二次函數(shù)輔導(dǎo)

1、.第一部分 二次函數(shù)知識(shí)點(diǎn)一、二次函數(shù)的概念：、二次函數(shù)的概念：一般地，形如（是常數(shù)，）的函數(shù)，叫做二次函數(shù)。其中是二次項(xiàng)系數(shù)，是一次項(xiàng)系數(shù)，是常數(shù)項(xiàng) 強(qiáng)調(diào)：和一元二次方程類似，二次項(xiàng)系數(shù)，而可以為零自變量x的取值范圍是全體實(shí)數(shù)、二次函數(shù)解析式的三種表達(dá)形式：1. 一般式：（，為常數(shù)，）；2. 頂點(diǎn)式：（，為常數(shù)，）；3. 兩根式：（，是拋物線與軸兩交點(diǎn)的橫坐標(biāo)）.注意：任何二次函數(shù)的解析式都可以化成一般式或頂點(diǎn)式，但并非所有的二次函數(shù)都可以寫成交點(diǎn)式，只有拋物線與軸有交點(diǎn)，即時(shí)，拋物線的解析式才可以用交點(diǎn)式表示二次函數(shù)解析式的這三種形式可以互化.二、二次函數(shù)的基本形式1、的性質(zhì)： a 的絕對(duì)

2、值越大，拋物線的開口越小。的符號(hào)開口方向頂點(diǎn)坐標(biāo)對(duì)稱軸性質(zhì)向上軸時(shí)，隨的增大而增大；時(shí)，隨的增大而減??；時(shí)，有最小值向下軸時(shí)，隨的增大而減?。粫r(shí)，隨的增大而增大；時(shí)，有最大值2、的性質(zhì)： 上加下減。的符號(hào)開口方向頂點(diǎn)坐標(biāo)對(duì)稱軸性質(zhì)向上軸時(shí)，隨的增大而增大；時(shí)，隨的增大而減??；時(shí)，有最小值向下軸時(shí)，隨的增大而減??；時(shí)，隨的增大而增大；時(shí)，有最大值3、 的性質(zhì)： 左加右減。的符號(hào)開口方向頂點(diǎn)坐標(biāo)對(duì)稱軸性質(zhì)向上X=h時(shí)，隨的增大而增大；時(shí)，隨的增大而減??；時(shí)，有最小值向下X=h時(shí)，隨的增大而減?。粫r(shí)，隨的增大而增大；時(shí)，有最大值4、的性質(zhì)：的符號(hào)開口方向頂點(diǎn)坐標(biāo)對(duì)稱軸性質(zhì)向上X=h時(shí)，隨的增大而增大

3、；時(shí)，隨的增大而減小；時(shí)，有最小值向下X=h時(shí)，隨的增大而減??；時(shí)，隨的增大而增大；時(shí)，有最大值5、二次函數(shù)的性質(zhì) 對(duì)稱軸為，頂點(diǎn)坐標(biāo)為 1）、當(dāng)時(shí)，拋物線開口向上。當(dāng)時(shí)，隨的增大而減?。划?dāng)時(shí)，隨的增大而增大；當(dāng)時(shí)，有最小值 2）、當(dāng)時(shí)，拋物線開口向下。當(dāng)時(shí)，隨的增大而增大；當(dāng)時(shí)，隨的增大而減小；當(dāng)時(shí)，有最大值三、二次函數(shù)圖象的平移 類型一： 頂點(diǎn)式的平移步驟： 將拋物線解析式轉(zhuǎn)化成頂點(diǎn)式，確定其頂點(diǎn)坐標(biāo)； 保持拋物線的形狀不變，將其頂點(diǎn)平移到處，具體平移方法如下： 規(guī)律： 在原函數(shù)的基礎(chǔ)上“值正右移，負(fù)左移；值正上移，負(fù)下移”概括成“左加右減，上加下減” 類型二： 一般式的平移沿軸平移:向上

