重慶大學(xué)工程彈塑性力學(xué)-第一章

1、彈塑性力學(xué)彈塑性力學(xué)重慶大學(xué)重慶大學(xué) 土木工程學(xué)院土木工程學(xué)院緒論緒論0.1 課程研究對(duì)象、研究任務(wù)課程研究對(duì)象、研究任務(wù)0.2 基本假定基本假定0.3 幾個(gè)基本概念幾個(gè)基本概念0.4 參考書(shū)目參考書(shū)目0.1 彈塑性力學(xué)的研究對(duì)象和任務(wù)彈塑性力學(xué)的研究對(duì)象和任務(wù)彈塑性力學(xué)彈塑性力學(xué): :研究可變形固體受到外荷載、溫度研究可變形固體受到外荷載、溫度變化及邊界約束變動(dòng)等作用時(shí)、彈變化及邊界約束變動(dòng)等作用時(shí)、彈塑性變形和應(yīng)力狀態(tài)的科學(xué)。塑性變形和應(yīng)力狀態(tài)的科學(xué)。固體力學(xué)的一個(gè)分支學(xué)科固體力學(xué)的一個(gè)分支學(xué)科研究對(duì)象研究對(duì)象: :對(duì)實(shí)體結(jié)構(gòu)、板殼結(jié)構(gòu)、桿件的進(jìn)對(duì)實(shí)體結(jié)構(gòu)、板殼結(jié)構(gòu)、桿件的進(jìn)一步分析。一步

2、分析。PPP研究方法研究方法: :材料力學(xué)、結(jié)構(gòu)力學(xué)材料力學(xué)、結(jié)構(gòu)力學(xué): :簡(jiǎn)化的數(shù)學(xué)模型簡(jiǎn)化的數(shù)學(xué)模型研究任務(wù)研究任務(wù): :彈塑性力學(xué)彈塑性力學(xué): :較精確的數(shù)學(xué)模型較精確的數(shù)學(xué)模型建立并給出用材料力學(xué)、結(jié)構(gòu)力學(xué)方建立并給出用材料力學(xué)、結(jié)構(gòu)力學(xué)方法無(wú)法求解的問(wèn)題的理論和方法。法無(wú)法求解的問(wèn)題的理論和方法。給出初等理論可靠性與精確度的度量。給出初等理論可靠性與精確度的度量。學(xué)習(xí)目的學(xué)習(xí)目的: :確定一般工程結(jié)構(gòu)的彈塑性變形與內(nèi)確定一般工程結(jié)構(gòu)的彈塑性變形與內(nèi)力的分布規(guī)律。力的分布規(guī)律。確定一般工程結(jié)構(gòu)的承載能力。確定一般工程結(jié)構(gòu)的承載能力。為研究一般工程結(jié)構(gòu)的強(qiáng)度、振動(dòng)、為研究一般工程結(jié)構(gòu)的強(qiáng)

3、度、振動(dòng)、穩(wěn)定性打下理論基礎(chǔ)。穩(wěn)定性打下理論基礎(chǔ)。0.2 基本假定基本假定1).1).假定固體材料是連續(xù)介質(zhì)假定固體材料是連續(xù)介質(zhì)連續(xù)性假定連續(xù)性假定2).2).物體為均勻的物體為均勻的各向同性各向同性的的3).3).物體的變形屬于物體的變形屬于小變形小變形4).4).物體原來(lái)是處于一種物體原來(lái)是處于一種無(wú)應(yīng)力無(wú)應(yīng)力的自然狀態(tài)的自然狀態(tài)0.3 幾個(gè)基本概念幾個(gè)基本概念張量的概念張量的概念只需指明其大小即足以被說(shuō)明的物理量，稱為標(biāo)量標(biāo)量溫度、質(zhì)量、力所做的功除指明其大小還應(yīng)指出其方向的物理量，稱為矢量矢量物體的速度、加速度在討論力學(xué)問(wèn)題時(shí)，僅引進(jìn)標(biāo)量和矢量的概念是不夠不夠的如應(yīng)力狀態(tài)、應(yīng)變狀態(tài)、

4、慣性矩、彈性模量等張量張量關(guān)于三維空間，描述一切物理恒量的分量數(shù)目可統(tǒng)一地表示成： M=rn=3n標(biāo)量標(biāo)量:n=0,:n=0,零階張量零階張量矢量矢量:n=1,:n=1,一階張量一階張量應(yīng)力應(yīng)力, ,應(yīng)變等應(yīng)變等:n=2,:n=2,二階張量二階張量二階以上的張量已不可能在三維空間有明顯直觀的幾何意義。0.3 幾個(gè)基本概念幾個(gè)基本概念為了書(shū)寫(xiě)上的方便，在張量的記法中，都采用下標(biāo)字母符號(hào)來(lái)表示和區(qū)別該張量的所有分量。這種表示張量的方法，就稱為下標(biāo)記號(hào)法下標(biāo)記號(hào)法。123( , , )( ,(1,)2,3ix y zx x xx i 下標(biāo)記號(hào)法下標(biāo)記號(hào)法: :,(, ),xxxyxzyxyyyzzx

