高中數(shù)學(xué)第二章平面向量2.5從力做的功到向量的數(shù)量積課件2北師大版必修

1、2.52.5從力做的功到向量的數(shù)量積從力做的功到向量的數(shù)量積【知識(shí)提煉知識(shí)提煉】1.1.向量的夾角與投影向量的夾角與投影(1)(1)夾角夾角定義：已知兩個(gè)非零向量定義：已知兩個(gè)非零向量a和和b，作，作 = =a, =, =b, ,則則_叫作向量叫作向量a與與b的夾角；的夾角；范圍：范圍：_；oaob aob=aob=0 0180180大小與向量共線、垂直的關(guān)系：大小與向量共線、垂直的關(guān)系：=0 0a與與b_，180180a與與b_，9090a_b. .同向同向反向反向(2)(2)投影投影定義：如圖所示：定義：如圖所示： = =a， = =b，過(guò)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)b b作作bbbb1 1垂直于直線垂直于直

2、線oaoa，垂足為，垂足為b b1 1，則，則obob1 1=_. _=_. _叫做向量叫做向量b在在a方向上的投影數(shù)量方向上的投影數(shù)量( (簡(jiǎn)稱投影簡(jiǎn)稱投影).).oaob | |b|cos|cos | |b|cos|cos 大小與夾角的關(guān)系：大小與夾角的關(guān)系：夾角夾角 0 0 銳角銳角 9090 鈍角鈍角 180180 射影射影 _ _ _| |b| |正值正值0 0負(fù)值負(fù)值-|-|b| |2.2.向量的數(shù)量積向量的數(shù)量積(1)(1)定義：已知兩個(gè)向量定義：已知兩個(gè)向量a與與b，它們的夾角為，它們的夾角為，我們把，我們把_叫作叫作a與與b的數(shù)量積的數(shù)量積( (或內(nèi)積或內(nèi)積) )，記作，記作

3、_，即，即ab= _.= _.| |a|b|cos|cos ab| |a|b|cos|cos (2)(2)幾何意義：數(shù)量積幾何意義：數(shù)量積ab等于等于a的長(zhǎng)度的長(zhǎng)度| |a| |與與b在在a方向上投影方向上投影_的乘積，或的乘積，或b的長(zhǎng)度的長(zhǎng)度_與與a在在b方向上投影方向上投影_的乘積的乘積. .(3)(3)物理意義：力對(duì)物體做功，就是力物理意義：力對(duì)物體做功，就是力f與其作用下物體的位移與其作用下物體的位移s的數(shù)量積的數(shù)量積_._.| |b|cos|cos | |b| | |a|cos|cos fs(4)(4)性質(zhì)：性質(zhì)：若若e是單位向量，則是單位向量，則ea= =ae= _= _；ab_

4、；( (其中其中a, ,b為非零向量為非零向量); ); | |a|=|=coscos =_(| =_(|a|b|0)|0)；對(duì)任意兩個(gè)向量對(duì)任意兩個(gè)向量a,ba,b, ,有有 | |ab|_|_|a|b|.|.| |a|cos|cos ab=0=0 ；a a|a ba b(5)(5)運(yùn)算律：運(yùn)算律：交換律：交換律：ab= =_. .結(jié)合律：結(jié)合律：( (a)b= _= = _= _. .分配律分配律：a(b+ +c)=)=_. .ba(ab) )a(b) )ab+ +ac【即時(shí)小測(cè)即時(shí)小測(cè)】1.1.思考下列問(wèn)題思考下列問(wèn)題: :(1)(1)向量的夾角與直線的傾斜角的范圍相同嗎向量的夾角與直線

