[寶典]04 剖析86238

1、04 04 應(yīng)變分析應(yīng)變分析哈工大哈工大 土木工程學(xué)院土木工程學(xué)院1 / 65土木工程學(xué)院工程力學(xué)學(xué)科組harbin institute of technology 彈塑性力學(xué)彈塑性力學(xué)04 04 應(yīng)變分析應(yīng)變分析哈工大哈工大 土木工程學(xué)院土木工程學(xué)院2 / 65第1節(jié) 位移和變形rruaaxyzu(x、y、z) = rx rx v(x、y、z) = ry ry w(x、y、z) = rz rz由于外部因素作用（荷載或溫度改變等）引起物體內(nèi)部各質(zhì)點(diǎn)位置的改變稱位移。物體內(nèi)任意一點(diǎn)的位移，用它在x、y、z三個(gè)坐標(biāo)軸上的投影u、v、w來表示。以沿坐標(biāo)軸正方向的為正。1.1 位移及其位移分量04 0

2、4 應(yīng)變分析應(yīng)變分析哈工大哈工大 土木工程學(xué)院土木工程學(xué)院3 / 65剛體位移：物體內(nèi)部各點(diǎn)位置變化，但仍保持初始狀態(tài)相對(duì)位置不變（即其體內(nèi)任意兩點(diǎn)之間距保持不變）。剛體位移包括平行移動(dòng)和轉(zhuǎn)動(dòng)位移04 04 應(yīng)變分析應(yīng)變分析哈工大哈工大 土木工程學(xué)院土木工程學(xué)院4 / 65變形位移：位移不僅使得位置改變，而且改變了物體內(nèi)部各個(gè)點(diǎn)的相對(duì)位置。即物體的形狀發(fā)生改變。變形位移包括形狀改變和體積改變。04 04 應(yīng)變分析應(yīng)變分析哈工大哈工大 土木工程學(xué)院土木工程學(xué)院5 / 65研究物體在外力作用下的變形規(guī)律，只需研究物體內(nèi)各點(diǎn)的相對(duì)位置變動(dòng)情況，即研究變形位移。位移剛性位移：反映物體整體位置的變動(dòng)變形

3、位移：反映物體的形狀和尺寸發(fā)生變化 位移函數(shù)應(yīng)是位置坐標(biāo)的單值連續(xù)函數(shù)。 位移分量函數(shù)不能直接表明物體各點(diǎn)處材料變形 的劇烈程度，還需要研究物體內(nèi)各點(diǎn)的相對(duì)位移。04 04 應(yīng)變分析應(yīng)變分析哈工大哈工大 土木工程學(xué)院土木工程學(xué)院6 / 65 一個(gè)物體受作用力后，其內(nèi)部質(zhì)點(diǎn)不僅要發(fā)生相對(duì)位置的改變（產(chǎn)生了位移），而且要產(chǎn)生形狀的變化（產(chǎn)生了變形）。物體的變形程度用應(yīng)變來度量，物體在某一時(shí)刻的形態(tài)與早先的形態(tài)（一般指初始狀態(tài)或未變形的狀態(tài)）之間的差別就是物體在該時(shí)刻的應(yīng)變。物體變形時(shí)，其體內(nèi)各質(zhì)點(diǎn)在各方向上都會(huì)有應(yīng)變。1.2 變形的度量應(yīng)變04 04 應(yīng)變分析應(yīng)變分析哈工大哈工大 土木工程學(xué)院土木

4、工程學(xué)院7 / 65一點(diǎn)的變形通過微分六面體來描述，圍繞物體內(nèi)一點(diǎn)截取的無限小單元體，討論單元體各棱長(zhǎng)及棱間夾角的變化情況。棱邊的伸長(zhǎng)或縮短稱正應(yīng)變；棱邊夾角的改變稱剪應(yīng)變。基本變形04 04 應(yīng)變分析應(yīng)變分析哈工大哈工大 土木工程學(xué)院土木工程學(xué)院8 / 65 變形物體中的線應(yīng)變：00/ablll的線應(yīng)變?cè)嘉恢迷嘉恢?lab變形后位置變形后位置lab 變形物體中剪應(yīng)變0剪應(yīng)變?cè)嘉恢迷嘉恢?abc變形后位置變形后位置abc 如果鄰近a點(diǎn)的材料足夠小，那么圍繞a點(diǎn)的變形可認(rèn)為均勻分布，這就引入點(diǎn)的應(yīng)變概念。名義應(yīng)變又稱相對(duì)應(yīng)變或工程應(yīng)變。 1) 名義應(yīng)變04 04 應(yīng)變分析應(yīng)變分析哈工大哈

