高等數(shù)學課件：第二章 習題課

1、第二章第二章 習題課習題課求求 導導 法法 則則基本公式基本公式導導 數(shù)數(shù)xyx 0lim微微 分分xydy 關(guān)關(guān) 系系)( xodyydxydyydxdy 高階導數(shù)高階導數(shù)高階微分高階微分一、主要內(nèi)容一、主要內(nèi)容1 1、導數(shù)的定義、導數(shù)的定義即即或或記為記為處的導數(shù)處的導數(shù)在點在點并稱這個極限為函數(shù)并稱這個極限為函數(shù)處可導處可導在點在點則稱函數(shù)則稱函數(shù)時的極限存在時的極限存在之比當之比當與與如果如果取得增量取得增量相應(yīng)地函數(shù)相應(yīng)地函數(shù)時時內(nèi)內(nèi)仍在該鄰域仍在該鄰域點點處取得增量處取得增量在在當自變量當自變量的某個鄰域內(nèi)有定義的某個鄰域內(nèi)有定義在點在點設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù),)(,)(,)(,0);()(

2、,)(,)(0000000000 xxxxxxdxxdfdxdyyxxfyxxfyxxyxfxxfyyxxxxxxxfy 定義定義.)()(limlim00000 xxfxxfxyyxxxx 2.右導數(shù)右導數(shù):單側(cè)導數(shù)單側(cè)導數(shù)1.左導數(shù)左導數(shù):;)()(lim)()(lim)(00000000 xxfxxfxxxfxfxfxxx ;)()(lim)()(lim)(00000000 xxfxxfxxxfxfxfxxx 函函數(shù)數(shù))(xf在在點點0 x處處可可導導左左導導數(shù)數(shù))(0 xf 和和右右導導數(shù)數(shù))(0 xf 都都存存在在且且相相等等.2 2、基本導數(shù)公式、基本導數(shù)公式22211)(arct

3、an11)(arcsinln1)(logln)(sec)(secsec)(tancos)(sin0)(xxxxaxxaaaxtgxxxxxxCaxx （常數(shù)和基本初等函數(shù)的導數(shù)公式）（常數(shù)和基本初等函數(shù)的導數(shù)公式）222111)cot(11)(arccos1)(ln)(csc)(csccsc)(cotsin)(cos)(xxxxxxeexctgxxxxxxxxxx arc3 3、求導法則、求導法則設(shè)設(shè))(),(xvvxuu 可導，則可導，則（1）vuvu )(, （2）uccu )(c是常數(shù)是常數(shù)),（3）vuvuuv )(, （4）)0()(2 vvvuvuvu.(1) 函數(shù)的和、差、積、商

4、的求導法則函數(shù)的和、差、積、商的求導法則(2) 反函數(shù)的求導法則反函數(shù)的求導法則.)(1)(),()(yxfxfyyx 則有則有的反函數(shù)為的反函數(shù)為如果函數(shù)如果函數(shù)(3) 復合函數(shù)的求導法則復合函數(shù)的求導法則).()()()()(),(xufxydxdududydxdyxfyxuufy 或或的的導導數(shù)數(shù)為為則則復復合合函函數(shù)數(shù)而而設(shè)設(shè)(4) 對數(shù)求導法對數(shù)求導法先在方程兩邊取對數(shù)先在方程兩邊取對數(shù),然后利用隱函數(shù)的求導方法然后利用隱函數(shù)的求導方法求出導數(shù)求出導數(shù).適用范圍適用范圍: :.)()(的情形的情形數(shù)數(shù)多個函數(shù)相乘和冪指函多個函數(shù)相乘和冪指函xvxu(5) (5) 隱函數(shù)求導法則隱函數(shù)

5、求導法則用復合函數(shù)求導法則直接對方程兩邊求導用復合函數(shù)求導法則直接對方程兩邊求導.,)()(間的函數(shù)關(guān)系間的函數(shù)關(guān)系與與確定確定若參數(shù)方程若參數(shù)方程xytytx ;)()(ttdtdxdtdydxdy (6) (6) 參變量函數(shù)的求導法則參變量函數(shù)的求導法則)(22dxdydxddxyd dtdxttdtd)()( dxdtdtdxdyd 4 4、高階導數(shù)、高階導數(shù),)()(lim) )(0 xxfxxfxfx 二階導數(shù)二階導數(shù)記作記作.)(,),(2222dxxfddxydyxf或或 .,),(33dxydyxf 二階導數(shù)的導數(shù)稱為三階導數(shù)二階導數(shù)的導數(shù)稱為三階導數(shù),記作記作階導數(shù)階導數(shù)的的