5、ijzyzzi jx y z不重復(fù)出現(xiàn)的下標(biāo)符號(hào),在其變程N(yùn)(關(guān)于三維空間N3)內(nèi)分別取數(shù)1，2，3，N重復(fù)出現(xiàn)的下標(biāo)符號(hào)稱為啞標(biāo)號(hào),取其變程N(yùn)內(nèi)所有分量，然后再求和，也即先羅列所有各分量，然后再求和。自由標(biāo)號(hào)自由標(biāo)號(hào): :啞標(biāo)號(hào)啞標(biāo)號(hào): :0.3 幾個(gè)基本概念幾個(gè)基本概念當(dāng)一個(gè)下標(biāo)符號(hào)在一項(xiàng)中出現(xiàn)兩次時(shí)，這個(gè)下標(biāo)符號(hào)應(yīng)理解為取其變程N(yùn)中所有的值然后求和，這就叫做求和約定求和約定。求和約定求和約定: :1 122331122331 12 23 3( :1,2,3( :,1,2,3iiiiNiij jiiia xa xa xa xiiSlllliji j啞標(biāo)，）自由下標(biāo)，啞標(biāo)，）d dij記號(hào)記

6、號(hào)：Kroneker-delta記號(hào)記號(hào)1001,0100,001ijijijijdd張量表示：0.3 幾個(gè)基本概念幾個(gè)基本概念凡是同階的兩個(gè)或兩個(gè)以上的張量可以相加(減），并得到同階的一個(gè)新張量，法則為：張量的計(jì)算張量的計(jì)算: :ijkijkijkABC1 、張量的加減第一個(gè)張量中的每一個(gè)分量乘以第二個(gè)張量中的每一個(gè)分量，從而得到一個(gè)新的分量的集合新張量，新張量的階數(shù)等于因子張量的階數(shù)之和。2 、張量的乘法ijklijkla bC張量導(dǎo)數(shù)就是把張量的每個(gè)分量都對(duì)坐標(biāo)參數(shù)求導(dǎo)數(shù)。3 、張量函數(shù)的求導(dǎo)312,123ii iiuuuuuxxxx2222,yixzi jkjkjkjkjkuuuuux

7、xxxxxxx 0.4 主要參考書(shū)目主要參考書(shū)目Foundations of Solid Mechanics1 、Y.C.Fung(馮元楨)2 、楊桂通3 、徐秉業(yè)A first course in continuum mechanics 固體力學(xué)導(dǎo)論固體力學(xué)導(dǎo)論連續(xù)介質(zhì)力學(xué)導(dǎo)論連續(xù)介質(zhì)力學(xué)導(dǎo)論彈塑性力學(xué)彈塑性力學(xué)應(yīng)用彈塑性力學(xué)應(yīng)用彈塑性力學(xué)第一章第一章 彈塑性力學(xué)基礎(chǔ)彈塑性力學(xué)基礎(chǔ)1.1 應(yīng)力張量應(yīng)力張量1.2 偏量應(yīng)力張量偏量應(yīng)力張量1.3 應(yīng)變張量應(yīng)變張量1.4 應(yīng)變速率張量應(yīng)變速率張量1.5 應(yīng)力、應(yīng)變應(yīng)力、應(yīng)變 Lode參數(shù)參數(shù)0limnnApA 1.1 應(yīng)力張量力學(xué)的語(yǔ)言力學(xué)的語(yǔ)言

8、yxzOnnA0limsnApA C過(guò)過(guò)C點(diǎn)可以做無(wú)點(diǎn)可以做無(wú)窮多個(gè)平面窮多個(gè)平面K不同的面上的應(yīng)不同的面上的應(yīng)力是不同的力是不同的到底如何描繪一到底如何描繪一點(diǎn)處的應(yīng)力狀態(tài)點(diǎn)處的應(yīng)力狀態(tài)? ?1).1).一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)yxzOyxyzyyxyzyzxzyzxyxzxxyxzxzxzyzPABCxxyxzijyxyyzzxzyz1.1 應(yīng)力張量一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)可由過(guò)該點(diǎn)的微小可由過(guò)該點(diǎn)的微小正平行六面體上的應(yīng)力分量來(lái)確定。正平行六面體上的應(yīng)力分量來(lái)確定。應(yīng)力張量應(yīng)力張量數(shù)學(xué)上，在坐標(biāo)變換時(shí)，服從一數(shù)學(xué)上，在坐標(biāo)變換時(shí)，服從一定坐標(biāo)變換式的九

9、個(gè)數(shù)所定義的定坐標(biāo)變換式的九個(gè)數(shù)所定義的量叫做量叫做。111213212223313233ij用張量下標(biāo)記號(hào)法下標(biāo)下標(biāo)1、2、3表示坐標(biāo)表示坐標(biāo)x1、x2、x3即即x、y、z方向方向(1.1)(1.2)1.1 應(yīng)力張量2).2).一點(diǎn)斜面上的應(yīng)力一點(diǎn)斜面上的應(yīng)力( (不計(jì)體力不計(jì)體力) )112233cos( ,)cos( ,)cos( ,)n xln xln xli ：自由下標(biāo)；j為求和下標(biāo)（同一項(xiàng)中重復(fù)出現(xiàn)）。3111 112 213 3113221 122 223 3213331 132 233 331Nj jjNj jjNj jjSllllSllllSllll斜截面外法線斜截面外法線n

