9第三章導數(shù)及其應用課件(復習課)

1、第三章第三章 導數(shù)及其應用復習小結導數(shù)及其應用復習小結本章知識結構本章知識結構 導數(shù)導數(shù)導數(shù)概念導數(shù)概念導數(shù)運算導數(shù)運算導數(shù)應用導數(shù)應用 函數(shù)的瞬時變化率函數(shù)的瞬時變化率 運動的瞬時速度運動的瞬時速度 曲線的切線斜率曲線的切線斜率 基本初等函數(shù)求導基本初等函數(shù)求導 導數(shù)的四則運算法則導數(shù)的四則運算法則簡單復合函數(shù)的導數(shù)簡單復合函數(shù)的導數(shù) 函數(shù)單調(diào)性研究函數(shù)單調(diào)性研究 函數(shù)的極值、最值函數(shù)的極值、最值 曲線的切線曲線的切線 變速運動的速度變速運動的速度 最優(yōu)化問題最優(yōu)化問題曲線的切線曲線的切線 以曲線的切線為例，在一條曲線以曲線的切線為例，在一條曲線c：y=f(x)上取一點上取一點p(x0，y0

2、)，點，點q(x0+x，y0+y)是曲線是曲線c上與點上與點p臨近的一點，做割線臨近的一點，做割線pq，當點當點q沿曲線沿曲線c無限地趨近點無限地趨近點p時，割線時，割線pq便無限地趨近于某一極限位置便無限地趨近于某一極限位置pt，我們就，我們就把直線把直線pt叫做曲線叫做曲線c的在點的在點p處的切線。處的切線。一知識串講一知識串講 此時割線此時割線pt斜率的極限就是曲線斜率的極限就是曲線c在點在點p處的切線的斜率，處的切線的斜率，用極限運算的表達式來寫出，即用極限運算的表達式來寫出，即 k=tan= 000()()limxf xxf xx （一）導數(shù)的概念：（一）導數(shù)的概念： 1導數(shù)的定義導

3、數(shù)的定義：對函數(shù)對函數(shù)y=f(x)，在點，在點x=x0處給自變量處給自變量x以增量以增量x，函數(shù)，函數(shù)y相應有增量相應有增量y=f(x0+ x)f(x0)，若極限若極限 存在，則此極限稱為存在，則此極限稱為f(x)在點在點x=x0處的導數(shù)，記為處的導數(shù)，記為f (x0)，或，或y| ；0000()()limlimxxf xxf xyxx 0 x x 2導函數(shù)導函數(shù)：如果函數(shù)：如果函數(shù)y=f(x)在區(qū)間在區(qū)間(a，b)內(nèi)每一點都可導，內(nèi)每一點都可導，就說就說y=f(x)在區(qū)間在區(qū)間(a，b)內(nèi)可導即對于開區(qū)間內(nèi)可導即對于開區(qū)間(a，b)內(nèi)每一個內(nèi)每一個確定的確定的x0值，都相對應著一個確定的導數(shù)

4、值，都相對應著一個確定的導數(shù)f (x0)，這樣在開區(qū)，這樣在開區(qū)間間(a，b)內(nèi)構成一個新函數(shù)，把這一新函數(shù)叫做內(nèi)構成一個新函數(shù)，把這一新函數(shù)叫做f(x)在在(a，b)內(nèi)內(nèi)的導函數(shù)簡稱導數(shù)記作的導函數(shù)簡稱導數(shù)記作f (x)或或y.即即f (x)=y=0()( )limxfxxfxx 3導數(shù)的幾何意義導數(shù)的幾何意義：函數(shù)：函數(shù)y=f(x)在點在點x0處的導數(shù)的幾何意處的導數(shù)的幾何意義，就是曲線義，就是曲線y=f(x)在在p(x0，f(x0)處的切線的斜率，即曲線處的切線的斜率，即曲線y=f(x)在點在點p(x0，f(x0)處的切線斜率為處的切線斜率為kf (x0)所以曲線所以曲線 yf(x)在點