6、函數(shù)函數(shù)階導數(shù)的導數(shù)稱為階導數(shù)的導數(shù)稱為的的函數(shù)函數(shù)一般地一般地,)(1)(,nxfnxf .)(,),()()(nnnnnndxxfddxydyxf或或(二階和二階以上的導數(shù)統(tǒng)稱為二階和二階以上的導數(shù)統(tǒng)稱為高階導數(shù)高階導數(shù))定義定義,)(0及及其其鄰鄰域域有有定定義義在在設(shè)設(shè)函函數(shù)數(shù)xxfy .的線性主部的線性主部叫做函數(shù)改變量叫做函數(shù)改變量微分微分ydy ( (微分的實質(zhì)微分的實質(zhì)) )微分的定義微分的定義成立成立如果如果)( xoxAy 0)(xxfy在點在點則稱函數(shù)則稱函數(shù) ),(00 xdfdyxx或或記作記作 .d0 xAyxx 即即的的相相應(yīng)應(yīng)于于自自變變量量改改變變量量在在點點

7、函函數(shù)數(shù)xxxfy 0)(為為并且稱并且稱xA ),(無關(guān)的常數(shù)無關(guān)的常數(shù)是與是與其中其中xA ,可微可微,微分微分,00在鄰域內(nèi)在鄰域內(nèi)及及xxx )()(00 xfxxfy ).0( x6 6、導數(shù)與微分的關(guān)系、導數(shù)與微分的關(guān)系).(,)()(000 xfAxxfxxf 且且處可導處可導在點在點可微的充要條件是函數(shù)可微的充要條件是函數(shù)在點在點函數(shù)函數(shù)定理定理7 7、 微分的求法微分的求法dxxfdy)( 求法求法: :計算函數(shù)的導數(shù)計算函數(shù)的導數(shù),乘以自變量的微分乘以自變量的微分.基本初等函數(shù)的微分公式基本初等函數(shù)的微分公式xdxxxdxdxxxdxdxxdxdxxdxdxxdxdxxdd

8、xxxdCdcotcsc)(csctansec)(seccsc)(cotsec)(tansin)(coscos)(sin)(0)(221 dxxxddxxxddxxxddxxxddxxxddxaxxddxeedadxaadaxxxx222211)cot(11)(arctan11)(arccos11)(arcsin1)(lnln1)(log)(ln)( arc 函數(shù)和、差、積、商的微分法則函數(shù)和、差、積、商的微分法則2)()()()(vudvvduvududvvduuvdCduCuddvduvud 8 8、 微分的基本法則微分的基本法則 微分形式的不變性微分形式的不變性的微分形式總是的微分形式總

9、是函數(shù)函數(shù)是自變量還是中間變量是自變量還是中間變量無論無論)(,xfyx dxxfdy)( 二、典型例題例例1 1).0(),100()2)(1()(fxxxxxf 求求設(shè)設(shè)解解0)0()(lim)0(0 xfxffx)100()2)(1(lim0 xxxx!100 ).0(,sin)(23fxxxf 求求設(shè)設(shè)例例,cossin31)(3132xxxxxf 得得解解法法一一：根根據(jù)據(jù)求求導導法法則則不存在。不存在。無意義，無意義，)0()(0fxfx xxxxfxffxx0sinlim0)0()(lim)0(3100 義義公公式式解解法法二二：根根據(jù)據(jù)導導數(shù)數(shù)的的定定0sinlimlimsin

10、lim03030 xxxxxxxxx)(005)(332xfxxxxxf ，求求設(shè)設(shè)例例 0,30,20,)(0,)5()(232xxxxxxxxxf解法一：解法一：05)0(, 5)0(0,2)(, 5)(0,3)(,)(0223 ffxxxfxxfxxxfxxfx時時，時時，時時，解解法法二二： xxfxxfxxxfxxfxxxfxxfxxx5lim)0(05)5(lim)0(0,2)(,5)(0,3)(,)(03020223時時，時時，時時，解解法法三三：有有關(guān)關(guān)。的的一一個個鄰鄰域域內(nèi)內(nèi)的的函函數(shù)數(shù)值值是是雙雙側(cè)側(cè)極極限限，與與的的導導數(shù)數(shù)點點)(0)0(0 xfxfx )(005)(