5、工大 土木工程學(xué)院土木工程學(xué)院9 / 65線應(yīng)變、涉及受力物體內(nèi)某一點(diǎn)；、涉及該點(diǎn)的某一方向；、是一個(gè)無量綱的物理量；、表征某點(diǎn)某方向伸長(zhǎng)變形的線應(yīng)變?nèi)≌粗∝?fù)；角應(yīng)變、涉及受力物體內(nèi)某一點(diǎn)；、涉及過該點(diǎn)的某兩相垂直方向；、是一個(gè)有單位，無量綱的物理量。、表征某點(diǎn)兩坐標(biāo)軸正方向所夾直角減少的角應(yīng)變?nèi)≌?，反之取?fù)。04 04 應(yīng)變分析應(yīng)變分析哈工大哈工大 土木工程學(xué)院土木工程學(xué)院10 / 652）對(duì)數(shù)應(yīng)變 假設(shè)物體內(nèi)兩質(zhì)點(diǎn)相距為 l0, 經(jīng)變形后距離為ln, 則相對(duì)線應(yīng)變（稱工程應(yīng)變）為: =(ln-l0)/l0 這種相對(duì)線應(yīng)變一般用于小應(yīng)變情況。 而在實(shí)際變形過程中，長(zhǎng)度l0 經(jīng)過無窮多個(gè)

6、中間的數(shù)值變成ln, 如 l0,l1,l2 ln-1, ln, 其中相鄰兩長(zhǎng)度相差均極微小，由 l0ln 的總的變形程度，可以近似地看作是各個(gè)階段相對(duì)應(yīng)變之和， 在應(yīng)變主軸方向保持不變的情況下應(yīng)變?cè)隽康目偤汀?00dlnnlnlllll%1ln()04 04 應(yīng)變分析應(yīng)變分析哈工大哈工大 土木工程學(xué)院土木工程學(xué)院11 / 65對(duì)數(shù)應(yīng)變能真實(shí)地反映變形的積累過程，所以也稱真實(shí)應(yīng)變，簡(jiǎn)稱為真應(yīng)變。 (1) 相對(duì)應(yīng)變不能表示變形的實(shí)際情況,變形越大，誤差越大；2341111234ln() 120011 nnnnlll lll ll %llnln12011nnllllll llnlnln12n %l

7、(2) 真實(shí)應(yīng)變?yōu)榭莎B加應(yīng)變 而名義應(yīng)變不可疊加00nlll 各階段相對(duì)應(yīng)變：1012112011,nnnnlllllllll l12n l04 04 應(yīng)變分析應(yīng)變分析哈工大哈工大 土木工程學(xué)院土木工程學(xué)院12 / 65 (3) 對(duì)數(shù)應(yīng)變?yōu)榭杀葢?yīng)變物體伸長(zhǎng)一倍與壓縮一倍其變形程度是一樣的，但用名義應(yīng)變定義就出現(xiàn)不同，而用對(duì)數(shù)應(yīng)變表達(dá)就能反映其同一性。00nlll 00dlnnlnlllll%04 04 應(yīng)變分析應(yīng)變分析哈工大哈工大 土木工程學(xué)院土木工程學(xué)院13 / 65變形前微小的正平行六面體各邊邊長(zhǎng)：ma=dx mb=dy mc=dzabcabcxyzmm 1dddxvwma =+x x x

8、xx， d1ddyuwmb =y +y yyy ， dd1dzuvmc =z z +zzz ，變形后微小的偏六面體各邊邊長(zhǎng)：ma ，mb ，mc 1.3 體積應(yīng)變04 04 應(yīng)變分析應(yīng)變分析哈工大哈工大 土木工程學(xué)院土木工程學(xué)院14 / 65變形后微小的偏六面體體積: 1dddd1dddd1dxyzvw+xxxxxuwvmam bm c =y+yyyyuvzy+zzy 111d d dxyzx y z變形前微小的正平行六面體體積：v0 = dx dy dz 0111xyzv04 04 應(yīng)變分析應(yīng)變分析哈工大哈工大 土木工程學(xué)院土木工程學(xué)院15 / 65體積應(yīng)變定義：00vvv 111d d d

