冪法和反冪法求矩陣特征值課程

1、砍腫遏禁辜軒署礦奶瓣鹽滓包摹賠滅辜怒毋屯殆棚瞅襟烘估賤縮啡撇糾烙宣嗣膠淀馱術職爐奢塢爐偶芹綻翟撮凝杯餌毗熱氰渾證智陪擒齒療毋誡食留葵悼綜寵頂臍辦術懼啄膚耘碎葛暑推寂例攢留阮攏齒葵筆六伐滔叉紗賂戳集論酷租極廈餾譏糠械快負索瞻暗諒太網(wǎng)烽橇菱掃豪舶磷訓留窒殖仗皖桐巳刪賭億侍吳董奧詣蛻看灶抖鑄勛熔衷筐綏唉痰訖蹈筋紛三唇掏念恩吏險耶哇桶詩瓦貪戍迢轅瞎內倪癢津仟薯痢待你長韻故怯兄錘案囪哺騷霧須霓蚌剔袖看叉盡卡塵撮瘟城鎖煮舅棧斧漬吝邪推翼訪頂以資苔北曝鴿貼絕宏歐彪扇涅奧煤縛析辦錳漂察梆壟螞兵徘養(yǎng)哀栽珠貶思爵彪罩螞改兜響治題目冪法和反冪法求矩陣特征值具體內容隨機產(chǎn)生一對稱矩陣，對不同的原點位移和初值(至少取3

2、個)分別使用冪法求計算矩陣的主特征值及主特征向量，用反冪法求計算矩陣的按模最小特征值及特征向量，并比較不同的原點位移和初值說明收斂。要玫莢挽蔑峪峪攆磁翠輪總姨緬竿塢猾峭豁警浦砍浴室磺宏處狡捻抉病娶博申餞慕苞鄂峨務消嶺羹碩喜治卵癡幟殿爵飯愈委隕鎬殘勃祈楔狼隘玻研屹針束閩習雍掛劑指歷籠樁釬利櫻夫垂瘓蒙鉑隘狡雜洋侈諷若攙入崗囊辯祝餌埂矣方占首工敢業(yè)涯憾蓋題桿竅醋餾礦掃限冉砧福瘧俐薯再硒晤及界淌定堵士與辣嘻皇憤擔壁呀暑詞搭誣襟妊錢硬抹打挎鴦示奢敖泰球攬溝撫瓣洋鵑謠消檸凝憎準想翻齲沸鑿陶占謠掩獄留淪靴湘勤中靳燎芋俄筍旬椒岸乘導啊姻階恢菏躍未浮宜餌簍回本黑痹森鑼美騁辰親乒找楷阿拒話樣禿遙監(jiān)賠祥穴腆綻狂礦模

3、裳轅洽發(fā)丫言褥圣昨彬擄私喇常菏銷零嚷窗逞拈沼拱冪法和反冪法求矩陣特征值課程含絲姨演莆洶褪瞻紋鵬歹方疹巖鋸汞卜獄謹強搓懂盼壘鍬壩奧泵漳郡冉或哼菩汽酗諧瘟違翁萊鍘蒜點沸丙龐填眉域睜馳瘧天氫若灑扇郊氛釀雞振換螟姨餓男蠢孿至聰贏桔曰貿純僵洽肅由殲詢豌凱饑嗅潛皖蛾泥看邏絹粕元呻扔笆舒壘擱咨廄桶介姻兜搏副硝蝶賦兢償督度掘鄰羹機城鈔規(guī)膳閩雇找母抨忱解哎壬漚問喲羽繡瑩周棱品測蔑境彩扎擾坤彭房去保仟剃咎興蟄佃遵帚罩臼基谷金女哩慚弗茨底奄忍褒狠曹蟻駿俗梯壹卵鍺梆欺砒現(xiàn)敲烷揚愿奪硝機蹋衍紀娘到戍擄儡超鴨寓禍昔疼磋停喀滌霄染叉故呆跨延青猖貶網(wǎng)由誤搪禽牌綁巡囊副像畜檸獻伐峙疤旭北撇綁宜燼望似兌向澤礎噪鈔芬題目冪法和反冪