11、332xfxxxxxf ，求求設(shè)設(shè)例例 !)0(不存在不存在f例例4 4.,1111ln411arctan21222yxxxy 求求設(shè)設(shè)解解,12xu 設(shè)設(shè),11ln41arctan21 uuuy則則)1111(41)1(212 uuuyu411u ,2142xx )1(2 xux,12xx .1)2(123xxxyx 練習練習.)2(21ln32的導數(shù)的導數(shù)求函數(shù)求函數(shù) xxxy解解),2ln(31)1ln(212 xxy)2(31211212 xxxy)2(3112 xxx練習練習.1sin的導數(shù)的導數(shù)求函數(shù)求函數(shù)xey 解解)1(sin1sin xeyx)1(1cos1sin xxex.

12、1cos11sin2xexx 例例5 5).0(),0(,arctanffxy 求求設(shè)設(shè)解解211xy )11(2 xy22)1(2xx )1(2(22 xxy322)1()13(2xx 022)1(2)0( xxxf0322)1()13(2)0( xxxf; 0 . 2 題：題：9 ,86P. 0)0()0()( ffxf存在，證明存在，證明為偶函數(shù)，且為偶函數(shù)，且設(shè)設(shè)),0(f . 0)0(),0()0( fff存在，存在，證：因為證：因為)0(f ).0()0()0()0()0(fffff 存在，且存在，且、),()(),()()(xfxfxfxfxf 為偶函數(shù)，為偶函數(shù)，因為因為根據(jù)導

13、數(shù)的定義，根據(jù)導數(shù)的定義，xfxffx)0()0(lim)0(0 xfxfx)0()(lim0 xfxfx)0()0(lim0 xfxfx)0()(lim0 xfxfx )0()0(lim0題：題：4 ,101P；）（）；（；（）（）（導出導出試從試從5233322)(3dd2dd1,1ddyyyyyxyyyxyyx ),(xfy 解：函數(shù)解：函數(shù)).()(xyxfy ,)(1ddxyyx yyxyxd)ddd(dd) 1 (22 .)(352yyyy )(1)(3)(623xyyyyyyy )(1d)(d3xyxyy yxxyxddd)ddd(22 yyxyxd)ddd(dd)2(2233

14、,3yy )(1)()(2xyxyxy )(1d)(1d(xyxxy yxxyxddd)ddd( ; 0, 1; 0, 2)sin1()(xexaxbxfax例：設(shè)例：設(shè)).()(,xfxfba 處處處處可可導導，求求使使與與確確定定常常數(shù)數(shù)可導，可導一定連續(xù)，可導，可導一定連續(xù)，在在解：解：0)( xxf ; 0,; 0,cos)(xaexxbxfax. 1, 02 babaab,),0()0(,0)(baffxxf 可導可導在在,01lim)0(0axefaxx .sinlim02)sin1(lim)0(00bxxbxaxbfxx 02 ab , 011lim)(lim000 eexfax

15、xx , 22)sin1(lim)(lim00 abaxbxfxx).1(, 21)(lim1)(1fxxfxxfx 求求處處連連續(xù)續(xù)，且且在在例例：已已知知函函數(shù)數(shù). 21)(lim10)(lim1)1()(lim)1(111 xxfxxfxfxffxxx, 0)1()(lim1 fxfx處連續(xù)，處連續(xù)，在在函數(shù)函數(shù)1)( xxf)( , 0)(lim1同階無窮小同階無窮小 xfx, 21)(lim, 0)1(lim11 xxfxxx解解：不不可可導導但但連連續(xù)續(xù)可可導導但但不不連連續(xù)續(xù)）可可微微（可可導導處處（）在在函函數(shù)數(shù)練練習習)()()(000)(11dcbaxxxxxexfx xx

16、fdxxfcxxfbxxfaxxfxf2cos411)()(2cos21)()(2cos41)()(cos21)()(2sin21)(,)(22 的的是是（）滿滿足足中中下下列列函函數(shù)數(shù)練練習習)2, 1()()2 , 1()()2 , 1()0 , 0( )(333 dcbaxxxy軸軸的的點點是是（）上上切切線線平平行行于于曲曲線線練練習習例例6 6.,45202 tdxdyt ttyttx求求設(shè)設(shè)解解分析分析:,0導數(shù)不存在導數(shù)不存在時時當當tt ,0不存在不存在時時當當dtdydtdxt 不能用公式求導不能用公式求導.tttttxytx 24)(5limlim200)sgn(2)sgn

