整式的乘法與因式分解教師版講義

1、環(huán)球雅思教育集團教師講義輔導(dǎo)科目：數(shù)學(xué) 學(xué)員姓名： 年 級：九 學(xué)科教師：胡靜婷 課時數(shù)： 3k第 _2_次課課題整式的乘法與因式分解課型預(yù)習(xí)課 同步課 復(fù)習(xí)課 習(xí)題課授課日期及時段20XX 年 3月14日 F段教學(xué)目的1.掌握整式的加減、乘除，冪的運算；并能運用乘法公式進行運算;2.掌握冪的運算法則，并會逆向運用；3.熟練運用乘法公式；4.掌握整式的運算在實際問題中的應(yīng)用。重點與難點1.能運用乘法公式進行運算,掌握冪的運算 法則，并 會逆向運用；2. 熟練運 用乘 法公 式, 掌握整式的運算在實際問題中的應(yīng)用。教 學(xué) 內(nèi) 容整式的乘法一、 整式的乘法（一）冪的乘法運算一、知識點講解：1、同底

2、數(shù)冪相乘： am an推廣： an11 an2 an3 ann an1 n2 n3 nn （ n1, n2 , n3 , , nn都是正整數(shù)）2、冪的乘方： am推廣： （an1）n2 n3 an1n2n3 （ n1 ,n2 ,n3都是正整數(shù)）3、積的乘方： ab nn n n n n推廣： （a1 a2 a3 am） a1 a2 a3am二、典型例題：例 1、（同底數(shù)冪相乘）計算：（ 1） x2 x52) ( 2)9 ( 2)8 ( 2)344 a · a3) x3 x 3x2 x24)(x+y)(x+y)m+15）（ nm）mn）nm）例 2、（冪的乘方）計算：（ 1）（ 103

3、）52)(a3m)23) 2x y 2 5 (4)(m n)2( n m)35變式練習(xí)：1、計算（ x5） +（x7）的結(jié)果是（A 2x12 B 2x35 C ) 2x70 D 0變式練習(xí)：2、在下列各式的括號內(nèi)，應(yīng)填入 b4 的是（）A b12=()8 B b12=()6 C12 b12=()3 D b12=(3、計算：（ 1）（ m）3 42) a4 2 a2 33) p2 ( p)4 ( p)35(4)3 4 10 2 3 8 m) +m m+m· m·m例 3、（積的乘方）計算：1）ab)22） 3x ）3) (3a2b3c)3變式練習(xí)：一、知識點講解：1、單項式

4、單項式（1）系數(shù)相乘作為積的系數(shù)（2）相同字母的因式，利用同底數(shù)冪的乘法，作為一個因式（3）單獨出現(xiàn)的字母，連同它的指數(shù)，作為一個因式 注意點：單項式與單項式相乘，積仍然是一個單項式2、單項式 多項式 單項式分別乘以多項式的各項； 將所得的積相加 注意：單項式與多項式相乘，積仍是一個多項式，項數(shù)與多項式的項數(shù)相同3、多項式 多項式先用一個多項式的每一項分別乘以另一個多項式的每一項，再把所得的積相加。 注意： 運算的結(jié)果一般按某一字母的降冪或升冪排列。二、典型例題：1324例 1、計算：( 1)3ab2 ( a2b) 2abc(2) ( xy) ( x2y 4xy2y)32333)(x-3y)(

5、x+7y)1、計算：（ 1）（4xm1z3）·（2x2yz2）(2) (2a2b) 2( ab2 a2b a2)3)(x+5)(x-7)(4)11 ( a 5)(2a 1).24) (x 1)(x 1)(x2 1)（5） 5ab3?（ a 3b）（ ab 4c）（6）8m（m2 3m 4） m2 （m 3）52、先化簡，后求值： （x 4）（x 2） （x 1）（x 3） ，其中 x。2三)乘法公式 、知識點講解：1、平方差公式： a b a b ；變式：( 1)(a b)( b a) ； (2) ( a b)(a b)(3)( a b)( a b)= ； (4)(a b)( a b

