛體的動能三剛體的動能1平動剛體平動剛體2定軸轉(zhuǎn)動剛體定軸轉(zhuǎn)動剛體即平面運動剛體的動能，等于隨質(zhì)心平動的動能與繞質(zhì)心軸平面運動剛體的動能，等于隨質(zhì)心平動的動能與繞質(zhì)心軸轉(zhuǎn)動的動能之和。轉(zhuǎn)動的動能之和。212iCm v2212i imr212CMv212zJ221()2CJMd221122CCJMv 例例2 滾子A的質(zhì)量為m，沿傾角為 的斜面作純滾動，滾子借繩子跨過滑輪B連接質(zhì)量為m1的物體，如圖所示。滾子與滑輪質(zhì)量相等，半徑相同，皆為均質(zhì)圓盤，

8、此瞬時物體速度為v，繩不可伸長，質(zhì)量不計，求系統(tǒng)的動能。221122CCCmvJBCCvrvr222222122111111222222vvTmvmrmvmrrr解：解：取滾子A、滑輪B、重物作為研究對象，其中重物作平動，滑輪作定軸轉(zhuǎn)動，滾子作平面運動，系統(tǒng)的動能為根據(jù)運動學關系，有代入上式得2112mm v212BBJ2112Tm v2Clv221122CCTmvJ 例例3 均質(zhì)細長桿長為l，質(zhì)量為m，與水平面夾角為 30 ，已知端點B的瞬時速度為vB ，如圖所示。求桿AB的動能。則桿的動能為解：解：滑桿作平面運動，其速度瞬心為P ，角速度為質(zhì)心速度為/ 2Bvl22221112212BBv

9、mvmll223Bmv2BvlBv13-3動能定理動能定理1質(zhì)點的動能定理質(zhì)點的動能定理d1dd()d2vmv tmv vt21d2mvW因此此即質(zhì)點動能定理的微分形式動能定理的微分形式。將上式沿路徑 積分，可得21MM2221121122mvmvW此即質(zhì)點動能定理的積分形式動能定理的積分形式。兩邊同時點乘，有ddv trddddvmv tFrtddvmFt由牛頓第二定律有注意到21d2mv此即質(zhì)點系動能定理的微分形式質(zhì)點系動能定理的微分形式。對質(zhì)點系中的任一質(zhì)點 i ：21d2i iimvWdiTW將上式沿路徑 積分，可得21MM2112()iTTW此即質(zhì)點系動能定理的積分形式質(zhì)點系動能定理

10、的積分形式。21d2iiimvW對質(zhì)點系，有2質(zhì)點系的動能定理質(zhì)點系的動能定理即21 d2iiimvW 上式表明：質(zhì)點系在某段運動過程中動能的增量，等于質(zhì)點系在某段運動過程中動能的增量，等于作用于質(zhì)點系的作用于質(zhì)點系的全部力全部力在這段過程中所作功的和在這段過程中所作功的和。1光滑固定面光滑固定面2固定鉸支座、活動鉸支座和向心軸承、固定端固定鉸支座、活動鉸支座和向心軸承、固定端3剛體沿固定面純滾動（不計滾動摩阻）剛體沿固定面純滾動（不計滾動摩阻）5不可伸長的繩索、剛性二力桿（不計質(zhì)量）不可伸長的繩索、剛性二力桿（不計質(zhì)量）繩拉緊時，內(nèi)部拉力的元功之和恒等于零。d0 (d )WNrNrd dWN

11、rNr3理想約束及內(nèi)力作功理想約束及內(nèi)力作功理想約束：約束力作功為零的約束。4光滑鉸鏈（中間鉸）光滑鉸鏈（中間鉸）dd0NrNr下面考察質(zhì)點系內(nèi)力的功質(zhì)點系內(nèi)力的功由上可知，剛體所有內(nèi)力作功之和等于零。剛體所有內(nèi)力作功之和等于零。d dABWFrFrddABFrFrd()ABFrrdBAFr注意：一般情況下，應用動能定理時要計入摩擦力作的功要計入摩擦力作的功。若A、B兩點間距離保持不變，則 總之，應用動能定理時，要仔細分析質(zhì)點系所有的所有的作用力并確定其是否作功。應用動能定理的解題步驟解題步驟：（見第六版教材P297298）dd0 BABAFrWFr，。 例例44曲柄連桿機構如圖示。已知曲柄O