5、的傾斜角的范圍相同嗎? ?提示提示: :不相同不相同. .向量的夾角范圍為向量的夾角范圍為0,0,而直線的傾斜角范圍為而直線的傾斜角范圍為0,0,).).(2)(2)影響數(shù)量積的大小的因素有哪些影響數(shù)量積的大小的因素有哪些? ?提示提示: :影響數(shù)量積的大小的因素有向量的模及其夾角的大小影響數(shù)量積的大小的因素有向量的模及其夾角的大小. .2.2.若若e1 1, ,e2 2是兩個(gè)平行的單位向量是兩個(gè)平行的單位向量, ,則下面結(jié)果正確的是則下面結(jié)果正確的是( () )a.a.e1 1e2 2=1=1 b.b.e1 1e2 2=-1=-1c.|c.|e1 1e2 2|=1 d.|=1 d.e1 1e

6、2 210,0,則則a a與與b b的夾角的夾角的取值范圍是的取值范圍是( () ) 【解析解析】選選a.a.因?yàn)橐驗(yàn)閍 ab b0,0,所以所以coscos0,0,所以所以 . .a.0,) b., c.(, d.,2222()0,) 24.4.若若e1 1, ,e2 2是夾角為是夾角為 的單位向量的單位向量, ,且且a=2=2e1 1+ +e2 2, ,b=-3=-3e1 1+2+2e2 2, ,則則ab等于等于 ( () )a.1a.1 b.-4b.-4 c.-c.- d.d.37272【解析解析】選選c.c.ab=(2=(2e1 1+ +e2 2) )(-3(-3e1 1+2+2e2

7、2) )= = =-6|=-6|e1 1| |2 2+|+|e1 1|e2 2|cos +2|cos +2|e2 2| |2 2=-6=-61 12 2+1+11 1 +2 +21 12 2=- .=- .22112262ee ee212725.5.已知已知| |a|=5,|=5,|b|=6,|=6,若若ab, ,則則ab=_.=_.【解析解析】由由ab, ,可知可知a與與b的夾角為的夾角為0 0或或, ,故故ab= =30.30.答案答案: :3030【知識(shí)探究知識(shí)探究】知識(shí)點(diǎn)知識(shí)點(diǎn)1 1 向量的數(shù)量積向量的數(shù)量積觀察如圖所示內(nèi)容觀察如圖所示內(nèi)容, ,回答下列問(wèn)題回答下列問(wèn)題: :問(wèn)題問(wèn)題1

8、:1:向量的數(shù)量積可正、可負(fù)、可為零向量的數(shù)量積可正、可負(fù)、可為零, ,其決定因素是什么其決定因素是什么? ?問(wèn)題問(wèn)題2:2:向量數(shù)量積向量數(shù)量積ab中的中的“”能否省去能否省去? ?【總結(jié)提升總結(jié)提升】1.1.數(shù)量積的寫(xiě)法及與實(shí)數(shù)乘積的區(qū)別數(shù)量積的寫(xiě)法及與實(shí)數(shù)乘積的區(qū)別兩向量?jī)上蛄縜, ,b的數(shù)量積也稱作內(nèi)積的數(shù)量積也稱作內(nèi)積, ,寫(xiě)成寫(xiě)成ab, ,其應(yīng)與代數(shù)中的其應(yīng)與代數(shù)中的a, ,b的乘的乘積積ab區(qū)分開(kāi)來(lái)區(qū)分開(kāi)來(lái), ,其中其中“”是一種運(yùn)算符號(hào)是一種運(yùn)算符號(hào), ,不同于實(shí)數(shù)的乘法符號(hào)不同于實(shí)數(shù)的乘法符號(hào). .在向量運(yùn)算中既不能省略在向量運(yùn)算中既不能省略, ,也不能用也不能用“”代替代替