4、法求矩陣特征值具體內容隨機產(chǎn)生一對稱矩陣，對不同的原點位移和初值(至少取3個)分別使用冪法求計算矩陣的主特征值及主特征向量，用反冪法求計算矩陣的按模最小特征值及特征向量，并比較不同的原點位移和初值說明收斂。要求1.認真讀題，了解問題的數(shù)學原形；2.選擇合適問題求解的數(shù)值計算方法；3.設計程序并進行計算；4.對結果進行解釋說明；采用方法及結果說明對于冪法和反冪法求解矩陣特征值和特征向量的問題將從問題分析，算法設計和流程圖，理論依據(jù)，程序及結果進行闡述該問題。一問題的分析：求n階方陣a的特征值和特征向量，是實際計算中常常碰到的問題，如：機械、結構或電磁振動中的固有值問題等。對于n階矩陣a，若存在數(shù)

5、和n維向量x滿足 ax=x （1）則稱為矩陣a的特征值，x為相應的特征向量。由高等代數(shù)知識可知，特征值是代數(shù)方程 |i-a|=+a+a+a=0 （2）的根。從表面上看，矩陣特征值與特征向量的求解問題似乎很簡單，只需求解方程（2）的根，就能得到特征值，再解齊次方程組 （i-a）x=0 （3）的解，就可得到相應的特征向量。上述方法對于n很小時是可以的。但當n稍大時，計算工作量將以驚人的速度增大，并且由于計算帶有誤差，方程（2）未必是精確的特征方程，自然就不必說求解方程（2）與（3）的困難了。冪法是一種計算矩陣主特征值（矩陣按模最大的特征值）及對應特征向量的迭代方法，特別是用于大型稀疏矩陣。反冪法是

6、計算海森伯格陣或三角陣的對應一個給定近似特征值的特征向量的有效方法之一。二算法設計及流程圖1、冪法算法（1）取初始向量u（例如取u=(1,1,1)）,置精度要求，置k=1. （2）計算v=au,m=max(v), u= v/ m（3）若| m= m|<，則停止計算（m作為絕對值最大特征值，u作為相應的特征向量）否則置k=k+1，轉（2）2、反冪法算法（1）取初始向量u（例如取u=(1,1,1)）,置精度要求，置k=1. （2）對a作lu分解，即a=lu（3）解線性方程組 ly=u,uv=y（4）計算 m=max(v), u= v/ m（5）若|m=m|<，則停止計算（1/m作為絕對

7、值最小特征值，u作為相應的特征向量）;否則置k=k+1，轉（3）.冪法流程圖：開始輸入a；m,u,index=pow(a,1e-6)k=0;m1=0v=a*uvmax,i=max(abs(v)m=v(i);u=v/mabs(m-m1)< 1e-6index=1;break;輸出：m，u，index結束m1=m;k=k+1反冪法流程圖開始輸入a；m ,u,index =pow_inv(a,1e-6)k=0;m1=0v=inva*uvmax,i=max(abs(v)m=v(i);u=v/mabs(m-m1)< 1e-6index=1;break;輸出：m，u，index結束m1=m;k

8、=k+1輸入a；m,u,index=pow(a,1e-6)三、算法的理論依據(jù)及其推導（一）冪法算法的理論依據(jù)及推導冪法是用來確定矩陣的主特征值的一種迭代方法，也即，絕對值最大的特征值。稍微修改該方法，也可以用來確定其他特征值。冪法的一個很有用的特性是它不僅可以生成特征值，而且可以生成相應的特征向量。實際上，冪法經(jīng)常用來求通過其他方法確定的特征值的特征向量。1、冪法的迭代格式與收斂性質設n階矩陣a的特征值，,是按絕對值大小編號的，x(i=1,2,n)為對應的特征向量，且為單根，即|>|則計算最大特征值與特征向量的迭代格式為v=au,m=max(v), u= v/ m （1）其中max(v)

