分塊矩陣行列式計算的若干方法(本科畢業(yè)原創(chuàng)論文)

1、分塊矩陣行列式計算的若干方法摘要：矩陣是線性代數(shù)中研究的重要對象，也是數(shù)字計算中的一個重要工具，矩陣運算具有整體性和簡潔性的特點。 我們應該充分注意矩陣運算的一些特 殊規(guī)律。為了研究問題的需要，適當?shù)膶仃囘M行分塊，把一個大矩陣看成是由 一些小矩陣塊為元素組成的，這樣可使矩陣的結構看的更清楚，表達和運算更簡 便的特點。矩陣分塊的思想在線性代數(shù)證明以及應用中是十分有用的。運用矩陣分塊的思想，可使解題更簡潔，思路更開闊。本文就將分塊矩陣的思想運用到行 列式的計算當中來，利用分塊矩陣來計算行列式，并且得出一些簡便的方法。借 助準三角形分塊矩陣的行列式值的結果簡化高階行列式的計算。例如，本文討論A d

2、了利用分塊矩陣計算行列式的丨H| =方法，即（1）當矩陣A或B可逆時；C B（2）當矩陣A=B,C=D寸；（3）當A與C或者B與C可交換時；（4）當矩陣H被分成 兩個特殊矩陣的和時等一些方法去探究分塊矩陣行列式計算求值的若干方法。關鍵詞:分塊矩陣；準三角形分塊矩陣；可逆矩陣；行列式；計算；單位矩陣11Several Measures Of Block Matrix In ComputingDeterminantZhouxu(Hunan Normal University Mathematics and Applied Mathematics Grade 2004)Abstract： Matri

3、x is the important object which in the linear algebra studies, isDB with using blockalso a importa nt tool in the digital computati on . The matrix operatio n with in tegrity and simplicity of the characteristics. We should pay atte nti on to some special rules of the matrix operati on fully.In orde

4、r to study the issue of the n eed, we carries on the piecemeal suitably to the matrix,regard a big matrix as some small ones,which integrate it, This will enable the matrix structure more clearly,with the characteristics of expressi on and comput ing easier.The thought of dividi ng matrix into block

5、s is very important in proving and applying the linear algebra.Use the thought of dividing matrix to blocks can help us to solve problems more pithily and thi nk methods more widely.This thesis uses the blocking matrix method into the calculation of determinant,tries to solve the linear equations .

6、Severa1 more general results are proved through the way aided by the result of the determ inants for quasi-tria ngle piece matrices , which does not cha nge the n ature of the determ inn, For example, this article discussed the methods of computing matrix. That is:(1)A and B are invertible matrixes;

7、(2)A=B and C=D;(3)AC=CA or BC=CB;(4)matrix H is divided in to two particular matrix , And some other ways to explore block matrix determ inant for Calculati ng its valueKey words： block matrix; quasitriangle piece matrices inverse matrices determ inants computati on； unit matrix1 引言1.1 矩陣分塊的意義在理論研究及

8、一些實際問題中， 經常遇到階數(shù)很高或結構特殊的 矩陣。對于這些矩陣，在運算時常常采用分塊法，使大矩陣的運算化 成小矩陣的運算。我們將矩陣A用若干條縱線和橫線分成許多個小矩 陣，每一個小矩陣稱為A的子塊，以子塊為元素的形式上的矩陣稱為 分塊矩陣。矩陣的分塊是處理矩陣問題的一種重要方法， 把一個高階矩陣分 成若干個低階矩陣， 在運算中把低階矩陣當做數(shù)一樣處理， 這樣高階 矩陣就化為低階矩陣， 常能使我們迅速接近問題的本質， 從而達到解 決問題的目的。 分快矩陣在求行列式的值中起著重要的作用。 對矩陣 進行分塊是處理高階矩陣或具有特殊結構的矩陣時常用的方法。同 樣，對高階行列式或具有特殊結構的矩陣進

9、行分塊也往往是計算行列 式和證明行列式等式的有效手段。 分塊矩陣可以使矩陣的表示簡單明 了，使矩陣的運算得以簡化。 而且還可以利用分塊矩陣解決某些行列 式的計算問題。而事實上， 利用分塊矩陣方法計算行列式，時常會使 行列式的計算變得簡單， 并能收到意想不到的效果。 在查閱了大量資 料后，通過參考了文獻 2 ， 3 ， 4 ， 5 的定理后，我感覺所給出 的定理還不能很廣泛的應用到更多的問題當中去，于是我便提出想 法，看能不能在這些定理的基礎之上， 將其推廣或者將其進行變型在 遇到類似的問題時能更快更簡潔的給出解答。 另外我還給出了一些其本文由此在幾個他的定理， 能更好的利用矩陣分塊計算行列式的