9、. .2.2.數(shù)量積運(yùn)算的結(jié)果數(shù)量積運(yùn)算的結(jié)果(1)(1)向量線性運(yùn)算的結(jié)果是一個(gè)向量向量線性運(yùn)算的結(jié)果是一個(gè)向量, ,但兩個(gè)向量的數(shù)量積是一個(gè)數(shù)量但兩個(gè)向量的數(shù)量積是一個(gè)數(shù)量. .(2)(2)由于由于0 0180180, ,所以所以ab可以為正數(shù)、負(fù)數(shù)和零可以為正數(shù)、負(fù)數(shù)和零, ,且當(dāng)且當(dāng)0 0900;0;當(dāng)當(dāng)=90=90時(shí)時(shí), ,ab=0;=0;當(dāng)當(dāng)9090180180時(shí)時(shí), ,ab0.0.(3)(3)若若a為零向量為零向量, ,則則| |a|=|=0, ,從而從而ab=0,=0,故零向量與任一向量的數(shù)量故零向量與任一向量的數(shù)量積為積為0.0.(4)(4)aa= =a2 2=|=|a| |

10、2 2. .(5)(5)兩個(gè)單位向量的數(shù)量積等于它們的夾角的余弦值兩個(gè)單位向量的數(shù)量積等于它們的夾角的余弦值. .知識(shí)點(diǎn)知識(shí)點(diǎn)2 2 數(shù)量積的性質(zhì)及運(yùn)算律數(shù)量積的性質(zhì)及運(yùn)算律觀察如圖所示內(nèi)容觀察如圖所示內(nèi)容, ,回答下列問(wèn)題回答下列問(wèn)題: :問(wèn)題問(wèn)題1:1:向量的數(shù)量積有什么重要的性質(zhì)向量的數(shù)量積有什么重要的性質(zhì)? ?問(wèn)題問(wèn)題2:2:數(shù)量積與實(shí)數(shù)乘積有什么差異數(shù)量積與實(shí)數(shù)乘積有什么差異? ?【總結(jié)提升總結(jié)提升】1.1.數(shù)量積五條性質(zhì)的應(yīng)用數(shù)量積五條性質(zhì)的應(yīng)用性質(zhì)性質(zhì)(1)(1)可以幫助理解數(shù)量積的幾何意義可以幫助理解數(shù)量積的幾何意義; ;性質(zhì)性質(zhì)(2)(2)可以解決有關(guān)垂直的問(wèn)題可以解決有關(guān)垂

11、直的問(wèn)題; ;性質(zhì)性質(zhì)(3)(3)可以求向量的長(zhǎng)度可以求向量的長(zhǎng)度; ;性質(zhì)性質(zhì)(4)(4)可以求兩向量的夾角可以求兩向量的夾角; ;性質(zhì)性質(zhì)(5)(5)可以解決有關(guān)不等式的問(wèn)題可以解決有關(guān)不等式的問(wèn)題, ,當(dāng)且僅當(dāng)當(dāng)且僅當(dāng)ab時(shí)時(shí), ,等號(hào)成立等號(hào)成立. .2.2.數(shù)量積運(yùn)算遵循的運(yùn)算律及常用公式數(shù)量積運(yùn)算遵循的運(yùn)算律及常用公式(1)(1)遵循的運(yùn)算律遵循的運(yùn)算律: :數(shù)量積的運(yùn)算只適合交換律、分配律及數(shù)乘結(jié)合律數(shù)量積的運(yùn)算只適合交換律、分配律及數(shù)乘結(jié)合律, ,不適合乘法結(jié)合律不適合乘法結(jié)合律, ,即即( (ab) )c不一定等于不一定等于a( (bc).).這是由于這是由于( (ab) )

12、c表示一個(gè)與表示一個(gè)與c共線的向量共線的向量, ,而而a( (bc) )表示一個(gè)與表示一個(gè)與a共線的向量共線的向量, ,而而c與與a不一定共線不一定共線. .(2)(2)常用公式及注意點(diǎn)常用公式及注意點(diǎn): :( (a+ +b) )( (a- -b)=|)=|a| |2 2-|-|b| |2 2; ;( (a+ +b) )2 2=|=|a| |2 2+2+2ab+|+|b| |2 2; ;( (a- -b) )2 2=|=|a| |2 2-2-2ab+|+|b| |2 2. .注意注意:|:|a| |2 2= =aa,|,|b| |2 2= =bb. .【題型探究題型探究】類型一類型一 平面向量