10、 n的方向余弦的方向余弦: :Niij jSl令斜截面令斜截面ABCABC的面積為的面積為1 11122331 cos( ,)1 cos( ,)1 cos( ,)OBCOACOABSn xlSn xlSn xl (1.3)(1.4)1.1 應(yīng)力張量斜截面斜截面OABC上的正應(yīng)力上的正應(yīng)力:1 12 23 322211 122 233 312 1 223 2 331 3 1222NNNNS lSlSlllll ll ll l斜截面斜截面OABC上的剪應(yīng)力上的剪應(yīng)力:2222123NNNNNSSS(1.5)(1.6)1.1 應(yīng)力張量3).3).主應(yīng)力及其不變量主應(yīng)力及其不變量112233NNNSl

11、SlSl主平面主平面: :剪應(yīng)力等于零的截面剪應(yīng)力等于零的截面主應(yīng)力主應(yīng)力-: :主平面上的正應(yīng)力主平面上的正應(yīng)力111 112 213 3221 122 223 3331 132 233 3NNNSlllSlllSlll代入代入11112 213 321 122223 331 132 2333()0()0()0lllllllll采用張量下標(biāo)記號(hào)采用張量下標(biāo)記號(hào)()0iijjjldKroneker delta記號(hào)(1.7)(1.8)(1.9)1.1 應(yīng)力張量d dij記號(hào)：記號(hào)：Kroneker-delta記號(hào)記號(hào)1,0,ijijijd方向余弦滿足條件：方向余弦滿足條件：2221231lll1

12、00010001ijd采用張量表示采用張量表示1i ill 聯(lián)合求解聯(lián)合求解 l1,l2,l3：11112 213 321 122223 331 132 2333222123()0()0()01lllllllllllll1,l2,l3不全等于不全等于0 01112132122233132330(1.10)(1.11)(1.12)(1.13)1.1 應(yīng)力張量聯(lián)合求解聯(lián)合求解 l1,l2,l3：行列式展開(kāi)后得：行列式展開(kāi)后得：1112233kkJ112233122331213213133122233211122133()()()()()()0 簡(jiǎn)化后得簡(jiǎn)化后得321230JJJ(1.14)2223

13、3331111222122323313111()2iikkikkiJ 1112133212223313233ijJ(1.15)式中式中:是關(guān)于是關(guān)于的三次方程，它的三個(gè)根，即為三個(gè)主的三次方程，它的三個(gè)根，即為三個(gè)主應(yīng)力，其相應(yīng)的三組方向余弦對(duì)應(yīng)于三組主平面。應(yīng)力，其相應(yīng)的三組方向余弦對(duì)應(yīng)于三組主平面。主應(yīng)力大小與坐標(biāo)選擇無(wú)關(guān)，故主應(yīng)力大小與坐標(biāo)選擇無(wú)關(guān)，故J J1 1,J,J2 2,J,J3 3也必與坐標(biāo)選擇無(wú)關(guān)。也必與坐標(biāo)選擇無(wú)關(guān)。123,:JJJ應(yīng)力不變量1.1 應(yīng)力張量若坐標(biāo)軸選擇恰與三個(gè)主坐標(biāo)重合：若坐標(biāo)軸選擇恰與三個(gè)主坐標(biāo)重合：1123J2122331()J 3123J (1.16

14、)233112123,222主剪應(yīng)力面：平分兩主平面夾角的平面，數(shù)值為：主剪應(yīng)力面：平分兩主平面夾角的平面，數(shù)值為：(1.17)主剪應(yīng)力主剪應(yīng)力面面( 1 )213121311.1 應(yīng)力張量最大最小剪應(yīng)力：最大最小剪應(yīng)力：取取主方向?yàn)樽鴺?biāo)軸取向主方向?yàn)樽鴺?biāo)軸取向, ,則一點(diǎn)處任一截面上的剪應(yīng)力的計(jì)算式則一點(diǎn)處任一截面上的剪應(yīng)力的計(jì)算式: :2222222222221231 12 23 31 12 23 3()()()()NNNNNSSSllllll2221231lll消去消去l3：2222222222213123231312323()()()()Nllll22113131232131()()(

15、)()02lll22223131232231()()()()02lll由極值條件由極值條件1200nnll及1.1 應(yīng)力張量最大最小剪應(yīng)力：最大最小剪應(yīng)力：22113131232131()()()()02lll22223131232231()()()()02lll1200ll及12322;0;22lll 第一組解：第一組解：1200ll及第二組解：第二組解：2l消去第三組解：第三組解：13132 23232 12122 123220 ;22lll 12322;022lll 它們分別作用它們分別作用在與相應(yīng)主方在與相應(yīng)主方向成向成4545的斜截的斜截面上面上123max13min2 因?yàn)椋阂驗(yàn)椋?/p>

