高考數(shù)學(xué)(文)培優(yōu)二輪全國通用：專題八數(shù)學(xué)思想、數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)與數(shù)學(xué)文化第3講

1、第3講分類討論、轉(zhuǎn)化與化歸思想數(shù)學(xué)思想解讀 1.分類討論思想是當(dāng)問題的對象不能進(jìn)行統(tǒng)一研究時，就需要對 研究的對象按某個標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行分類，然后對每一類分別研究，給出每一類的結(jié)論， 最終綜合各類結(jié)果得到整個問題的解答.實(shí)質(zhì)上分類討論就是“化整為零，各個擊 破，再集零為整”的數(shù)學(xué)思想.2.轉(zhuǎn)化與化歸思想方法用在研究、解決數(shù)學(xué)問題時， 思維受阻或?qū)で蠛唵畏椒ɑ驈囊环N狀況轉(zhuǎn)化到另一種情形，也就是轉(zhuǎn)化到另一種 情境使問題得到解決，這種轉(zhuǎn)化是解決問題的有效策略，同時也是獲取成功的思 維方式.熱點(diǎn)聚焦|廿類突破I研盤點(diǎn)w ,析應(yīng)用熱點(diǎn)一分類討論思想的應(yīng)用應(yīng)用1由概念、法則、公式、性質(zhì)引起的分類討論【例1】(1)

2、若函數(shù)f(x)=ax(a>0, 2*1)在1, 2上的最大值為4,最小值為m, 且函數(shù)g(x)= (1 4m)X在0, +00)上是增函數(shù)，則a=.3(2)在等比數(shù)列an中,已知a3=2,=1a貝9-7=解析 若a>1,有a =4, a- =m.-1解得 a = 2, m=.此時g(x)= 5為減函數(shù)，不合題意.若 0<a<1,有 a' = 4, a2=m,一 11故a=4，m=16,檢驗(yàn)知符合題意.,39 (2)當(dāng) q=1 時，ai = a2=a3 = 2，S3=3ai = 2，顯然成立.tt 39當(dāng) qwl 時，由 a3 = 2，S3 = 2，aiq2=2.

3、ai (1 + q+q2) =2.2繪 ,J + q + q 由，行q2=3, 即 2q2q 1 = 0,11a3所以 q= g或 q= 1(舍去).當(dāng) q= 2時，a1 = =6, qq q3綜上可知，21=2或21 = 6.、13答案 (1)4 (2)2或6探究提高1.指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性取決于底數(shù) a,因此，當(dāng)?shù)讛?shù)a的大小不確定時，應(yīng)分0<a<1, a>1兩種情況討論.2.利用等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式時，若公比q的大小不確定，應(yīng)分q=1和q*1兩種情況進(jìn)行討論，這是由等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式?jīng)Q定的.【訓(xùn)練1】(1)(2018長沙一中質(zhì)檢)已知Sn為數(shù)列an的前n項(xiàng)和且

4、Sn=2an2, 則S5 S4的值為()A.8B.10C.16D.322x 1-2, x<1,已知函數(shù)f(x)=且f(a) = 3,則f(6a) = ()I-lOg2(X+ 1) , X>1 ,A.-7B.-5C.-3D.-14444解析 (1)當(dāng) n=1 時，a1 = S = 2a1 2,解得 a1 = 2.因?yàn)?Sn = 2an2,當(dāng) n2 時，Sn-1 = 2an-1-2,兩式相減得，an= 2an2an-1,即 an=2an-i,則數(shù)列an為首項(xiàng)為2,公比為2的等比數(shù)列，則 S5 S4= as = 2，= 32.若 a01,由 f(a) = 2a1 2= 3,則 2a1 =

5、 1 無解.因此a>1,從而 f(a) = 一 log2(a+1)= 3,解得 a= 7.所以 f(6a) = f(_1)=2-1-1 _ 2=_7.綜上所述，f(6 a)= ；.答案(1)D (2)A應(yīng)用2由圖形位置或形狀引起的分類討論x> 0,【例2】(1)已知變量x, y滿足的不等式組<y>2x,表示的是一個直角三角、kx- y+ 1 >0形圍成的平面區(qū)域，則實(shí)數(shù)k=()1 11A. 2B.2C.0D. 2或 0設(shè)圓錐曲線 C的兩個焦點(diǎn)分別為F1, F2,若曲線 C上存在點(diǎn)P滿足|PF1| ： |F1F2| ： |PF2|=4 ： 3 ： 2,則曲線 C 的

6、離心率等于.T-x> 0,解析(1)不等式組<y>2x,表示的可行域如圖(陰影部分)所示.x> 0,由圖可知，若要使不等式組y y>2x,表平面區(qū)域是直角三角形，只有當(dāng)直線kx y+ 1 >0kx y+ 1=0與直線y軸或y=2x垂直時才滿足.，一一，,，一，,1結(jié)合圖形可知斜率k的值為0或一2.(2)不妨設(shè)|PF1|=4t, |F1F2| = 3t, |PF2|=2t,其中 tw0.若該曲線為橢圓，則有|PFi|+|PF2| = 6t=2a,c 2c 3t 1|FlF2|=3=2c, e=a = 2a=6t = 2；若該曲線為雙曲線，則有|PFi|PF2|