13、數(shù)量積的概念及運(yùn)算平面向量數(shù)量積的概念及運(yùn)算【典例典例】1.|1.|a|=2,|=2,向量向量a與向量與向量b的夾角為的夾角為120120, ,則向量則向量a在向量在向量b方方向上的射影等于向上的射影等于( () )a.2a.2 b.120b.120c.-1 d.c.-1 d.由向量由向量b的長(zhǎng)度確定的長(zhǎng)度確定2.2.已知已知| |a|=3,|=3,|b|=6,|=6,當(dāng)當(dāng)(1)(1)ab,(2),(2)ab,(3),(3)a與與b的夾角是的夾角是6060時(shí)時(shí), ,分別求分別求ab, ,a( (a+ +b).).【解題探究解題探究】1.1.向量向量a在向量在向量b方向上的射影公式是什么方向上的

14、射影公式是什么? ?提示提示: :| |a|cos|cos. .2.2.ab時(shí)時(shí), ,兩向量的夾角是多少兩向量的夾角是多少? ?提示提示: :若若a與與b同向同向, ,則它們的夾角則它們的夾角=0=0, ,若若a與與b反向反向, ,則它們的夾角則它們的夾角=180=180. .【解析解析】1.1.選選c.c.根據(jù)平面向量數(shù)量積的幾何意義可知根據(jù)平面向量數(shù)量積的幾何意義可知| |a|cos120|cos120=2=2 =-1.=-1.2.(1)2.(1)當(dāng)當(dāng)ab時(shí)時(shí), ,若若a與與b同向同向, ,則它們的夾角則它們的夾角=0=0, ,所以所以ab=|=|a|b|cos0|cos0=3=36 61

15、=18,1=18,a( (a+ +b)=)=a2 2+ +ab=9+18=27.=9+18=27.若若a與與b反向反向, ,則它們的夾角則它們的夾角=180=180, ,所以所以ab=|=|a|b|cos180|cos180=3=36 6(-1)=-18,(-1)=-18,a( (a+ +b)=)=a2 2+ +ab=9-18=-9.=9-18=-9.12()(2)(2)當(dāng)當(dāng)ab時(shí)時(shí), ,它們的夾角它們的夾角=90=90, ,所以所以ab=0,=0,a( (a+ +b)=)=a2 2=9.=9.(3)(3)當(dāng)當(dāng)a與與b的夾角是的夾角是6060時(shí)時(shí), ,有有ab=|=|a|b|cos60|cos

16、60=3=36 6 =9. =9.a( (a+ +b)=)=a2 2+ +ab=18.=18.12【方法技巧方法技巧】1.1.求平面向量數(shù)量積的流程求平面向量數(shù)量積的流程2.2.形如形如( (m ma+n+nb) )(k(ka+ +lb) )的運(yùn)算技巧及注意點(diǎn)的運(yùn)算技巧及注意點(diǎn)(1)(1)技巧技巧: :類似于實(shí)數(shù)多項(xiàng)式的運(yùn)算類似于實(shí)數(shù)多項(xiàng)式的運(yùn)算, ,將運(yùn)算轉(zhuǎn)化為向量將運(yùn)算轉(zhuǎn)化為向量a, ,b的數(shù)量積的數(shù)量積運(yùn)算運(yùn)算. .(2)(2)注意點(diǎn)注意點(diǎn): :a與與b的數(shù)量積不可書(shū)寫(xiě)或認(rèn)為是的數(shù)量積不可書(shū)寫(xiě)或認(rèn)為是ab, ,a2 2=|=|a| |2 2的應(yīng)用的應(yīng)用. .【拓展延伸拓展延伸】數(shù)量積運(yùn)算