17、(45lim0tttt . 0 . 00 tdxdy故故.,)0, 0()(22dxydyxxyxfyyx求求所所確確定定由由方方程程設(shè)設(shè)函函數(shù)數(shù) 例例7 7解解兩邊取對數(shù)兩邊取對數(shù),ln1ln1xyyx ,lnlnxxyy 即即, 1ln)ln1( xyy,ln11lnyxy 2)ln1(1)1(ln)1(ln1yyyxyxy 322)1(ln)1(ln)1(ln yxyxxyy).(, )2()(xfxxxxf 求求設(shè)設(shè)例例8 8解解先去掉絕對值先去掉絕對值,2),2(20),2(0),2()(222 xxxxxxxxxxf,0時時當當 x, 0)0()0( ff; 0)0( f,20時時

18、當當 x;43)(2xxxf ,02時時或或當當 xx;43)(2xxxf ,2時時當當 x2)2()(lim)2(2 xfxffx2)2(lim22 xxxx. 4 2)2()(lim)2(2 xfxffx2)2(lim22 xxxx. 4 ),2()2( ff.2)(處不可導處不可導在在 xxf , 20 ,43, 0, 00, 2,43)(22xxxxxxxxxf或或.,)(sincosyxxyx 求求設(shè)設(shè)例例9 9解解 :求求導導兩兩邊邊對對x)sincossinlnsin1(dd2xxxxxyxy xxxysinlncoslnln 方程兩邊取對數(shù)方程兩邊取對數(shù) xxxxxxxyysi

19、ncoscossinlnsin1dd1 )sincossinlnsin1()(sindd2cosxxxxxxxxyx )(sindd :2)ln(sincoscosxxxxexxxy解解法法.,)(sincosyxxyx 求求設(shè)設(shè)例例9 9 xxxxxxxxsincossinlnsin1)(sin2cos)sincossinlnsin()(sin)(sin2coscosxxxxxxxxx )sincossinlnsin()(sin2)ln(sincoscosxxxxxexxxx )ln(sincos)ln(sincosxxxxexe.,114)(22nyxxy求求設(shè)設(shè) 例例1010解解1344

20、1142222 xxxxy)1111(234 xx,)1(!)1()11(1)( nnnxnx,)1(!)1()11(1)( nnnxnx.)1(1)1(1 !)1(2311)( nnnnxxny例例1111.,)20(22yexyx求求設(shè)設(shè) 解解則由萊布尼茲公式知則由萊布尼茲公式知設(shè)設(shè),22xveux 0)()(! 2)120(20)()(20)(2)18(22)19(22)20(2)20( xexexeyxxx22! 21920222022182192220 xxxexexe)9520(22220 xxex例例1212.,11)5(2yxy求求設(shè)設(shè) 解解)1111(21112 xxxy)1

21、(! 5)1(! 52166)5( xxy)1(1)1(16066 xx例例1313.,00 xyxdxdydxdyyeexy的導數(shù)的導數(shù)所確定的隱函數(shù)所確定的隱函數(shù)求由方程求由方程解解,求導求導方程兩邊對方程兩邊對x0 dxdyeedxdyxyyx解得解得,yxexyedxdy , 0, 0 yx由原方程知由原方程知000 yxyxxexyedxdy. 1 例例1414解解.sincos33表示的函數(shù)的二階導數(shù)表示的函數(shù)的二階導數(shù)求由方程求由方程 taytaxdtdxdtdydxdy )sin(cos3cossin322ttatta ttan )(22dxdydxddxyd )cos()ta

22、n(3 tatttatsincos3sec22 tatsin3sec4 例例1515解解.,cos31dyxeyx求求設(shè)設(shè) )(cos)(cos3131xdeedxdyxx .sin)(cos,3)(3131xxeexx dxxedxexdyxx)sin()3(cos3131 .)sincos3(31dxxxex 坐坐標標方方程程。處處的的切切線線與與法法線線的的直直角角曲曲線線上上對對應(yīng)應(yīng)于于求求該該是是已已知知曲曲線線的的極極坐坐標標方方程程例例6,cos1)2002(16 ttr tttyttxttyttxcossinsincoscossin)cos1(cos)cos1(2即即解解：此此