6、)=。2、完全平方公式： (a b) 2=。公式變形：( 1) a2 b2 (a b) 2 2ab (a b)2 2ab(2)(ab)2(ab)24ab； (3) (ab)2(ab)24ab(4) (ab)2(ab)24ab； (5) (ab)2(ab)22(a2b2)3） （ 2x 5y）（ 2x 5y）（4） 3x變式練習(xí)： 已知 a，b，c是 ABC 的三邊，且 a2 b2 c2 ab bc ca ，則 ABC的形狀是（ ）A. 直角三角形 B 等腰三角形 C 等邊三角形 D 等腰直角三角形 分解因式： 3（x+y） 2-27 y2 y2 3x2變式練習(xí)：2）（2x5y）（2 x5y）=

7、1、直接寫出結(jié)果：（ 1）（xab）（ xab）=（3）（ xy）（ xy）=；（4）（12b2）（ b212）5 2 5 2（5）（-2x+3）（3+2x）=；（ 6）（ a5-b 2）（ a5+b2）=2、在括號中填上適當(dāng)?shù)恼剑海?1）（ mn）（）n2m2； （2）（ 13x）（）19x23、計算：（ 1） 2a 5b 2a 5b（2） （3a2 b）（3a2 b）.3）10 1 9677224）（ m2n2）（ m2n2）5、已知 x2 y2 6,x y 2 0，求 x y 5 的值。課后作業(yè)1、設(shè) (3m 2n)2 (3m 2n)2 p ，則 P的值是( )A 、 12mn B24

8、mn C 、 6mn D 、 48mn2、若 x2 -6x k 是完全平方式，則 k=3、若 a+b=5，ab=3，則 a2 b2 =.4、若 (x 1) 2 2 ，則代數(shù)式 x2 2x 5的值為。5、利用圖形中面積的等量關(guān)系可以得到某些數(shù)學(xué)公式例如，根據(jù)圖甲，我們可以得到兩數(shù)和的平方公式： (a b)2 a2 2ab b2, 你根據(jù)圖乙能得到的數(shù)學(xué)公式是116、已知： a 1 5,a2 12 aa27、計算：1)3a+b)2)( 3x25y)23)(5x-3y)4)( 4x37y2) 25)3mn 5ab)6)(a b c)8、化簡求值：(2x 1)(x 2) (x 2)2 (x 2)2，其

9、中 x 129、已知 (x y)2 49，(x y)2 1，求下列各式的值：( 1) x2 y2；(2) xy專題講解一、分組分解法(一) 分組后能直接提公因式1、分解因式： 2ax 10ay 5by bx解法一：第一、二項為一組； 第三、四項為一組。解：原式 =(2ax 10ay) (5by bx)解法二：第一、四項為一組；第二、三項為一組。原式= ( 2ax bx) ( 10ay 5by)2a(x 5y) b(x 5y)x(2a b) 5y(2a b)(2a b)(x 5y)= (x 5y)(2a b)(二 ) 分組后能直接運用公式2、分解因式： x2 y2 ax ay分析：若將第一、三項

10、分為一組，第二、四項分為一組，雖然可以提公因式，但提完后就能繼續(xù)分 解，所以只能另外分組。解：原式 =(x2 y2 ) (ax ay)(x y)(x y) a(x y) (x y)(x y a)3、分解因式： a2 2ab b2 c2、十字相乘法一)二次項系數(shù)為 1 的二次三項式 直接利用公式 x2 (p q)x pq (x p)(x q) 進行分解。特點： (1)二次項系數(shù)是 1；(2)常數(shù)項是兩個數(shù)的乘積； (3)一次項系數(shù)是常數(shù)項的兩因數(shù)的和。十字相乘的基本規(guī)律 ：凡是能十字相乘的二次三項式 ax2+bx+c，都要求b2 4ac >0 而且是一個完全平方數(shù)。1、分解因式： x 2

11、5x 6分析：將 6分成兩個數(shù)相乘，且這兩個數(shù)的和要等于 5。由于 6=2×3=(-2) ×(-3)=1 ×6=(-1) ×(-6) ，從中可以發(fā)現(xiàn)只有 2×3的分解適合，即 2+3=5。 解： x2 5x 6=x2 (2 3)x 2 3 1 21 3= (x 2)(x 3) 1×2+1×3=5用此方法進行分解的關(guān)鍵： 將常數(shù)項分解成兩個因數(shù)的積， 且這兩個因數(shù)的代數(shù)和要等于一次 項的系數(shù)。2、分解因式： x 2 7x 6解：原式 =x2 ( 1) ( 6)x ( 1)( 6) 1 -1=(x 1)(x 6) 1 -6(-1