17、時(shí)的兩個(gè)注意點(diǎn)數(shù)量積運(yùn)算時(shí)的兩個(gè)注意點(diǎn)(1)(1)要找準(zhǔn)兩向量的夾角要找準(zhǔn)兩向量的夾角. .(2)(2)注意向量數(shù)量積的運(yùn)算律的應(yīng)用注意向量數(shù)量積的運(yùn)算律的應(yīng)用. .【變式訓(xùn)練變式訓(xùn)練】已知正三角形已知正三角形abcabc的邊長(zhǎng)為的邊長(zhǎng)為1.1.求求: : 1 abac.2 ab bc. ，【解析解析】(1)(1) 的夾角為的夾角為6060, ,所以所以 (2)(2)因?yàn)橐驗(yàn)?的夾角為的夾角為120120, ,所以所以 abac 與11ab acab ac cos 601 1.22 abbc 與11ab acab bc cos 1201 1.22 ( )類型二類型二 利用數(shù)量積求向量的模利用數(shù)

18、量積求向量的模【典例典例】已知已知| |a|=|=|b|=5,|=5,向量向量a與與b的夾角為的夾角為 . .求求|a+b|,|,|a-b|.|.【解題探究解題探究】聯(lián)想到聯(lián)想到| |a| |2 2= =a2 2, ,要求要求| |a+b|,|,|a-b|,|,應(yīng)先求什么應(yīng)先求什么? ?提示提示: :應(yīng)求應(yīng)求| |a+b| |2 2與與| |a-b|2, ,進(jìn)而可知先求進(jìn)而可知先求ab. .3【解析解析】方法一方法一: :由題意可得由題意可得ab=|=|a|b|cos|cos=5=55 5 因?yàn)橐驗(yàn)閨 |a+ +b| |2 2=|=|a| |2 2+|+|b| |2 2+2+2ab=25+25

19、+2=25+25+2 =75, =75,所以所以| |a+ +b|=5 .|=5 .同理因?yàn)橥硪驗(yàn)閨 |a- -b| |2 2=|=|a| |2 2+|+|b| |2 2-2-2ab=25,=25,所以所以| |a- -b|=5.|=5.125.222523方法二方法二: :由向量線性運(yùn)算的幾何意義求作菱形由向量線性運(yùn)算的幾何意義求作菱形abcd,abcd,使使ab=ad=5, ab=ad=5, 設(shè)設(shè) 如圖如圖, ,則則 dab3 ，abad ， ，ab|bdab5 ，ab3|ac2 ae255 3.2 ab【延伸探究延伸探究】1.(1.(改變問(wèn)法改變問(wèn)法) )本例的條件不變求本例的條件不變

20、求|3|3a+ +b|.|.【解析解析】由題意可得由題意可得ab=|=|a|b|cos|cos=5=55 5 因?yàn)橐驗(yàn)閨3|3a+ +b| |2 2=(3=(3a+ +b)2 2=9=9a2 2+ +b2 2+6+6ab=325.=325.所以所以|3|3a+ +b|=5 .|=5 .125.2232.(2.(變換條件變換條件) )本例的已知條件若改為本例的已知條件若改為“| |a|=|=|b|=5,|=5,且且|3|3a-2-2b|=5”,|=5”,如何求如何求|3|3a+ +b| |的值的值? ?【解析解析】因?yàn)橐驗(yàn)閨3|3a-2-2b| |2 2=9|=9|a| |2 2-12-12ab

21、+4|+4|b| |2 2=9=925-1225-12ab+4+425=325-1225=325-12ab, ,又因?yàn)橛忠驗(yàn)閨3|3a-2-2b|=5,|=5,所以所以325-12325-12ab=25,=25,即即ab=25.=25.所以所以|3|3a+ +b| |2 2=(3=(3a+ +b) )2 2=9=9a2 2+6+6ab+ +b2 2=9=925+625+625+25=400.25+25=400.所以所以|3|3a+ +b|=20.|=20.【方法技巧方法技巧】求向量的模的常用思路及方法求向量的模的常用思路及方法(1)(1)求模問(wèn)題一般轉(zhuǎn)化為求模平方求模問(wèn)題一般轉(zhuǎn)化為求模平方,