23、曲曲線線的的參參數(shù)數(shù)方方程程)4321,4323(6 對對應(yīng)應(yīng)切切點點坐坐標標t1sincos2sinsincoscos6226 tttttttdtdxdtdydxdyt。法法線線方方程程：切切線線方方程程：43234321;43234321 xyxy)(2)()(lim)()()()(lim)()()()2(lim)()0()0()(lim)()(0000000000 xfxxxfxxfdxfxxxfxfcafhafhafbfxfxfaxfxxhx 式不成立的是式不成立的是是可導函數(shù)，則下列各是可導函數(shù)，則下列各設(shè)設(shè)練習練習測測 驗驗 題題一、一、 選擇題：選擇題： 1 1、函數(shù)、函數(shù))(x

24、f在點在點0 x的導數(shù)的導數(shù))(0 xf 定義為定義為（ ） （A A）xxfxxf )()(00； （B B）xxfxxfxx )()(lim000； （C C）xxfxfxx )()(lim00； （D D）00)()(lim0 xxxfxfxx ； 2 2、若函數(shù)、若函數(shù))(xfy 在點在點0 x處的導數(shù)處的導數(shù)0)(0 xf，則，則 曲線曲線)(xfy 在點在點( ()(,00 xfx) )處的法線處的法線（ ） （A A）與）與x軸相平行；軸相平行； （B B）與）與x軸垂直；軸垂直； （C C）與）與y軸相垂直；軸相垂直； （D D）與）與x軸即不平行也不垂直：軸即不平行也不垂直：

25、 3 3、若若函函數(shù)數(shù))(xf在在點點0 x不不連連續(xù)續(xù)，則則)(xf在在0 x ( ( ) ) （A A）必必不不可可導導； （B B）必必定定可可導導； （C C）不不一一定定可可導導； （D D）必必無無定定義義. . 4 4、如如果果)(xf= =（ ） ，那那么么0)( xf. .( (A A) ) xxarccos2arcsin ；( (B B) ) xx22tansec ；( (C C) ) )1(cossin22xx ；( (D D) ) xarctanarcxcot. . 5 5、如如果果 0),1(0,)(2xxbxexfax處處處處可可導導，那那末末（ ） （A A）1

26、ba； （B B）1, 2 ba； （C C）0, 1 ba； （D D）1, 0 ba. . 6 6、已知函數(shù)、已知函數(shù))(xf具有任意階導數(shù)，且具有任意階導數(shù)，且 2)()(xfxf , ,則當則當n為大于為大于 2 2 的正整數(shù)時，的正整數(shù)時， )(xf的的 n n 階導數(shù)階導數(shù))()(xfn是是（ ） （A A）1)(! nxfn； （B B） 1)( nxfn； （C C） nxf2)(； （D D）nxfn2)(!. .7 7、若函數(shù)、若函數(shù))(txx , ,)(tyy 對對t可導且可導且0)( tx, ,又又 )(txx 的反函數(shù)存在且可導，則的反函數(shù)存在且可導，則dxdy= =

27、（ ） （A A）)()(txty ； （B B）)()(txty ； （C C）)()(txty ； （D D）)()(txty . . 8 8、若函數(shù)、若函數(shù))(xf為可微函數(shù)，則為可微函數(shù)，則dy（ ） （A A）與）與x 無關(guān)；無關(guān)； （B B）為）為x 的線性函數(shù)；的線性函數(shù)； （C C）當）當0 x時為時為x 的高階無窮?。坏母唠A無窮小； （D D）與）與x 為等價無窮小為等價無窮小. .9 9、設(shè)函數(shù)、設(shè)函數(shù))(xfy 在點在點0 x處可導，當自變量處可導，當自變量x由由0 x增增加到加到xx 0時，記時，記y 為為)(xf的增量，的增量，dy為為)(xf的的微分，微分，xdyyx 0lim等于等于（ ） （A A）-1-1； （B B）0 0； （C C）1 1； （D D） . . 1010、設(shè)函數(shù)、設(shè)函數(shù))(xfy 在點在點0 x處可導，且處可導，且0)(0 xf， 則則 xdyyx 0lim等于等于（ ）. . （A A）0 0； （B B）-1-1； （C C）1 1； （D D） .