10、值 參考文獻的基礎之上將其幾個定理進行推廣或變型， 將幾中方法進行 歸納，并本文推出一些適用于其他特殊行列式的定理， 給出利用分塊 矩陣計算行列式的若干方法。本文介紹了將矩陣進行分塊的意義，將文章主要分成了三個部 分，第二部分給出了與分塊矩陣相關的一些東西及引理， 第二部分在 引理的基礎上并利用本文所引用的幾篇文獻給出的幾個定理， 再從這 幾個定理基礎上， 我對它進行推導得出了幾個結論， 并且還給出怎么 樣將這些定理應用在實際問題中的方法， 這也是本文的重點， 主要就 是要將矩陣分塊這種方法運用到計算行列式當中來。 在第二部分中本 文研究的矩陣分塊中的子塊的要求是方陣， 而在第三部分本文便將這

11、 個要求放的更寬，將矩陣分塊后所得的子塊放大為n矩陣，為了體 現(xiàn)本文的定理能靈活運用的特點， 本文還給出了幾道例題分別運用了 本文所給的不同定理來解題的方法。1.2 矩陣的引理及符號、性質1.2.1 矩陣的一些符號A表示矩陣，丨A|表示矩陣A的行列式，A表示矩陣A的逆，AT表 示矩陣A的轉臵，A表示n階方陣。1.2.2 關于矩陣的引理-An0 01-A11A-小2A1SA=A21-Am22aa0-或A=0A*a22aaA2S-AS1AAS2Ass -00 ASS -引理1設A是準三角形分塊矩陣，即ni階方陣，則AA2Ass/Aii其中A(i=1,2,s)是引理2設A,B都是n階方陣，則丨AB|

12、 = | A/BA1。1.2.3矩陣的分塊和分塊矩陣的定義設A是數(shù)域K上的Q I矩陣，E是廠矩陣，將A的行分割r段，每段分別包含'個行，又將A的列分割為s段，每段包含占二個列。于是A可用小塊矩陣表示如下: 其中二為吟汽矩陣。對B做類似的分割，只是要求它的行的分割法和A的列的分割法一樣。于是B可以表示為1的矩陣。這種分割法稱為矩陣的分塊。1.2.4分塊矩陣的性質性質12設矩陣A是由如下分塊矩陣組成A= B1GA2B2C2A3B3C3其中A,A2,Aa,Bl,B2,B3,G,C2,C3都是sxt矩陣，又M是任一S階方陣。對于矩陣-AiA2A31D=B<| + MCB2 + MCB3

13、+ MCICiC2C 3則A=D_Es00 IAiA2A3】-AiA2A3證明：由0Es0BiB2B3=Bi + MCB2 + MCB3 + MC00Es 一iCiC 2C3 -1CiC2C3-其中Es是S階單位矩陣，對上式兩邊同時取行列式得:性質23設方陣A是由如下分塊矩陣組成_AiA= BiCiA2B2C2A31B3C3其中A,A,A3,Bi,B2,B3,G,C2,C3都是SX t矩陣，又M是任一 s階方陣。對于矩陣A1A2A3B=MBimb2mb3則B =MACiC2C3 -證明：設Es為S階單位矩陣，則A3Es00 1B3=0M0 AC3 -100Es 一Es00AiA2B= 0M0B

14、1B2'.00Es 一GC2Es00于是丨B I = 0 M 0 I A00 EsEs M Es A性質3設方陣A和at寫成如下形式AiA2A3【A= BiB2B3C3at_Bi=AiPiB2A2C2BslA3C3 -其中AAAE'Bz'BsQGG都是sxt矩陣。Atr |A|,當s為偶數(shù)時-|A，當s為奇數(shù)時;當s為奇數(shù)時,at證明：A可由at中的Bi, B2, B3與A, A2, A3相應的兩行對換而得at到，而對換行列式的兩行，行列式反號，故當s為偶數(shù)時,2、將分塊矩陣分成方陣元素計算行列式2.1分塊矩陣行列式計算的幾種情況2.1.1分塊矩陣的元素可逆定理2.1設