9、d d dd d dxyzx y zx y zx y z 1111 zyx zyxyxxzzyzyx zyx zwyvxu 張量形式的體積應(yīng)變：iiux 04 04 應(yīng)變分析應(yīng)變分析哈工大哈工大 土木工程學(xué)院土木工程學(xué)院16 / 65ababbb （1）隨a點(diǎn)平動(dòng)； ab ab （2）相對(duì)a點(diǎn)剛體轉(zhuǎn)動(dòng)； ab ab （3）純變形。 ab ab。1.4 位移分解04 04 應(yīng)變分析應(yīng)變分析哈工大哈工大 土木工程學(xué)院土木工程學(xué)院17 / 65ababxyza點(diǎn)位移是： u(x、y、z)，v(x、y、z)，w(x、y、z) b點(diǎn)位移是： u= u(x+dx、y+dy、z+dz) v= v(x+dx、

10、y+dy、z+dz) w= w(x+dx、y+dy、z+dz)04 04 應(yīng)變分析應(yīng)變分析哈工大哈工大 土木工程學(xué)院土木工程學(xué)院18 / 65用用taylortaylor級(jí)數(shù)將級(jí)數(shù)將b點(diǎn)位移相對(duì)點(diǎn)位移相對(duì)a點(diǎn)位移展開點(diǎn)位移展開 ddduuuu = uxyzxyz 11ddd22uuvuw= uxyz xyxzx 11dd22vuuwyzxyzx 12xvwzy 12zvuxy 12yuwzx 轉(zhuǎn)動(dòng)矢量 xxyyzzeee 04 04 應(yīng)變分析應(yīng)變分析哈工大哈工大 土木工程學(xué)院土木工程學(xué)院19 / 6511ddddd22yxyyzzxv = vxyzxz 11ddddd22zxzyzyxww+x

11、y+zxy 11ddddd22xxyxzzyu = uxyzyz 矩陣表示：11220d110d22d01122xxyxzzyzxyxyyzyxzxzyz uuxv= v+ y + wwz dddxyz04 04 應(yīng)變分析應(yīng)變分析哈工大哈工大 土木工程學(xué)院土木工程學(xué)院20 / 65第2節(jié) 點(diǎn)的應(yīng)變狀態(tài)和應(yīng)變張量 與應(yīng)力分析一樣，點(diǎn)應(yīng)變狀態(tài)也是二階對(duì)稱張量，故與應(yīng)力張量有許多相似的性質(zhì)。 定義一點(diǎn)的應(yīng)變狀態(tài)為：通過此點(diǎn)的線段長(zhǎng)度所有變化的總體x、y、z以及由此點(diǎn)放射的任何兩線之間夾角所有變化的總體xy、yz 、zx 。 可以證明一旦已知通過一點(diǎn)并且平行一組相互垂直坐標(biāo)系的三條線段的長(zhǎng)度和角度的變

12、化，就能計(jì)算出通過該點(diǎn)的任何線段的長(zhǎng)度變化以及由該點(diǎn)放射的任何兩線之間夾角的變化。2.1 點(diǎn)的應(yīng)變狀態(tài)04 04 應(yīng)變分析應(yīng)變分析哈工大哈工大 土木工程學(xué)院土木工程學(xué)院21 / 65p點(diǎn)x方向的位移為u(x,y)，則a點(diǎn)在x方向的位移分量，可用泰勒展開表示為：p點(diǎn)位移（u，v）duuxx (d d )uvuxv+xxx ,2221dd2auuuuxxx! xlxyouvpaba ab bxydxxuu dxxv pabdxdydyyu dyyvv a點(diǎn)位移(d d )uvuyv+yyy ,b點(diǎn)位移2.2 位移與應(yīng)變的關(guān)系幾何方程04 04 應(yīng)變分析應(yīng)變分析哈工大哈工大 土木工程學(xué)院土木工程學(xué)院

13、22 / 65pa的正應(yīng)變：xuxuxxuux dd yvy xyouvpaba ab bxyduuxx dvxx pabdxdyduyy dvvyy xvxvxxvv dda a所以剪應(yīng)變?yōu)椋簓uxvxy b ba a yuyuyyuu ddb b04 04 應(yīng)變分析應(yīng)變分析哈工大哈工大 土木工程學(xué)院土木工程學(xué)院23 / 65 z xxyyyzzzxuuvxyxvvwyywwuzxz；該式表明了一點(diǎn)處的位移分量和應(yīng)變分量所應(yīng)滿足的關(guān)系，稱為幾何方程，也稱為柯西(cauchy)關(guān)系。幾何方程是用位移導(dǎo)數(shù)表示應(yīng)變，應(yīng)變描述一點(diǎn)的變形，但還不足以完全描述彈性單元體的位移變化，因?yàn)闆]有考慮單元體位置