7、=2t=2a,c 2c 3t 3|FiF21 3t 2c， ea 2a 2t 2.、1, 3答案 (1)D (2)2或3探究提高1.圓錐曲線形狀不確定時，常按橢圓、雙曲線來分類討論，求圓錐曲線的方程時，常按焦點(diǎn)的位置不同來分類討論.2.相關(guān)計(jì)算中，涉及圖形問題時，也常按圖形的位置不同、大小差異等來分類討論.【訓(xùn)練2】 設(shè)F1, F2為橢圓+y=1的兩個焦點(diǎn)，P為橢圓上一點(diǎn).已知P, F1, 9 4F2是一個直角三角形的三個頂點(diǎn)，且|PF1|>|PF2|,則黑的值為.解析 若 / PF2F1 = 90°.則 |PF112 = |PF2|2+ |F1F2|2,又因?yàn)?|PF1|十|

8、PF2|=6, |F1F2| = 2 .5,-144 一 |PF1| 7解得 |PF1|=§, |PF2| = 3,所以鬲=2.若/ F1PF2 = 90°,則 |F1F2|2=|PF1|2+ |PF2,所以 |PF1|2+(6一|PF1|)2 = 20,所以 |PF1|=4, |PF2|=2,所以用=2.綜上知，用=7或2.答案2或2應(yīng)用3由變量或參數(shù)引起的分類討論【例3】 已知f(x) = x aex(a R, e為自然對數(shù)的底數(shù)).(1)討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性；(2)若f(x)we"對x R恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.解(1)f'x)=1 aex,

9、當(dāng)a0 0時，f'x)>0,函數(shù)f(x)是(一oo, +oo)上的單調(diào)遞增函數(shù)；當(dāng) a>0 時，由 f'x1= 0 得 x= ln a,若 xC (00, in a),則 f，x)>0；若 xC (-in a, + oo),則 f'x)v0,所以函數(shù)f(x)在(一oo, in a)上的單調(diào)遞增，在(一in a,十)上的單調(diào)遞減.(2)f(x)< e2x? a>ex<- ex,、rx xrr .1 e x設(shè) g(x)=1一e,則 g x)=-x.ee當(dāng) x<0 時，1 e2x>0, g' x)>0,；g(x)在

10、(一, 0)上單調(diào)遞增.當(dāng) x>0 時，1 e2x<0, g' x)<0,；g(x)在(0, + 00)上單調(diào)遞減.所以 g(x)max= g(0) = - 1,所以 a> 1.故a的取值范圍是1, +°°).探究提高1.(1)參數(shù)的變化取值導(dǎo)致不同的結(jié)果，需對參數(shù)進(jìn)行討論，如含參數(shù)的方程、不等式、函數(shù)等.解析幾何中直線點(diǎn)斜式、斜截式方程要考慮斜率k存在或不存在，涉及直線與圓錐曲線位置關(guān)系要進(jìn)行討論.2.分類討論要標(biāo)準(zhǔn)明確、統(tǒng)一，層次分明，分類要做到“不重不漏”.【訓(xùn)練3】 已知函數(shù)f(x)=4x3+3tx2 6t2x+t1, xCR,其中t

11、C R.當(dāng)30時,求f(x)的單調(diào)區(qū)間.解 f'x)=12x2+6tx6t2令 f'x)=0,解得 x= 1或乂= 2.因?yàn)閠W0,所以分兩種情況討論：若t<0,則2< t.當(dāng)x變化時，f'x), f(x)的變化情況如下表：x1r c r°°，2.1-tj（t, +°°）f'x)十一十f(x)/所以，f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是8 , 2 ；, ( 3 +8);f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間是一 tj若t>0,則一t<2.當(dāng)x變化時，f'x), f(x)的變化情況如下表:x(一oo, t)I a(-+o

12、o ； e )f' (x)十一十f(x)z所以，f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是(一8, t), +8 j；f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間是t, d熱點(diǎn)二轉(zhuǎn)化與化歸思想應(yīng)用1特殊與一般的轉(zhuǎn)化【例4】(1)過拋物線y=ax2(a>0)的焦點(diǎn)F,作一直線交拋物線于P, Q兩點(diǎn).若線段PF與FQ的長度分別為p, q,則1+1等于() p qA.2aB.±C.4aD.42aa；y(a>0),焦點(diǎn) F(0, 4a)(2)(2017浙江卷)已知向量a, b滿足冏=1, |b|=2,則|a+b|+|a b|的最小值是解析(1)拋物線y= ax2(a>0)的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2=1過焦點(diǎn)F作直線