16、1.1 應(yīng)力張量4).4).八面體上的應(yīng)力八面體上的應(yīng)力 1 2 3沿主應(yīng)力方向取坐標(biāo)軸，與坐標(biāo)軸等傾角的沿主應(yīng)力方向取坐標(biāo)軸，與坐標(biāo)軸等傾角的八個(gè)面組成的圖形，稱為八個(gè)面組成的圖形，稱為八面體八面體。1231/3lll(1.19)八面體的法線方向余弦：八面體的法線方向余弦：八面體平面上應(yīng)力在三個(gè)坐標(biāo)軸上的投影分別為：八面體平面上應(yīng)力在三個(gè)坐標(biāo)軸上的投影分別為：123lll2221231lll八面體（每個(gè)坐標(biāo)象限1個(gè)面）123arccos( )arccos( )arccos( )54 44lll或或11 1122 2233 33/3,/3,/3PlPlPl(1.20)1.1 應(yīng)力張量4).4)

17、.八面體上的應(yīng)力八面體上的應(yīng)力 1 2 3八面體面上八面體面上的正應(yīng)力的正應(yīng)力為為:22281 12 23 31 12 23 3123111()33PlPlPllllJ八面體面上的剪應(yīng)力為：八面體面上的剪應(yīng)力為：八面體（每個(gè)坐標(biāo)象限1個(gè)面）22222288812312322221223311211()()3912()()()333FJJ(1.23)(1.21)八面體面上的應(yīng)力矢量為：八面體面上的應(yīng)力矢量為：222222281231 12 23 3222123()()()1()3FPPPlll(1.22)平均正應(yīng)力平均正應(yīng)力1.1 應(yīng)力張量例題例題: :已知一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)由以下一組應(yīng)力分量所確定

18、已知一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)由以下一組應(yīng)力分量所確定, 即即 x3, y0, z0, xy1 , yz 2, zx 1, 應(yīng)力單位為應(yīng)力單位為MPa。試求該點(diǎn)的主應(yīng)力值。試求該點(diǎn)的主應(yīng)力值。 代入式(1.14)后得:解解: :11122333003J2223333111122212232331311(3 0 1 1)(0 02 2)(0 3 1 1)6J 11121332122233132333 0 01 2 1 1 2 1 1 0 12 2 3 1 1 08J 323680(4)(1)(2)0解得主應(yīng)力為解得主應(yīng)力為:1234;1;2; 1.2 應(yīng)力偏量張量1).1).應(yīng)力張量分解應(yīng)力張量分解物體的變

19、形物體的變形ij(1.32)體積改變體積改變形狀改變形狀改變由各向相等的應(yīng)力狀態(tài)引起的由各向相等的應(yīng)力狀態(tài)引起的材料晶格間的移動(dòng)引起材料晶格間的移動(dòng)引起的的球應(yīng)力狀態(tài)球應(yīng)力狀態(tài)/靜水壓力靜水壓力彈性性質(zhì)彈性性質(zhì)塑性性質(zhì)塑性性質(zhì)ijdijS球形應(yīng)力張量球形應(yīng)力張量偏量應(yīng)力張量偏量應(yīng)力張量1.2 應(yīng)力偏量張量1).1).應(yīng)力張量分解應(yīng)力張量分解000000 xxyxzijijijyxyyzzxzyzSd(1.31)球形應(yīng)力張量球形應(yīng)力張量偏量應(yīng)力張量偏量應(yīng)力張量1122331111()333kkJ其中其中:平均正應(yīng)力平均正應(yīng)力/靜水壓力靜水壓力1.2 應(yīng)力偏量張量2).2).主偏量應(yīng)力和不變量主偏

20、量應(yīng)力和不變量000000 xxyxzijijijyxyyzzxzyzSd(1.31)二階對(duì)稱張量二階對(duì)稱張量1231123S其中其中:剪應(yīng)力分量始剪應(yīng)力分量始終沒(méi)有變化終沒(méi)有變化123000000 xxyxzijyxyyzzxzyzSSSSSSS主偏量應(yīng)力主偏量應(yīng)力2132223S3123323S(1.33)1.2 應(yīng)力偏量張量ijSij例例:設(shè)原應(yīng)力狀態(tài) 主方向的方向余弦為l1,l2,l3，則由式(1.9)得證明：證明：ij123123123()0()0()0 xnxyxzyxynyzzxzyznlllllllll顯然，方向余弦l1,l2,l3將由式(a)中的任意兩式和l12+l22+l3

21、2=1所確定。(a)若設(shè)偏應(yīng)力狀態(tài) 主方向的方向余弦為l1,l2,l3，則由式(1.9)同樣得：ijS123123123()0()0()0 xnxyxzyxynyzzxzyznSS lS lS lS lSS lS lS lS lSS l顯然，方向余弦l1,l2,l3將由式(b)中的任意兩式和l12+l22+l3 2=1所確定。(b)()()xnxmnmxnSS由于:()()ynymnmynSS()()znzmnmznSSl1=l1; l2=l2 ; l3= l3 可見(jiàn)式(a)與式(b)具有相同的系數(shù)，且已知l12+l22+l32= l12+l22+l3 2=11.2 應(yīng)力偏量張量2).2).主