15、A B分別為m與n階方陣，貝"（1）當A可逆時,/b-caD ；(2.1.1)當B可逆時，有A-DEj1C/ E0A Di'AD=CA° E 一：CB 一o B-CA，D_證：（1）根據(jù)分塊矩陣的乘法，有(2.1.2)由引理知，兩邊取行列式即得(2.1.1)。（2）根據(jù)分塊矩陣的乘法，有E oDBA D= _A DB 叱 E C B CB兩邊取行列式即得（2-）注意：利用定理1解題時，要注意條件：矩陣A或B可逆。推論2.1設A,B,C,D分別是m,n,n x m和mx n矩陣。證明（1）Em D = | B-CD| ;（2.1.3 ）C BA d（2）= | A-D

16、C| ;（2.1.4 ）C En證明：只需要在定理2.1的（1.1 ）中令A二即得（1.3 ）;在 （1.2 ）中令 B=En,即得（1.4 ）。推論2.2 C,D分別是nx m和mX n矩陣。證明 Em D = | 呂-cd | = | Em-DC | . （2.1.5）C En證明：在推論2.1的（2.1.3 ）中，令B二E,在（2.1.4 ）中，令A=En, 即得（2.1.5 ）例2.1計算下面2n階行列式Hnc解：令（a 工 0）_a1+-a _,B=-C='ccl -,D=一 :ddlb為n階方陣。由于0,故A為可逆方陣。b -ca Jd又易知B-CA-1D二從而由定理1中(

17、1.1=an(b-ca -1d)n=(ab-cd)例2.2b - ca+ .b _ cad)得 | Hn | = A D = | A | | B-CA1 DC Bn。a。11 -11a10 -0(1) 10a2 ' 0100 -an100 -0010 -0001 -0000 -1b1b2b3 'bn解：（1)設Q=ADCBC=(1,1,1) t,d=(1,(a 半 0,i=1,2,n )a1a2a3c_a11,其中 A=(ao),B=$ r ,-an 一1,1).因為ai半0, i=1 , 2,n,所以B是1n d可逆矩陣。又易知A-DBC=（a°-v丄）從而由定理2

18、.1中的（2.1.2 ）得 ai1A-DB C n 1二 a© an (a o-)i=± ai設Q=EnD，其中 B=(c)，C=(b1，b2,bn)D=(a1'a2,，an)T n由于CD=(b,b2,bn)(a 1,a2,an) =X ab,從而由推論 2.1 知,ilEDnQ=En D= I B-CD| 二C-E abC Bi_d2.1.2分塊矩陣有元素相等的情況定理22設A, B是n階方陣，則A B =A+BA-B5。B A證：A B|=A + B B + A=|A + b 0 =| A+B| A-B B A BA | | B A-B例2.3計算行列式0D=

19、xyzx y0 zz 0y xzyx0解 這道題看似簡單，但如果方法選擇不佳，做起來并不輕松這里設A= °0，B=; y'由定理知D=A+B A-Bx- zy x -z2 2 2 2=y -(x+z) y -(x-z)=(x+y+z)(-x+y-z)(x+y-z)(-x+y+z)例2.4計算2n階行列式0 0a0 0b0b0b000 0b0b0b00a000a00 0a_a0001f000 bl0a00000 0解:令A=00a-0,B=- -，0b0 0000a1 Ib00 0 一則D =AA+BA-BBAa0 0ba00-b0a b00a-b0- -=(a+b)n(a-b

20、) n=0b a00-ba0b0 0a-b00a(a2-b2)n對于上面的定理2.2 ,我們可以把它給拓寬一下，卜面我把它放大成下面定理2.3的樣式，來繼續(xù)推導，將一個行列式分成 32=9塊則會得到定理2.3的結果。2.1.3定理2.2的推廣定理2.3設A, B是n階方陣，則ABB2B A B = I A+2B| I A-B | 。A+2B B B A設想下，假如碰到高階的行列式,為了能使這個高階行列式更容ABBA+2BA + 2BA + 2BA + 2B00BAB=BAB=BA-B0BBABBAB0A B證:A-B2易通過分塊矩陣來計算，我想把它分成n2塊進行處理，使得計算更為簡便。由此我推