14、的改變，即單元體的剛體位移。04 04 應(yīng)變分析應(yīng)變分析哈工大哈工大 土木工程學(xué)院土木工程學(xué)院24 / 65討論：一、物理意義：幾何方程表示位移與應(yīng)變之間關(guān)系；二、位移含質(zhì)點(diǎn)間的相對(duì)位移和剛體位移；1122()yxxyyxxyuuyx tantanyxxyuuyx a ab ba ab b 三、工程剪應(yīng)變：四、應(yīng)變正負(fù)號(hào)規(guī)定: 正應(yīng)變（伸長(zhǎng)為正，縮短為負(fù)） 剪應(yīng)變（角減為正，角增為負(fù)）五、推導(dǎo)中應(yīng)用到小變形、連續(xù)性假設(shè)和泰勒展開。 理論剪應(yīng)變：04 04 應(yīng)變分析應(yīng)變分析哈工大哈工大 土木工程學(xué)院土木工程學(xué)院25 / 65應(yīng)變分量 ex 、 ey 、 ez 、 e xy 、 e yz 、 e

15、zx 滿足張量的性質(zhì)，構(gòu)成一個(gè)二階應(yīng)變張量。2.3 應(yīng)變張量以 xi 記 x，y，z ; 以 ui 記 u，v，w 12jiijjiuuxx ()12i jj iuu,() zzyzxyzyyxxzxyxij zzyzxyzyyxxzxyx 21212121212104 04 應(yīng)變分析應(yīng)變分析哈工大哈工大 土木工程學(xué)院土木工程學(xué)院26 / 65應(yīng)變張量一旦確定，則任意坐標(biāo)系下的應(yīng)變分量均可確定。因此應(yīng)變狀態(tài)就完全確定。坐標(biāo)變換后各應(yīng)變分量均發(fā)生改變，但作為一個(gè)整體，所描述的應(yīng)變狀態(tài)并未改變。張量的剪切應(yīng)變分量 實(shí)際的剪切應(yīng)變；這是在小變形情況下建立的，在塑性力學(xué)大量問題中變形仍與彈性變形同量級(jí)

16、，因此公式仍然成立；討論：04 04 應(yīng)變分析應(yīng)變分析哈工大哈工大 土木工程學(xué)院土木工程學(xué)院27 / 65如果應(yīng)變矢量 qn 正在平面法線n 方向上，則在這一方向上剪應(yīng)變?yōu)榱悖瑒t該法線方向即為主方向（或應(yīng)變主軸）。其含義為：在這些方向上，運(yùn)動(dòng)前是彼此垂直的，其運(yùn)動(dòng)后仍保持垂直，相應(yīng)的應(yīng)變稱為主應(yīng)變 。2.4 主應(yīng)變和應(yīng)變張量不變量考慮一個(gè)法線為n的斜平面，方向余弦（l1=l，l2=m，l3=n）斜平面上應(yīng)變向量qn的三個(gè)分量： qni=ij lj111121312212223233132333nnnqlqlql 剪應(yīng)變?yōu)榱愕姆较蚓褪菓?yīng)變主軸方向；主軸方向的應(yīng)變就是主應(yīng)變04 04 應(yīng)變分析應(yīng)變

17、分析哈工大哈工大 土木工程學(xué)院土木工程學(xué)院28 / 65主方向方程有非零解的條件是其系數(shù)行列式必為零。32222222 20()()xyzxyyzzxxyyzzxxyzxyyzzxxyzyzxzxy 主應(yīng)變特征方程該方程一定存在三個(gè)根，設(shè)為1， 2， 3稱為該點(diǎn)主應(yīng)變:1230()()() niiql 0ijijjl展開得關(guān)于 的一元三次方程：0ijij04 04 應(yīng)變分析應(yīng)變分析哈工大哈工大 土木工程學(xué)院土木工程學(xué)院29 / 653212312233 11230()() 在一定的應(yīng)變狀態(tài)下，物體內(nèi)任一點(diǎn)的主應(yīng)變不會(huì)隨坐標(biāo)系的改變而改變，因而，特征方程中的系數(shù)j1，j2，j3 必為常數(shù)，稱為應(yīng)