12、A = r，連桿AB = 4 r，C為連桿之質(zhì)心，在曲柄上作用一不變轉(zhuǎn)矩M。曲柄和連桿皆為均質(zhì)桿，質(zhì)量分別為m1、 m2 。曲柄開始時靜止且在水平向右位置。不計滑塊的質(zhì)量和各處的摩擦，求曲柄轉(zhuǎn)過一周時的角速度1 。 22222211221111(4 )232212Cmm rm vr解：解：取曲柄連桿機構為研究對象，初始時系統(tǒng)靜止，T1 = 0。 曲柄轉(zhuǎn)過一周，重力的功為零，轉(zhuǎn)矩的功為2M，代入動能定理，有22112OTJ11122CAvvr，212212)(61rmmT221211()026mm rM 11223 Mrmm由于則解得11244AvrABr2112TTW22221122CCm v

13、J曲柄轉(zhuǎn)過一周后，連桿速度瞬心在B點，其速度分布如圖 b) 所示，系統(tǒng)的動能為 例例5 圖示系統(tǒng)中，均質(zhì)圓盤A、B各重P，半徑均為R，兩盤中心線為水平線， 盤A上作用矩為M(常量)的一力偶，重物D重Q。求下落距離h時重物的速度 v 與加速度 a 。(繩重不計，繩不可伸長，盤B作純滾動，初始時系統(tǒng)靜止。)2(87 )16vQPg(/ 487 )QMR hgvQP解解：取系統(tǒng)為研究對象。12WQhM01T221 2QTvg2222211 11 322 22 2ABQPPvRRggg2112TTW2(87 )0 ( )16vMQPQhgR(*)式求導得：87d216dQPvMvQvgtR8(/)87

14、QMR gaQP由動能定理：解得：(2)ABvRR(/)h R212OAJ212CBJddhvt 例例6 圖示均質(zhì)桿OA的質(zhì)量為30kg，桿在鉛垂位置時彈簧處于自然狀態(tài)。設彈簧常數(shù)k =3kN/m，為使桿能由鉛直位置OA轉(zhuǎn)到水平位置OA，在鉛直位置時的角速度0至少應為多大？解解：取桿OA為研究對象，則全部力所作的功為：221211.2()2WPk221(30 9.8) 1.23000 0(2.4 1.2 2) 2388.4 (J) 22101130 2.423T02T由動能定理21TTW20028.8388.4 03.67 rad/s2028.8 例例7 如圖行星齒輪傳動機構放在水平面水平面內(nèi)

15、。動齒輪半徑 r ，重 P， 可視為均質(zhì)圓盤；曲柄重 Q， 長為 l，作用一矩為M (常量)的力偶，曲柄由靜止開始轉(zhuǎn)動。求曲柄的角速度(以轉(zhuǎn)角 的函數(shù)表示)和角加速度e。解解：取整個系統(tǒng)為研究對象。10T 222222111 111 12 322 2QPPTlvrggg1 ,vl22222 ()624QlPPTllggg根據(jù)動能定理，得2229012QPlMgPQgMl9232將式對t 求導數(shù)，得2)92(6lPQgMe222912QPlg11/vrlr 例例8 兩根勻質(zhì)直桿組成的機構及尺寸如圖，OA桿質(zhì)量是AB桿質(zhì)量的兩倍，各處摩擦不計，如機構在圖示位置從靜止釋放，求當OA桿轉(zhuǎn)到鉛垂位置時，

16、AB桿B端的速度v 。0.92(0.60.15)2Wmgmg10T 222211120.9232Tmmv 0.9v21TTW3.98 m/sv 解解：取整個系統(tǒng)為研究對象，則全部力所作的功為：225 6Tmv2501.356mvmg根據(jù)動能定理得1.35mg22222111 1222 2Tmvmvmr 例例9 勻質(zhì)圓盤A：m、r；滑塊B：m；桿AB：質(zhì)量不計，平行于斜面。斜面傾角，摩擦系數(shù) f，圓盤作純滾動，系統(tǒng)初始靜止。求：滑塊的加速度。解：解：選系統(tǒng)為研究對象，當下滑 S 時：2sincosiWmg Sf mgS10T 運動學關系：rv 225 4Tmv由動能定理有：250(2sincos

17、 )4mvmgSf將上式兩邊對 t 求導，得2(2sincos )5afg(2sincos )mgSf13-4功率功率 功率方程功率方程 機械效率機械效率 力在單位時間內(nèi)所作的功稱功率功率。它是衡量機器工作能力的一個重要指標。功率是代數(shù)量，并有瞬時性。dWPtdddWFrPtt作用在定軸轉(zhuǎn)動剛體上的力的功率為：dddzMWPtt功率的單位：瓦特（W）或 千瓦（kW），1W = 1 J/s 。一功率一功率注意到 ，則dWFrF vF vtzM知質(zhì)點系動能定理的微分形式為diTWdddiWTtt首先定義機器的有效功率100%PP有效輸入 表明了機器對輸入功率的有效利用程度，是評定機器質(zhì)量優(yōu)劣的重要

