高中數(shù)學(xué) 第二章 直線與圓的位置關(guān)系 2.5 與圓有關(guān)的比例線段教案 新人教A版選修41

1、2.5 與圓有關(guān)的比例線段課堂探究探究一相交弦定理的應(yīng)用相交弦定理的結(jié)論是線段成比例，也可以看成等式，因此利用相交弦定理既可以得到成比例線段，又可以建立方程來(lái)解決問(wèn)題如下面的典型例題1中，利用相交弦定理列出關(guān)于r的方程【典型例題1】如圖，過(guò)o內(nèi)一點(diǎn)a作直線，交o于b，c兩點(diǎn)，且ab·ac64，oa10，則o的半徑r_.解析：如圖所示，作直線oa交o于e，f兩點(diǎn)，則aer10，afr10.由相交弦定理，得(r10)(r10)64，解得r12，r22(不合題意，舍去)故r2.答案：2點(diǎn)評(píng) bc為o的一條弦，再找到直徑ef，利用相交弦定理即可探究二割線定理、切割線定理的應(yīng)用有切線和割線，往

2、往就考查割線定理、切割線定理，而且有時(shí)需要通過(guò)轉(zhuǎn)化、代換，才能運(yùn)用定理解題【典型例題2】如圖，已知o的割線pab交o于點(diǎn)a和點(diǎn)b，pa6 cm，ab8 cm，po10.9 cm，求o的半徑思路分析：由于po既不是o的切線，也不是割線，故需將po延長(zhǎng)交o于點(diǎn)d，構(gòu)成圓的一條割線，而od又恰好是o的半徑，于是運(yùn)用割線定理解題即可解：如圖，將po延長(zhǎng)交o于d.根據(jù)割線定理，可得pa·pbpc·pd.設(shè)o的半徑為r cm，則6×(68)(10.9r)(10.9r)，解得r5.9，即o的半徑為5.9 cm.反思 如果已知條件中出現(xiàn)過(guò)圓外同一點(diǎn)的圓的割線，那么常用到割線定理本

3、題中，利用割線定理列出了關(guān)于半徑r的方程，進(jìn)而求出了r的值【典型例題3】如圖，ab切o于b，acd為割線，e為的中點(diǎn)，be交dc于f，求證：af2ac·ad.思路分析：由切割線定理可知ac·adab2，故只需證afab即可證明：連接bc，bd.e為的中點(diǎn)，dbecbe.又ab是o的切線，abccdb.abccbedbecdb，即abfafb.abaf.又ab是o的切線，acd為割線，由切割線定理可知ac·adab2，af2ac·ad.點(diǎn)評(píng) 已知條件中同時(shí)出現(xiàn)過(guò)圓外同一個(gè)點(diǎn)的切線和割線，那么常用到切割線定理探究三切線長(zhǎng)定理的應(yīng)用如果已知條件中出現(xiàn)過(guò)圓外同一

4、點(diǎn)的切線，那么常用到切線長(zhǎng)定理要注意分析其中的等量關(guān)系，即切線長(zhǎng)相等，圓外點(diǎn)與圓心的連線平分兩條切線的夾角，然后結(jié)合直角三角形、相似三角形等圖形的有關(guān)性質(zhì)進(jìn)行計(jì)算與證明【典型例題4】如圖，ab是o的直徑，c是o上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)c的切線與過(guò)a，b兩點(diǎn)的切線分別交于點(diǎn)e，f，af與be交于點(diǎn)p.求證：epcebf.思路分析：證明：ea，ef，fb是o的切線，eaec，fcfb.ea，fb切o于a，b，ab是直徑，eaab，fbab.eafb.，cpfb.epcebf.探究四易錯(cuò)辨析易錯(cuò)點(diǎn)：因定理結(jié)論記憶不清致誤【典型例題5】如圖，在rtabc中，abc90°，o是ab上一點(diǎn)，以o為圓心，以o

5、b為半徑作圓交ac于e，f，交ab于d.若e是的中點(diǎn)，且aeef31，fc4，求cbf的正弦值及bc的長(zhǎng)錯(cuò)解：連接oe，df，of.e為的中點(diǎn)，doedbf.oebf，aoobaeef31，oebf34.設(shè)obr，則oa3r，bfr.adaodoaoob3rr2r.又由割線定理得，af·adae·ab，2.錯(cuò)因分析：不能正確運(yùn)用割線定理，因不滿足定理對(duì)應(yīng)條件而致誤正解：如圖，連接oe，df，of，e為的中點(diǎn)，doedbf，oebf，aoobaeef31，oebf34.設(shè)obr，則ao3r，bfr，adaodoaoob3rr2r.又由割線定理得ae·afad·ab.ae·af2r·4r，即3ef·4ef8r2，efr.又由切割線定理，得bc2cf·ce4(4ef)4.在rtabc中，ab2bc2ac2，即(4r)24(4ef4)22，解得r，bc.又cbfbdf，在rtdfb中，sinbdf，sincbf.6edbc3191f2351dd815ff33d4435f3756edbc3191f2351dd815ff33d4435f3756edbc3191f2351dd815ff33d4435f3756edb