4、（下）平移個(gè)單位，變成（或）沿x軸平移：向左（右）平移個(gè)單位，變成（或）四、二次函數(shù)圖象的畫法五點(diǎn)繪圖法：利用配方法將二次函數(shù)化為頂點(diǎn)式，確定其開口方向、對(duì)稱軸及頂點(diǎn)坐標(biāo)，然后在對(duì)稱軸兩側(cè)，左右對(duì)稱地描點(diǎn)畫圖.一般我們選取的五點(diǎn)為：頂點(diǎn)、與軸的交點(diǎn)、以及關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱的點(diǎn)、與軸的交點(diǎn)，（若與軸沒有交點(diǎn)，則取兩組關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱的點(diǎn)）. 畫草圖時(shí)應(yīng)抓住以下幾點(diǎn)：開口方向，對(duì)稱軸，頂點(diǎn)，與軸的交點(diǎn)，與軸的交點(diǎn).五、二次函數(shù)圖象的對(duì)稱 二次函數(shù)圖象的對(duì)稱一般有三種情況，可以用一般式或頂點(diǎn)式表達(dá) 1、關(guān)于軸對(duì)稱 關(guān)于軸對(duì)稱后，得到的解析式是； 關(guān)于軸對(duì)稱后，得到的解析式是； 2、關(guān)于軸對(duì)稱 關(guān)于軸對(duì)稱后

5、，得到的解析式是； 關(guān)于軸對(duì)稱后，得到的解析式是； 3、關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱 關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱后，得到的解析式是； 關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱后，得到的解析式是； 六、二次函數(shù)中各項(xiàng)系數(shù)的作用1、系數(shù)的作用： 當(dāng)時(shí)，拋物線開口向上，的值越大，開口越小，反之的值越小，開口越大； 當(dāng)時(shí)，拋物線開口向下，的值越小，開口越小，反之的值越大，開口越大總結(jié)起來，決定了拋物線開口的大小和方向，的正負(fù)決定開口方向，的大小決定開口的大小2、系數(shù)和的作用： 簡單說成“左同右異”當(dāng)時(shí)，即，所以拋物線的對(duì)稱軸在軸的左側(cè)；當(dāng)時(shí)，即，所以拋物線的對(duì)稱軸就是軸；當(dāng)時(shí)，即，所以拋物線的對(duì)稱軸在軸的右側(cè) 3、常數(shù)項(xiàng)的作用 當(dāng)時(shí)，拋物線與軸的交點(diǎn)在軸上方

6、，即拋物線與軸交點(diǎn)的縱坐標(biāo)為正； 當(dāng)時(shí)，拋物線與軸的交點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，即拋物線與軸交點(diǎn)的縱坐標(biāo)為； 當(dāng)時(shí)，拋物線與軸的交點(diǎn)在軸下方，即拋物線與軸交點(diǎn)的縱坐標(biāo)為負(fù) 總結(jié)起來，決定了拋物線與軸交點(diǎn)的位置七、二次函數(shù)與一元二次方程：1、二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系：一元二次方程是二次函數(shù)當(dāng)函數(shù)值時(shí)的特殊情況.2、二次函數(shù)圖象與軸的交點(diǎn)個(gè)數(shù)： 當(dāng)時(shí)，圖象與軸交于兩點(diǎn)，其中的是一元二次方程的兩根 當(dāng)時(shí)，圖象與軸只有一個(gè)交點(diǎn)； 當(dāng)時(shí)，圖象與軸沒有交點(diǎn). 當(dāng)時(shí)，圖象落在軸的上方，無論為任何實(shí)數(shù)，都有； 當(dāng)時(shí)，圖象落在軸的下方，無論為任何實(shí)數(shù)，都有 3、 拋物線的圖象與軸一定相交，交點(diǎn)坐標(biāo)為，； 八、二次函數(shù)解

7、析式的確定根據(jù)已知條件確定二次函數(shù)解析式，通常利用待定系數(shù)法用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式必須根據(jù)題目的特點(diǎn)，選擇適當(dāng)?shù)男问?，才能使解題簡便一般來說，有如下幾種情況：1. 已知拋物線上三點(diǎn)的坐標(biāo)，一般選用一般式；2. 已知拋物線頂點(diǎn)或?qū)ΨQ軸或最大（?。┲?，一般選用頂點(diǎn)式；3. 已知拋物線與軸的兩個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，一般選用兩根式；4. 已知拋物線上縱坐標(biāo)相同的兩點(diǎn)，常選用頂點(diǎn)式九、二次函數(shù)常見題型的解法歸納1、求二次函數(shù)的圖象與軸的交點(diǎn)坐標(biāo)，需轉(zhuǎn)化為一元二次方程；2、將二次函數(shù)由一般式化為頂點(diǎn)式，需用配方法；3、利用平移規(guī)律解決圖象平移問題；4、求二次函數(shù)的最大值或最小值需要利用配方法將二次函數(shù)由