18、變不變量。321230jjj 再次展開關(guān)于 的一元三次方程：04 04 應(yīng)變分析應(yīng)變分析哈工大哈工大 土木工程學(xué)院土木工程學(xué)院30 / 65123 1xyzj 2222xyyzzxxyyzzxj 122331 22232xyzxyyzzxxyzyzxzxyj 123 體積應(yīng)變 第一應(yīng)變不變量第二應(yīng)變不變量第三應(yīng)變不變量kk 12iikkikki ij 04 04 應(yīng)變分析應(yīng)變分析哈工大哈工大 土木工程學(xué)院土木工程學(xué)院31 / 652.5 應(yīng)變張量分解和應(yīng)變偏量不變量定義平均應(yīng)變：1231133()()mxyz mmm000000mij xmxyxzijyxymyzzxzyzme ijmijij

19、e 應(yīng)變球張量應(yīng)變偏張量該應(yīng)變狀態(tài)只有體積等向膨脹或收縮，而沒有形狀畸變?cè)搼?yīng)變狀態(tài)只有形狀畸變而沒有體積改變。應(yīng)變張量分解：04 04 應(yīng)變分析應(yīng)變分析哈工大哈工大 土木工程學(xué)院土木工程學(xué)院32 / 6504 04 應(yīng)變分析應(yīng)變分析哈工大哈工大 土木工程學(xué)院土木工程學(xué)院33 / 65123000000mmm 用主應(yīng)變表示應(yīng)變偏量：000000 xijyzeeee 123000000eee 12321331220320032003 注意，純剪應(yīng)變狀態(tài)的條件與純剪應(yīng)力狀態(tài)的條件相同，即純剪應(yīng)變的必要充分條件是kk =0 ，因此，eij 為純剪狀態(tài)，并且ij和eij 有相同主軸。04 04 應(yīng)變分析

20、應(yīng)變分析哈工大哈工大 土木工程學(xué)院土木工程學(xué)院34 / 65應(yīng)變偏張量應(yīng)變偏量不變量如下：ijijmije 10 xyzjeee 22232xyzxyyzzxxyzyzxzxyje e ee e ee ee ee e 2222xyyzzxxyyzzxje ee ee eeee 122331e ee ee e 2222221362xyyzzxxyyzzx 22212233116 04 04 應(yīng)變分析應(yīng)變分析哈工大哈工大 土木工程學(xué)院土木工程學(xué)院35 / 65由于j2=0 ,應(yīng)變偏張量可進(jìn)一步分解并解釋為1112131121222311333132333300000000000000eeeeeee

21、eeeeee 121321233132000000000000000000000eeeeee 都表示純剪切變形，因此eij只與單元的剪切變形有關(guān)04 04 應(yīng)變分析應(yīng)變分析哈工大哈工大 土木工程學(xué)院土木工程學(xué)院36 / 651.八面體應(yīng)變八面體上正應(yīng)變： 12313m 2.6 各種應(yīng)變之間的關(guān)系八面體上全應(yīng)變：22228123qqqq ()()() 22212313 222123lmn ()()()8123q lq mq n 222123lmn 04 04 應(yīng)變分析應(yīng)變分析哈工大哈工大 土木工程學(xué)院土木工程學(xué)院37 / 65八面體上正應(yīng)變：八面體上張量剪應(yīng)變： 812313m 八面體上全應(yīng)變：

22、 2222812313q 22888q 22221231231139 22212233113 04 04 應(yīng)變分析應(yīng)變分析哈工大哈工大 土木工程學(xué)院土木工程學(xué)院38 / 65八面體上工程剪應(yīng)變：82 222222263xyyzzxxyyzzx () 2122233jj 2223j 22212323 22212233123 04 04 應(yīng)變分析應(yīng)變分析哈工大哈工大 土木工程學(xué)院土木工程學(xué)院39 / 652.等效應(yīng)變123 , 簡(jiǎn)單拉伸時(shí)：所以：222212233116()()() j 22216()()() 2131j22113()04 04 應(yīng)變分析應(yīng)變分析哈工大哈工大 土木工程學(xué)院土木工程學(xué)

23、院40 / 6582 832 12() 當(dāng)=0.5（不可壓縮的塑性材料）時(shí)：在j2相等的意義下定義等效正應(yīng)變：2131j 243j 當(dāng)=0.5（不可壓縮的塑性材料）時(shí)：82223j 再比較所以04 04 應(yīng)變分析應(yīng)變分析哈工大哈工大 土木工程學(xué)院土木工程學(xué)院41 / 65132312 2 2,/ ,/純剪應(yīng)變時(shí)：13210 02 ,222212233116()()() j 222111622()()() 212() 22 j 04 04 應(yīng)變分析應(yīng)變分析哈工大哈工大 土木工程學(xué)院土木工程學(xué)院42 / 65 2222122331223j 123 3 當(dāng)=0.5（不可壓縮的塑性材料）時(shí)：可見 都與