21、導將一個行列式分成n2的情況，得到下面的推論3。/推論2.3設A, B是n階方陣，則A+ (n-1 ) BA-Bn-1。證:AB*B AaaBBaBB5A+( n 1)BBA + (n 1)B AaaA + ( n 1)BBaA + ( n 1)BBaBB ABBBABBB BABBBAA (n -1)BBA+ (n-1)/A-Bn-1。2.1.4分塊矩陣的元素可交換定理2.4設A, B, C, D都是n階方陣，則(1) 當 AC=CJA, A B= | AD-CBl ;C DA B(2) 當 AB二B時，=| DA-CB| ;C DA B證：若 I A： 0,則A可逆'于是根據(jù)定理1

22、有 c dA D-CA1 B(1)當 AC=CM,A BC D-1=A (D-CA B)=ad-acAbad-caAb=AD-CB| ;ii(2) 當 AB二B時，A B = |(D-CAB) A| = | DA-CABAl =C D| DA-CAaB l = l DA-CB|若 A =0,令A1 (丸尸A+E，其中人是使 A1(&)= A+E 半0的參數(shù)。(1)當AC=CJA，有氏' C二CA.，于是由已有結果得Ag B：CD=A(h)D-CB | ,比較上式兩端丸的多項式中常數(shù)項的系數(shù)便得:D = I AD®(2)當AB=BAJ，類似可以證明在定理2.4當中假如碰

23、到D=0的情況，有以下的結果2.1.5定理2.4的另一種情況定理2.5設A, B, C均為n階方陣，則AB2=(-1) nCBC0證：把拉普拉斯定理用于上式的后n行，在它的所有n階子式中，除C |夕卜，其余至少包含一列零向量，從而值為零。而| C |的余子式為| B |，且C位于整個矩陣的第n+1,n+2,n+n行,第 1, 2,，n列。因此 A B= | C |(-1 ) S | B | ;C 0其中 S= (n+1) +(n+2)+(n+n)+ (1+2+n) =n2+2(1+2+n)=n2+偶數(shù)即有A B2=(-1)nCB。C 0b 00aa15a16a51b000 a26a61 a62

24、 b0 0a例2.5計算解：運用定理5,則有a11a12a13aa15a16a21a22a230a a26a31a32a3300ab00000a51b0000a61a62b000A B-ana12a13P=而A=a21a221a23C 0a31a32a33_aB= 0C=a51b0，所以P貝1 a62 b _0100ai6a26aai500_b/3 3=-a b例2.6計算例1所給的2n階行列式。解：設A, C如例1,則H2nD而AC=CA由定理4知:39ab cdabcd=(ab-cd)A DH2n I = A D = | AB-CDI =C Babcd在定理2.1的基礎上，我試著能不能將B

25、, C, D范圍縮小，能夠更簡便的算出縮小范圍的這些行列式，因此我將D, C變成一列和一行向量,將B變成一個常數(shù)，發(fā)現(xiàn)能得到下面的一個定理，使得能符合這類要 求的行列式計算會更加簡便。3、將分塊矩陣分成非方陣元素計算行列式3.1分塊矩陣行列式計算的其它結果3.1.1分塊矩陣元素中有行、列向量定理3.1設AMn階方陣，口嚴是n維列向量，a是常數(shù)，則P a a | A| -薩af ,其中a*是A勺伴隨矩陣。A r/證：當 |A| 工 0時，2+(-0ta)£ = | A | (a-ETA"1© ) =aP aA | - Bt|a A七=a | A | - BTA*a。

26、當 | A| =0,令A (九)二A+E,其中 k是使 | A (k)| = | A+hE工0的參數(shù)，用與定理2.4相同的方法可以證明本定理結論。3.1.2將矩陣分成兩個特殊矩陣的和定理3.2設A是n階方陣，；是n維列向量，那么A+aBT=A+oPTac, C1 +C2（-p ）A a-PT 10 1A +Bta*g,由定理3.1取a=1,證:,其中A是A的伴隨矩陣。則有+'ta ,+ “A*：。在定理7的基礎上，我試著想能不能將它變下型，能不能更容易想起它的真面目，當碰到這類題目時我們能不能更快的解答出來，腦袋能自然想起其解答方式，于是我將它變成下面的推論。推論3.3設A為n階可逆方