8、一般式轉(zhuǎn)化為頂點(diǎn)式，也可用公式直接求解；5、根據(jù)圖象的位置判斷二次函數(shù)中，的符號(hào)，或由二次函數(shù)中，的符號(hào)判斷圖象的位置，需構(gòu)造推理和數(shù)形結(jié)合；6、二次函數(shù)的圖象關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱，可利用這一性質(zhì)，求和已知一點(diǎn)對(duì)稱的點(diǎn)坐標(biāo)，或已知與軸的一個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)，可由對(duì)稱性求出另一個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)；7、利用數(shù)形結(jié)合的方法求解二次函數(shù)與一元二次方程、不等式之間的關(guān)系的題型；8、函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用1）市場(chǎng)營銷問題（何時(shí)獲得最大利潤？方案何時(shí)最佳？）；2）形積問題（二次函數(shù)與幾何的綜合-圖形面積何時(shí)最大？如何求圖形的面積？判定圖形形狀所要滿足的條件、在某直線上確定一點(diǎn)使它到該直線外另兩點(diǎn)的距離之和最小或距離之差最大等等）；3）投

9、籃型問題（籃球能否被投中？網(wǎng)球能否過網(wǎng)或出界？船能否過拱橋或車能否過隧洞等等？）。第二部分 訓(xùn)練題選編、考查二次函數(shù)的概念及二次項(xiàng)系數(shù)a的取值范圍1、已知以為自變量的二次函數(shù)的圖像經(jīng)過原點(diǎn)， 則的值是 。2、m取 時(shí)，函數(shù)是以x為自變量的二次函數(shù)。3、若關(guān)于x的函數(shù) 的圖象與坐標(biāo)軸有兩個(gè)交點(diǎn)，則a可取的值為 。、在同一直角坐標(biāo)系內(nèi)綜合考查一次函數(shù)、反比例、二次函數(shù)的圖像1、如圖，如果函數(shù)的圖像在第一、二、三象限內(nèi)，那么函數(shù)的圖像大致是（ ） y y y y 1 1 0 x o-1 x 0 x 0 -1 x2、函數(shù)與（a<0）在同一直角坐標(biāo)系中的大致圖象是（ ） 3、（泰安）在同一直角坐標(biāo)

10、系中，函數(shù)y=mx+m和y=mx2+2x+2（m是常數(shù)，且m0）的圖像可能是（ ）4、（1）二次函數(shù)的圖像如圖（1），則點(diǎn)在（ ） A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限（2）已知二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a0）的圖象如圖（2）所示，則下列結(jié)論：a、b同號(hào)；當(dāng)x=1和x=3時(shí)，函數(shù)值相等；4a+b=0；當(dāng)y=-2時(shí)，x的值只能取0.其中正確的個(gè)數(shù)是（ ）A1個(gè) B2個(gè) C3個(gè) D4個(gè) 圖(1) 圖(2) 圖（3）5、已知二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象如圖（3），且OA=OC，則由拋物線的特征寫出如下含有a、b、c三個(gè)字母的等式或不等式： =-1；ac+b+1=0；abc>

11、0；a-b+c>0. 其中正確的序號(hào)是 。6、已知二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象與x軸交于點(diǎn)(-2，O)、(m，0)，且1< m <2，與y軸的正半軸的交點(diǎn)在點(diǎn)(O，2)的下方下列結(jié)論：a<b<0；2a+c>O；4a+c<O；2a-b+1>O，其中正確的序號(hào)是 。、利用平移規(guī)律解決圖象平移問題1、把拋物線向左平移2個(gè)單位得拋物線 ，接著再向下平移3個(gè)單位，得拋物線 .2、拋物線向左平移1個(gè)單位，向下平移兩個(gè)單位后的解析式為（ ） A. B. C. D.3、拋物線y=2x24x5經(jīng)過平移得到y(tǒng)=2x2，平移方法是（ ） A向左平移1個(gè)單位，再向