5、在點 p(x0，f(x0)處的切線方程為處的切線方程為 y y0=f (x0)(xx0) 4導數(shù)的物理意義導數(shù)的物理意義：物體作直線運動時，路程：物體作直線運動時，路程s關于時間關于時間t的函數(shù)為：的函數(shù)為：s=s(t)，那么瞬時速度，那么瞬時速度 v 就是路程就是路程 s 對于時間對于時間t的導數(shù)，的導數(shù)，即即v(t)=s(t). 基本初等函數(shù)的導數(shù)公式基本初等函數(shù)的導數(shù)公式1.2.()3.4.5.ln6.7.8.nra nn-1nn-1 xxxxxxxx a a 若f(x)=c，則f(x)=0若f(x)=c，則f(x)=0若f(x)=x ，則f(x)=nx若f(x)=x ，則f(x)=nx

6、若f(x)=sinx，則f(x)=cosx若f(x)=sinx，則f(x)=cosx若f(x)=cosx，則f(x)=-sinx若f(x)=cosx，則f(x)=-sinx若f(x)=a ，則f(x)=a若f(x)=a ，則f(x)=a若f(x)=e ，則f(x)=e若f(x)=e ，則f(x)=e1 1若f(x)=log x，則f(x)=若f(x)=log x，則f(x)=xlnaxlna1 1若f(x)=lnx，則f(x)=若f(x)=lnx，則f(x)=x x返回返回導數(shù)的運算法則導數(shù)的運算法則: :法則法則1:1:兩個函數(shù)的和兩個函數(shù)的和( (差差) )的導數(shù)的導數(shù), ,等于這兩個函數(shù)

7、的導數(shù)的等于這兩個函數(shù)的導數(shù)的和和( (差差),),即即: :( )( )( )( )f xg xf xg x法則法則2:2:兩個函數(shù)的積的導數(shù)兩個函數(shù)的積的導數(shù), ,等于第一個函數(shù)的導數(shù)乘第二個等于第一個函數(shù)的導數(shù)乘第二個函數(shù)函數(shù), ,加上第一個函數(shù)乘第二個函數(shù)的導數(shù)加上第一個函數(shù)乘第二個函數(shù)的導數(shù) , ,即即: :( )( )( ) ( )( )( )f x g xfx g xf x g x法則法則3:3:兩個函數(shù)的積的導數(shù)兩個函數(shù)的積的導數(shù), ,等于第一個函數(shù)的導數(shù)乘第二個等于第一個函數(shù)的導數(shù)乘第二個函數(shù)函數(shù), ,減去第一個函數(shù)乘第二個函數(shù)的導數(shù)減去第一個函數(shù)乘第二個函數(shù)的導數(shù) , ,再

8、除以第二個函再除以第二個函數(shù)的平方數(shù)的平方. .即即: :2( )( ) ( )( )( )( ( )0)( )( )f xfx g xf x g xg xg xg x返回返回 當點當點q q沿著曲線無限接近點沿著曲線無限接近點p p即即x0 x0時時, ,割線割線pqpq如果有一如果有一個極限位置個極限位置pt.pt.則我們把直線則我們把直線ptpt稱為曲線在點稱為曲線在點p p處的處的切線切線. . 設切線的傾斜角為設切線的傾斜角為, ,那那么當么當x0 x0時時, ,割線割線pqpq的的斜率斜率, ,稱為曲線在點稱為曲線在點p p處的處的切線的斜率切線的斜率. .即即: :00000()

9、()()limlimxxf xxf xykf xxx 切線pqoxyy=f(x)割割線線切切線線t返回返回1) 1) 如果恒有如果恒有 f(x)0f(x)0，那么，那么 y=fy=f（x) x) 在這個區(qū)間（在這個區(qū)間（a,b)a,b)內(nèi)單調(diào)遞增；內(nèi)單調(diào)遞增；2) 2) 如果恒有如果恒有 f(x)0f(x)0f (x)0如果在某個區(qū)間內(nèi)恒有如果在某個區(qū)間內(nèi)恒有 ,則則 為常數(shù)為常數(shù).0)( xf)(xf返回返回2)2)如果如果a a是是f f(x)=0(x)=0的一個根，并且在的一個根，并且在a a 的左側附近的左側附近f f(x)0(x)0(x)0，那么是，那么是f(a)f(a)函數(shù)函數(shù)f(