27、陣，°, B均為n維列向量。則丨A+BaTA I （ 1+La卄）-Pl:A 0=嚴0!o1 _1 "T 1 一證：因為-EA 0=AP 【甘人二 1 丄 oT 1 _| o 1 +aTAJLP（331 ）（332 ）E _ B e o將（3.3.1 ） , （3.3.2 ）兩邊各取行列式，并由于 一二T0=101aTA1-a p n故由（3.3.1 ）和（3.3.2 ）得 | T 1= I A+BL | = I A I （ 1+gta卄）IL- 1即 | A+PaT | = | A |（1+aTA邛）注意：在利用這個推論計算n階行列式時，需要根據(jù)具體情況,把原行列式的元素

28、組成的矩陣分成兩項， 其中一項是n階可逆矩陣A,該矩陣一般選為對角矩陣，則其行列式和逆矩陣比較容易求出；另 一項是n維列向量:組成的乘積： T。例3.1計算下列n階行列式:023 n103 n（1） D=120 na9'a亍”123 0-1解：（1）令 A= 2-n（2）a1 +ba1a1a2a2 +ba2a3a3as+ba*anan an9a1a2a3an +b，a =12 J：P =1 1 1】11則有BaT =丨：1 21 2 nn】=1： 2 ； n，顯然有D=| A+州T1 2 n_再由于 |A| = (-1 ) n!,且 a taB = 1 2nl1從而由推論3.3得D=

29、A+BL(1+ ta“ ) = (-1 )n n!(1-n )。b令A=:-=la1a2anlT,|.：=1 1 1 Ta2an =_a1a1a2a2n，且 D=| A+Paa2an再由于| A | =bn,且ta” = aa2anb"n=bZ ai .從而由推論3.3得：D=| A+BL | = | A| (1+宀人卄)i生nn=bn(1 b4" aj二bn(b 、aj.i =1i =1定理3.4設A是n階方陣，是n維列向量，a,b是兩個常數(shù)，若A a口 T=0,則A a口 T.=(b-a)AP ap bA a證：由定理3.1廿 =a | AP aAPT A*a=0,即

30、0T A*a= a | A |，故護b I A | - BAot =b | A | -a | A | =(b-a) | A |。00b1b21 00 10a10a2的值。1anbn0例3.2求解解 i己 A=E , :- =(ai ,a2 ,an)T, - =(bi ,b 2 ,bn)T,則原題變?yōu)榍驛T0的值'由定理3.1，并注意到此處畑a=o,便得原式=0 Ei- BT Ena =-(a ibi+a2bz+anbn)。通過對上面的一些定理及例題的認識，大家會看到其余的幾個定理都是建立在定理1的基礎之上，并且發(fā)現(xiàn)由其他的定理所做出的例題，只是更簡便的簡化了一些特殊的分塊矩陣的算法，得

31、到適合 不同分塊矩陣行列式計算的若干種方法，下面本文還總結了分塊矩 陣行列式在運用其他方法計算時也能運用本文所給的定理 1計算出來并不改變其值的一些例子，這就使得分塊矩陣在應用到行列式計算時應用的范圍可以更廣。3.2分塊矩陣應用于行列式計算的例題例3.3對于例3.2運用定理2.1來求。1 0 0解：令 A=010 , D= (a1 ,a 2,an) T,C=(b 1 ,b 2 -bn),B=(0) anaasBanbsbz'*0 0 0 1其中A為n階單位矩陣，A可逆，由定理2.1中的(2.1.1 )得10 0a101 0a200 1anb1b2bn0A/DBB-CA1 D0-CD二a

32、。11 11a10 0P10a20100 an,其中 ai 工 0,(i=1,2,(ab+a2b2+anbn)例3.4計算,n)解:令 A= (ao) ,B=(1 11),C=(11) T,D二a2ana-iJ-1a2,所以,D|二aa2an（工0）,即D可逆，且D1二-a1可-40)-(1仁 1)a21I-1_an 一JanA-BD C =aa2ann二aa2.an（a o-.二：a）。i d通過上面的例題我們可以看出，在使用定理1計算n階行列式時, 關鍵是構造可逆的方陣A或B,接下來我們分別用定理1和定理6運用 到下面的一道例題中，我們已知了一個行列式，然后通過運用分塊 矩陣的知識我們可以