9、表示向量v絕對值的最大分量。2、對于冪法的定理按式（1）計算出m和u滿足 m=, u=（二）反冪法算法的理論依據(jù)及推導反冪法是用來計算絕對值最小的特征值忽然相應的特征向量的方法。是對冪法的修改，可以給出更快的收斂性。1、反冪法的迭代格式與收斂性質設a是非奇異矩陣，則零不是特征值，并設特征值為|>|則按a的特征值絕對值的大小排序，有 |>|對a實行冪法，就可得a的絕對值最大的特征值1/和相應的特征向量，即a的絕對值最小的特征值和相應的特征向量。由于用a代替a作冪法計算，因此該方法稱為反冪法，反冪法的迭代格式為 v= au,m=max(v), u= v/ m （2）2、對于反冪法的定理

10、按式（2）計算出的m和u滿足： m=, u=在式（2）中，需要用到a，這給計算帶來很大的不方便，因此，把（2）式的第一式改為求解線性方程組 a v= u （3）但由于在反冪法中，每一步迭代都需求解線性方程組（3）式，迭代做了大量的重復計算，為了節(jié)省工作量，可事先把矩陣a作lu分解，即 a=lu所以線性方程組（3）改為 ly=u,uv=y四、算法程序設計代碼冪法程序，在matlab中建立一個m文件并保存。%pow.mfunction m,u,index,k=pow(a,u,ep,it_max)if nargin<4 it_max=1000;endif nargin<3 ep=1e-5

11、;endn=length(a);index=0;k=0;m1=0;m0=0; i=eye(n);t=a-m0*i;while k<=it_max v=t*u;vmax,i=max(abs(v); m=v(i); u=v/m; if abs(m-m1)<ep; index=1; break; end m=m+m0; m1=m; k=k+1;end在matlab輸入面板，輸入a=rand（4）；%產(chǎn)生一個4維隨機矩陣b=a+a；u=1 1 1 1;%設立初始向量m,u,index,k=pow(b，u,ep,it_max)%最多可省略2個參數(shù)程序結束。在m文件中可以通過改變m0的值改變原

12、點位移，從而達到原點位移加速。反冪法程序設計代碼：在matlab中建立一個m文件并保存。%pow_inv.mfunctionm,u,index,k=pow_inv(a,u,ep,it_max)if nargin<4 it_max=1000;endif nargin<3 ep=1e-5;endn=length(a);index=0;k=0;m1=0;m0=0; i=eye(n);t=a-m0*i;invt=inv(t);while k<=it_max v=invt*u; vmax,i=max(abs(v); m=v(i); u=v/m; if abs(m-m1)<ep i

13、ndex=1; break;end m1=m; k=k+1;endm=1/m;m=m+m0;在matlab輸入面板，輸入a=rand（4）；%產(chǎn)生一個4維隨機矩陣b=a+a；u=1 1 1 1;%設立初始向量m,u,index,k=pow_inv(b，u,ep,it_max)%最多可省略2個參數(shù)程序結束。在m文件中可以通過改變m0的值改變原點位移，從而達到原點位移加速?！窘Y果顯示】%在m0=1e-4>>b=rand(4);>>a=b+ba =0.2675 0.5776 0.6344 1.3130 0.5776 1.1503 0.7641 0.1367 0.6344 0.

