高等數(shù)學(xué)(同濟(jì)第七版)上冊(cè)-知識(shí)點(diǎn)總結(jié)

1、高等數(shù)學(xué)(同濟(jì)第七版)上冊(cè)-知識(shí)點(diǎn)總結(jié)第一章函數(shù)與極限一.函數(shù)的概念1 .兩個(gè)無(wú)窮小的比較設(shè)lim f (x) =0,lim g(x) =0 且iim _L(x) =1g(x)(1) 1 = 0 ,稱(chēng)f(x)是比g(x)高階的無(wú)窮小，記以f (x) = 0 g(x),稱(chēng)g(x)是比f(wàn)(x)低階 的無(wú)窮小。(2) 1豐0 ,稱(chēng)f (x)與g(x)是同階無(wú)窮小。(3) 1 = 1 ，稱(chēng)f (x)與g(x)是等價(jià)無(wú)窮小，記以f (x) g(x)2 .常見(jiàn)的等價(jià)無(wú)窮小 當(dāng)x 一0時(shí)sin x x, tan x x, arcsinx 1- cos x xA2/2 , ex-1 x1 x, arccosx

2、 x,1n(1+x) x , (1 +x)a-1 ax二.求極限的方法1 .兩個(gè)準(zhǔn)則準(zhǔn)則1.單調(diào)有界數(shù)列極限一定存在準(zhǔn)則2.(夾逼定理)設(shè)g(x) w f (x) w h(x)若 lim g (x) = A, lim h(x) = A ,則 lim f (x) = A2 .兩個(gè)重要公式sinx d公式1 lim 1 x 0 x公式 2 lim(1 x)1/x = e3 .用無(wú)窮小重要性質(zhì)和等價(jià)無(wú)窮小代換4 .用泰勒公式當(dāng)x，0時(shí)，有以下公式，可當(dāng)做等價(jià)無(wú)窮小更深層次 23nex 1x.o(xn)2!3!n!352n 1XXn x2 2n 1sin x = x 一一 一 . (-1) o(x )

3、3!5!(2n1)!242ncosx =1 . (-1)n - o(x2n)2!4!2n!23nx xn 1 x , nln( 1 x);x - . (-1)- o(x )23n(1 x):1 ：x 1)x2 . ： (? -1).G -(n-1)xn o(xn) 2!n!352n 1x xn 1 x . / 2n 1arctan x = x - -. (-1) o(x )352n 15.洛必達(dá)法則定理1 設(shè)函數(shù)f(x)、F(x)滿(mǎn)足下列條件：(1) lim f (x) = 0 , lim F(x) = 0 ; X p0x Po(2) f(x)與F(x)在xo的某一去心鄰域內(nèi)可導(dǎo)，且F'

4、;(x)，0;(3) lim f (x)存在(或?yàn)闊o(wú)窮大),則im f (x) = lim f (x)x 兇 F (x)x 汽 f(x) x x f «)這個(gè)定理說(shuō)明：當(dāng)lim工8 存在時(shí)，lim也存在且等于lim上但；當(dāng)m28 為x ：x° F (x)x a F (x)x K0 F (x) x g F (x)無(wú)窮大時(shí)，lim 里 也是無(wú)窮大.x 代 F (x)這種在一定條件下通過(guò)分子分母分別求導(dǎo)再求極限來(lái)確定未定式的極限值的方法稱(chēng)為洛必達(dá)(L H ospital )法則.三型未定式Q0定理2設(shè)函數(shù)f(x)、F(x)滿(mǎn)足下列條件：(1) lim f (x) =°a

5、 , lim F (x) = ; x 兇x 0(2) f(x)與F(x)在x°的某一去心鄰域內(nèi)可導(dǎo)，且F'(x)/0;(3) lim f ,(x)存在(或?yàn)闊o(wú)窮大)，則lim23 = lim上野x 兇 F (x)x，x° F(x) x 刈 f (x)注：上述關(guān)于xt x0時(shí)未定式吸型的洛必達(dá)法則，對(duì)于xt g時(shí)未定式三型同樣適用. 00Q0使用洛必達(dá)法則時(shí)必須注意以下幾點(diǎn)：(1)洛必達(dá)法則只能適用于“ e”和“三”型的未定式，其它的未定式須先化簡(jiǎn)變形0成“0”或“望”型才能運(yùn)用該法則；0二(2)只要條件具備，可以連續(xù)應(yīng)用洛必達(dá)法則；(3)洛必達(dá)法則的條件是充分的，但