24、 成正比8 2j 純剪應(yīng)變（又稱剪應(yīng)變強(qiáng)度）04 04 應(yīng)變分析應(yīng)變分析哈工大哈工大 土木工程學(xué)院土木工程學(xué)院43 / 65213213131322eeeee 仿mohr應(yīng)力圓和lode應(yīng)力參數(shù)，有mohr應(yīng)變圓和lode應(yīng)變參數(shù)： 常見應(yīng)力狀態(tài)的應(yīng)變 lode 參數(shù)11 op1p2p3m 1 2 33. mohr應(yīng)變圓與lode應(yīng)變參數(shù)04 04 應(yīng)變分析應(yīng)變分析哈工大哈工大 土木工程學(xué)院土木工程學(xué)院44 / 65單向拉伸：e2 e3 - ee1 e單向壓縮：e1 e2 ee3 e純剪切： e1 ， 2 0e3 1 1 0 04 04 應(yīng)變分析應(yīng)變分析哈工大哈工大 土木工程學(xué)院土木工程學(xué)院4

25、5 / 65第3節(jié) 變形連續(xù)條件變形前是連續(xù)的，變形后仍然是連續(xù)的。不允許出現(xiàn)裂紋或發(fā)生重疊現(xiàn)象。為保證變形前后物體的連續(xù)性，應(yīng)變之間必然存在某種關(guān)系，描述這種關(guān)系的數(shù)學(xué)表達(dá)式就是應(yīng)變協(xié)調(diào)方程。04 04 應(yīng)變分析應(yīng)變分析哈工大哈工大 土木工程學(xué)院土木工程學(xué)院46 / 653.1 應(yīng)變協(xié)調(diào)方程 在應(yīng)力分析中，已經(jīng)指出必須建立平衡方程以保證物體總是處于平衡狀態(tài)。然而，在應(yīng)變分析中，必須由某些條件強(qiáng)加于應(yīng)變分量以保證變形體連續(xù)。 已知位移可以求出應(yīng)變。但給定應(yīng)變，那么有三個(gè)未知位移函數(shù)，有六個(gè)幾何方程。如果不對(duì)應(yīng)變加以限制就不能得到一個(gè)解。為了能得到一個(gè)單值的連續(xù)位移函數(shù)，必須對(duì)應(yīng)變分量加以限制，

26、這種約束被稱為應(yīng)變協(xié)調(diào)條件04 04 應(yīng)變分析應(yīng)變分析哈工大哈工大 土木工程學(xué)院土木工程學(xué)院47 / 65 xyxyuvvu,xyxyqzyzxzyyzyxxyzxxzyzzyxyyx 22222222222222222332222 yxuvyxx yy x 2uvx yyx 2xyx y 在幾何方程中消去位移變量04 04 應(yīng)變分析應(yīng)變分析哈工大哈工大 土木工程學(xué)院土木工程學(xué)院48 / 65 xyuvyxzxyxzyyxzyxzzyxyzxyzxyzxyzxyxzyzxyzzxxy 22222222 xyvuzx zy z 23 22xyyzzxxuxzyxx y zy z 22yzwvxx

27、 yz x 2 2xyyzzxuzyxy z 表明一點(diǎn)的應(yīng)變分量所應(yīng)滿足的關(guān)系，稱為變形連續(xù)條件，也稱應(yīng)變協(xié)調(diào)方程或圣維南(saint-venant)方程。22zxuwyy zx y yzvwzyzxuwzx04 04 應(yīng)變分析應(yīng)變分析哈工大哈工大 土木工程學(xué)院土木工程學(xué)院49 / 65應(yīng)變協(xié)調(diào)方程的張量表示： 其數(shù)學(xué)意義：要求位移函數(shù)在其定義域內(nèi)為單值連續(xù)函數(shù)，保證3個(gè)位移為未知量的6個(gè)幾何方程不相矛盾。 其力學(xué)意義：保證構(gòu)成物體的介質(zhì)在變形前后是連續(xù)的，物體任意一點(diǎn)的變形必須受到其相鄰單元體變形的約束，即同一點(diǎn)不會(huì)產(chǎn)生兩個(gè)或兩個(gè)以上的位移。由位移函數(shù)應(yīng)變自動(dòng)滿足連續(xù)方程（6個(gè)） 由應(yīng)變位移