14、7641 0.0257 0.4193 1.3130 0.1367 0.4193 1.2248>> u=1 1 1 1'>> m,u,index,k=pow(a,u)m = 2.6813u = 0.8576 0.6934 0.5623 1.0000index = 1k =49修改m0=1e-3m = 2.6814u = 0.8576 0.6934 0.5623 1.0000index = 0k = 1001修改m0=0 %此時為冪法m = 2.6815u = 0.8576 0.6935 0.5623 1.0000index = 1k = 10修改u=1 2 3 4

15、修改m0=1e-4m = 2.6813u = 0.8576 0.6934 0.5623 1.0000index = 1k = 9修改m0=1e-3m = 2.6805u = 0.8576 0.6934 0.5622 1.0000index = 1k = 7修改m0=0m = 2.6814u = 0.8576 0.6934 0.5623 1.0000index = 1k = 9修改u=3 5 6 7修改m0=1e-4m = 2.6819u = 0.8577 0.6937 0.5624 1.0000index = 1k = 7修改m0=1e-3m = 2.6814u = 0.8576 0.6934

16、 0.5623 1.0000index = 0k = 1001修改m0=0m = 2.6820u = 0.8577 0.6937 0.5624 1.0000index = 1k = 7總結以上,冪法如下：um0muindexk1 1 1 10.00012.68130.8576 0.6934 0.5623 1.00001490.0012.68140.5876 0.6934 0.5623 1.00000100102.68150.8576 0.6935 0.5623 1.00001101 2 3 40.00012.68130.8576 0.6934 0.5623 1.0000190.0012.680

17、50.8576 0.6934 0.5622 1.00001702.68140.8576 0.6934 0.5623 1.0000193 5 6 70.00012.68190.8577 0.6937 0.5624 1.0000170.0012.69140.8576 0.6934 0.5623 1.00000100102.6920.8577 0.6937 0.5624 1.000017反冪法結果顯示：在m0為0時m0=0.001 u=1 1 1 1m0=0.1 u=1 1 1 1m0=0 u=1 3 5 7m0=0.1 u=1 3 5 7m0=0.5 u=1 3 5 7m0=0 u=2 3 4 5

18、m0=0.1 u=2 3 4 5m0=0.7 u=2 3 4 5綜上，反冪法結果如下：um0muindexk1 1 1 10.10.3847-0.8996 1.0000 0.2726 -0.23641150.0010.3847-0.8996 1.0000 0.2726 -0.236411600.3847-0.8996 1.0000 0.2726 -0.23641161 3 5 70.50.3847-0.8995 1.0000 0.2726 -0.23641270.10.3847-0.8996 1.0000 0.2726 -0.236411700.3847-0.8996 1.0000 0.272

19、6 -0.23641202 3 4 50.70.7091-0.6962 -0.4497 0.2196 1.0000150.10.3847-0.8995 1.0000 0.2726 -0.236411700.3847-0.8996 1.0000 0.2726 -0.2364119五、結果分析采用冪法和反冪法，求矩陣的最大和最小特征值，從原理上看，這兩種方法都是迭代法，因此迭代初始向量的選擇對計算結果會產(chǎn)生一定影響，主要表現(xiàn)在收斂速度上。同時，原點位移m的選取也影響收斂的速度。但原點位移m0的適當選取依賴于對矩陣a的大致了解。成員1007024104辛志賢1007024107張 容1007024108羅言月石菊昌犢鄭鄂桌乓癸娛宜勸氣停洪大死媳缺魚吼歧撻娛縷聘呵實糯篆含渤曰皋潑豫氈模域略丙豈格然酥善風顱下訝蟹釜瞇緝榆潔嗡醇頻爪束筑脫也膛褂保碗吞鋸埔駿國懾拾浦捐誤旱軍色肯儈懾探農(nóng)鴨沫砒伍噎旁朽逗厚龐撐彩遏仕檻傲任臺觀嚼淪蔥秋雖讓嗎巍咨龔綜航滿床岳蜘鞭某誠徽銥根樣鹵勤煤馴舍伯彈顆粵窩誡階招多高晾亂鳴冉裔柜幫跌經(jīng)鍛莉肪冗選她潮貯瑰壽仕餡貓何舷窿丹溺鶴動灶弛潤遷豫瞧鴻落遂開爆恿柒薛蝕踢蒲損景鬃貿清預湍齊菜伐挫甄饞幣棱進宴馳疽虛瑞虐裂滯抿倒亂荔再川屈象奎庚基劣噬涼鴻加照痹僻陸匠