13、垂直于y軸，則|PF|=|QF|=%,.1+=4a. p q(2)由題意，不妨設(shè) b=(2, 0), a=(cos 9, sin貝U a+b= (2 +cos 0, sin 0), ab=(cos 0 2, sin ().令 y= |a+ b|+ |ab|=7 (2 +cos 0) 2+sin2 0+q (cos 0 2) 2 + sin2 8 =-；5+ 4cos 0+ - 15 4cos 0,令 y = 15 + 4cos 9+ 15-4cos 9, 則 y2=10+ 242516coJ 院16, 20.由此可得(|a+ b|+|a-b|)max=，20= 2限(|a+ b| + |ab|

14、)min=V16= 4,即|a+b|+|ab|的最小值是4,最大值是2乖.答案(1)C (2)4 2 5探究提高1.一般問題特殊化，使問題處理變得直接、簡單.特殊問題一般化，可 以使我們從宏觀整體的高度把握問題的一般規(guī)律，從而達(dá)到成批處理問題的效果.2.對于某些選擇題、填空題，如果結(jié)論唯一或題目提供的信息暗示答案是一個定 值時，可以把題中變化的量用特殊值代替，即可得到答案.【訓(xùn)練4】 設(shè)四邊形ABCD為平行四邊形，屈|=6, |AD| = 4.若點(diǎn)M, N滿足BM = 3MC, DN = 2nC,則AM NM = ()A.20B.15C.9D.6解析 若四邊形ABCD為矩形，建系如圖.由BMl

15、 = 3MC, DN = 2NC,知 M(6, 3), N(4, 4),.AM = (6, 3), NMl = (2, -1),AM NlM = 6X2+3X (-1)=9.答案 C應(yīng)用2函數(shù)、方程、不等式之間的轉(zhuǎn)化【例5】 已知函數(shù)f(x) = 3ex!若存在實(shí)數(shù)tC1, +8),使得對任意的xC1, m, mCZ且m>1,都有f(x+t)&3ex,試求m的最大值.解 當(dāng) tC 1, +oo)且 xC 1, m時，x+t>0, . .f(x+t)<3ex? ex+t<ex? t< 1 + In x x.原命題等價轉(zhuǎn)化為：存在實(shí)數(shù)tC 1, +8),使得不

16、等式t01 + ln x- x對任 意xC 1 , m恒成立.令 h(x) = 1 + ln xx(1 <x<m).,1- h x) = -1<0, x函數(shù)h(x)在1, +8)上為減函數(shù)，又 xC 1, m,. h(x)min= h(m)= 1 + ln mm.要使得對任意x 1 , m, t值包存在，只需 1 + In m m> 1.; h(3) =1n 3 2=lne >ln= - 1,h(4)=1n 43=ln1高k上；=1,又函數(shù)h(x)在1 , + 00)上為減函數(shù)，滿足條件的最大整數(shù)m的值為3.探究提高1.函數(shù)與方程、不等式聯(lián)系密切，解決方程、不等式

17、的問題需要函數(shù)幫助.2.解決函數(shù)的問題需要方程、不等式的幫助，因此借助于函數(shù)與方程、不等式進(jìn) 行轉(zhuǎn)化與化歸可以將問題化繁為簡，一般可將不等關(guān)系轉(zhuǎn)化為最值(值域)問題，從而求出參變量的范圍.x【訓(xùn)練5 若關(guān)于x的不等式電>64x在(0, +8)上恒成立，則實(shí)數(shù) m的取 x值范圍為()A.( 一 00, 2e- 2)B.(一00, 2e一萬-11、C.(2e 5, + °°)D.2e 2，+°°)x me 解析 ？x qo, +8)時恒有>6-4x.x2x26x 4xmex> 6x-4x ,、解得 log2x<- 1 或 log2x&

18、gt;3,即 0<x<2或 x>8, 故實(shí)數(shù)x的取值范圍是?，2 |：U (8, +oo).? m>x一. e6x - 4x2令 f(x)=ex ， e4x2-14x+6 2 (x-3) (2x-1) 則 f ' x)=ex=ex.由 f'x)>0,得 0<x<2或 x>3; f'x)<0,得2<x<3.故f(x)在/ 2加(3, +8)上遞增，在3，:遞減.11 一，；f(x)極大值=flg r 2e2,且 x+°° 時，f(x) 一 0.故 f(x)的最大值為 f；1 ,;= 2e

19、- 2,則 m>2e- 2.答案 D應(yīng)用3正與反、主與次的轉(zhuǎn)化【例6】設(shè)y=(log2x)2+(t2)log2x1+1,若t在2, 2上變化時，y包取正值，則x的取值范圍是.(2)若對于任意tC 1 , 2,函數(shù)g(x) = x(2)g'x) = 3x2+(m+4)x 2,若g(x)在區(qū)間(t, 3)上總為單調(diào)函數(shù),+ Jm+2 X2-2x在區(qū)間(t, 3)上總不為單調(diào) 函數(shù)，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是.解析 (1)設(shè) y=f(t) = (log2x 1)t+ (log2x)22log2x+ 1,則f(t)是一次函數(shù)，當(dāng)te 2, 2時，f(t)>0包成立，f ( 2) >0,(log2x) 24log2x+3>0,則j即j 2If (2) >0, I