22、偏量應(yīng)力和不變量主偏量應(yīng)力和不變量11;S22;S33S(1.33)ijSij滿足三次代數(shù)方程式：滿足三次代數(shù)方程式：321230JJJ1112233222211222233331112233122212331230()1()122iiijijijJSSSJS SS SS SSSSSSSJS S SSS SS (1.34)式中式中J1,J2,J3為不變量為不變量(1.35)1.2 應(yīng)力偏量張量(1.40)利用利用J1=0，不變量不變量J2還可寫(xiě)為還可寫(xiě)為:22222221122331223311(222)21212ijijiiJSSSSSSS SS S(1.38)222211222233331

23、12221223312222222221223311()()()66()1()1()()()()66()6xyyzzxxyyzzxJSSSSSSSSS1.2 應(yīng)力偏量張量(1.43)3).3).等效應(yīng)力等效應(yīng)力( (應(yīng)力強(qiáng)度應(yīng)力強(qiáng)度) )22281223311()()()322221223311()()() 6J8223J在彈塑性力學(xué)中，為了使用方便，將 乘以系數(shù) 后，稱之為等效應(yīng)力等效應(yīng)力83/2123,0, 故2228122331231()()()322J(1.41)簡(jiǎn)單拉伸時(shí)簡(jiǎn)單拉伸時(shí): :“等效等效”的命名由此而來(lái)。各正應(yīng)力增加或減少一個(gè)平均應(yīng)力，等效應(yīng)力的數(shù)值不變，這也說(shuō)明等效應(yīng)力與

24、球應(yīng)力狀態(tài)無(wú)關(guān)1.2 應(yīng)力偏量張量(1.42)4).4).等效剪應(yīng)力等效剪應(yīng)力( (剪應(yīng)力強(qiáng)度剪應(yīng)力強(qiáng)度) )222212233111()()()26ijijTJS S1230,0, T 例：純剪時(shí)，“等效等效”的命名由此而來(lái)。例題：例題：已知結(jié)構(gòu)內(nèi)某點(diǎn)的應(yīng)力張量如已知結(jié)構(gòu)內(nèi)某點(diǎn)的應(yīng)力張量如右式，試求該點(diǎn)的球形應(yīng)力張量、偏右式，試求該點(diǎn)的球形應(yīng)力張量、偏量應(yīng)力張量、等效應(yīng)力及主應(yīng)力數(shù)值。量應(yīng)力張量、等效應(yīng)力及主應(yīng)力數(shù)值。 100100100MPa10010ij101010 / 310 / 310 / 300010 / 30MPa0010 / 320 / 3010040 / 3:0MPa1002

25、0 / 3mijS平均正應(yīng)力球形應(yīng)力張量量（）偏量應(yīng)力張1.2 應(yīng)力偏量張量222222211222233331112233131()()()6()21400 400 0 6(0 0 100)70010 7 MPa2J 11122332222112222333311122331222311223312233111232213331210()( 100 100 100)00 100200|21000 1000000ijJJJ 等效應(yīng)力等效應(yīng)力: :1.2 應(yīng)力偏量張量關(guān)于主應(yīng)力的方程為關(guān)于主應(yīng)力的方程為: 20)20,0,10(10)0 2221223311()()()

26、 21400 10090070010 7 MPa2由主應(yīng)力求等效應(yīng)力由主應(yīng)力求等效應(yīng)力: :1.2 應(yīng)力偏量張量1.3 應(yīng)變張量1).1).一點(diǎn)應(yīng)變狀態(tài)一點(diǎn)應(yīng)變狀態(tài)位移位移剛性位移剛性位移變形位移變形位移物體內(nèi)各點(diǎn)的位置雖然均有變化，但任意兩物體內(nèi)各點(diǎn)的位置雖然均有變化，但任意兩點(diǎn)之間的距離卻保持不變。點(diǎn)之間的距離卻保持不變。物體內(nèi)任意兩點(diǎn)之間的相對(duì)距離發(fā)生了改變。物體內(nèi)任意兩點(diǎn)之間的相對(duì)距離發(fā)生了改變。要研究物體在外力作用下的變形規(guī)律，只需要研究物體內(nèi)各要研究物體在外力作用下的變形規(guī)律，只需要研究物體內(nèi)各點(diǎn)的相對(duì)位置變動(dòng)情況，也即研究點(diǎn)的相對(duì)位置變動(dòng)情況，也即研究變形位移變形位移位移函數(shù)位移

27、函數(shù)( , , )( , , )( , , )uu x y zvv x y zww x y z位置坐標(biāo)的單值連續(xù)函數(shù)1.3 應(yīng)變張量微小六面體單元的變形微小六面體單元的變形當(dāng)物體在一點(diǎn)處有變形時(shí)，小單元體的當(dāng)物體在一點(diǎn)處有變形時(shí)，小單元體的尺寸尺寸(即單元體各棱邊的長(zhǎng)度即單元體各棱邊的長(zhǎng)度)及形狀及形狀(即即單元體各面之間所夾直角單元體各面之間所夾直角)將發(fā)生改變。將發(fā)生改變。由于變形很微小，可以認(rèn)為兩由于變形很微小，可以認(rèn)為兩個(gè)平行面在坐標(biāo)面上的投影只個(gè)平行面在坐標(biāo)面上的投影只相差高階微量，可忽略不計(jì)。相差高階微量，可忽略不計(jì)。1.3 應(yīng)變張量微小六面體單元的變形微小六面體單元的變形B點(diǎn)位移