22、,與向量數(shù)量積聯(lián)系與向量數(shù)量積聯(lián)系, ,并靈活應(yīng)用并靈活應(yīng)用a2 2=|=|a| |2 2, ,勿忘記開(kāi)方勿忘記開(kāi)方. .(2)(2)aa= =a2 2=|=|a| |2 2或或| |a|= ,|= ,此性質(zhì)可用來(lái)求向量的模此性質(zhì)可用來(lái)求向量的模, ,可以實(shí)現(xiàn)實(shí)可以實(shí)現(xiàn)實(shí)數(shù)運(yùn)算與向量運(yùn)算的相互轉(zhuǎn)化數(shù)運(yùn)算與向量運(yùn)算的相互轉(zhuǎn)化. .(3)(3)一些常見(jiàn)的等式應(yīng)熟記一些常見(jiàn)的等式應(yīng)熟記, ,如如( (ab) )2 2= =a2 22 2ab+ +b2 2,(,(a+ +b) )( (a- -b) )= =a2- -b2 2等等. .2a【補(bǔ)償訓(xùn)練補(bǔ)償訓(xùn)練】已知向量已知向量a與與b的夾角為的夾角為12

23、0120, ,且且| |a|=4,|=4,|b|=2,|=2,求求: :(1)|(1)|a+ +b|.|.(2)|3(2)|3a-4-4b|.|.【解析解析】ab=|=|a|b|cos|cos=4=42 2cos120cos120=-4.=-4.(1)(1)因?yàn)橐驗(yàn)閨 |a+ +b| |2 2= =a2 2+2+2ab+ +b2 2=|=|a| |2 2+2+2ab+|+|b| |2 2=4=42 2+2+2(-4)+2(-4)+22 2=12,=12,所以所以| |a+ +b|=2 .|=2 .(2)(2)因?yàn)橐驗(yàn)閨3|3a-4-4b| |2 2=(=(3a-4-4b) )2 2=9=9a2

24、 2-24-24ab+16+16b2 2=9=916-2416-24(-4)+16(-4)+164=304,4=304,所以所以|3a-4b|=4 .|3a-4b|=4 .319【延伸探究延伸探究】1.(1.(變換條件變換條件) )本例條件變?yōu)楸纠龡l件變?yōu)椤耙阎蛄恳阎蛄縜與與b的夾角為的夾角為120120, ,且且| |a|=4,|=4,|a+ +b|=2|=2 ”,”,求求| |b|.|.3【解析解析】因?yàn)橐驗(yàn)閍b=|=|a|b|cos|cos=4=4| |b| |cos120cos120=-2|=-2|b|.|.所以所以| |a+b|2=a2+2ab+b2=|=|a| |2 2+2+2

25、ab+|+|b| |2 2=16-4|=16-4|b|+|+|b| |2 2. .因?yàn)橐驗(yàn)閨 |a+ +b|=2 ,|=2 ,即即| |a+ +b| |2 2=12,=12,所以所以16-4|16-4|b|+|+|b| |2 2=12.=12.解得解得| |b|=2.|=2.32.(2.(改變問(wèn)法改變問(wèn)法) )若本例刪去條件若本例刪去條件“已知向量已知向量a與與b的夾角為的夾角為120120,”,”求求| |a+ +b| |的取值范圍的取值范圍. .【解析解析】設(shè)向量設(shè)向量a與與b的夾角為的夾角為, ,則則ab=|=|a|b|cos|cos=4=42 2cos=8cos.cos=8cos.|