12、)+(-6)= -7(二) 二次項系數(shù)不為 1 的二次三項式 ax 2 bx c條件：( 1) a a1a2a1c1( 2) c c1c2a2c2( 3) b a1c2 a2 c1b a1c2 a2 c1分解結(jié)果： ax2 bx c=(a1x c1)(a2x c2 )3、分解因式： 3x2 11x 10分析： 1 -23 -5(-6)+(-5)= -11解：23x2 11x 10=(x 2)(3x 5)（三）二次項系數(shù)為 1 的二次多項式4、分解因式： a2 8ab 128b2分析：將 b 看成常數(shù)，把原多項式看成關(guān)于 a的二次三項式，利用十字相乘法進行分解1 8b1 -16b8b+（-16b

13、）= -8b解： a2 8ab 128b2 =a2 8b ( 16b)a 8b ( 16b)(a 8b)(a 16b)四）二次項系數(shù)不為1 的二次多項式例 9、 2x2 7xy 6y2例 10、 x2y2 3xy 2-2y2 -3y把 xy 看作一個整體 1-2(-3y)+(-4y)= -7y(-1)+(-2)= -3解：原式 =(x 2y)(2x 3y)解：原式 =(xy 1)(xy 2)、換元法1、分解因式( 1) 2005x 2 (20052 1)x 200522) (x 1)(x 2)(x 3)(x 6) x2解：( 1)設(shè) 2005=a ，則原式 =ax2 (a2 1)x a(ax

14、1)(x a)(2005x 1)(x 2005)（2）型如 abcd e 的多項式，分解因式時可以把四個因式兩兩分組相乘。原式 =(x2 7x 6)(x2 5x 6) x2設(shè) x2 5x 6 A ，則 x2 7x 6 A 2x 原式=(A 2x)A x2=A2 2Ax x22 2 2= (A x) 2=(x2 6x 6) 2 2、分解因式( 1) 2x4 x3 6x2 x 2 觀察： 此多項式的特點是關(guān)于 x的降冪排列，每一項的次數(shù)依次少 1，并且系數(shù)成“軸對稱” 這種多項式屬于“等距離多項式”。方法： 提中間項的字母和它的次數(shù)，保留系數(shù)，然后再用換元法。 解：原式= x2 (2x2x 6 1

15、12)=x2 2(x212)(x 1)6xx2x2 x設(shè) x 1 t ，則 x2 12 t 2 2 xx原式= x2 (2 t2 2) t 6 =x2 2t2 t 1021= x2 2t 5 t 2 =x2 2x 2 5 x 1 2xx2 1 2 2= x·2x5 ·x·x2 = 2x2 5x 2 x2 2x 1xx= (x 1)2 (2x 1)(x 2)(2) x4 4x3 x2 4x 1 解：原式 =x2(x24x 1 412 )=x2x2124 x 11xx2x2 x設(shè) x 1 y ，則 x2 12 y2 2 xx原式 =x2(y2 4y 3)=x2(y 1

16、)(y 3)=x2(x 1 1)(x 1 3)= x2 x 1 x2 3x 1 xx四、 添項、拆項、配方法1、分解因式(1) x3 3x2 4解法 2添解法 1拆項。原式=x3 1 3x2 3= (x 1)(x2 x 1) 3(x 1)(x 1)=(x 1)(x2 x 1 3x 3) =(x 1)(x2 4x 4) =2= (x 1)(x 2)2=(2) x9 x6 x3 3解：原式 =(x9 1) (x6 1) (x3 1)=(x3 1)(x6 x3 1) (x3 1)(x3 1) (x3 1)=(x3 1)(x6 x3 1 x3 1 1)=(x 1)(x2 x 1)(x6 2x3 3)