28、分量點(diǎn)位移分量uudxxdxxD點(diǎn)位移分量點(diǎn)位移分量uudyydyyA點(diǎn)位移分量點(diǎn)位移分量uxOy的改變量的改變量:xy1.3 應(yīng)變張量變形后變形后AB邊長(zhǎng)度的平方邊長(zhǎng)度的平方:222()()uA BdxdxdxxxM點(diǎn)沿點(diǎn)沿X方向上的方向上的線應(yīng)變線應(yīng)變:xA BABAB(1)(1)xxA BABdx(a)(b)22222xxuuxxx(c)代入代入(a)得得:xux略去高階微量略去高階微量yy同理，同理，M點(diǎn)沿點(diǎn)沿Y方向方向上的上的線應(yīng)變線應(yīng)變:1.3 應(yīng)變張量tan1dxxxuudxdxxx同理同理:1,ux略去xuyxOy的改變量，即的改變量，即剪應(yīng)變剪應(yīng)變:xyuyx1.3 應(yīng)變張量

29、122zuy ,uvyx同時(shí)存在12zuxy對(duì)角線對(duì)角線AC線的線的轉(zhuǎn)角轉(zhuǎn)角:122zvx剛性轉(zhuǎn)動(dòng)剛性轉(zhuǎn)動(dòng)1.3 應(yīng)變張量(1.44)1).1).一點(diǎn)應(yīng)變狀態(tài)一點(diǎn)應(yīng)變狀態(tài)工程應(yīng)變分量：工程應(yīng)變分量：xyxyyzzzxuvuyxxvvwyzywwuzxz(幾何方程幾何方程/柯西幾何關(guān)系柯西幾何關(guān)系)1.3 應(yīng)變張量(1.45)1).1).一點(diǎn)應(yīng)變狀態(tài)一點(diǎn)應(yīng)變狀態(tài)受力物體內(nèi)某點(diǎn)處所取無(wú)限多方向上的受力物體內(nèi)某點(diǎn)處所取無(wú)限多方向上的線應(yīng)變線應(yīng)變與與剪應(yīng)變剪應(yīng)變( (任意兩相任意兩相互垂直方向所夾直角的改變量互垂直方向所夾直角的改變量) )的的總和總和，就表示了該點(diǎn)的應(yīng)變狀態(tài)。，就表示了該點(diǎn)的應(yīng)變狀態(tài)

30、。定義定義: :,12iji jj iuu（）111213212223313233112211221122xxyxzijyxyyzzxzyz應(yīng)變張量應(yīng)變張量: :123, ,u v wu uu1111,11xxuux21122,11,21211()()22xyuuuuxx(1.46)1.3 應(yīng)變張量2).2).主應(yīng)變及其不變量主應(yīng)變及其不變量由全微分公式由全微分公式: :, ,u v w uuududxdydzxyzM點(diǎn)的位移分量點(diǎn)的位移分量,udu vdv wdwN點(diǎn)的位移分量點(diǎn)的位移分量vvvdvdxdydzxyzwwwdwdxdydzxyz11221122uvuwdydzyxzuuvuw

31、dxdydzxxyxzx表示剛性轉(zhuǎn)動(dòng)，不引起應(yīng)表示剛性轉(zhuǎn)動(dòng)，不引起應(yīng)變，計(jì)算應(yīng)變時(shí)可忽略。變，計(jì)算應(yīng)變時(shí)可忽略。1.3 應(yīng)變張量xxyxzdudxdydz在主應(yīng)變空間中在主應(yīng)變空間中: :yxyyzdvdxdydzzxzyzdwdxdydziijjdudxrxxyxzdudxdxdydzryxyyzdvdydxdydzrzxzyzdwdzdxdydz()0 xrxyxzdxdydz()0yxyryzdxdydz()0zxzyzrdxdydzrdrdudvdwrdxdydz;rrrdudx dvdy dwdz主平面法線方主平面法線方向的線應(yīng)變向的線應(yīng)變主應(yīng)變主應(yīng)變: :1.3 應(yīng)變張量類似于應(yīng)力

32、張量類似于應(yīng)力張量: :111223312322221122223333111223311112133212223313233ijIII 其中其中: :(1.47)(1.48)1122331133kk（）平均正應(yīng)變平均正應(yīng)變: :1.3 應(yīng)變張量偏量應(yīng)變張量偏量應(yīng)變張量: :(1.52)13ijijijijkkijed deij 的主軸方向與ij 的主方向一致，主值為: e1 1 ， e2 2 ， e3 3滿足三次代數(shù)方程式：321231231112233123222211 2222 3333 1112233122212331 2 30,0()1()2iiiijijeI eIeIIIIeIee