26、|a+ +b| |2 2= =a2 2+2+2ab+ +b2 2=4=42 2+2+28cos+28cos+22 2=20+16cos.=20+16cos.因?yàn)橐驗(yàn)?,0,所以所以cos-1,1,cos-1,1,所以所以| |a+ +b| |2 24,36,4,36,則則| |a+ +b|2,6.|2,6.類型三類型三 向量的夾角或垂直向量的夾角或垂直【典例典例】1.1.已知已知| |a|=1,|=1,|b|=4,(|=4,(a- -b) )( (a+2+2b)=-29,)=-29,則則a與與b夾角夾角=_.=_.2.2.已知向量已知向量a, ,b, ,c滿足滿足a+ +b+ +c=0, ,且

27、且| |a|=3,|=3,|b|=5,|=5,|c|=7.|=7.求求a與與b的夾角的夾角.【解題探究解題探究】1.1.典例典例1 1中中, ,若求若求a與與b的夾角的夾角,還需要什么還需要什么? ?提示提示: :需要利用需要利用( (a- -b) )( (a+2+2b)=-29)=-29求出求出ab. .2.2.要求要求a與與b的夾角的夾角,關(guān)鍵是先求哪些量關(guān)鍵是先求哪些量? ?提示提示: :關(guān)鍵是先求關(guān)鍵是先求ab. .【解析解析】1.1.因?yàn)橐驗(yàn)? (a- -b) )( (a+2+2b)=|)=|a| |2 2+ +ab-2|-2|b| |2 2=1+=1+ab-32-32=-31+=-

28、31+ab, ,所以所以-31+-31+ab=-29,=-29,所以所以ab=2,=2,所以所以 又因?yàn)橛忠驗(yàn)?,0,所以所以= .= .答案答案: :3321cos.1 42 a bab2.2.因?yàn)橐驗(yàn)閍+ +b+ +c=0,=0,所以所以a+ +b=-=-c, ,所以所以| |a+ +b|=|=|c|.|.所以所以( (a+ +b) )2 2= =c2 2, ,即即a2 2+2+2ab+ +b2 2= =c2 2. .所以所以ab= = 22222222 cabcab4992515.22 又因?yàn)橛忠驗(yàn)閍 ab b=|=|a|b|cosa|b|cos, ,所以所以 =3=35 5cos.co

29、s.即即coscos= ,= ,因?yàn)橐驗(yàn)?,0,所以所以= .= .121523【延伸探究延伸探究】典例典例2 2中若條件不變中若條件不變, ,是否存在實(shí)數(shù)是否存在實(shí)數(shù)使使a+ +b與與a-2-2b垂垂直直? ?存在存在, ,求出求出值值, ,不存在不存在, ,說(shuō)明理由說(shuō)明理由. .【解析解析】假設(shè)存在實(shí)數(shù)假設(shè)存在實(shí)數(shù)使使a+ +b與與a-2-2b垂直垂直. .可得可得(a+ +b) )( (a-2-2b)=0.)=0.即即a2 2-2-2b2 2-2-2ab+ +ab=0.=0.所以所以9-29-225-225-2 解得解得=- .=- .所以存在所以存在=- ,=- ,使得使得a+ +b與

30、與a-2-2b垂直垂直. .15150.2285128512【方法技巧方法技巧】1.1.求向量夾角的解題流程及注意事項(xiàng)求向量夾角的解題流程及注意事項(xiàng)(1)(1)解題流程解題流程: :(2)(2)注意事項(xiàng)注意事項(xiàng)在個(gè)別含有在個(gè)別含有| |a|,|,|b| |與與ab的等量關(guān)系式中的等量關(guān)系式中, ,常利用消元思想計(jì)算常利用消元思想計(jì)算coscos的值的值. .2.2.求求coscos的兩種情形的兩種情形(1)(1)求出求出ab,|,|a|,|,|b| |的值代入公式計(jì)算的值代入公式計(jì)算. .(2)(2)得到得到ab,|,|a|,|,|b| |之間的關(guān)系代入公式計(jì)算之間的關(guān)系代入公式計(jì)算. .3.