18、指標之一。一般情況下 。二功率方程二功率方程dd iTPt即iPPPP無用輸入有用上式稱為功率方程功率方程，即質(zhì)點系動能對時間的一階導數(shù)，等于質(zhì)點系動能對時間的一階導數(shù)，等于作用于質(zhì)點系的所有力的功率的代數(shù)和作用于質(zhì)點系的所有力的功率的代數(shù)和。對一部機器，三機械效率三機械效率則機械效率ddTPPt有效有用+兩邊同除以dt ，得ddTPPPt無用輸入有用故13-5勢力場勢力場 勢能勢能 機械能守恒定律機械能守恒定律1力場力場：若一質(zhì)點在某空間任一位置都受到一個大小和方向完全由所在位置確定由所在位置確定的力作用，則此空間稱為力場力場。 在勢力場中質(zhì)點受到的場力稱為有勢力有勢力(或保守力)，如重力、

19、彈力、萬有引力等。2勢力場勢力場：如果質(zhì)點在力場中運動, 作用于質(zhì)點的場力所作的功只決定于質(zhì)點的初始和終了位置，而與運動路徑無關與運動路徑無關，這種力場稱為勢力場勢力場。一勢力場一勢力場例：例：重力場、彈性力場、萬有引力場都是勢力場。在勢力場中，任選一點M0令其勢能為零，稱為零勢能點零勢能點。則質(zhì)點從點 M 運動到點 M0 過程中有勢力所作的功稱為質(zhì)點在點 M 的勢能勢能，用 V 表示。即0dMMVFr顯然，勢能只取決于質(zhì)點所在的位置M和零勢能點M0的選取，勢能具有相對性。二勢能二勢能下面計算幾種常見的勢能。1. 重力勢能重力勢能質(zhì)點：0()Vmg zz質(zhì)點系：0()CCVMg zzz0 零勢

20、能點的 z 坐標zC0 質(zhì)點系零勢能位置質(zhì)心 的 z 坐標0(ddd )MxyzMFxFyFz如取 ，則0r 可以證明，萬有引力場為勢力場。若取A0為零勢能點，其與質(zhì)量為m2的引力中心O相距r0，可推得質(zhì)點m1的引力勢能為2. 彈簧的彈性勢能彈簧的彈性勢能2201()2Vk式中 f 為引力常數(shù)。12f m mVr 3. 萬有引力場中的勢能（引力勢能）萬有引力場中的勢能（引力勢能）記0為零勢能點處彈簧的變形量，則221kV 若取彈簧的自然位置為零勢能點，則012011dAAVFrf m mrr注意：注意：若質(zhì)點系受到多個有勢力作用，則各有勢力可有各自的零勢能點。對于重力彈力系統(tǒng)，若均以靜力平衡位

21、置為零勢能點，則總勢能表達式一般較簡潔。（見教材P306例子）（見第七版教材P305） 設質(zhì)點系運動過程中只有有勢力作功質(zhì)點系運動過程中只有有勢力作功，則利用動能定理、有勢力的功，有2112TTW此即機械能守恒定律機械能守恒定律，這樣的系統(tǒng)稱為保守系統(tǒng)保守系統(tǒng)。1122 TVTV常量對非保守系統(tǒng)，設非保守力的功為W12, 則由動能定理有121122)()(WVTVT機械能：質(zhì)點系在某瞬時的動能 T 與勢能 V 的總和。即有勢力的功等于質(zhì)點（系）在運動的始末位置的勢能差。有勢力的功等于質(zhì)點（系）在運動的始末位置的勢能差。M1處勢能：01110dMMVFrW02220dMMVFrWM2處勢能：12

22、1020WWW質(zhì)點從M1M2有勢力所作的功：三有勢力的功三有勢力的功四機械能守恒定律四機械能守恒定律注意注意：12VV12VV sin,2ly 則2 ,sinyl于是解解：知桿水平方向不受外力，且初始靜止，故質(zhì)心C鉛垂下降。由于約束反力不作功，主動力為有勢力，因此可用機械能守恒定律求解。由機械能守恒定律有：222110()22242llmgmymlmgy代入上式，化簡后得226 sin1 3sinCgvyy10,T 初瞬時：2221122CTmyJ22lVmgy任一瞬時： 例例10 長為l、質(zhì)量為m的勻質(zhì)直桿，初瞬時直立于光滑桌面上。當桿無初速度地傾倒后，求質(zhì)心C的速度（用桿的傾角 和質(zhì)心的位