33、eeeeIe ee ee eeeeeeeIee e e 式中為 的三個(gè)不變量，(1.50)(1.51)222212233111()()() 26ijijIe eI I2 2應(yīng)用較廣應(yīng)用較廣, ,又可表達(dá)為又可表達(dá)為: :1.3 應(yīng)變張量等效應(yīng)變等效應(yīng)變( (應(yīng)變強(qiáng)度應(yīng)變強(qiáng)度):):(1.54)2222122331123222()()()9331,2ijijIe e 例：簡(jiǎn)單拉伸時(shí)，故等效剪應(yīng)變等效剪應(yīng)變( (剪應(yīng)變強(qiáng)度剪應(yīng)變強(qiáng)度):):222212233113222()()()2310,0,2ijijIe e 例：純剪時(shí)，故(1.55)1.4 應(yīng)變速率張量一般來(lái)說(shuō)物體變形時(shí)，體內(nèi)任一點(diǎn)的變形不

34、但與坐標(biāo)有關(guān)，一般來(lái)說(shuō)物體變形時(shí)，體內(nèi)任一點(diǎn)的變形不但與坐標(biāo)有關(guān)，而且與時(shí)間也有關(guān)。如以而且與時(shí)間也有關(guān)。如以u(píng)、v、w表示質(zhì)點(diǎn)的位移分量，則表示質(zhì)點(diǎn)的位移分量，則:;xyzdudvdwVVVdtdtdt設(shè)設(shè)應(yīng)變速率分量應(yīng)變速率分量為為: :;xxyyzzVxVyVz;yxxyyzyzxzzxVVyxVVzyVVxziiduvdt質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)速度分量質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)速度分量1.4 應(yīng)變速率張量xxyyzzzxyVduduxx dtdtxVdvdvyy dtdtyVdwdwzzdtdtzuxvywzyxxyyzyzxzzxyyzxVVdudvduvyxy dtx dtdtyxVVdvdwdvwzyz d

35、tydtdtzyVVdwduxzxduvyxvwytz dtzzxdwudtxzwuxz線應(yīng)變速率線應(yīng)變速率在在小變形情況小變形情況下，下，應(yīng)變速率分量應(yīng)變速率分量與與應(yīng)變分量應(yīng)變分量之間存在有簡(jiǎn)單關(guān)系之間存在有簡(jiǎn)單關(guān)系: :剪剪應(yīng)應(yīng)變變速速率率1.4 應(yīng)變速率張量112211221122xxyxzijyzyyzzxzyz在在小變形情況小變形情況下的下的應(yīng)變速率張量應(yīng)變速率張量: :,1()2iji jj iuu,1()2iji jj iVV(1.56)可縮寫(xiě)為可縮寫(xiě)為在一般情況下，應(yīng)變速率主在一般情況下，應(yīng)變速率主方向與應(yīng)變主方向不重合，方向與應(yīng)變主方向不重合，且在加載過(guò)程中發(fā)生變化。且在加

36、載過(guò)程中發(fā)生變化。1.4 應(yīng)變速率張量應(yīng)變?cè)隽繎?yīng)變?cè)隽? :,1()2iji jj iddudu應(yīng)變?cè)隽繎?yīng)變?cè)隽坑晌挥晌灰圃隽课⒎值茫阂圃隽课⒎值茫河捎跁r(shí)間度量的絕對(duì)值對(duì)塑性規(guī)律沒(méi)有影響，因此由于時(shí)間度量的絕對(duì)值對(duì)塑性規(guī)律沒(méi)有影響，因此dt可不代可不代表真實(shí)時(shí)間，而是代表一個(gè)加載過(guò)程。因而表真實(shí)時(shí)間，而是代表一個(gè)加載過(guò)程。因而用應(yīng)變?cè)隽繌堄脩?yīng)變?cè)隽繌埩縼?lái)代替應(yīng)變率張量量來(lái)代替應(yīng)變率張量更能表示不受時(shí)間參數(shù)選擇的特點(diǎn)。更能表示不受時(shí)間參數(shù)選擇的特點(diǎn)。(1.57)應(yīng)變微分應(yīng)變微分由兩由兩時(shí)刻應(yīng)變差得：時(shí)刻應(yīng)變差得：,()()( )1()( )()( )2ijijijiijjjidtttu ttu

37、tu ttu t 22,22,1()111()2221()()22)ijiijjjiiii jjjjiddudududududududu泰勒級(jí)數(shù)展開(kāi)泰勒級(jí)數(shù)展開(kāi)高階微量高階微量()ijijdd忽略高階微量忽略高階微量1.5 應(yīng)力和應(yīng)變的Lode參數(shù)一一、應(yīng)力莫爾圓應(yīng)力莫爾圓（表示一點(diǎn)應(yīng)力狀態(tài)的圖形）（表示一點(diǎn)應(yīng)力狀態(tài)的圖形） : :任一斜面上應(yīng)力任一斜面上應(yīng)力位于陰影線內(nèi)位于陰影線內(nèi)m=Q2A/Q1A=(Q2Q3-Q1Q2)/Q1Q3AO312O3O2O1Q3Q2Q1如果介質(zhì)中某點(diǎn)的三個(gè)主應(yīng)如果介質(zhì)中某點(diǎn)的三個(gè)主應(yīng)力的大小為已知，便可以在力的大小為已知，便可以在 - - 平面內(nèi)繪出相應(yīng)的應(yīng)力圓