12、下平移3個(gè)單位 B向左平移1個(gè)單位，再向上平移3個(gè)單位 C向右平移1個(gè)單位，再向下平移3個(gè)單位 D向右平移1個(gè)單位，再向上平移3個(gè)單位、考查用配方法求拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)、對(duì)稱軸、最值及函數(shù)的增減性1、函數(shù)圖象的對(duì)稱軸是 ，最大值是 .2、如果二次函數(shù)的最小值是1，那么m的值是 .3、拋物線對(duì)稱軸是 ，頂點(diǎn)坐標(biāo)是 .如果y隨x的增大而減小，那么x 。4、若拋物線的對(duì)稱軸是則（ ） A.2 B. C.4 D.5、二次函數(shù)y=(x+1)(x-3)，則圖象的對(duì)稱軸是（ ） A.x=1 B.x=-2 C.x=3 D.x=-36、已知關(guān)于x的二次函數(shù)y=x2mx+與y=x2mx，這兩個(gè)二次函數(shù)的圖像中的一條

13、與x軸交于A，B兩個(gè)不同的點(diǎn)（1）試判斷哪個(gè)二次函數(shù)的圖像經(jīng)過A，B兩點(diǎn)； （2）若A點(diǎn)坐標(biāo)為（1，0），試求B點(diǎn)坐標(biāo)；（3）在（2）的條件下，對(duì)于經(jīng)過A，B兩點(diǎn)的二次函數(shù)，當(dāng)x取何值時(shí)，y的值隨x值的增大而減小？、二次函數(shù)與方程、不等式的綜合題1、不論x為值何，函數(shù)（a0）的值永遠(yuǎn)小于0的條件是（ ） A.a>0，>0 B.a>0,<0 Ca<0,>0 D.a<0,<02、在拋物線上的點(diǎn)是（ ） A.（0，-1） B. C.（-1，5） D.（3，4）3、直線與拋物線的交點(diǎn)個(gè)數(shù)是（ ） A.0個(gè) B.1個(gè) C.2個(gè) D.互相重合的兩個(gè)4、二次函

14、數(shù)y=x22x3與x軸兩交點(diǎn)之間的距離為_5、右圖是二次函數(shù)y1=ax2+bx+c和一次函數(shù)y2=mx+n的圖像，觀察圖像寫出y2y1時(shí)，x的取值范圍_6、若二次函數(shù)y=x24x+c的圖像與x軸沒有交點(diǎn)，其中c為整數(shù)，則c= （只要求寫出一個(gè)）、考查用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式（并綜合考查二次函數(shù)與幾何的綜合題）1、已知拋物線y=a2+bx+c經(jīng)過點(diǎn)A（2，7），B（6，7），C（3，8），則該拋物線上縱坐標(biāo)為8的另一點(diǎn)的坐標(biāo)是_2、已知二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖像過點(diǎn)A（1，2），B（3，2），C（5，7）若點(diǎn)D（2，y1），E（1，y2），F(xiàn)（8，y3）也在二次函數(shù)y=ax2+bx

15、+c的圖像上，則下列結(jié)論中正確的是（ ） Ay1<y2<y3 By2<y1<y3 Cy3<y1<y2 Dy1<y3<y23、已知拋物線（a0）與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)是1、3，與y軸交點(diǎn)的縱坐標(biāo)是，求：（1）確定拋物線的解析式； （2）用配方法確定拋物線的開口方向、對(duì)稱軸和頂點(diǎn)坐標(biāo).4、已知拋物線與直線y=k(x-4)都經(jīng)過坐標(biāo)軸的正半軸上A，B兩點(diǎn)，該拋物線的對(duì)稱軸x=-1與x軸相交于點(diǎn)C，且ABC=90°，求：（1）直線AB的解析式； （2）拋物線的解析式. 5、已知一個(gè)二次函數(shù)的圖像過如圖所示三點(diǎn)（1）求拋物線的對(duì)稱軸； （2）平