17、五、待定系數(shù)法1、分解因式 x2 xy 6y2 x 13y 6原式 =x3 3x2 4x 4x 4= x(x2 3x 4) (4x 4)x(x 1)(x 4) 4(x 1)2(x 1)(x2 4x 4)2(x 1)(x 2)2分析：原式的前 3 項 x2 xy 6y2 可以分為 (x 3y)(x 2y) ，則原多項式必定可分(x 3y m)(x 2y n)解：設(shè) x2 xy 6y2 x 13y 6=(x 3y m)(x 2y n) (x 3y m)(x 2y n)=x2 xy 6y2 (m n)x (3n 2m)y mn x2 xy 6y2 x 13y 6=x2 xy 6y2 (m n)x (

18、3n 2m)y mn對比左右兩邊相同項的系數(shù)可得mn13n 2m 13 ，解得 m 2 n3 mn 6原式 =(x 3y 2)(x 2y 3)2、1)當(dāng) m為何值時，多項式x2 y2 mx 5y 6 能分解因式，并分解此多項式(2)如果 x3 ax2 bx 8有兩個因式為 x 1和 x 2，求 a b 的值。1)分析： 前兩項可以分解為 (x y)(x y) ，故此多項式分解的形式必為 (x y a)(x y b)解：設(shè) x2 y2mx 5y 6=(x y a)(x y b)則 x2 y2 mx 5y 6=x2 y2 (a b)x (b a)y aba 2 a 2解得： b 3 或 b 3m

19、1 m 1abm 比較對應(yīng)的系數(shù)可得： b a 5 ，ab 6當(dāng) m 1時，原多項式可以分解； 當(dāng) m 1時，原式 =(x y 2)(x y 3) ； 當(dāng) m 1時，原式 =(x y 2)(x y 3)(2)分析： x3 ax2 bx 8 是一個三次式，所以它應(yīng)該分成三個一次式相乘，因此第三個因式必為形 如 x c 的一次二項式。解：設(shè) x3 ax2 bx 8=(x 1)(x 2)(x c)則 x3 ax2 bx 8=x3 (3 c)x2 (2 3c)x 2ca 3 ca 7 b 2 3c 解得 b 14 ，2c 8c 4 a b=21注意 一因式分解的一般步驟： 如果多項式的各項有公因式，那

20、么先提公因式； 如果各項沒有公因式，那么可以嘗試運用公式來分解； 如果用上述方法不能分解，那么可以嘗試用分組分解法或其他方法分解二從多項式的項數(shù)來考慮用什么方法分解因式 如果是兩項，應(yīng)考慮用提公因式法，平方差公式，立方和或立方差公式來分解因式 如果是二次三項式，應(yīng)考慮用提公因式法，完全平方公式，十字相乘法 如果是四項式或者大于四項式，應(yīng)考慮提公因式法，分組分解法三因式分解要注意的幾個問題：每個因式分解到不能再分為止相同因式寫成乘方的形式 因式分解的結(jié)果不要中括號 如果多項式的第一項系數(shù)是負數(shù)，一般要提出“ - ”號，使括號內(nèi)的第一項系數(shù)為正數(shù) 因式分解的結(jié)果，如果是單項式乘以多項式，把單項式寫

21、在多項式的前面鞏固練習(xí)：一、選擇題1、下列各式運算正確的是()2 3 5 2 3 5A. a a a B. a a a C.A. 6xB.6x5C.3、計算 ( 1a2b)32的結(jié)果正確的是()1 4 2 A. a bB.1ab3C.484、如圖，陰影部分的面積是 ( )79A xyB xyC 222 3 6 (ab ) abD.10 2 5 a a a2x6D.2x61 6 3 abD.1 5 3 ab884xyD2xy3 2 3 2 2 2 3 C. x 2a x a D. x 2ax 2a a2、計算 2x2 ( 3x3) 的結(jié)果是()2b2(D)4ab6、28a4b2÷7a3b的結(jié)果是 ( )(A)4ab 2 (B)4a4b(C)4a7、下列多項式的乘法中，不能用平方差公式計算的是(A 、(a b)( a b) BC 、 ( x y)(x y) D8、下列計算正確的是()2 2 2A 、( x y) x 2xy yC 、(4x 1)2 16x2 124 二、填空題、 (x4 y 4)(x4 y 4)、 (a3 b3)(a3 b3 )2 2 2 2B 、 ( x 3) 2x2 4x 9D、(1 a)2 1 1 a a22 4 21、如果 am 4，an 12，那么 am n=