38、。平面內(nèi)繪出相應(yīng)的應(yīng)力圓。1.5 應(yīng)力和應(yīng)變的Lode參數(shù)一一、應(yīng)力莫爾圓應(yīng)力莫爾圓（表示一點(diǎn)應(yīng)力狀態(tài)的圖形）（表示一點(diǎn)應(yīng)力狀態(tài)的圖形） : :AO312O3O2O1Q3Q2Q12221 12 23 3lll222 23 22 21 12 23 3lll2221231lll222311213()()()()l223122321()()()()l221233132()()()()l(1.61)223()()0231()()0212()()01231.5 應(yīng)力和應(yīng)變的Lode參數(shù)一一、應(yīng)力莫爾圓應(yīng)力莫爾圓（表示一點(diǎn)應(yīng)力狀態(tài)的圖形）（表示一點(diǎn)應(yīng)力狀態(tài)的圖形） : :AO312O3O2O1Q3Q2Q1

39、222232311()()24(1.63)222313111()()24222121211()()24式(1.63)表明，當(dāng)一點(diǎn)處于空間應(yīng)力狀態(tài)時(shí)，過(guò)該點(diǎn)的任一斜截面上的一對(duì)應(yīng)力分量、一定落在分別以(1-2)2、 (2-3)2 、 (3- 1)2為半徑的三個(gè)圓的圓周所包圍的陰影面積(包括三個(gè)圓周)之內(nèi)。1.5 應(yīng)力和應(yīng)變的Lode參數(shù)若在一應(yīng)力狀態(tài)上再疊加一個(gè)球形應(yīng)力狀態(tài)若在一應(yīng)力狀態(tài)上再疊加一個(gè)球形應(yīng)力狀態(tài)(各向等拉或各向等壓各向等拉或各向等壓)，則應(yīng)力，則應(yīng)力圓的三個(gè)直徑并不改變，只是整個(gè)圖形沿橫軸發(fā)生平移。圓的三個(gè)直徑并不改變，只是整個(gè)圖形沿橫軸發(fā)生平移。應(yīng)力圓在橫軸上的整體位置取決于球

40、形應(yīng)力張量；而各圓的大小應(yīng)力圓在橫軸上的整體位置取決于球形應(yīng)力張量；而各圓的大小(直徑直徑)則則取決于偏應(yīng)力張量，與球形應(yīng)力張量無(wú)關(guān)。取決于偏應(yīng)力張量，與球形應(yīng)力張量無(wú)關(guān)。 一點(diǎn)應(yīng)力狀態(tài)中的主應(yīng)力按同一比例縮小或增大一點(diǎn)應(yīng)力狀態(tài)中的主應(yīng)力按同一比例縮小或增大(應(yīng)力分量的大小有改變，但應(yīng)力分量的大小有改變，但應(yīng)力狀態(tài)的形式不變應(yīng)力狀態(tài)的形式不變)，則應(yīng)力圓的三個(gè)直徑也按同一比例縮小或增大，即，則應(yīng)力圓的三個(gè)直徑也按同一比例縮小或增大，即應(yīng)力變化前后的兩個(gè)應(yīng)力圓是相似的。這種情況相當(dāng)于偏量應(yīng)力張量的應(yīng)力變化前后的兩個(gè)應(yīng)力圓是相似的。這種情況相當(dāng)于偏量應(yīng)力張量的各分量的大小有了改變，但張量的形式保持

41、不變。各分量的大小有了改變，但張量的形式保持不變。 1.5 應(yīng)力和應(yīng)變的Lode參數(shù)二、二、應(yīng)力應(yīng)力Lode參數(shù)參數(shù): :幾何意義幾何意義: :應(yīng)力圓上應(yīng)力圓上Q Q2 2A A與與Q Q1 1A A之比，或兩內(nèi)圓直徑之比，或兩內(nèi)圓直徑之差與外圓直徑之比。之差與外圓直徑之比。球形應(yīng)力張量對(duì)塑性變形沒(méi)有明顯影響，因而常球形應(yīng)力張量對(duì)塑性變形沒(méi)有明顯影響，因而常把這一因素分離出來(lái)，而著重研究偏量應(yīng)力張量。把這一因素分離出來(lái)，而著重研究偏量應(yīng)力張量。為此，引進(jìn)參數(shù)為此，引進(jìn)參數(shù)Lode參數(shù)參數(shù)：132232312131313()()2212m Lode參數(shù)：表征參數(shù)：表征Q2在在Q1與與Q3之間的相對(duì)位置，反之間的相對(duì)位置，反映中間主應(yīng)力對(duì)屈服的貢獻(xiàn)。映中間主應(yīng)力對(duì)屈服的貢獻(xiàn)。AO312O3O2O1Q3Q2Q1(1.64)1.5 應(yīng)力和應(yīng)變的Lode參數(shù)應(yīng)力應(yīng)力Lode參數(shù)的參數(shù)的物理意義物理意義：1、與、與平均應(yīng)力無(wú)關(guān)；平均應(yīng)力無(wú)關(guān)；2 2、其、其值確定了應(yīng)力圓的三個(gè)直徑之比；值確定了應(yīng)力圓的三個(gè)直徑之比；3 3、如果兩個(gè)應(yīng)力狀態(tài)的如果兩個(gè)應(yīng)力狀態(tài)的Lode參數(shù)相等，