6、不必要.因此，在該法則失效時(shí)并不能斷定原極 限不存在.6 .利用導(dǎo)數(shù)定義求極限基本公式.f(x°Sx)-f(x0)= f'(x0)(如果存在)-x0x7 .利用定積分定義求極限1nk1基本格式lim-£ f() = Jf(x)dx (如果存在)n-':':n kmn0三.函數(shù)的間斷點(diǎn)的分類(lèi)函數(shù)的間斷點(diǎn)分為兩類(lèi)：(1)第一類(lèi)間斷點(diǎn)設(shè)Xo是函數(shù)y = f (x)的間斷點(diǎn)。如果f (x)在間斷點(diǎn)Xo處的左、右極限都存在，則稱(chēng)Xo是 f (x)的第一類(lèi)間斷點(diǎn)。左右極限存在且相同但不等于該點(diǎn)的函數(shù)值為可去間斷點(diǎn)。左右極 限不存在為跳躍間斷點(diǎn)。第一類(lèi)間斷點(diǎn)包括可

7、去間斷點(diǎn)和跳躍間斷點(diǎn)。(2)第二類(lèi)間斷點(diǎn)第一類(lèi)間斷點(diǎn)以外的其他間斷點(diǎn)統(tǒng)稱(chēng)為第二類(lèi)間斷點(diǎn)。常見(jiàn)的第二類(lèi)間斷點(diǎn)有無(wú)窮間斷點(diǎn)和振蕩間斷點(diǎn)。四閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)在閉區(qū)間 a, b 上連續(xù)的函數(shù)f (x) ，有以下幾個(gè)基本性質(zhì)。這些性質(zhì)以后都要用到。定理1.(有界定理)如果函數(shù)f (X)在閉區(qū)間a, b上連續(xù)，則f (x)必在a, b上有界。定理 2 (最大值和最小值定理)如果函數(shù)f (x) 在閉區(qū)間 a, b 上連續(xù)，則在這個(gè)區(qū)間上一定存在最大值M 和最小值 m 。定理 3 (介值定理)如果函數(shù)f (x) 在閉區(qū)間 a, b 上連續(xù)，且其最大值和最小值分別為 M 和m,則對(duì)于介于mfDM之間的任何

8、實(shí)數(shù)c,在a, b上至少存在一個(gè)七,使得f (己)=c推論：如果函數(shù)f (x)在閉區(qū)間a, b上連續(xù)，且f (a)與f (b)異號(hào)，則在(a, b)內(nèi)至少 存在一個(gè)點(diǎn)己，使得f (己)=0這個(gè)推論也稱(chēng)為零點(diǎn)定理第二章導(dǎo)數(shù)與微分一.基本概念1 .可微和可導(dǎo)等價(jià)，都可以推出連續(xù)，但是連續(xù)不能推出可微和可導(dǎo)二.求導(dǎo)公式 ©'=% (sin0的方二58'打什) (sec , = sec xtan x(9) S)'"% %nV1gg =-(H)xiaa.v (arcsm x)-(13)M-/ /(田)一卬產(chǎn)、(ccsx/= -stn96萬(wàn))=一由4 (esc

9、X)t = CSCXCOt(12)(In x)r =# P卡(14)(arccos 力,=J1 丁(iU Ltdll X/ =t(15)1+Xq(即回=L1+工，設(shè)我，v =，*)炯導(dǎo)，如3)=3 «是常數(shù))戶(hù)(3) (kv)r = irv+ uvj u uv uv(shx)*1 = dut+i(chj(y = shxgy =!_dr5“(arslucV：=： j(archly =-1=信.Lp(arttx)=:1 JC* <j三.常見(jiàn)求導(dǎo)2 .復(fù)合函數(shù)運(yùn)算法則3 .由參數(shù)方程確定函數(shù)的運(yùn)算法則設(shè)x ="t) , y=中確定函數(shù)y = y(x),其中6(t),邛