10、x)f(x)的一個極小值的一個極小值. . 函數(shù)的極值函數(shù)的極值1)1)如果如果b b是是f f(x)=0(x)=0的一個根，并且在的一個根，并且在b b左側附近左側附近f f(x)0(x)0，在在b b右側附近右側附近f f(x)0(x)0，那么，那么f(b)f(b)是函數(shù)是函數(shù)f(x)f(x)的一個極大值的一個極大值注：導數(shù)等于零的點不一定是極值點注：導數(shù)等于零的點不一定是極值點2)2)在在閉區(qū)間閉區(qū)間a,ba,b上的函數(shù)上的函數(shù)y=f(x)y=f(x)的圖象是一條的圖象是一條連續(xù)不斷連續(xù)不斷的曲的曲線線, ,則它則它必有必有最大值和最小值最大值和最小值. .函數(shù)的最大（小）值與導數(shù)函數(shù)的

11、最大（?。┲蹬c導數(shù)x xy y0a ab bx x1 1x x2 2x x3 3x x4 4f(a)f(a)f(xf(x3 3) )f(b)f(b)f(xf(x1 1) )f(xf(x2 2) )gg返回返回（五）函數(shù)的最大值與最小值：（五）函數(shù)的最大值與最小值： 1定義：定義：最值是一個整體性概念，是指函數(shù)在給定區(qū)最值是一個整體性概念，是指函數(shù)在給定區(qū)間間(或定義域或定義域)內(nèi)所有函數(shù)值中最大的值或最小的值，最大數(shù)內(nèi)所有函數(shù)值中最大的值或最小的值，最大數(shù)值叫最大值，最小的值叫最小值，通常最大值記為值叫最大值，最小的值叫最小值，通常最大值記為m，最小，最小值記為值記為m. 2存在性：在閉區(qū)間存

12、在性：在閉區(qū)間a，b上連續(xù)函數(shù)上連續(xù)函數(shù)f(x)在在a，b上必上必有最大值與最小值有最大值與最小值 3求最大（小）值的方法：函數(shù)求最大（?。┲档姆椒ǎ汉瘮?shù)f(x)在閉區(qū)間在閉區(qū)間a，b上最上最值求法：值求法： 求出求出f(x)在在(a，b)內(nèi)的極值；內(nèi)的極值； 將函數(shù)將函數(shù)f(x)的極值與的極值與f(a)，f(b)比較，其中較大的一個是比較，其中較大的一個是最大值，較小的一個是最小值最大值，較小的一個是最小值.兩年北京導兩年北京導數(shù)題數(shù)題, ,感想如感想如何何? ?例例1已經(jīng)曲線已經(jīng)曲線c：y=x3-x+2和點和點a(1,2)。求在點。求在點a處的切線方程？處的切線方程？解：解：f/(x)=3

13、x21， k= f/(1)=2 所求的切線方程為：所求的切線方程為： y2=2(x1), 即即 y=2x變式變式1：求過點求過點a的切線方程？的切線方程？例例1已經(jīng)曲線已經(jīng)曲線c：y=x3-x+2和點和點(1,2)求在求在點點a處的切線方程？處的切線方程？解：變解：變1：設切點為：設切點為p（x0，x03x0+2），）， 切線方程為切線方程為y y ( x03x0+2)=(3 x02 21 1)(x xx0)21又又切線過點切線過點a(1,2) 2 2( x03x0+2)=( 3 x02 21 1)(1x0)化簡得化簡得(x0 01)1)2 2(2(2 x0+1)=0，2114當當x0=1時，

14、所求的切線方程為：時，所求的切線方程為：y y2=2(x x1),即即y=2x 解得解得x0=1或或x0=k= f/(x0)= 3 x021，當當x0= 時，所求的切線方程為：時，所求的切線方程為： y2= (x1),即即x+4y9=0變式變式1：求過點求過點a的切線方程？的切線方程？例例1：已經(jīng)曲線：已經(jīng)曲線c：y=x3x+2和點和點(1,2)求求在點在點a處的切線方程？處的切線方程？變式變式2：若曲線上一點若曲線上一點q處的切線恰好平行于直處的切線恰好平行于直 線線y=11x1，則，則p點坐標為點坐標為 _,切線方程為切線方程為_ (2,8)或或( 2, 4) y=11x14或或y=11x+18（1）正確理解導數(shù)的概念和意義，導數(shù)是一個函數(shù)的改變量）正確理解導數(shù)的概念和意義，導數(shù)是一個函數(shù)的改變量與自變量的改變量的比值的極限，它反映的是函數(shù)的變化率，與自變量的改變量的比值的極限，它反映的是函數(shù)的變化率，即函數(shù)值在即函數(shù)值在x=x0點附近的變化快慢；所以只有與變化率有關點附近的變化快慢；所以只有與變化率有關的問題都可以用導數(shù)來解