23、置 y 表達）。1cos2ly又 22211,224myml12lVmg13-6動力學普遍定理的綜合應用舉例動力學普遍定理的綜合應用舉例 動力學普遍定理包括質(zhì)點和質(zhì)點系的動量定理、動量矩定理動量定理、動量矩定理和動能定理。動能定理。動量定理和動量矩定理是矢量形式，動能定理是標量形式，它們都用于研究機械運動，而動能定理還可以用于研究機械運動與其它運動形式有能量轉(zhuǎn)化的問題。 動力學普遍定理提供了解決動力學問題的一般方法。動力學動力學普遍定理的綜合應用，大體上包括兩方面含義：普遍定理的綜合應用，大體上包括兩方面含義：一是能根據(jù)問題的已知條件和待求量，選擇適當?shù)亩ɡ砬蠼膺x擇適當?shù)亩ɡ砬蠼?，包括各種守恒

24、情況的判斷，相應守恒定理的應用，避開那些無關的未知量，直接得需求的結果。二是對比較復雜的問題，能根據(jù)需要選用兩、三個定理聯(lián)合求解聯(lián)合求解。 求解過程中，要正確進行運動分析， 提供正確的運動學補充運動學補充方程。方程。 例例11 兩勻質(zhì)桿AC和BC各重為F，長為l，在C處光滑鉸接，置于光滑水平面上；設兩桿軸線始終在鉛垂面內(nèi)，初始靜止，C點高度為h，求鉸C到達地面時的速度。下面舉例說明動力學普遍定理的綜合應用。注意：注意：應用動量定理、動量矩定理只需考慮質(zhì)點系所受外力，而應用動能定理時要具體分析內(nèi)力、約束力所作的功。2213CFTvg且初始靜止，故水平方向質(zhì)心位置守恒。 0)(exF12()22i

25、hWFFh01T22122BTJ代入動能定理：2103CFvFhgCvl解解：由于不求系統(tǒng)內(nèi)力，桿可以不拆開。研究對象：整體。 分析受力：討論：討論： 本例題為本例題為“動量守恒定理動能定理動量守恒定理動能定理”聯(lián)合求解。聯(lián)合求解。 計算動能時，要利用剛體平面運動的運動學關系。計算動能時，要利用剛體平面運動的運動學關系。2213Flg 3Cvgh2112()iTTW 例例12 重G1=60N、長度l=24cm的勻質(zhì)直桿AB與重G2=150N的勻質(zhì)圓盤在B處用鉸鏈連接。 系統(tǒng)由圖示位置無初速地釋放。求系統(tǒng)經(jīng)過最低位置時B點的速度及支座A的約束反力。解解：（：（1）取圓盤為研究對象，作受力圖。）取

26、圓盤為研究對象，作受力圖。( )()eBBBJMFe( ) ()0eBMF00B故圓盤作平動。由相對質(zhì)心的動量矩定理有 0Be最低位置時：22221122ABGTJvg222121 112 32BGGlvgg12cos60(cos60 )22illWGG ll 21iTTW2121230(cos60 )62BGGGvGllg代入數(shù)據(jù)G1= 60N，G2= 150N，l=24cm，得m/s 58. 1Bv（2）用動能定理求）用動能定理求B點的速度點的速度。取系統(tǒng)為研究對象。21236BGGvg12(cos60 )2GGll初始時：T1=0()Bvl（3）用動量矩定理求桿的角加速度）用動量矩定理求

27、桿的角加速度e e 。21213AGGLlv lgg最低位置處由于( )d()0deAALMFt則 e 0 盤質(zhì)心B加速度：22nCla2nBalBvl（4）由質(zhì)心運動定理求支座反力。）由質(zhì)心運動定理求支座反力。12iixCBGGmaaaggtt代入G1= 60N，G2= 150N，l=24cm ，得0,AX22122iiyGGlmalgg桿質(zhì)心C 加速度：研究整個系統(tǒng)。21233GGlg1.586.58 rad/s0.24AX12AYGG0Cat0Bat401N ()AY 其中：在任意位置CpmvOOLJ219mL212OTJ232OLmR2243mRT pmRpmv221mRLC2224121mRmvT 例例13 基本量 (動量、動量矩、動能)的計算。16mL221126LmLm22118mL 例例14 提升機構如圖所示。已知鼓輪的半徑為 r ，重為W1，可繞軸心O轉(zhuǎn)動，轉(zhuǎn)動慣量為JO 。若在輪上加一常力偶矩M，使鼓輪上卷繞的繩子吊起一重為W2的物體，物體自靜止開始上升，略去繩重和各處摩擦，求重物上升的加速度a以及軸承O的約束反力。解：解：本題是已知主動力求系統(tǒng)的運動及約束反力的問題，需