10、9;(t)存在，且*(t) w 0,則 或=2° dx ,(t)4 .反函數(shù)求導(dǎo)法則設(shè)y = f (x)的反函數(shù)x = g(y),兩者皆可導(dǎo)，且f ' (x)豐0則 g'(y)f'(x)f'(g(y)(f'(x)=0)5 .隱函數(shù)運(yùn)算法則設(shè)y = y(x)是由方程F(x, y) = 0所確定，求y'的方法如下：把F(x, y) = 0兩邊的各項(xiàng)對(duì)x求導(dǎo)，把y看作中間變量，用復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)公式計(jì)算，然后再 解出y'的表達(dá)式(允許出現(xiàn)y變量)6 .對(duì)數(shù)求導(dǎo)法則(指數(shù)類(lèi)型 如y = xsinx)先兩邊取對(duì)數(shù)，然后再用隱函數(shù)求導(dǎo)方法得出導(dǎo)

11、數(shù) y'。對(duì)數(shù)求導(dǎo)法主要用于：幕指函數(shù)求導(dǎo)數(shù)多個(gè)函數(shù)連乘除或開(kāi)方求導(dǎo)數(shù)(注意定義域。關(guān) 于幕指函數(shù)y = f (x) g (x)常用的一種方法,y = eg(x)lnf(x)這樣就可以直接用復(fù)合函數(shù)運(yùn) 算法則進(jìn)行。7 .求n階導(dǎo)數(shù)(n>2 ,正整數(shù))先求出y' , y'',，總結(jié)出規(guī)律性，然后寫(xiě)出y(n),最后用歸納法證明。有一些常用 的初等函數(shù)的n階導(dǎo)數(shù)公式(1) y=ex,y(n)=exx (n) xn(2) y =a , y =a (ln a)(3) y =sinx, y(n) =sin(x+:)(n)/ n (4) y=cosx, y =cos(x

12、+ ) 2(5) y =lnx, y=(_1)nJ1(n 1)!x兩個(gè)函散乘積的n斷存數(shù)有集布尼經(jīng)公式A-0(五) = #) ,其中 J ， 上! |丹一十 K卜"(|工Wk I修役列廿和l，(T)都花S階可，第三章微分中值定理與導(dǎo)數(shù)應(yīng)用1 .羅爾定理設(shè)函數(shù)f (x)滿(mǎn)足(1)在閉區(qū)間a, b上連續(xù)；(2)在開(kāi)區(qū)間(a, b)內(nèi)可導(dǎo)；(3) f (a) = f (b) 則存在七C(a, b),使得f '(己)=02 .拉格朗日中值定理設(shè)函數(shù)f (x)滿(mǎn)足(1)在閉區(qū)間a, b上連續(xù)；(2)在開(kāi)區(qū)間(a, b)內(nèi)可導(dǎo)；則存在己C(a,b),使得f(b) -f(a) = f

13、9;信)b - a推論1.若f (x)在(a, b)內(nèi)可導(dǎo)，且f ' (x)三0,則f (x)在(a, b)內(nèi)為常數(shù)。推論 2.若 f (x) , g(x) ft (a, b)內(nèi)皆可導(dǎo)，且 f ' (x)三 g' (x),則在(a, b)內(nèi) f (x) = g( x)+ c,其中c為一個(gè)常數(shù)。3 .柯西中值定理設(shè)函數(shù)f (x)和g(x)滿(mǎn)足：(1)在閉區(qū)間a, b上皆連續(xù)；(2)在開(kāi)區(qū)間(a,b)內(nèi)皆可導(dǎo)；且g'(x) 豐0則存在士 (a, b)使得 f (b) - f (a)= f (一)(a<b)g(b) -g(a) g'()(注：柯西中值定理

14、為拉格朗日中值定理的推廣，特殊情形g(x) = x時(shí)，柯西中值定理就是拉格朗日中值定理。)四.泰勒公式( 估值 求極限(麥克勞林)定理1 .(皮亞諾余項(xiàng)的n階泰勒公式)設(shè)f (x)在0 x處有n階導(dǎo)數(shù)，則有公式幻=工 r J +凡 其中 當(dāng)卜)=。卜 一，J義* -亞諾余項(xiàng) 定理2 (拉格朗日余項(xiàng)的n階泰勒公式) 設(shè)f (x)在包含0 x的區(qū)間(a, b)內(nèi)有n+1階導(dǎo)數(shù)，在a, b上有n階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，則對(duì)xea, b,有公式I.-M,國(guó)中及卜)=要樺(彳-方”伊+ ”，稱(chēng)為拉格朗日余項(xiàng)上面展開(kāi)式稱(chēng)為以0(x)為中心的n階泰勒公式。當(dāng)xo=0時(shí)，也稱(chēng)為n階麥克勞林公式。常用公式(前8個(gè))sin