28、積分必須滿足全微分條件，變形才是協(xié)調(diào)的 0mijnklik,jlee 0ij,klkl,ijlj,kiki,lj04 04 應(yīng)變分析應(yīng)變分析哈工大哈工大 土木工程學(xué)院土木工程學(xué)院50 / 65 變形連續(xù)性條件反映了真實(shí)情況下物體內(nèi)各點(diǎn)應(yīng)變之間的協(xié)調(diào)關(guān)系。 對(duì)于單連通域物體，應(yīng)變分量滿足應(yīng)變協(xié)調(diào)方程是保證物體變形連續(xù)的充要條件。 利用應(yīng)變協(xié)調(diào)方程可檢驗(yàn)給定的應(yīng)變狀態(tài)是否為可能存在的？也可確定應(yīng)變分量中的待定系數(shù)。04 04 應(yīng)變分析應(yīng)變分析哈工大哈工大 土木工程學(xué)院土木工程學(xué)院51 / 65位移邊界條件位移邊界條件 q 應(yīng)變滿足變形協(xié)調(diào)方程，保證彈性體內(nèi)部的變應(yīng)變滿足變形協(xié)調(diào)方程，保證彈性體內(nèi)部

29、的變形單值連續(xù)。形單值連續(xù)。q 邊界變形協(xié)調(diào)要求邊界位移滿足位移邊界條件。邊界變形協(xié)調(diào)要求邊界位移滿足位移邊界條件。 q 位移邊界條件位移邊界條件臨近表面的位移或和變形與臨近表面的位移或和變形與已知邊界位移或變形相等。已知邊界位移或變形相等。04 04 應(yīng)變分析應(yīng)變分析哈工大哈工大 土木工程學(xué)院土木工程學(xué)院52 / 65,wvu稱為位移邊界條件wwvvuu如果物體表面的位移已知，稱為位移邊界位移邊界用su表示。如果物體表面的位移邊界條件為：04 04 應(yīng)變分析應(yīng)變分析哈工大哈工大 土木工程學(xué)院土木工程學(xué)院53 / 65設(shè)物體表面為 s位移已知邊界 su面力已知邊界 ss則 ssuss彈性體的整

30、個(gè)邊界，是由面力邊界和位移邊界構(gòu)成的。任意一段邊界，可以是面力邊界，或者位移邊界。面力邊界和位移邊界在一定條件下是可以轉(zhuǎn)換的，例如靜定問題。04 04 應(yīng)變分析應(yīng)變分析哈工大哈工大 土木工程學(xué)院土木工程學(xué)院54 / 65某些問題，邊界部分位移已知，另一部分面力已知，這種邊界條件稱為混合邊界條件。不論是面力邊界條件，位移邊界條件，還是混合邊界條件，彈性體任意邊界的邊界條件數(shù)目不能超過或者少于3個(gè)，必須等于3個(gè)。04 04 應(yīng)變分析應(yīng)變分析哈工大哈工大 土木工程學(xué)院土木工程學(xué)院55 / 65如果物體內(nèi)所有質(zhì)點(diǎn)都只在同一個(gè)坐標(biāo)平面內(nèi)發(fā)生變形，而在該平面的法線方向沒有變形，這種變形稱為平面變形或平面應(yīng)

31、變。 平面應(yīng)變狀態(tài)下的應(yīng)力狀態(tài)有如下特點(diǎn)： 1) z 即為主應(yīng)力，且為x 、 y 的平均值，即為中間應(yīng)力，又是平均應(yīng)力，是一個(gè)不變量，有三個(gè)獨(dú)立的應(yīng)力分量x 、 y 、xy 。 2) 若以應(yīng)力主軸為坐標(biāo)軸，平面變形時(shí)應(yīng)力狀態(tài)就是純切應(yīng)力狀態(tài)疊加一個(gè)應(yīng)力球張量。22222yxyxyxx y 3.2 平面問題的應(yīng)變協(xié)調(diào)方程04 04 應(yīng)變分析應(yīng)變分析哈工大哈工大 土木工程學(xué)院土木工程學(xué)院56 / 65全量應(yīng)變與增量應(yīng)變第4節(jié) 應(yīng)變?cè)隽亢蛻?yīng)變速率張量 全量應(yīng)變又叫有限應(yīng)變、總應(yīng)變，是變形歷史中某一時(shí)刻之前已經(jīng)發(fā)生的應(yīng)變總和。增量應(yīng)變又叫瞬時(shí)應(yīng)變、無限小應(yīng)變，是變形歷史中某一瞬間正在發(fā)生的無限小應(yīng)變。