31、3.兩向量垂直的確定與應(yīng)用兩向量垂直的確定與應(yīng)用(1)(1)確定確定: :通常利用兩向量垂直的充要條件通常利用兩向量垂直的充要條件, ,即計(jì)算即計(jì)算ab是否為是否為0.0.(2)(2)應(yīng)用應(yīng)用: :若若ab, ,則則ab=0=0可求其中參數(shù)的值可求其中參數(shù)的值. .【變式訓(xùn)練變式訓(xùn)練】(2015(2015重慶高考重慶高考) )若非零向量若非零向量a, ,b滿足滿足 且且 則則a與與b的夾角為的夾角為( () ) 【解題指南解題指南】解答本題可以根據(jù)相互垂直的向量的數(shù)量積為零進(jìn)行計(jì)解答本題可以根據(jù)相互垂直的向量的數(shù)量積為零進(jìn)行計(jì)算算, ,然后求出夾角然后求出夾角. .2 23，ab32( )()

32、，abab3a. b. c. d.424【解析解析】選選a.a.設(shè)設(shè)a a與與b b的夾角為的夾角為, , 因?yàn)橐驗(yàn)?所以所以 解得解得coscos= ,= ,因?yàn)橐驗(yàn)?, 0, , ,所以所以= .= .2 2| | |3，ab32( )()，abab22323|2|( ) ()ababa|b|a b22282 22cos033 ，bbb224【補(bǔ)償訓(xùn)練補(bǔ)償訓(xùn)練】1.1.已知已知a, ,b都是非零向量都是非零向量, ,且且a+3+3b與與7 7a-5-5b垂直垂直, ,a-4-4b與與7a-2b7a-2b垂直垂直, ,求求a a與與b b的夾角的夾角. .【解題指南解題指南】由由( (a+3

33、+3b) )(7(7a-5-5b)=0)=0及及( (a-4-4b) )(7(7a-2-2b)=0)=0建立建立ab與與b2 2以及以及| |a| |與與| |b| |的等量關(guān)系的等量關(guān)系, ,可求可求a與與b的夾角的夾角. .【解析解析】由已知得由已知得( (a+3+3b) )(7(7a-5-5b)=0,)=0,即即7 7a2 2+16+16ab-15-15b2 2=0=0( (a-4-4b) )(7(7a-2-2b)=0,)=0,即即7 7a2 2-30-30ab+8+8b2 2=0=0, ,兩式相減得兩式相減得2 2ab= =b2 2, ,所以所以ab= = b2 2, ,代入代入, ,

34、中任一式得中任一式得a2 2= =b2, ,設(shè)設(shè)a, ,b的夾角為的夾角為,則則 因?yàn)橐驗(yàn)? 0180180, ,所以所以=60=60. .1222112cos2 ，ba ba bb2.2.設(shè)設(shè)n和和m是兩個(gè)單位向量是兩個(gè)單位向量, ,其夾角是其夾角是6060, ,求向量求向量a=2=2m+ +n與與b=2=2n-3-3m的夾角的夾角. .【解析解析】m和和n是兩個(gè)單位向量是兩個(gè)單位向量, ,其夾角是其夾角是6060, ,所以所以mn=|=|m| | |n| |cos60cos60= ,= ,設(shè)設(shè)a=2=2m+ +n與與b=2=2n-3-3m的夾角為的夾角為,所以所以 因?yàn)橐驗(yàn)? 0180180, ,所以所以=120=120. .即即a=2=2m+ +n與與b=2=2n-3-3m的夾角為的夾角為120120. .12227(2) (23)12cos277(2)(23) ，a bmnnma bmnnm易錯(cuò)案例易錯(cuò)案例 根據(jù)向量的夾角求范圍根據(jù)向量的夾角求范圍【典例典例】設(shè)兩個(gè)向量設(shè)兩個(gè)向量e1 1, ,e2 2滿足滿足| |e1