15、jt =4（-十丁川 霓（5十年+pBiB+, A* +一=工 （一9+就）2?也!（-1丫+ t：工°川+,、H E （叫+心）（加+ 1）1c（切！+ JT - - +）+,JT £ （ 1,1123“41«=丁 （-1）x' = 1-X + J3 -jr1 +1-' （-1） x11 + 1、H E （1,1）1+x餐f1 產(chǎn) -a（r-l） （a-+D I -儀戊”/既立一 Qf+I）in（14-XJ = 1+ > Jf =1 +登上+:； +-1 +X +、J；g-L）用.印!2!力.!uclufi A = V -J：'11

16、*1 =工 一 1工 j!/ 4- T ?）- 戛"，4M （1,11士2左4135 加+1''arcsin x =（J- ，冷洞 I 5-735*I2同）！ 2PH, jcr+x +jc +x +十x 十/ e fLll 44便!（工度 + 1）64011211524”（睦）<2兜十 1）+工 w - L1）國(guó)式-4丫（1-1）加一一二以之 八 仃 八 陵.乙i加之內(nèi)，±18442 制95圖 小 市市3153152335155925608107563851 招 751A/ + 73 f, 14WH7 6M80031 2 1川。6538718/1003

17、，父E （0/ / / /內(nèi)一十二一一十,卡7十一 ”二七（一8,-0）3t 5!7!（24-1）!0 0制刊弓h(huán)f * （抗+i）rJfW jfi）近去凈付平產(chǎn)b"為上八匹仁31531*2835155925Mg（一爐）!、x3前¥ = > 工石_- 丁 一小一白.（柞0+1）6354C 1121152升2 + 1告。1）"（2 切環(huán)舊加拉一工產(chǎn)=Iu2a-2iiM T-A432,”288+J小It£i0用5-zL-+.s|x|<l& 十1X+ 一* +HF " 一葉251357五.導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用一.基本知識(shí)設(shè)函數(shù)f （X）在X

18、o處可導(dǎo)，且Xo為f（X）的一個(gè)極值點(diǎn)，則f'（Xo）=0。我們稱(chēng)X滿(mǎn)足f'（Xo）=0的X。稱(chēng)為f（X）的駐點(diǎn)，可導(dǎo)函數(shù)的極值點(diǎn)一定是駐點(diǎn)，反之不然。 極值點(diǎn)只能是駐點(diǎn)或不可導(dǎo)點(diǎn)，所以只要從這兩種點(diǎn)中進(jìn)一步去判斷。極值點(diǎn)判斷方法1 .第一充分條件f (x)在x0的鄰域內(nèi)可導(dǎo)，且 f '(X0)= 0 ,則若當(dāng)x < X0時(shí)，f '(x) A 0 ,當(dāng) xx。時(shí)，f'(x)c0,則x°為極大值點(diǎn)；若當(dāng)xmx0時(shí)，"(x)<0,當(dāng)x> x0時(shí)， f '(x) >0 ,則x°為極小值點(diǎn)；若在x&#

19、176;的兩側(cè)f '(x)不變號(hào)，則x0不是極值點(diǎn).2 .第二充分條件f (x)在x0處二階可導(dǎo)，且f '(x。)= 0 , f "(x0)豐0 ,則若f ”(x0) < 0,則x0為極 大值點(diǎn)；若f ”(%) A 0 ,則x°為極小值點(diǎn).3 .泰勒公式判別法(用的比較少，可以自行百度)二.凹凸性與拐點(diǎn)1 .凹凸的定義設(shè)f (x)在區(qū)間I上連續(xù)，若對(duì)任意不同的兩點(diǎn)1 2 x , x ,包有/比4/(>“/”工卜3匹j+則稱(chēng)f (x)在I上是凸(凹)的。在幾何上，曲線(xiàn)y = f (x)上任意兩點(diǎn)的割線(xiàn)在曲線(xiàn)下(上)面，則 y = f (x)是凸(凹