32、應(yīng)變速率表示變形體內(nèi)質(zhì)點(diǎn)距離改變的快慢，也即各點(diǎn)位移速度的差別。04 04 應(yīng)變分析應(yīng)變分析哈工大哈工大 土木工程學(xué)院土木工程學(xué)院57 / 65物體質(zhì)點(diǎn)位移增量dd iiuu t &瞬時(shí)應(yīng)變?cè)隽繌埩?2,(dd)di jj iuut &dijt &12, d(dd)iji jj iuu d ddxuutxx &d ddyvvtyy &d ddzwwtzz & dddxyuvttyx & dddyzvwttzy & dddzxwuttxz &04 04 應(yīng)變分析應(yīng)變分析哈工大哈工大 土木工程學(xué)院土木工程學(xué)院58 / 65應(yīng)變

33、增量強(qiáng)度（等效應(yīng)變?cè)隽浚ヾdddddddddxxyxzijyxyyzzxzyz 22212233123ddddddd 2222222332dddddddddxyyzzxxyyzzx 應(yīng)變?cè)隽亢托?yīng)變張量一樣，具有三個(gè)主方向，三個(gè)主應(yīng)變?cè)隽咳齻€(gè)不變量，三對(duì)主剪應(yīng)變?cè)隽?、偏張量、球張量、等效?yīng)變?cè)隽康取?4 04 應(yīng)變分析應(yīng)變分析哈工大哈工大 土木工程學(xué)院土木工程學(xué)院59 / 65應(yīng)變速率張量 1dd2iji jj iuu &,() xxutt & yyvtt & zzwtt & xyxyuvtyx & yzyzvwtzy & zxzxwutxz &

34、amp;對(duì)大變形，小變形都成立；是對(duì)變形某一瞬態(tài)計(jì)算的而不是按初始位置計(jì)算的；也可由此計(jì)算主方向、主應(yīng)變率、偏應(yīng)變率張量及相應(yīng)的不變量。04 04 應(yīng)變分析應(yīng)變分析哈工大哈工大 土木工程學(xué)院土木工程學(xué)院60 / 65討論：如果按初始狀態(tài)計(jì)算應(yīng)變張量的增量當(dāng) ij 的各分量都按同一比例變化，其主應(yīng)變的方向才會(huì)保持不變，才有 d(ijijijttt )()( )小變形時(shí) dd(ijij )大變形時(shí) dd(ijij ) dd(ijij )只反映主應(yīng)變大小的變化表現(xiàn)主應(yīng)變大小和方向的變化04 04 應(yīng)變分析應(yīng)變分析哈工大哈工大 土木工程學(xué)院土木工程學(xué)院61 / 65如在簡(jiǎn)單拉伸時(shí),軸向應(yīng)變?cè)隽縟 dl

35、l %所以自然應(yīng)變 = d1 % ln()拉伸段的瞬時(shí)長(zhǎng)度是按初始位置計(jì)算出來的工程應(yīng)變2323 l04 04 應(yīng)變分析應(yīng)變分析哈工大哈工大 土木工程學(xué)院土木工程學(xué)院62 / 65123123iji jx y zi i i ( , , ) , , ,123123iji jx y zj j j ( , , ) , , ,張量表示、張量分析、張量關(guān)系相似88ijms max , , ,88ijme max , , ,第5節(jié) 應(yīng)力應(yīng)變分析的相似性與差異性相似性：04 04 應(yīng)變分析應(yīng)變分析哈工大哈工大 土木工程學(xué)院土木工程學(xué)院63 / 65差異性：概 念：應(yīng)力 研究面元ds上力的集度 應(yīng)變 研究線元dl的變化情況內(nèi)部關(guān)系：應(yīng)力應(yīng)力平衡微分方程 應(yīng)變應(yīng)變連續(xù)（協(xié)調(diào)）方程 彈性變形：相容方程 塑性變形：體積不變條件 等效關(guān)系：等效應(yīng)力彈性變形和塑性變形表達(dá)式相同等效應(yīng)變彈性變形和塑性變形表達(dá)式不相同對(duì)于彈性變形：對(duì)于塑性變形( = 0.5)222122331221()()()()e 22212233123( ()()()e 04 04 應(yīng)變分析應(yīng)變分析哈工大哈工大 土木工程學(xué)院土木工程學(xué)院64 / 65小 結(jié)位移位移增量應(yīng)變幾何方程點(diǎn)的應(yīng)變狀態(tài)任意方向應(yīng)變的確定應(yīng)變張量與不變量特殊應(yīng)變應(yīng)變張量分解04