33、把這個行列式更廣泛的推到與之有聯(lián)系的特殊的行列式當中ana12a1n例3.5設D=a21a22 a2nan1an2anna1 + Xa12 +X2-a1n+ Xna21 +xa22 + X2-a2n+ Xn0an1 +X1an2 +X2-a nn半0,計算丨P解:(1)運用定理2.1令 A= (1),B= XiX2Xn , C=D=ana12a1nana12a1na21a22a2n，則D=a21a22a2nan1an2annan1an2a nn工0,即匚可逆，且D1二1 *dd，(其中D表示D的伴隨矩陣)A為丨D|中元素ay在丨DA11中的代數(shù)余子式，則D= A12A21An1Aa22An2A

34、2nAnnO即 d1=Dd1A-BD C(1)XiX2-A11 A21An111 ,IA12 A22An21冋十冋(X1 X2Xn )m-Am A2n Ann -nn+送 XjE Aj。j =1i =1特別地，當Xj=x(j=1,2,n)時,n n+x 二二 Aj。j T i T(2)運用定理3.2記n維列向量：1 1)T, 0 =(X1X2Xn TP=l DWT |，由定理6, P=| D| +BTDl , D是D勺伴隨矩陣，從而nn可以得到l P l = l D I +瓦XjZ Aj。j y在前面我們已經看到，大部分定理是圍繞將矩陣四分塊，并且所分 的矩陣有些要求是方陣，然后進行運算，現(xiàn)在

35、我想能不能將一個矩 陣化分為不要求是方陣的矩陣的乘積之和或差， 文獻2中的定理即 定理1及其證明給了我很大的啟發(fā)。因此得到以下的結論：即定理3.5。3.3將分塊矩陣的元素劃分為m n矩陣Em-AB定理3.5設A, B分別是mK n和nxm矩陣(m>n).工0.則證：因為PEm_ABA 1Em0l =護EmA 1:0扎En 一JbEn陽九En_PEm0lmAl= ?Em扎A:B?-En_ BA0En 一:Bm _n丸 Em BA 。(3.5.1 )(3.5.2 )Em AEm A人Em - ABg m =尢m密丸En _ BA =、匸mB入EnB入En對(3.5.1 ) ,( 3.5.2

36、)兩邊分別取行列式得n"En - BA，亦即'Em-ABm-nm所以需hEmAB二'Em - BAx -3例3.6求多項式f(x)=一 a3-a3a2-a2a3c2X - 2 - a3一 a2an-a3an的根。-an一 a*a2-a*a3解:f(x)二x -2x 21 r1a22a?a 2ana2 an(x-2)En -x _ 2 _.an an a22ana2a2an l=(x-2) n(x-2)-a2_an參考文獻：1 北京大學高等代數(shù)第二版 M. 北京：高等教育出版社， 1988.2 L. Mirsky, An introduction to linear a

37、lgebra, Clarendon Press 1955.3 C. C. MacDu_ee, The theory of matrices, Chelsea 1956.4 楊子胥.高等代數(shù)習題解（修訂版） M. 濟南：山東科學技術出版 社， 2002.5 林瑾瑜. 分塊矩陣的若干性質及其在行列式計算中的應用 J. 廣 東廣播電視大學學報 2006 （2） 110-1126 王蓮花 . 分塊矩陣在行列式計算中的應用 J. 河南教育學院學報 2005-3（1）12-137 劉國良. 分塊矩陣行列式的一些結果 J. 石家莊職業(yè)技術學院學 報2003-8（4）55-56致謝岳麓山依舊，湘江水長流！轉眼

38、間，我已在麓山腳下的湖南師范大 學度過了四個年頭。感謝湖南師范大學！對于您，我們有過驕傲與自豪，有過苛責與失 望，有過頹廢和奮進，有過汗液和熱血四年前，不同的原因進來， 四年之后的今天，我們站在岔口再次選擇，或工作、或出國、或讀 研就要各奔前程， 每個人收獲的果實不一樣， 但母校潛移默化的 影響，對母校深深的眷戀， 卻將同樣長久地伴隨我們。四年歸化于湖 南師大，此生難改其印記。感謝我的指導老師何楚寧教授，她嚴謹細 致、一絲不茍的作風一直是我工作、學習中的榜樣；她循循善誘的教 導和不拘一格的思路給予我無盡的啟迪。感謝湖南師范大學四年來的培養(yǎng) , 感謝何楚寧教授對本論文從選 題、構思、資料收集到最