20、)的。 如果曲線(xiàn)丫 = f (x) 有切線(xiàn)的話(huà)，每一點(diǎn)的切線(xiàn)都在曲線(xiàn)之上(下)則 y = f (x) 是凸(凹) 的。2 .拐點(diǎn)的定義曲線(xiàn)上凹與凸的分界點(diǎn)，稱(chēng)為曲線(xiàn)的拐點(diǎn)。3 .凹凸性的判別和拐點(diǎn)的求法設(shè)函數(shù)f (x)在(a, b)內(nèi)具有二階導(dǎo)數(shù)f''(x),如果在(a, b)內(nèi)的每一點(diǎn)x,包有f''(x) > 0 ,則曲線(xiàn)y = f (x)在(a, b)內(nèi)是凹的； 如果在(a, b)內(nèi)的每一點(diǎn)x,包有f''(x)< 0,則曲線(xiàn)y = f (x)在(a, b)內(nèi)是凸的。求曲線(xiàn)y = f (x)的拐點(diǎn)的方法步驟是：第一步：求出二階導(dǎo)數(shù)f

21、''(x)；第二步：求出使二階導(dǎo)數(shù)等于零或二階導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn)x1,x2,.xk ;第三步：對(duì)于以上的連續(xù)點(diǎn)，檢驗(yàn)各點(diǎn)兩邊二階導(dǎo)數(shù)的符號(hào)，如果符號(hào)不同，該點(diǎn)就是拐點(diǎn) 的橫坐標(biāo)；第四步：求出拐點(diǎn)的縱坐標(biāo)。三.漸近線(xiàn)的求法1.垂直漸近線(xiàn)行 htn /(t) = oo 或 lim f(1)=qoXHf-I則耳=B為曲線(xiàn)尸=f的一條垂直漸近線(xiàn)。2.水平新近線(xiàn)若 Em 其）=b ,或 liin = b則尸=8是曲線(xiàn) = /（工）的一條水平漸近線(xiàn).3,斜漸近線(xiàn)若 lim ' = q # 0 r Imi /（幻一 s = b 宣 T+a： XJfTY或 liru ' ） = a

22、 羊 0 + liui/（.Y）-d.r = b 則尸=G + b是曲線(xiàn)尸=f（X）的一條斜漸近線(xiàn).四.曲率設(shè)曲線(xiàn)y = f（x），它在點(diǎn)處的曲率尸k = T-匕FT，若ks則稱(chēng)& = 一為點(diǎn)）平夫的曲率半徑，在A(yíng)f點(diǎn)的法絳上,凹向這一邊取一點(diǎn)D.使|MD卜E,則稱(chēng)D為曲率中心,以D為圓心，及為半 徑的圓周稱(chēng)為曲率期I。第四章不定積分.基本積分表:ftgxdx = In cosx +Cfctgxdx = ln sinx +Cfsecxdx =ln secx +tgx +C.與 cos x 黑 sin x2二 sec xdx = tgx C2=csc xdx = -ctgx Csecx

23、tgxdx = secx Cfcscxdx =ln cscx -ctgx +Cdxx -adx1x-2=-arctg-Ca xaa1 , x -a=In2a x +acscx ctgxdx - - cscx Cxx a _axdx =CIn ashxdx = chx Cchxdx = shx Cdx 11axe2 'lnCa -x 2a a-xdx22a -x.x 心= arcsin- C adx22x 二 a=ln(x . x2 a2) C22nnn -1 1= sin xdx = cos xdx =I n/oon2 x2 a2dx = *x2a2 ln(xx2a2) C22, 2i

24、2 r22 . x 22 al , r22 , _|x -a dx= x -a In x + vx -a +C 222 2 2 x 2 2 a . x- a -x dx -. a - x arcsin C22 a二.換元積分法和分部積分法換元積分法(1)第一類(lèi)換元法(湊微分)：f*(x)中(x)dx = 7 f (u)du1 u4(x) 第二類(lèi)換元法(變量代換)：f(x)dx= ftp(t)cp H(t)dtt=cp_1(x) 分部積分法udv = uv - vdu使用分部積分法時(shí)被積函數(shù)中誰(shuí)看作 u(x)誰(shuí)看作v'(x)有一定規(guī)律。記住口訣，反對(duì)幕指三為u(x),靠前就為u(x),例

