分段函數(shù)的幾種常見題型及解法

1、.分段函數(shù)的幾種常見題型及解法分段函數(shù)是指自變量在兩個(gè)或兩個(gè)以上不同的范圍內(nèi), 有不同的對(duì)應(yīng)法則的函數(shù), 它是一個(gè)函數(shù), 卻又常常被學(xué)生誤認(rèn)為是幾個(gè)函數(shù); 它的定義域是各段函數(shù)定義域的并集, 其值域也是各段函數(shù)值域的并集. 由于它在理解和掌握函數(shù)的定義、函數(shù)的性質(zhì)等知識(shí)的程度的考察上有較好的作用, 時(shí)常在高考試題中“閃亮”登場, 筆者就幾種具體的題型做了一些思考, 解析如下：1求分段函數(shù)的定義域和值域例1求函數(shù)的定義域、值域. 【解析】作圖, 利用“數(shù)形結(jié)合”易知的定義域?yàn)? 值域?yàn)? 2求分段函數(shù)的函數(shù)值例2（05年浙江理）已知函數(shù)求. 【解析】因?yàn)? 所以. 3求分段函數(shù)的最值例3求函數(shù)的

2、最大值. 【解析】當(dāng)時(shí), , 當(dāng)時(shí), , 當(dāng)時(shí), , 綜上有. 4求分段函數(shù)的解析式例4在同一平面直角坐標(biāo)系中, 函數(shù)和的圖象關(guān)于直線對(duì)稱, 現(xiàn)將的圖象沿軸向左平移2個(gè)單位, 再沿軸向上平移1個(gè)單位, 所得的圖象是由兩條線段組成的折線（如圖所示）, 則函數(shù)的表達(dá)式為（ ）【解析】當(dāng)時(shí), , 將其圖象沿軸向右平移2個(gè)單位, 再沿軸向下平移1個(gè)單位, 得解析式為, 所以, 當(dāng)時(shí), , 將其圖象沿軸向右平移2個(gè)單位, 再沿軸向下平移1個(gè)單位, 得解析式, 所以, 綜上可得, 故選A. 5作分段函數(shù)的圖像例5函數(shù)的圖像大致是（ ） 6求分段函數(shù)得反函數(shù)例6已知是定義在上的奇函數(shù), 且當(dāng)時(shí), , 設(shè)得反

3、函數(shù)為, 求的表達(dá)式. 【解析】設(shè), 則, 所以, 又因?yàn)槭嵌x在上的奇函數(shù), 所以, 且, 所以, 因此, 從而可得. 7判斷分段函數(shù)的奇偶性例7判斷函數(shù)的奇偶性. 【解析】當(dāng)時(shí), , , 當(dāng)時(shí), , 當(dāng), , 因此, 對(duì)于任意都有, 所以為偶函數(shù). 8判斷分段函數(shù)的單調(diào)性例8判斷函數(shù)的單調(diào)性. 【解析】顯然連續(xù). 當(dāng)時(shí), 恒成立, 所以是單調(diào)遞增函數(shù), 當(dāng)時(shí), 恒成立, 也是單調(diào)遞增函數(shù), 所以在上是單調(diào)遞增函數(shù); 或畫圖易知在上是單調(diào)遞增函數(shù). 例9寫出函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間. 【解析】, 畫圖易知單調(diào)減區(qū)間為. 9解分段函數(shù)的方程例10（01年上海）設(shè)函數(shù), 則滿足方程的的值為 【解析】若, 則, 得, 所以（舍去）, 若, 則, 解得, 所以即為所求. 10解分段函數(shù)的不等式例11設(shè)函數(shù), 若, 則得取值范圍是（ ） 【解析1】首先畫出和的大致圖像, 易知時(shí), 所對(duì)應(yīng)的的取值范圍是. 【解析2】因?yàn)? 當(dāng)時(shí), , 解得, 當(dāng)時(shí), , 解得, 綜上的取值范圍是. 故選D. 例12設(shè)函數(shù), 則使得的自變量的取值范圍為（ ）A B. C. D. 【解析】當(dāng)時(shí), , 所以, 當(dāng)時(shí), , 所以, 綜上所述, 或, 故選A項(xiàng). 【點(diǎn)評(píng)：】 以上分段函數(shù)性質(zhì)的考查中, 不難得到一種解題的重要途徑, 若能畫出其大致圖像, 定義域、值域、最值、單調(diào)性、奇偶性等問題就會(huì)迎