39、后定稿的各個環(huán)節(jié)給予細心的指引和教導 , 使我對于分塊矩陣行列式有了深刻的認識 , 并最終得以完成畢業(yè)論文 對此,我打心眼里表示我最衷心的感謝 . 何老師嚴謹?shù)闹螌W態(tài)度、 豐富 淵博的知識、敏銳的學術思維、精益求精的工作態(tài)度、積極進取的科 研精神以及誨人不倦的師者風范是我畢生的學習楷模 . 同時感謝黃志 鵬同學在我寫論文過程中給予的 幫助. 老師們的高深精湛的造詣與 嚴謹求實的治學精神將永遠激勵著我。 在四年的 大學生 涯里，還得到 眾多老師的關心支持和 幫助，在此，謹向老師們致以衷心的感謝和崇 高的敬意 !。感謝父母對我二十多年來辛勤的養(yǎng)育 , 并讓我獲取了一定的知識并最終走向社會 , 為社

40、會貢獻自己 !評議和參加本人最后，我要向在百忙之中抽時間對本文進行審閱、論文答辯的各位老師表示感謝！附錄分塊矩陣行列式約翰r.西爾維斯特1引言讓我們先考慮2空階矩陣；和N=_g h.他們的和與乘積為M+ N= a e llc gb f 工“ ae bh af bh d + h _ce + dg cf + dh _其中的字母a,b,c,d,e,g,h,來自數(shù)域，例如實數(shù)域，或者更普遍的來自于環(huán)，可 交換或不可交換。的確，假如F是一個數(shù)域，然后集合R在R=nFn的所有n溝階矩 陣形成環(huán)(假如n且非可交換)，因為它的元素可以相加，相減，相乘和所有 的環(huán)公理(associativity、distrib

41、utivity等等。)假如a; b 是來自環(huán)R，然后M;N可認為無論是來自2R2 (在R上的2X2階矩陣)或是來自2nF2n，這是大家所共 知的，我們留下給讀者調查。我們是否把這些矩陣作為2nX2n階矩陣或作為2X2“分塊”矩陣來計算(那些塊a; b; 是nXn階矩陣，i.e 是R中的元素)不產生變 化就矩陣的加法，減法和相乘而言。在符號中，環(huán)2R2和2nF2n可被看作是相同的：2R2=2nF2n,或者2(nFn)2=2nF2n通常，我們可以把mrXmn階矩陣分成為nXn塊mXm階 矩陣即m(nFn)m=mnFmn.本文的要點是分塊矩陣的行列式。如果a; b; c; d是在環(huán)R中， 然后規(guī)定R

42、在可交換的條件下是M的一個行列式，因而我們將它寫為detR，因此 detRM=ad-bc。當然這是在R上，如果R是不可交換的，這些元素 ad-bc，ad-cb, da-bc,da-cb可能不相同。并且我們不知道他們中的哪些(若有)是detRM合適的選擇。這是正確的情況，如果 R= nFn，其中F是數(shù)域(或可交換環(huán))且n2, 為了避免困難，我們采取R是一些可交換的子集RnFn，而不是整個的矩陣環(huán)。行列式的一般理論在2R2上及更多的mRm上成立，對于M mRm，我們能很容易 求出其行列式的值，該值是R中的一個元素。但是RnFn，故M的行列式實際上是F上的一個矩陣。并且我們可以計算出detF(det

43、RM),那些將是F中的元素。另一方面，如R nFn，我們有M mRm m(nFn)m=mnFmn.所以我們能計算出detFM, 它同樣也是F中的元素。我們的主要結論是，這兩項計算，得到相同的結果：定理1 R是nFn中的可交換子集，其中F是數(shù)域(或是可交換的)并且使MmRm。則detFM= detF(detRM)(1)例如：假如M= f B 其中A, B, C, D是F上的nXn階矩陣，那些都具有相關性，:C D 一定理1說：detFM= detF(AD-BC)(2)定理1以后將被證明。首先，在第2部分中，我們應注意限制的情況m=2并給予一 些初步的（和熟悉的）結果。關于分塊對角和分塊三角矩陣，作為副的，分塊矩 陣的證明由行列式乘法決定。在第3部分中，相比定理1我們要證明的東西多一 點在條件m=2的情況下，關于定理1本身，對于一般情況下的m，將在第四部分 中給出證明。2、乘法性質A, B,C, D nF n，如果B=C=O是n n的零矩陣，使得M是一個對角