25、如1f ex arcsin xdx ,應(yīng)該是arcsin x為u(x), 因?yàn)榉慈呛瘮?shù)排在指數(shù)函數(shù)之前，同理可以推出其他。三.有理函數(shù)積分有理函數(shù):,其中P(x)和Q(x)是多項(xiàng)式簡(jiǎn)單有理函數(shù):f(x) =P(x)1 xf(x)P(x)1 x2f(x) =f(x) =P(x) (x a)(x b) P(x) (x a)2 b2、變量代換（三角代換、倒代換、根式代換等）第五章定積分.概念與性質(zhì)b1、定義:f (x)dx = lim % f ( i) xia0 一i =12、性質(zhì)：（10條）j f(x)dx = -£ f(x)dx(2)f =。Juh.(T)+ 月/ (t)cZy =

26、k(3 )(4)f /G）?。?。也可以在|口,“之外）(5)設(shè)"WB, /卜)工 g(x) (n K x K 3),則 (6)設(shè)<分，ni < /(x)<M (<7 < x < fe)f 則b f(x)dx<M(b-a)£/(r)rfx <£|/(xpx（8）定積分中值定理設(shè)/在卜上連續(xù)，則存在fxdx = f£b-a；定義:我們稱(chēng)- b - d/卜依為/用在儲(chǔ)間上的積 Ja分平均值(9)奇偶函數(shù)的積分性質(zhì)fxix = 0 (/奇函數(shù))(/(彳四二2，f(x)dx (/偶函數(shù))J-白(10)周期函數(shù)的積分性

27、質(zhì)設(shè)/(.*)以丁為周期，為常數(shù)，則/(班=£ f(x)dx3.基本定理x變上限積分：設(shè)(x)=If (t)dt ,則(x) = f (x)推廣 ad：(x)菽：丁出川：(x)：-f，便bN-L公式：若F (x)為f (x)的一個(gè)原函數(shù)，則f (x)dx = F (b) - F (a) a4.定積分的換元積分法和分部積分法1 .定積分的換元積分法設(shè)/在卜卜.連續(xù)，若變量替換1 = 0滿(mǎn)足(1) ”(r)在反#(或/?_“)上連續(xù)：(2)0(1)二"，(pp - b ,且當(dāng)a玉FE/5時(shí), a <?()=b ,則 £ /(*依二J： /尹(，加'卜股2

28、 .定積分的分部積分法設(shè)/y(x)在口，同上連續(xù),則£ ,心卜心四="(工卜(“：- £/(%卜(工田 域J (£)t7y(K)= (A)(1)；J O加用二.定積分的特殊性質(zhì)1 .對(duì)稱(chēng)區(qū)間上的函數(shù)的定枳分性質(zhì)iSf (x)在卜a,可上連續(xù)，則K)dx=j：/(N)+f t-x)dx2 .三角函數(shù)定積分性質(zhì)JT尋(1)i殳Rk)在0.】卜一連續(xù)* 則j：/(siTixdx-j/(cosx) dx±設(shè)"x)在0,l上連續(xù). !|J /(smx) dx=2j/(sinx) dx設(shè)網(wǎng)幻在O1 連續(xù). Mlj£ xf(sinx) d

29、x=-j /(sinx) dK= nJ；/(sinkdx(4)點(diǎn)火公式3 .周期函數(shù)定枳分的性質(zhì)乂)dx=£/(x> dxJ：/g dx=n£7(x) dx第六章 定積分的應(yīng)用.平面圖形的面積b.12.極坐標(biāo)：A =； i2G)di2 ,工二.體積1.旋轉(zhuǎn)體體積：a)曲邊梯形y = f (x), x= a,x = b,x軸，繞x軸旋轉(zhuǎn)而成的旋轉(zhuǎn)體的體積：b 2Vx = a,f 2(x)dxb)曲邊梯形y = f (x), x = a, x = b, x軸，繞y軸旋轉(zhuǎn)而成的旋轉(zhuǎn)體的體積: bVy = 1 2nxf (x)dx(柱殼法)a三.弧長(zhǎng)1 .直角坐標(biāo)：s = J Ji + f(x) 2 dx a2 .參數(shù)方程：s;)12 + ) 1t)2出極坐標(biāo)：s = .一 !)】2 .1：.(1 ) 1 2d第七章微分方程一.概念1 .微分方程：表示未知函數(shù)、未知函數(shù)的導(dǎo)數(shù)及自變量之間關(guān)系的方程.階：微分方程中