16、行于x軸的直線L的解析式為y=，拋物線與x軸交于A，B兩點(diǎn)在拋物線的對(duì)稱軸上找點(diǎn)P，使BP的長等于直線L與x軸間的距離求點(diǎn)P的坐標(biāo)6、如圖，拋物線與y軸交于A點(diǎn)，與x軸正半軸交于B，C兩點(diǎn)，且BC=3，SABC=6，求拋物線的解析式。 8、如圖576所示，二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a0）的圖像與x軸交于A，B兩點(diǎn)，其中A點(diǎn)坐標(biāo)為（1，0），點(diǎn)C（0，5），D（1，8）在拋物線上，M為拋物線的頂點(diǎn)（1）求拋物線的解析式； （2）求MCB的面積9、（重慶）如圖所示，m，n是方程x26x+5=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，且m<n，拋物線y=x2+bx+c的圖像經(jīng)過點(diǎn)A（m，0），B（0，n）（1）求這

17、個(gè)拋物線的解析式； （2）設(shè)（1）中拋物線與x軸的另一交點(diǎn)為C，拋物線的頂點(diǎn)為D，試求出點(diǎn)C，D的坐標(biāo)和BCD的面積； （3）P是線段OC上的一點(diǎn)，過點(diǎn)P作PHx軸，與拋物線交于點(diǎn)H，若直線BC把PCH分成面積之比為2：3的兩部分，請(qǐng)求出點(diǎn)P的坐標(biāo)10、如圖所示，已知拋物線y=ax2+4ax+t（a>0）交x軸A，B兩點(diǎn)，交y軸于點(diǎn)C，拋物線的對(duì)稱軸交x軸于點(diǎn)E，點(diǎn)B的坐標(biāo)為（1，0）（1）求拋物線的對(duì)稱軸及點(diǎn)A的坐標(biāo)；（2）過點(diǎn)C作x軸的平行線交拋物線的對(duì)稱軸于點(diǎn)P，你能判斷四邊形ABCP是什么四邊形？并證明你的結(jié)論；（3）連接CA與拋物線的對(duì)稱軸交于點(diǎn)D，當(dāng)APD=ACP時(shí)，求拋物線

18、的解析式、二次函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用1、 某產(chǎn)品每件成本10元，試銷階段每件產(chǎn)品的銷售價(jià)x（元）與產(chǎn)品的日銷售量y（件）之間的關(guān)系如下表：x（元）152030y（件）252010若日銷售量y是銷售價(jià)x的一次函數(shù)（1）求出日銷售量y（件）與銷售價(jià)x（元）的函數(shù)關(guān)系式；（2）要使每日的銷售利潤最大，每件產(chǎn)品的銷售價(jià)應(yīng)定為多少元？此時(shí)每日銷售利潤是多少元？2、某個(gè)商場(chǎng)以每件42元的價(jià)錢購進(jìn)一種服裝，根據(jù)試銷得知：這種服裝每天的銷售量t（件），與每件的銷售價(jià)x（元/件）可看成是一次函數(shù)關(guān)系：t= -3x + 204.（1）寫出商場(chǎng)賣這種服裝每天的銷售利潤y與每件的銷售價(jià)x之間的函數(shù)關(guān)系式（每天的銷售利潤是指所賣出服裝的銷售價(jià)與購進(jìn)價(jià)的差）； （2）通過對(duì)所得函數(shù)關(guān)系式進(jìn)行配方，指出：商場(chǎng)要想每天獲得最大的銷售利潤，每件的銷售價(jià)定為多少最為合適；最大銷售利潤為多少？ 3、恩施州綠色、富硒產(chǎn)品和特色農(nóng)產(chǎn)品在國際市場(chǎng)上頗具競(jìng)爭(zhēng)力，其中香菇遠(yuǎn)銷日本和韓國等地上市時(shí)，外商李經(jīng)理按市場(chǎng)價(jià)格10元/千克在我州收購了2000千克香菇存放入冷庫中據(jù)預(yù)測(cè)，香菇的市場(chǎng)價(jià)格每天每千克將上漲0.5元，但冷